高数下册知识点

高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± ,),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a =⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c ⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a2）b a //⇔0=⨯b azy x z y xb b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 5） 椭圆抛物面：z by a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-by a x 9）抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥Lp C n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念 1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：),(y x f z =，图形：3、 极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y xy x =→ 5、 偏导数： xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000006、 方向导数：βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角。

7、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。

8、 全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 v y z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-BAC ，0>A ，函数有极小值， 若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-BAC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。

2） 条件极值：求函数),(y x f z=在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为： 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。

4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算： 1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f z S∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质：1） [(,)(,)]d (,)d (,)d .L LLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰2）12(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰ ).(21L L L +=3）在L 上，若),(),(y x g y x f ≤，则(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤⎰⎰4）l sL =⎰d ( l 为曲线弧 L 的长度)3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LL y y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-L L r y x F r y x F d ),(d ),(3、 计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}dLP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d 2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分（四） 对面积的曲面积分 1、 定义： 设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、 计算：———“一单二投三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则yx y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质：1）21∑+∑=∑，则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2）-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”，∑为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。