高二数学推理与证明知识点与习题

推理与证明

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间接证明 一、推理

1. 推理：前提、结论

2. 合情推理：

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理

（2 ）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3. 演绎推理：

从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理， 简言之，演绎推理是

由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、

观察:.7

.15 2 .11 ; 5.5 16.5 2 .11 ; ,3 .3 19 . 3

2.11 ;-.对

于任意正实数a,b ，试写出使 需 Vb 2闪 成立的一个条件可以是 ________________ . 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故a b 22

2、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，

单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

I

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

f （n ）表示第n 幅图的蜂巢总数.则

合情推理

推理与证明

演绎推理

直接证明

反证法

归纳

f (4) = ___ ; f (n) = __________ . 【解题思路】找出 f(n) f(n 1)的关系式

［解析］f(1) 1, f (2) 1

6, f(3) 1 6 12, f (4)

1 6 1

2 18 37

2

f (n) 1 6 12 18 6(n 1) 3n 3n 1

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2用类比推理猜想新的命题

［例］已知正三角形内切圆的半径是高的 是 ______ .

【解题思路】从方法的类比入手

［解析］原问题的解法为等面积法，即 S 1 1 等体积法，V Sh 4 Sr r 3 3

【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

(2 )类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类 比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

二、直接证明与间接证明

三种证明方法： 综合法、分析法、反证法

反证法：它是一种间接的证明方法 •用这种方法证明一个命题的一般步骤：

(1) 假设命题的结论不成立；

(2) 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1综合法

在锐角三角形 ABC 中，求证:si nA sinB si nC cosA cosB cosC ［解析］ABC 为锐角三角形， A B

A B ，

2 2 y sinx 在(0,—)上是增函数，

si nA sin( B) cosB

2 2

同理可得 sinB cosC ， sinC

cosA

cosB cosC

sin A sinB sinC

cosA 考点2 分析法

1

-,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论

3

1 1 1 -ah 3 -ar r - h ，类比问题的解法应为

2 2 3

1 1

-h 即正四面体的内切球的半径是高 一

4 4

已知a b 0,求证、、a,b■, a b

［解析］要证-a '一 b -』a b , 只需证(.a , b)2

(.. a b)2

b ，只需证b

... ab ，即证 b

显然b a 成立，因此,a , b .. a b 成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证 ---只需证---”，而不是“因为---所以---

考点3反证法

已知f(x) a x ^^(a 1)，证明方程f(x) 0没有负数根

x 1

【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾

［解析］假设x o 是f(x) 0的负数根，贝y x 0且X 。

1且a x0

0 a xo 1

^0—2 1，解得—x 0 2，这与 x 0 0 矛盾，

x o

1 2

故方程f (x)

0没有负数根

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

三、数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个 步骤：

(1)证明当n=n0时命题成立；

⑵ 假设当n=k (k N ,且k n 。)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立.这种证明方法

称为数学归纳法• 考点1数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

［例1 ］已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k ( k 2且为偶数)时命题为 真，，则还需证明() A. n=k+1时命题成立 B. n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立

D. n=2

( k+2)时命题成立

［解析］因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因

k 的下一个偶数是k+2,故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时， 要注意观察几个方面：(1) n 的范围以及递推的起点 (2) 观察首末两项的次数(或其它)，确定n=k 时命题的形式f (k) ( 3)从f(k 1)和f(k)的 差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加(乘)上的式子 考点2数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题

x

o

2

x 1