分段函数的微积分典型问题例析

分段函数的微积分典型问题例析

摘要：以分段函数为主线，总结归纳了分段函数在分界点处的极限、连续性、可导性、可微性，例析分段函数的微积分计算、幂级数展式和微分方程求解，突破高等数学教学中的难点，整合高等数学中分段函数的典型问题为一体。

关键词：高等数学；分段函数；典型问题

高等数学的研究对象是函数，其中分段函数是一类特殊的函数。分段函数在分界点处的连续性、可导性、可微性、可积性的判断较困难，在分界点处的导数和微分计算更复杂。本文以一元分段函数和二元分段函数为研究对象，系统梳理分段函数在分界点处的极限、连续性、可导性、可微性，例析分段函数的微积分计算、幂级数展开和微分方程求解，整合高等数学中分段函数的典型问题为一体。

一一元分段函数在高等数学中的基本知识和典型问题

定义１对于自变量ｘ的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

初等函数是用一个解析表达式表示的函数。一般的分段函数不是初等函数，但是如果分段函数能够通过恒等变形变成一个解析表达形

式，就是初等函数。

（一）一元分段函数在分界点处极限与连续的判断

１．一元分段函数在分界点处极限的判断

判断一元分段函数在分界点处极限的存在性，一般是根据分段函数的表达形式进行的。如果分段函数在分界点的左右，函数表达形式不同，则采用分段函数在分界点处的左右极限来判断，当分界点左右极限存在且相等时，该分界点处极限存在，否则该分界点处极限不存在；如果分段函数在分界点的左右函数表达形式相同，则直接利用计算极限的常用方法计算分段函数在分界点处的极限。

件缺一不可。根据一元分段函数在分界点处的极限情况和函数值情况，判定分界点处的连续性。当分段函数在分界点无定义，则分段函数在分界点不连续；当分段函数在分界点处极限不存在，分段函数在分界点处不连续；当分段函数在分界点处极限存在，该点函数值存在且等于极限值，分段函数在分界点处连续，否则就不连续。

（二）一元分段函数的导数计算

因为初等函数（不包括分段函数恒等变形成一个解析式的初等函数）在定义区间内可导，所以计算一元分段函数的导函数可以采取分段求导，分界点单独讨论的方法进行。其中分界点处计算方法主要有以下２种：

方法一：分段函数在分界点处用导数定义求导。

方法二：分段函数在分界点处用导数极限存在定理求导。

方法一书上已经呈现，就不介绍了，这里主要介绍方法二。

定理１若一元分段函数满足：分段函数在分界点处连续；分段导函数在分界点处极限存在，即ｆ′＋（ｘ０）＝ｆ′－（ｘ０），则分段函数在分界点处可导。证明可参考文献［１］。

注意：在分界点处满足ｆ′＋（ｘ０）＝ｆ′－（ｘ０），一定可导，但是，导函数不一定连续。因为此时导函数可能没有定义。

（三）分段函数不定积分的求法

分段函数作为导函数，其原函数一般也是分段函数，每一个表达式的原函数有一个任意常数，分段导函数有几个表达式，原函数自然就产生几个任意常数，这些常数之间的关系是什么呢？根据不定积分的可积性：导函数连续，原函数一定连续，且不定积分只有一个任意

常数，可利用分段原函数在分界点处连续，找出几个任意常数之间的关系，求出分段函数的原函数。因此求分段函数的不定积分时，应特别注意分界点处的取值情况。

（五）一元分段函数及其幂级数

函数ｆ（ｘ）满足：在邻域∪（ｘ０）有定义，有直到ｎ阶的导数ｆ＇（ｘ０），且ｌｉｍｎ→∞Ｒｎ（ｘ）＝０，我们就可以在ｘ＝ｘ０展开成幂级数的形式。当然如果在ｘ＝０处满足上面的条件，那么可以在ｘ＝０处展开成马克劳林级数，是泰勒级数的特殊情况。我们常用的初等函数幂级数就是在ｘ＝０处展开的。反过来，已知幂级数的形式，也可以求出它的和函数。

二二元分段函数的微积分基本知识和典型问题

研究二元分段函数的微积分，采用类似一元分段函数的微积分方法，不同之处就是自变量多了，导数定义偏向每个变量成为偏导数，积分形式也多了：二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，随着维数加大，数形结合更难，计算更复杂。下面举出相应的例子。

参考文献：

［１］韩滢．求分段函数在分段点处导数的方法探析［Ｊ］．辽宁师专学报，２００８（６）．

［２］同济大学数学教研室．高等数学（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．