高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ，

则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± ,

),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：222z y x r ++= ；

2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,

4） 方向余弦：r

z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα

5） 投影：ϕcos Pr a a j u

=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、 数量积：θcos b a b a =⋅

1）2

a a a =⋅

2）⇔⊥b a 0=⋅b a

z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅

2、 向量积：b a c ⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则

1）0

=⨯a a

2）b a //⇔0

=⨯b a

z

y x z y x

b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b

⨯-=⨯

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：

0),,(:=z y x f S

2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，

绕y 轴旋转一周：

0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f

3、 柱面：

0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面

1） 椭圆锥面：22222z b

y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x 旋转椭球面：122

2222=++c

z a y a x

3） 单叶双曲面：1222222=-+c

z b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 5） 椭圆抛物面：z b

y a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b

y a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b

y a x 9）

抛物柱面：ay x =2

（四） 空间曲线及其方程

1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0),,(z y x G z y x F

2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt

z t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影

⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x H

（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x

2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++c

z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，

2222222121212

12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ

⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A

⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==

4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 222000C B A D

Cz By Ax d +++++=

（六） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-

方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x

3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt

z z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，

22222221212

12

12121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ

⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m

⇔21//L L 212121p p n n m m ==