材料力学弯曲强度习题课
材料力学习题册答案-第5章 弯曲应力
第 五 章 弯 曲 应 力一、是非判断题1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。
（ × ）2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。
梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。
（ √ ）3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力maxσ不一定出现在maxM的截面上。
（ × ）4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。
（ √ ）5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。
（ × ）6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。
（ × ）7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。
（ √ ）@二、填空题1、应用公式zMy I 时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。
2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。
3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力=S FbhF23 。
4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为226161bH BH -、xH Bh BH 66132- 和 Hbh BH 66132- 。
三、选择题1、如图所示，铸铁梁有A ，B ，C 和D 四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。
2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。
则当F 增大时，破坏的情况是 （ C ）。
A 同时破坏 ；B （a ）梁先坏 ；C （b ）梁先坏3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。
若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（D ）ABCDHABC D?四、计算题&1、长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知m h 18.0=，m b 12.0=，m y 06.0=，m a 2=，kN F 1=，求C 截面上K 点的正应力。
提高梁弯曲强度的措施习题课
旳型号,然后再校核其剪应力强度.
P
Q 4m
A
B
CD
1m 1m
l 10m
解：1）研究起重机：
Q RC RD
P MC (F) 0
RD .2 Q.1 P.5 0 RD 50KN
Y 0
RC RD Q P
RC 10KN
P
Wz
M max
187.5cm3
选50a号工字钢
例8：将直径d=1mm旳钢丝绕在直径为2m旳 卷筒上，试计算在钢丝中产生旳最大应力？
E=250GPa
D 2m
解： 钢丝发生弯曲变形时，产生旳曲率半径为：
1m
E y
max
E
ymax
ymax
d 2
max 100MPa
例9：用力P将放置于地面上旳钢筋提起，若钢筋单位长度 上旳重量为q，当b=2a时，求P=？
M Amax M Bmax M中点max
P.a P.b P (l a b) 4
5）拟定许用载荷：
a b 2m
max
M max W
Mmax 2P W 185 *106 m3
P 14.8KN
例7：用一台最大起重量为150KN和200KN旳吊车，借助一 辅助梁共同吊起一重量为P=300KN旳设备，求：
t h
2t
解:很显然截面旳形心应该偏下
h2
所以中性轴也应该偏下;
h1 h2
z h1
C T
所以截面旳中性轴下列应
yb
该受拉,以上应该受压;
T max
M .h1 W
C max
M .h2 W
最合理旳截面应该满足:
《材料力学》 练习题 (弯曲变形)
《材料力学》练习题（弯曲变形）
院系：年级：专业：
姓名：学号：成绩：
1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。
（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。
（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。
4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。
（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。
8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。
已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。
试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。
弯曲强度.
max
MB yb MD yd 70MPa, d 35MPa IZ IZ
5) 强度校核：
max d [ ]
b [ ]
强度满足。
讨论：
1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。 2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的 拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。
[P] 38.3(kN)
4)求最大剪应力
max
3 Q 3.83MPa 2 bh
5)求最大正应力
PL max 102MPa WZ
注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯 矩相等。
(Mmax ) New
(Wz ) New
M max 3
Wz 9
( max )New 3 max 306MPa
* Za * Z max 3
7) 求
z'
Q maxS* Za a 2.81MPa ba I Z QmaxS* Z max c 0.707MPa bc I Z max a 2.81MPa
max
五、提高弯曲强度的主要措施 M max 控制条件： max [] WZ
M max [ ] Wz
40kN.m
M max Wz 235 103 mm3 [σ ]
①圆截面：
②正方形：
d 3 d 133.8mm, A 14060 2 mm Wz 1 32
a3 Wz 6
a 112.1mm, A2 12570 mm2
③h/b=2的矩形:
y
x ①变形几何关系： y y
y
y ②物理关系： E E
材料力学经典习题册 弯曲变形
弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2；(B) M e1/M e2=3；(C) M e1/M e2=1/2；(D) M e1/M e2=1/3。
答：C2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：答：B3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力F S与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：(A)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI===；(B)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-=-=；(C)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-==-；(D)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI==-=-。
答：B4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度23e32BM lFlwEI EI=+（↓）则截面C处挠度为：(A)32e223323MFl lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(B)322/323323F Fll lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(C)32e(/3)223323M FlFl lEI EI+⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(D)32e(/3)223323M FlFl lEI EI-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）。
答：C5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。
答：7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：C8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 .
eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第7章)范钦珊唐静静2006-12-18第7章弯曲强度7－1 直径为d的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E。
根据d、ρ、E可以求得梁所承受的力偶矩M。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
习题7－1图(A) M＝Eπd 64ρ64ρ (B) M＝Eπd4Eπd3(C) M＝32ρ32ρ (D) M＝Eπd34 正确答案是。
7－2 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是 C _。
7－3 长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l 5习题7－3图正确答案是7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为mm。
求：梁的1－1截面上A、 2B两点的正应力。
习题7－4图解：1. 计算梁的1－1截面上的弯矩：M=−⎜1×10N×1m+600N/m×1m×2. 确定梁的1－1截面上A、B两点的正应力：A点：⎛⎝31m⎞=−1300N⋅m 2⎟⎠⎛150×10−3m⎞−20×10−3m⎟1300N⋅m×⎜2My⎝⎠×106Pa=2.54MPa(拉应力)σA=z=3Iz100×10-3m×150×10-3m()12B点：⎛0.150m⎞1300N⋅m×⎜−0.04m⎟My⎝2⎠=1.62×106Pa=1.62MPa(压应力)σB=z=3Iz0.1m×0.15m127－5 简支梁如图所示。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第7章 弯曲强度
[ ]
[]
0.5 x 0.4125
M(kN.m)
7
习题 7－10 图
解：画弯矩图如图所示： 对于梁：
M max = 0.5q M 0.5q σ max = max ≤ [σ ] , ≤ [σ ] W W [σ ]W = 160 ×106 × 49 ×10−6 = 15.68 ×103 N/m=15.68kN/m q≤ 0.5 0.5
A
B
W
a + Δa
W + ΔW
B
A
a图
b图
整理后得
Δa =
ΔW (l − a ) (W + ΔW )
此即为相邻跳水者跳水时，可动点 B的调节距离 Δa 与他们体重间的关系。 7－ 14 利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成 a=l/4。
9
习题 7－14 图
解：双杠使用时，可视为外伸梁。 其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。如图a、b所示。
[ ]＋
[σ ]－ ＝120 MPa。试校核梁的强度是否安全。
6
30 x 10 M(kN.m) C 截面
+ = σ max － σ max
40
习题 7－9 图
30 ×103 N ⋅ m × 96.4 ×10−3 m = 28.35 × 106 Pa=28.35 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 4 30 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = = 45.17 ×106 Pa=45.17 MPa 1.02 ×108 × 10−12 m 4 40 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = 60.24 ×106 Pa=60.24 MPa> [σ ] 8 −12 4 1.02 ×10 × 10 m 40 ×103 N ⋅ m × 96.4 × 10−3 m = = 37.8 × 106 Pa=37.8 MPa 8 −12 4 1.02 × 10 × 10 m
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学第五章弯曲例题
压应力强度
30kN· m
M B y1 4010696.4 C C 37 . 8 MPa 8 Iz 1.0210
∴压应力强度足够
F=10kN A
Me=70kN∙m B
y1
C
z
C
3m
y
y
3m
40kN· m
M
－
+
10kN· m
解： （1） y196.4(mm )
y153.6(mm)
Iz 1.02108(mm 4)
4 [ t ]I zc 4010180 10 44.2( kN) F 0.6h2 0.6106 153.6 ∴[F]≤44.2kN
[刘题5.16]（P169） 图示铸铁梁，[ t]=40MPa，[ c ] =160MPa， 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变,但将T形 横截面倒置,是否合理?何故?
* 3 FS1S z 3 . 64 10 ( 754055) 0.379( MP a) 4 I zb 2110 10 75
F=8kN
1 1m 1.2m 1 1m
40
a
150
b
10
75
M175 (2)b点 12.9( MP a) Iz
0
已知：P=50kN，F=10kN，l=10m， [刘题5.21]（P171） []=160MPa，[]=100 MPa，试按正应力强度条件选择工
30kN· m
M B y 40106153.6 t 60.2MPa t 8 Iz 1.0210
∴拉应力强度不够
F=10kN A
Me=70kN∙m B
y1
材料力学习题及答案4-6
第四章弯曲应力判断图弯矩的值等于梁截面一侧所有外力的代数和。
（）负弯矩说明该截面弯矩值很小，在设计时可以忽略不计。
（）简支梁上向下的集中力对任意横截面均产生负弯矩。
（）横截面两侧所有外力对该截面形心力矩的代数和就是该截面的弯矩值。
（）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。
（）在计算指定截面的剪力时，左段梁向下的荷载产生负剪力。
（）在计算指定截面的剪力时，右段梁向下的荷载产生正剪力。
（）梁纯弯曲时中性轴一定通过截面的形心。
（）简支梁上受一集中力偶作用，当集中力偶在不改变转向的条件下，在梁上任意移动时，弯矩图发生变化，剪力图不发生变化。
（）图示梁弯矩图的B点是二次抛物线的顶点。
（）图示梁段上集中力偶作用点两侧的弯矩直线一定平行。
（）(M图)下列三种斜梁A截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁B截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁C截面的弯矩均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2梁弯曲时的内力有剪力和弯矩，剪力的方向总是和横截面相切，而弯矩的作用面总是垂直于横截面。
（）一端（或两端）向支座外伸出的简支梁叫做外伸梁。
（）##√悬臂梁的一端固定，另一端为自由端。
（）##√弯矩的作用面与梁的横截面垂直，它们的大小及正负由截面一侧的外力确定。
（）##√弯曲时剪力对细长梁的强度影响很小，所以在一般工程计算中可忽略。
（）##√图示，外伸梁BC段受力F作用而发生弯曲变形，AB段无外力而不产生弯曲变形（）##×由于弯矩是垂直于横截面的内力的合力偶矩，所以弯矩必然在横截面上形成正应力。
（）##√抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（）##×无论梁的截面形状如何，只要截面面积相等，则抗弯截面系数就相等。
（）##×梁弯曲变形时，弯矩最大的截面一定是危险截面。
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形基本概念题一、选择题1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。
2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。
题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。
题3图4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。
A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数-26-题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( )A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。
关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。
A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
材料力学课件—— 弯曲强度计算
q Ba YB QB左 B MB左
B左截面
C YA - QB左 0
qa 2 YAa - M B左 0
Q B左
YA
3 qa 2
M B左
1 qa2 2
（2）计算各截面内力（续）
qa 2
A
a
YA
q
Ba C YB
QB右 q
MB右B
aC
B右截面
QB右 - qa 0
M B右
qa
1 2
a
0
Q
B右
第五章 弯曲强度计算
第一部分 弯曲内力 (Bending forces)
第一节 概述 第二节 静定梁的基本形式 第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力 第四节 剪力图和弯矩图 第五节 剪力、弯矩和分布载荷间的关系 第六节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第七节 刚架的弯矩图、轴力图
第一节 概述
构件 （Component, Structural member） 杆 （bar） 梁 （beam）
RB
r
M0b/l M0a/l
m0/l
aM0= Par b
Ax C
B
RA
l
RB
Q
(+)
x
M
(+)
(-)
x
例 为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考 虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图所示。试 作轴的剪力图和弯矩图。
a
b
aP b
A
C
RA x
l
RB
aP b
A
C
RA x
l
RB
Q
(+)
qa
M B右
1 qa 2 2
材料力学专项习题练习弯曲应力解读
材料力学专项习题练习弯曲应力解读(C)弯曲应力1. 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹性模量2B A E E =。
求在外力偶矩e M 作用下，A 、B 中最大正应力的比值maxminA B σσ有4个答案： (A)16； (B)14； (C)18； (D)110。
答：B2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：答：C3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢尺点A 处的应变为11000-，则该曲面在点A 处的曲率半径为 mm 。
答：999 mm4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大正应力之比max a max b ()()σσ= 。
答：2/15. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。
试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。
证：412, (d ) 1 8203B A z z zMy M Mt M y yb y I I I σ==?=?? 4690z I t=, 41411 82088%3690M t M t =??≈ 其中：积分限1 , 22h hB t A M =+=为翼缘弯矩(a)6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。
解：1M EIρ= 而M Fa = 4840.78510 m , 0.654 kN 64d EI I F aπρ-==?==33max 80.654100.220102220.78510M d Fad I I σ--====??7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度/3l 。
试问F解：截面C 曲率为零2(/3)0, 326C Fl gA l gAlM F ρρ=-==8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用/3F 向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。
材料力学 弯曲强度习题课
所以此梁的容许荷载为： 所以此梁的容许荷载为：
[Fp] = 56.88kN
Exam ple 4.17
M
如图简支梁由两根槽钢焊接成工字形截面。 如图简支梁由两根槽钢焊接成工字形截面。 5kN/m； 梁上的均布荷载分布集度q＝5kN/m；此 =7.5kN·m; m;若 外，左段还作用一个力偶m=7.5kN m;若 已知钢材的容许应力[ ]=120MPa,试选择 已知钢材的容许应力[σ]=120MPa,试选择 此梁的槽钢型号。 此梁的槽钢型号。 q 1.求支座反力 求支座反力： 解：1.求支座反力：
对于上下不对称截面梁， 对于上下不对称截面梁，其最大拉应力和最大压应力并 不发生在同一个截面上，而且数值也不相等。 不发生在同一个截面上，而且数值也不相等。
（发生在B截面的下缘） 最大压应力： 最大压应力： 3 －3 Mmax y1 25×10 ×142×10 Pa σc max = = = 136M −5 Iz 2.61×10 注意： 注意：
Exam ple 4.15
图示铸铁的“ 形截面梁抗拉 形截面梁抗拉、 图示铸铁的“T”形截面梁抗拉、抗压容许 应力分别[ [σ 应力分别[σt]=30MPa, [σc]=60MPa; “T” T 形截面对中性轴的惯性矩I 形截面对中性轴的惯性矩Iz=763cm4，y1＝ 试校核此梁的强度。 8.8cm,y2=5.2cm, 试校核此梁的强度。 1.求支座反力 解：1.求支座反力
木梁。 根据切应力互等定理， 4. 木梁。（根据切应力互等定理，在梁的纵截面上存在层
间切应力。木材在顺纹方向的抗剪能力很差， 间切应力。木材在顺纹方向的抗剪能力很差，在横力作用下会 产生纵向剪切破坏而导致分层。） 产生纵向剪切破坏而导致分层。）
弯曲强度习题课
A y CdA 0
I z I z b2 A
C
4 组合截面的惯性矩和惯性积
当截面由ｎ个简单图形组合而成时，截 面对于某根轴的惯性矩等于这些简单图形对 于该轴的惯性矩之和。即:
I y (I y )1 (I y ) n (I y ) i I z (I z )1 (I z ) n (I z ) i I yz (I yz )1 (I yz ) n (I yz ) i
(Wz ) New
Wz 9
( max ) New 3 max 306 MPa
例5 外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力 σmax=50MPa，求梁中最大剪应力及所在位置。 解： 1) 外力分析 4 R B P( ) 3 1 R A P( ) z' 3 2) 内力分析(Q、M图) 3) 求形心位置
F dA
A1
M ydA
A1
例2. 钢质悬臂梁如图所示， [σ ]＝170MPa，若横截面为： ①圆形，②正方形，③h/b=2的矩形，④工字钢；试分别选 择尺寸，并比较耗费的材料。 解：(1) 内力分析(作M图)
20kN/m
Mmax=40kN.m
A 2m
M
B
(2) 强度计算
max
max
例6 槽形铸铁外伸梁如图所示，已知： P=30kN， a=1m， h=200mm， y=53.2mm， IZ=2.8×107mm4， [σ+]=40MPa， [σ-]=170MPa； 试用正应力强度条件校核梁的强度。 解： 1) 外力分析：
P R A ( ) 4 3P RB ( ) 4
K
bh 3 IZ 12
弯曲强度条件例题
例题如图（a ）所示简支梁，截面为22a 工字钢，已知MPa 160][=σ，[]100MPa τ=，试确定许可荷载[]F 。
解：（1）求支座反力。
由静力平衡方程求得支座反力分别为：()Ay F F =↑，()
By F F =↑
（2）绘制梁的内力图，确定最大的内力值及其所在位置（危险截面）。
根据梁上所受外力作梁的剪力图和弯矩图如图（b ）、（c ）所示，由内力图可知梁内最大剪力和最大弯矩分别为：
()kN Qmax F F =，()02kN.m z max M .F =
例题图 （3）按正应力强度条件求许用荷载。
查型钢表得33098cm z W .=由正应力强度条件[]z max z M W σ≤得：
630210*********.F .⨯≤⨯⨯ 即： 361603098102478kN 0210
.F ..⨯⨯≤=⨯ 所以初步取[]2478kN F .=
（4）进行切应力强度校核。
查型钢表得
3406192cm 1777
z
z max I .S .== 75mm b .=
梁的最大切应力为：
32478101721MPa 1921075
Q max z max max z F S ..I b ..τ⨯===⨯⨯ 显然，梁中[]1721MPa 100MPa max .ττ=>=，不满足切应力强度条件。
（5）按切应力强度条件重新确定许用荷载[]F 。
由切应力强度条件[]z
Q max z max I F b S τ≤得： 3101007519210F ..⨯≤⨯⨯⨯ 即144kN F ≤ 综合考虑梁同时满足正应力和切应力强度条件，该梁的许用荷载为[]144kN F =。
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maxM W m z a x71.9 4 01130 0612.95 MP
正应力为：超过容许值的 的百分比为
12.951204.9%5% 120
（发生在B截面的下缘）
注 c 意m ： ax M m Izy a1x 2 5 1 2.6 30 1 1 14 5 0 12 － 0 313 M 6P
对于上下不对称截面梁，其最大拉应力和最大压应力并
不发生在同一个截面上，而且数值也不相等。
图示铸铁的“T”形截面梁抗拉、抗压容许
应力分别[t]=30MPa, [c]=60MPa; “T” 形截面对中性轴的惯性矩Iz=763cm4，y1＝ 8.8cm,y2=5.2cm, 试校核此梁的强度。
1m
F By
50
62.5 25
B
MA0 FBy11.5k 2N MB0 FAy3.75kN
2.作内力图：
极值弯矩为
FQ图
M (c)1.1 4 kN m 最大弯矩值为：
M图
Mmax2k 5N m
200
3.计算截面的几何性质：
形心坐标为：
30
yc z
c
yc20 30 0 1＋ 5 16 20 0 1＝ 1 16040 m 8 m 20y1 20 30 0 16 200
M图 满足强度条件要求。
2.5
截面为No 20 a的工字钢梁受力如图，
已知钢材的容许应力[]＝160MPa，试
求此梁的容许荷载[Fp]
F Ay
Fp
A
2m
2m
FBy 解：1.求支座反力：
MB0 FAy Fp
B
3
FP
2m
MA0
FBy Fp 3
3
2 F p 2.作弯矩图，得最大弯矩为：
2
3 2 Fp
单抗％个弯。槽模所钢量以所则上必为述需：的问最题小中采W用1zNo121W 0槽z 钢4仍1.6是c可m3 以查接槽受钢型的钢。表这，种符处合理要方求法的最只小能型用号于为钢No材1。2.6，
其抗弯截面模量为W1z＝39.7cm3，则梁的抗弯截
面模量为Wz＝ 2W1z＝79.4cm3。
4.强度校核： 梁中的最大
③确定许用荷载
1.脆性材料的抗拉能力远低于抗压能力，所以一 般来说，脆性材料不适于制成抗弯构件，即使在 抗弯状态下，也不应当采用对称截面，而应该采 用不对称等强度设计。
2.对于用脆性材料制成的上、下不对称截面梁，
由于其抗拉与抗压容许应力是不相同的，最大拉
应力和最大压应力也不一定在同一平面，所以应
分别进行拉、压强度计算，
FAy 9kN
FBy 4kN
A
C
1m
1m
BD 1m
解：1.求支座反力
MA0 FBy1.05kN
MB0 FAy2.5kN
2.作弯矩图
4
M B4kN mM c2.5kN m
截面上下不对称
M图
2.5
B，C两个截面均可能为危险截面。
M B4kN mM c2.5kN m
Iz=763cm4，y1=8.8cm, y2=5.2cm
1. 相对于截面高度而言长度较短的梁。（梁越短，
可承受的横力越大，则剪力也就越大。）
2. 荷载靠近支座的梁。（荷载越靠近支座，弯矩就越
小，剪力的作用就凸现出来了。）
3. 截面中性层的宽度较小的梁。（从弯曲切应力公
式可以看出，b越小，切应力就越大。所以有型钢腹板的厚度都 是按切应力强度条件设计的，通常不进行切应力强度计算。）
c
[t]=30MPa, [c]=60MPa
3校核强度
y2
z .5 1 73 0 6 8 1 .8 3 8 0 （1 发－ 生2 0 在 C2 截面.8 的8 M 下缘） P t
最大压应力：
cm aM x I B zy 14 4 .0 1 73 0 6 8 1 .8 3 8 0 1 （发－ 2 生0 在4 B截.1 面6 M 的下缘 ）P c
3m
B
MA0 FBy10kN
F Ay
5
1m
7.5 10
FBy MB0 FAy5kN
FQ图 2.作弯矩图，得
10
最大弯矩为：
M图
M ma x1k 0N m
3.选择型刚型号 根据强度条件，梁所必需的
小过W 变容z 形许M 条应 m 件力a 下，1 x 1， 但 2 0 1 工是13 0 6 程超0 0 最规过8 小.范的3 抗3 允百1 弯 许分截6 0 m 其 比面3 模工不8 量作得.3 ，3 c 应大为3 力于m ：超5
3
Fp2Mmax56.88kN
3 2 Fp
所以此梁的容许荷载为： Fp5.6 8k8N
如图简支梁由两根槽钢焊接成工字形截面。
梁上的均布荷载分布集度q＝5kN/m；此
外，左段还作用一个力偶m=7.5kN·m;若
已知钢材的容许应力[]=120MPa,试选择
此梁的槽钢型号。
M
q
解：1.求支座反力：
A
弯曲强度计算习题课
梁的弯曲正应力强度条件：整个梁中最危险 截面上的最危险点的 (全梁最大) 工作应力 max不得超过材料的抗弯容许应力[]，即：
max （4-8）1上下对称 塑性材强料度条件的应用：
①强度校核
maxIz
M ym
Mmax （4-9）②设计截面
ax
Wz 2上下不对称
塑性材料 脆性材料
maxt t为抗拉容许应力
maxc
（4-9）b
c为抗压容许应力
梁的切应力的强度计算
梁的最大剪应力发生在剪力最大截面的中
性轴上：梁的剪切强度条件：
m
ax
Fsm
S*
ax zm
Izb
ax
（4-17）
对于细长梁控制梁强度的主要因素是弯 曲正应力。
在以下几种情况下，要注意梁的剪应力强度 校核：
4. 木梁。（根据切应力互等定理，在梁的纵截面上存在层
间切应力。木材在顺纹方向的抗剪能力很差，在横力作用下会 产生纵向剪切破坏而导致分层。）
“T”形截面梁受力如图，试求梁上的最大拉 应力和最大压应力，并指明产生于何处。
q5k 0N m
解：1.求支座反力
A
2m
F Ay
37.5
c
0.75m
c
14.1
B
Mmax 3 Fp
3.计算截面的几何性质：
查表可知No 20 a工字钢截 面得抗弯截面模量为：
2 Mmax 3 Fp
Wz 23c7m3
4.确定荷载
根据强度条件，此梁所能承受的最大弯矩为：
M m a W z x 1 1 6 6 2 0 0 1 3 6 3 0 . 9 7 32k F p7 m 2 N
距中性层最远的距离为：
y
y114m 2 m
对中性轴z的惯性矩为：
Iz 2 0 33＋ 0 0 2 0 3 0 3 0 2 3 2 1 036 10 6 2 0 6 0 2
12
12
2.61170mm 4
M (c)1.1 4 kN m
200
25
Mcmax2k 5N m 30 M图
y114m 2 Bm
160
c
20
14.1
Iz 2.61 17 0mm 4
y
4.求应力 最大拉应力：
z
t m a x
C截面
cmax
B截面
tm aM xI (cz)y11.2 1 4 . 11 6 3 1 0 7 1 0 1 4 1 1 0 2 － （20 3 发生 在7 C截.面6 6 的M 下缘） P
最大压应力：