北师大版数学必修五：《基本不等式的实际应用》导学案(含答案)

第7课时基本不等式的实际应用

1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.

3.能利用基本不等式解决实际问题.

今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.

问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为错误！未找到引用源。dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(错误！未找到引用源。+2)-72=8+2(x+错误！未找到引用源。)≥8+2×2错误！未找到引用源。= .

当且仅当时,取得最小值.

问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤

(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数;

(2)建立相应的,把实际问题抽象为问题;

(3)在定义域内,求出函数的;

(4)正确写出答案.

问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+错误！未找到引用源。,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=错误！未找到引用源。.

问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.

1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().

A.若a,b∈R,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2

B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2错误！未找到引用源。

C.若x<0,则x+错误！未找到引用源。≥-2错误！未找到引用源。=-2错误！未找到引用源。

D.若x≤0,则3x+3-x≥2错误！未找到引用源。=2

2.已知x<错误！未找到引用源。,则函数y=4x-2+错误！未找到引用源。的最大值为().

A.5

B.1

C.3

D.4

3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.

4.已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证:(错误！未找到引用源。-1)(错误！未找到引用源。-1)(错误！未找到引用源。-1)≥8.

利用基本不等式求函数的最值

求函数y=错误！未找到引用源。(x>1)的最小值.

利用基本不等式解实际应用问题

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比错误！未找到引用源。=x(x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x的函数S(x)的解析式;

(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

把实际问题转化成数学模型

如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

(1)已知x>0且x≠1,求lg x+log x10的取值范围.

(2)已知x≥错误！未找到引用源。,求f(x)=错误！未找到引用源。的最大值.

某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为错误！未找到引用源。x个,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?

某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).

(1)该厂从第几年开始盈利?

(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?

1.设0

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.3

D.1

2.设x>0,则y=3-3x-错误！未找到引用源。的最大值为().

A.3

B.3-3错误！未找到引用源。

C.3-2错误！未找到引用源。

D.-1

3.已知正数x,y满足错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,则x+2y的最小值为.

4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

(2013年·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).

考题变式(我来改编):

第7课时等比数列的前n项和

知识体系梳理

问题1:na1错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

问题2:错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

问题3:a1-a1q n na1错误！未找到引用源。

问题4:错误！未找到引用源。

基础学习交流

1.B设数列{a n}的公比为q,则q3=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,∴q=错误！未找到引用源。,∴数列{a n}的前10项和为错误！未找到引用源。=2-错误！未找到引用源。.

2.C错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=q4,所以q=±2.

3.错误！未找到引用源。由a n+2+a n+1=6a n,得q n+1+q n=6q n-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=错误！未找到引用源。,S4=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

4.解:∵公比为q=2a,当q=1,即a=错误！未找到引用源。时,S n=n;

当q≠1,即a≠错误！未找到引用源。时,则S n=错误！未找到引用源。.

∴S n=错误！未找到引用源。

重点难点探究

探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

当q≠1时,错误！未找到引用源。=3a1q2,

因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),

即1+q+q2=3q2,解得q=-错误！未找到引用源。.

综上所述,公比q的值为1或-错误！未找到引用源。.

【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和q≠1两种情况.

探究二:【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1,

由已知得a1+a2=2(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,∴a1a2=2,