自动控制理论第2章
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自动控制理论第二章习题答案
Q=K P
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
第2章 自动控制理论基础
C (S ) K G (S ) R( S ) S 1
如直流电机的励磁回路（回路电感L和电阻R）：当励磁电
压输入u时，其输出励磁电流i就相当于一个惯性环节。
di(t ) L Ri (t ) u (t ) dt
I (S ) 1 G (S ) U (S ) L S 1 R
Z1， Z2 ， Z m为传递函数零点； P 1，-P 2， Pn为传递函数极点
由前述讨论可知：典型二阶系统的全部性能只由两个参数：ζ、ω n所确 定，而根据闭环极点S1、S2和S平面上的位置又可确定出对应的ζ、ω n，
因此，只要闭环极点的位置确定，该系统的全部性能也就被完全确
如下述电路：
Ui(t) C
C (S ) G(S ) S R( S )
R Uo(t)
1 uo (t ) ui (t ) dt uo (t ) C R
G (S )
UO (S ) RCS U i (S ) RCS 1
相当于一个惯性环节和一个微分环节的组合，只有当RC 远远小于1时，相当于微分环节。
二
一阶系统暂态性能（第三讲）
微分方程为：
T
C (S ) K 传递函数为： G ( S ) R( S ) TS 1
C
dc(t ) c(t ) Kr (t ) dt
R(S) — R u1(t)
K C(S) TS
实例：如右图所示的电路图，微分方程 为：
2 2 1
du (t ) RC u (t ) u (t ) dt U (S ) 1 传递函数为： G (S ) U ( S ) RCS 1
开环传递函数（G0(S)）：反馈信号B(S)与误差信号E(S)之比。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制理论第二章2
+
斜率1/T
0T
t
三、积分环节
特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程
dc(t)K(t) r 或 c(t)Kr(t)dt
dt
传递函数： G(s) C(s) K R(s) s
单位阶跃响应：
r(t)1(t)
R(s)1 s
C(s)G (s)R(s)K1 ss
c(t) Kt
常见物理系统：电机拖动系统
—阻尼系数（阻尼比）
单位阶跃响应：令K=1
1
1
C (s)G (s)R (s)T2s22T s1s
C(s)
s2
2 n
2 nsn
1 s
1s s2
s2 n 2 nsn
n
1 T
G (s ) 1 s (sn )2 s n n1 2 2 (sn )2 n n1 2 2
令： dn 12
G(s(t)1(t)
R(s)1 s
C (s)G (s)R (s)s1 s
c(t)(t)
输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：
c(t)d1(t)(t)
dt
几个实际微分的例子
C
i
u(t)
R
y(t)
RC串联电路
Y(s) R RCs U(s) 1sCR RCs1
Tdc(t)c(t)K(rt) dt
传递函数： G(s)C(s) K R(s) Ts1
T —时间常数
K—比例系数
单位阶跃响应：
r(t)1(t)
R(s)1 s
C (s)G (s)R (s) K1 T s1 s
C(s)K 1 ss1 1/T
c(t)K (1et/T)
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
自动控制理论第一、二章练习题
⾃动控制理论第⼀、⼆章练习题《⾃动控制理论》（⼆）第⼆章测试题⼀、选择题1、⽅框图化简时，并联连接⽅框总的输出量为各⽅框输出量的（） A ．乘积 B ．代数和 C ．加权平均 D ．平均值2、决定系统传递函数的是系统的（） A ．结构 B ．参数 C ．输⼊信号 D ．结构和参数3、终值定理的数学表达式为（） A ．)(lim )(lim )(0s X t x x s t →∞→==∞B ．)(lim )(lim )(s X t x x s t ∞→∞→==∞C ．)(lim )(lim )(0s sX t x x x t ∞→→==∞D ．)(lim )(lim )(0s sX t x x s t →∞→==∞4、梅森公式为（） A ．∑=?nk k k p 1B ．∑=??nk k k p 11C ．∑=?nk k11D ．∑?kkp 15、斜坡输⼊函数r(t)的定义是（）A ．t t r =)(B ．)(1·)(0t x t r =C ．2)(at t r =D ．vt t r =)(6、单位抛物线输⼊函数 r(t) 的数学表达式是 r(t) ＝（） A ． at 2 B ． Rt 2 C ．1/2t 2 D ． t 27、单位阶跃函数的拉⽒变换是（） A ． B ． C ．1/sD ． 18、⽐例微分控制器中，微分时间常数越⼤，则系统的（）A ．动态偏差越⼩B ．动态偏差越⼤C ．振荡越⼩D ．过渡过程缩短 9、同⼀系统，不同输⼊信号和输出信号之间传递函数的特征⽅程（） A ．相同 B ．不同 C ．不存在 D ．不定 10、控制系统中 , 基本环节的划分，是根据（） A ．元件或设备的形式 B ．系统的物理结构 C ．环节的连接⽅式D ．环节的数学模型11、单位斜坡函数 r(t) 的数学表达式是 r(t)= （） A ． a 2t B ． t 2 C ． t D ． vt12、若受控对象存在较⼤的延迟和惯性，效果较好的控制⽅式是（）A ．⽐例控制B ．积分控制C ．⽐例微分控制D ．⽐例积分控制13、 PI 控制器的传递函数形式是 ( ) A ． 5+3s B ． 5+4s2 C ．D ．14、决定系统静态性能和动态性能的是系统传递函数的 ( )A ．零点和极点B ．零点和传递系数C ．极点和传递系数D ．零点、极点和传递系数15、令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的 ( ) A ．代数⽅程 B ．特征⽅程 C ．差分⽅程D ．状态⽅程16、研究⾃动控制系统时常⽤的典型输⼊信号是（）A ．脉冲函数B ．斜坡函数C ．抛物线函数D ．阶跃函数17、PID 控制器的传递函数形式是（）A ．5+3sB ．5+3s 1C ．5+3s+3s 1D ．5+1s 118、拉⽒变换将时间函数变换成（） A ．正弦函数B ．单位阶跃函数C ．单位脉冲函数D ．复变函数19、线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下（） A ．系统输出信号与输⼊信号之⽐ B ．系统输⼊信号与输出信号之⽐C ．系统输⼊信号的拉⽒变换与输出信号的拉⽒变换之⽐D ．系统输出信号的拉⽒变换与输⼊信号的拉⽒变换之⽐ 20、PID 控制器中，积分控制的作⽤是（） A ．克服对象的延迟和惯性 B ．能使控制过程为⽆差控制 C ．减少控制过程的动态偏差D ．使过程较快达到稳定21、PD 控制规律指的是( )。
第2章 自动控制系统的性能指标及要求
3. 等幅振荡过程 被控变量在给定值附近来回波动，且波动幅度保持不变， 这种情况称为等幅振荡过程，如图2-4（c）所示。 4. 发散振荡过程 被控变量来回波动，且波动幅度逐渐变大，即偏离给定值 越来越远，这种情况称为发散振荡过程，如图2-4（d）所示。
图2-4 过渡过程的几种基本形式
2.4 自动控制系统的性能指标
在随动控制系统中，通常用超调量来描述被控变量偏 离给定值最大程度。在图2-5中超调量用B来表示。从图中 可以看出，超调量B是第一个峰值A与新稳定值C之差，即 B=A－C。
如果系统的新稳定值等于给定值，那么最大偏差A也 就与超调量B相等了。一般超调量以百分数表示，即
B 100% C
(2-2)
指标采用偏差积分性能指标的形式。 下列公式中，式中，J为目标函数值；e为动态偏差。
J f (e, t )dt
0
(2-5)
通常采用4种表达形式：
（1）偏差积分（IE）
f (e, t ) e, J edt
0
(2-6) (2-7)
（2）平方偏差积分（ISE）
f (e, t ) e 2 , J e 2 dt
图2-1 控制系统动态过程曲线
图2-2 控制系统动态过程
由于被控对象的具体情况不同，各系统对稳、快、准 的要求应有所侧重。而且同一个系统，稳、快、准的要求 是相互制约的。提高动态过程的快速性，可能会引起系统 的剧烈振荡，改善系统的平稳性，控制过程又可能很迟缓 ，甚至会使系统的稳态精度很差。分析和解决这些矛盾， 将是自动控制理论学科讨论的重要内容。
稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当 动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。控制 系统的过渡过程是衡量控制性能的依据。由于在多数情 况下，都希望得到衰减振荡过程，所以取衰减振荡的过 渡过程形式来讨论控制系统的性能指标。通常在阶跃函 数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为，阶 跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶 跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其它形 式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。
自动控制理论邹伯敏PPT第二章
等其它模型均由它而导出 状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式
建立系统数学模型的方法
实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理
定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
即
Gs C Rssb a00ssm n b a1 1ssm n 1 1
bm 1sbm an1san
Gs就是系统的传递函数。
（ 2-30）
其中 C， sLCt;RsLRt它们之间的传
方框图表示。
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
15
自动控制理论
由式（2-17）减式（2-15），式（2-17）减式（2-15）后得
iBRNdd t u1 E GC 1
（ 2-19） （ 2-20）
式（2-19）、（2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点 A处受到△u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐 标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。 式中N为励磁绕组的匝数。
n0
1 Ce
EG
（n0为电动机的空载转速）
（2-9 ）
测速发电机
输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假设 测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
11
自动控制理论
而
ufn an
(2-10)
ue ug-ufn
(2-11)
建立系统数学模型的方法
实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理
定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
即
Gs C Rssb a00ssm n b a1 1ssm n 1 1
bm 1sbm an1san
Gs就是系统的传递函数。
（ 2-30）
其中 C， sLCt;RsLRt它们之间的传
方框图表示。
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
15
自动控制理论
由式（2-17）减式（2-15），式（2-17）减式（2-15）后得
iBRNdd t u1 E GC 1
（ 2-19） （ 2-20）
式（2-19）、（2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点 A处受到△u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐 标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。 式中N为励磁绕组的匝数。
n0
1 Ce
EG
（n0为电动机的空载转速）
（2-9 ）
测速发电机
输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假设 测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有
2019/11/2
第二章 控制系统的数学模型
11
自动控制理论
而
ufn an
(2-10)
ue ug-ufn
(2-11)
自动控制理论习题课
s3 5s2 5nsn2(5n)0 比较可得： n2(55nn)66K
2.45, K 5
600 600
2 5 3
0.785, K 0.352
0.5 j6.5
也可以采用试探求取。
三个根
n1.2,K0.912n 1.20.50.6
改变Kt值，即改变系统的闭环极点，系统的等效传递函数：
D(s)s2(15Kt)s5K0
G等(s)s25K sts5Ks2
5Kts s4
2.51
开环零极点： s1,20.5j6.5,z0
分会点： d6.5,Kt 2.416
0.5 j6.5 175.60
起始角：
系统的开环阶跃响应为 h(t)11e2t 2e3t 62 3
系统的闭环传递函数 (s)(s2)sK ( （ 3)s 1 K )（ s1)
系统的稳态终值：
c ( ) l s 0 s i ( s ) m R ( s ) l s 0 s i ( s 2 m ) s K （ ( 3 ) s 1 K ) （ s 1 ) 4 s 6 4 K K 7 4
p 1 G 1 ( s ) G 3 ( s ) 1 , 1p 2 G 2 ( s ) G 4 ( s ) 2 , 1 p 3 G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s ) 3 , 1p 4 G 2 ( s ) G 1 ( s ) G 3 ( s ) 4 , 1
自动控制理论习题课
第二章 控制系统数学模型 本章重点与难点 1.传递函数的定义、传递函数与动态结构图的概念
传递函数只适用线性定常系统；取决于系统的结构和参 数，与输入量的大小和形状无关；只反映系统零初始状态 下的动态特性；不同的系统可以用相同的传递函数。
2.45, K 5
600 600
2 5 3
0.785, K 0.352
0.5 j6.5
也可以采用试探求取。
三个根
n1.2,K0.912n 1.20.50.6
改变Kt值，即改变系统的闭环极点，系统的等效传递函数：
D(s)s2(15Kt)s5K0
G等(s)s25K sts5Ks2
5Kts s4
2.51
开环零极点： s1,20.5j6.5,z0
分会点： d6.5,Kt 2.416
0.5 j6.5 175.60
起始角：
系统的开环阶跃响应为 h(t)11e2t 2e3t 62 3
系统的闭环传递函数 (s)(s2)sK ( （ 3)s 1 K )（ s1)
系统的稳态终值：
c ( ) l s 0 s i ( s ) m R ( s ) l s 0 s i ( s 2 m ) s K （ ( 3 ) s 1 K ) （ s 1 ) 4 s 6 4 K K 7 4
p 1 G 1 ( s ) G 3 ( s ) 1 , 1p 2 G 2 ( s ) G 4 ( s ) 2 , 1 p 3 G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s ) 3 , 1p 4 G 2 ( s ) G 1 ( s ) G 3 ( s ) 4 , 1
自动控制理论习题课
第二章 控制系统数学模型 本章重点与难点 1.传递函数的定义、传递函数与动态结构图的概念
传递函数只适用线性定常系统；取决于系统的结构和参 数，与输入量的大小和形状无关；只反映系统零初始状态 下的动态特性；不同的系统可以用相同的传递函数。
第二章-1-建模基本概念-电路-传递函数-方块图
2
1 RCs RC 1
电路及组成
例2：电阻电感电容（RLC）串联电路
1 LDi Ri ie CD
uR
L 1 DuR uR e R RCD
d 2uc (t ) duc (t ) T1T2 T2 uc (t ) e 2 dt dt
• 上述方程是线性定常微分方程。由这种方程描述的系统又称为 线性时不变（ linear time-invariant, LTI ）系统。由二阶微 分方程描述的系统称为二阶系统。
的方块图。
U
ei
i
R
U
o
I
1
Cs
e0
1 U0 I , Cs
U
i
Ui Uo I R
I
1 Cs
1 R
U
o
传递函数
U o (s) 1 U i(s) RCs 1
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
考察标号为***的方程（ 称为一阶微分方程 ）
de0 T e0 ei dt
控制轨迹
***
19
电路及组成
一阶系统的阶跃响应
y x
A KA 0.632KA
de0 T e0 ei d dt
***
y (t ) KA(1 e
T1 T2
t
T
)
t 时域响应分析： 当 t=0, y(0)=0, 当 t=T, , 当
t
dy dt
t
t 0
KA T dy dt 0
y (T ) KA(1 e 1 ) 0.632 KA
图 2.1
va
LD R LD
vb
16
2024版第2章自动控制理论基础
根据控制信号的性质，自动控制系统可分为模拟控制系统和数字控制系统；根据被控对象的特性，可分为线性系 统和非线性系统；根据系统参数是否随时间变化，可分为定常系统和时变系统；根据系统输入输出的数量，可分 为单输入单输出系统和多输入多输出系统。
自动控制应用领域
工业自动化
自动控制技术在工业自动化领域应用 广泛，如自动化生产线、工业机器人、 自动化仓储等。
建模方法包括机理建模和实验建模两种。 机理建模是根据系统的物理或化学原理 建立数学模型，适用于对系统内部机理 有深入了解的情况。实验建模则是通过 系统输入输出数据的测量和分析，建立 系统的数学模型，适用于对系统内部机 理了解不足的情况。
线性系统稳定性分析
稳定性的概念与分类
稳定性分析方法
稳定性是指系统在受到扰动后，能否 恢复到原来的平衡状态或趋近于某个 稳定的平衡状态。根据稳定性的不同 特点，可以将稳定性分为渐近稳定、 指数稳定、有界稳定等。
04
智能家居
自动控制技术在智能家居领域的应用 包括智能照明、智能空调、智能安防 等。
02
自动控制基本原理
反馈控制原理
03
反馈控制定义
通过将被控对象的输出信号与期望信号进 行比较，产生误差信号，再利用误差信号 对被控对象进行控制的方式。
反馈控制特点
具有抑制干扰、减小误差、提高系统稳定 性等优点，但可能产生滞后现象。
稳定性分析方法包括时域分析法、频 域分析法和根轨迹法等。其中，时域 分析法是通过求解系统的微分方程， 分析系统的时间响应来判断稳定性； 频域分析法是通过分析系统的频率响 应特性来判断稳定性；根轨迹法是通 过绘制系统特征方程的根轨迹图来判 断稳定性。
稳定性判据
稳定性判据是用来判断线性系统稳定 性的重要依据，包括劳斯判据、赫尔 维茨判据、奈奎斯特判据等。这些判 据可以通过分析系统的特征方程或频 率响应特性，得出系统稳定的条件。
自动控制应用领域
工业自动化
自动控制技术在工业自动化领域应用 广泛，如自动化生产线、工业机器人、 自动化仓储等。
建模方法包括机理建模和实验建模两种。 机理建模是根据系统的物理或化学原理 建立数学模型，适用于对系统内部机理 有深入了解的情况。实验建模则是通过 系统输入输出数据的测量和分析，建立 系统的数学模型，适用于对系统内部机 理了解不足的情况。
线性系统稳定性分析
稳定性的概念与分类
稳定性分析方法
稳定性是指系统在受到扰动后，能否 恢复到原来的平衡状态或趋近于某个 稳定的平衡状态。根据稳定性的不同 特点，可以将稳定性分为渐近稳定、 指数稳定、有界稳定等。
04
智能家居
自动控制技术在智能家居领域的应用 包括智能照明、智能空调、智能安防 等。
02
自动控制基本原理
反馈控制原理
03
反馈控制定义
通过将被控对象的输出信号与期望信号进 行比较，产生误差信号，再利用误差信号 对被控对象进行控制的方式。
反馈控制特点
具有抑制干扰、减小误差、提高系统稳定 性等优点，但可能产生滞后现象。
稳定性分析方法包括时域分析法、频 域分析法和根轨迹法等。其中，时域 分析法是通过求解系统的微分方程， 分析系统的时间响应来判断稳定性； 频域分析法是通过分析系统的频率响 应特性来判断稳定性；根轨迹法是通 过绘制系统特征方程的根轨迹图来判 断稳定性。
稳定性判据
稳定性判据是用来判断线性系统稳定 性的重要依据，包括劳斯判据、赫尔 维茨判据、奈奎斯特判据等。这些判 据可以通过分析系统的特征方程或频 率响应特性，得出系统稳定的条件。
第二章-3-系统传递函数的计算-非线性系统线性化
(a)原始结构图 (b) 等效结构图 图(3) 引出点后移的变换
挪动后的支路上的信号为:
R
1 G(s) R R G(s)
15
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
d. 相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改 变引出信号的性质。如图(4)所示。
图(4) 相邻引出点的移动
自动控制理论 自动控制
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
信息不变原理：变换前后信息不改变 E1＝u+H2y;
H1 (s) H 2 (s) 1 G (s) H 2 (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
E2＝{u(1/H2)+y}H2=u+H2y
10
系统传递函数的计算
方块图简化
u1 u2
引出点
y
引出点后移
u1
H (s)
??
y
H (s)
1 R1C1s 1 GLOOP1 ( s ) 1 1 R1C1s 1 R1C1s
1 R2C2 s 1 GLOOP 2 ( s) 1 1 R2C2 s 1 R2C2 s
29
系统传递函数的计算
系统传递函数
例4: 推导如下图所示系统的传递函数
自动控制理论 (2)
第一章自动控制系统概述1、组成自动控制系统的基本元件或装置有哪些？各环节的作用？控制系统是由控制对象和控制装置组成，控制装置包括：(1) 给定环节给出与期望的输出相对应的系统输入量。
(2) 测量变送环节用来检测被控量的实际值，测量变送环节一般也称为反馈环节。
(3) 比较环节其作用是把测量元件检测到的实际输出值与给定环节给出的输入值进行比较，求出它们之间的偏差。
(4) 放大变换环节将比较微弱的偏差信号加以放大，以足够的功率来推动执行机构或被控对象。
(5) 执行环节直接推动被控对象，使其被控量发生变化。
常见的执行元件有阀门，伺服电动机等。
2、什么是被控对象、被控量、控制量、给定量、干扰量？举例说明。
被控对象指需要给以控制的机器、设备或生产过程。
被控量指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理量，被控量又称输出量、输出信号。
控制量也称操纵量，是一种由控制器改变的量值或状态，它将影响被控量的值。
给定值是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量。
给定值又称输入信号、输入指令、参考输入。
除给定值之外，凡能引起被控量变化的因素，都是干扰，干扰又称扰动。
比如一个水箱液位控制系统，其控制对象为水箱，被控量为水箱的水位，给定量是水箱的期望水位。
3、自动控制系统的控制方式有哪些？自动控制系统的控制方式有开环控制、闭环控制与复合控制。
4、什么是闭环控制、复合控制？与开环控制有什么不同？若系统的输出量不返送到系统的输入端（只有输入到输出的前向通道），则称这类系统为开环控制系统。
在控制系统中，控制装置对被控对象所施加的控制作用，若能取自被控量的反馈信息（有输出到输入的反馈通道），即根据实际输出来修正控制作用，实现对被控对象进行控制的任务，这种控制原理被称为反馈控制原理。
复合控制是闭环控制和开环控制相结合的一种方式，既有前馈通道，又有反馈通道。
5、自动控制系统的分类（按元件特性分、按输入信号的变化规律、按系统传输信号的性质）？按系统输入信号的时间特性进行分类，可分为恒值控制系统和随动系统。
第二章-5-信号流图
H 3 (s)
H 5 (s)
y
H4
22
信号流图
梅逊增益公式：例子
例1
u 1 1
H 1 (s)
H 3 (s) H 2 (s)
H6
H 5 (s)
y
H4
步骤 1：确定回路增益（-- 图中紫色所示）
回路 1: H1 ( s ) H 3 ( s )
回路 2 : H1 ( s ) H 2 ( s ) H 4 ( s )
传输增益可以通过线性代数处理方法获得。 传输增益可以通过线性代数处理方法获得 我们也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果。 对于由大量线性方程描述的系统，我们可以通过“观察” 对于由大量线性方程描述的系统 我们可以通过“观察” SFG 求得
系统输出信号，在这种情况下，信号流图分析方法将有很大的优势。
y
H4
步骤 3：确定与通道 1 不接触的回路——无 步骤 4：确定与通道 2 不接触的回路——无 步骤 5：分别计算通道 1 和 2 的余子式
i ( s ) 1 与通道 i 不接触的回路增益
所有2个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积 所有3个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积
24
信号流图
梅逊增益公式：例子
在此例中，所有回路均与前向通道接触，因此有 1 2 1
步骤 6：计算系统的流图特征式
( s ) 1 所有单回路增益 所有两两互不接触回路增益之积
所有三个互不接触回路增益之积
(s) 1 H 1H 3 H 1 H 2 H 4
信号流图
自动控制 自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
H 5 (s)
y
H4
22
信号流图
梅逊增益公式：例子
例1
u 1 1
H 1 (s)
H 3 (s) H 2 (s)
H6
H 5 (s)
y
H4
步骤 1：确定回路增益（-- 图中紫色所示）
回路 1: H1 ( s ) H 3 ( s )
回路 2 : H1 ( s ) H 2 ( s ) H 4 ( s )
传输增益可以通过线性代数处理方法获得。 传输增益可以通过线性代数处理方法获得 我们也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果。 对于由大量线性方程描述的系统，我们可以通过“观察” 对于由大量线性方程描述的系统 我们可以通过“观察” SFG 求得
系统输出信号，在这种情况下，信号流图分析方法将有很大的优势。
y
H4
步骤 3：确定与通道 1 不接触的回路——无 步骤 4：确定与通道 2 不接触的回路——无 步骤 5：分别计算通道 1 和 2 的余子式
i ( s ) 1 与通道 i 不接触的回路增益
所有2个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积 所有3个互不接触且与通道 i 不接触的回路增益之积
24
信号流图
梅逊增益公式：例子
在此例中，所有回路均与前向通道接触，因此有 1 2 1
步骤 6：计算系统的流图特征式
( s ) 1 所有单回路增益 所有两两互不接触回路增益之积
所有三个互不接触回路增益之积
(s) 1 H 1H 3 H 1 H 2 H 4
信号流图
自动控制 自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
自动控制原理课后答案第2章
2
最大优点是通过梅逊增益公式可以很方便快捷地求出系统的传递函数。 使用这种方法的关键 在于对系统回环的判断是否正确。
表 2-1 系统结构图等效变换基本规则
3
原方框图
R
等效方框图
C
说明
C
串联等效
G1 ( s)
G2 (s )
R
G1 (s )G2 ( s )
C ( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s )
G (s )
C
E ( s ) R ( s) H ( s )C ( s)
H (s ) H (s )
1
R( s ) H (s ) (1)C ( s )
4. 结构图与信号流图 控制系统的结构图和信号流图， 都是描述系统中各种信号传递关系的数学图形。 应用结 构图和信号流图，可以简化复杂的控制系统的分析和设计。但是，信号流图只适用于线性系 统。 （1） 结构图 系统结构图是系统中各个环节的函数功能和信号流向的图形表示，由环节（方框） 、信 号线、引出点和比较点组成。系统结构图可以按如下步骤绘出： ① 考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程； ② 对各元部件的微分方程进行拉氏变换，写出其传递函数并画出相应的环节单元和 比较点单元； ③ 从与系统输入量有关的比较点开始， 依据信号流向， 把各元部件的结构图连接起 来，置系统输出量于右端，便得到系统结构图。 （2） 信号流图 信号流图是一种表达线性代数方程组结构的信号传递网络，由节点和支路组成，其与 结构图本质一样，只是形式不同。为了便于描述信号流图的特征，常用的名词术语有： ① 源节点：只有输出支路的节点； ② 汇节点：只有输入支路的节点； ③ 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点； ④ 前向通道：从源节点到汇接点之间，与每个节点仅相交一次的通路； ⑤ 回路：起于并终于同一节点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合通路； ⑥ 不接触回路：相互之间无公共节点的回路。 信号流图的绘制可以根据系统微分方程绘制， 也可以从系统的结构图按照一定的对应关
最大优点是通过梅逊增益公式可以很方便快捷地求出系统的传递函数。 使用这种方法的关键 在于对系统回环的判断是否正确。
表 2-1 系统结构图等效变换基本规则
3
原方框图
R
等效方框图
C
说明
C
串联等效
G1 ( s)
G2 (s )
R
G1 (s )G2 ( s )
C ( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s )
G (s )
C
E ( s ) R ( s) H ( s )C ( s)
H (s ) H (s )
1
R( s ) H (s ) (1)C ( s )
4. 结构图与信号流图 控制系统的结构图和信号流图， 都是描述系统中各种信号传递关系的数学图形。 应用结 构图和信号流图，可以简化复杂的控制系统的分析和设计。但是，信号流图只适用于线性系 统。 （1） 结构图 系统结构图是系统中各个环节的函数功能和信号流向的图形表示，由环节（方框） 、信 号线、引出点和比较点组成。系统结构图可以按如下步骤绘出： ① 考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程； ② 对各元部件的微分方程进行拉氏变换，写出其传递函数并画出相应的环节单元和 比较点单元； ③ 从与系统输入量有关的比较点开始， 依据信号流向， 把各元部件的结构图连接起 来，置系统输出量于右端，便得到系统结构图。 （2） 信号流图 信号流图是一种表达线性代数方程组结构的信号传递网络，由节点和支路组成，其与 结构图本质一样，只是形式不同。为了便于描述信号流图的特征，常用的名词术语有： ① 源节点：只有输出支路的节点； ② 汇节点：只有输入支路的节点； ③ 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点； ④ 前向通道：从源节点到汇接点之间，与每个节点仅相交一次的通路； ⑤ 回路：起于并终于同一节点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合通路； ⑥ 不接触回路：相互之间无公共节点的回路。 信号流图的绘制可以根据系统微分方程绘制， 也可以从系统的结构图按照一定的对应关
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
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R3 R4
C
dui (t) dt
R2 R3 R1
ui
(t)
例2-5 列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。
ua取为输入量，θm为输出量。
ua 电枢输入电压 La 电枢电感 Ra 电枢电阻 ia 电枢电流 ea 电枢反电势
m 电动机转角
mc 负载力矩 mm 电磁转矩 fm 电动机轴上
iL R
ui (t)
C
uo(t)
ui
(t)
L
di(t) dt
Ri(t)
uo
(t)
i(t) C duo (t) dt
LC
d
2uo (t) dt 2
＋RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例2-2 图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量 m在外力F（t）作用下，位移x(t)的运动方程。
2.2 控制系统的微分方程
一、建立系统或元件的微分方程的步骤 1、确定系统或元件的输入量和输出量
2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程
3、消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程 4、对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入
量放右边，按降幂排列。
例2-1 图示电路,列写微分方程
严格地说，构成控制系统的各类元件的输入变量和输出变量之间都存在 不同程度的非线性特性，
将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法，称为非线 性微分方程的线性化
u1 (t)
1 C1
(i1 i2 )dt
uc
(t)
1 C2
i2 (t)dt
消去中间变量 u1 i1 i2
R1C1 R2 C 2
d
2uc (t dt 2
)
＋(
R1C1
R2C2
R1C2 )
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
该电路是由两个一级RC电路串联而成，后一级RC电路中的电流影响着前 一级RC电路的输出电压 ，这就是负载效应。
的数值，考虑 mL＝0 ，并令
K KsKaCm Rai
F f CmCe Ra
可简化为
J
d 2c
dt 2
F
d c
dt
K c
K r
位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程
二、非线性微分方程的线性化
能够用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 线性系统的重要性质是满足叠加原理，即具有可加性和齐次性。 对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外部输入同时加在系统上，则 可以对各个输入分别处理。可加性和齐次性使线性系统的分析大为简化。
uT (t) Ktm (t)
消去中间变量
Tm
dm (t)
dt
(1
KaKmKt
)m (t)
K a K mur
(t)
例2-7 位置随动系统如图 所示，以手柄给定转角系统的输入，工作机
械的转角为系统的输出，列写系统的微分方程。
桥式电位计
e r c
us Kse
放大器
ua Kaus
m
dm
dt
为输出量
Tm
dm
dt
m
Kmua
K n mc
例2-6 直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入，
电动机转速为系统的输出，列写微分方程。 解： e(t) ur (t) uT (t)
ua (t) Kae(t)
Tm
dm (t) dt
m (t)
K mua (t)
电动机
mm Cmia
ea
Ce
dm
dt
ua
La
dia dt
Raia
ea
J
d 2m
dt 2
f
dm
dt
mm mc
电机输入输出方程为
JLa
d 3 m
dt 3
(JRa
fL
a
)
d 2 m
dt 2
( fRa
C
m
Ce
)
d m
dt
Cmua
La
dmc dt
d 3m (t) dt 3
(J m Ra
f
m
La
)
d
2 m (t dt 2
)
(
f m Ra
Cm
Ce
)
dm (t dt
)
Cmua (t)
La
dmc (t) dt
Ramc (t)
这是三阶线性常系数微分方程，描述了电机转 角与电枢电压和负载力矩之间的关系
忽略电枢电感
Jm Ra
d 2m
Ra mc
减速器
c
1
i
m
工作机械
J
Jm
JL i2
f
fm
fL i2
mc＝
mL i
消去中间变量
JLa
d 3c
dt 3
(JRa
fL
a
)
d 2c
dt 2
( fRa
C
m
C
e
)
d c
dt
Ks
KaCm i
c
Ks
KaCm i
r
La i2
dmL dt
Ra i2
mL
若忽略 La
ui (t) i1 (t)R1
uo (t) i2 (t)R3 uc (t) [i1(t) i2 (t)]R4
i1
(t)
i2ຫໍສະໝຸດ (t)Cduc (t) dt
uo (t) i2 (t)R3 i1 (t)R2 消去中间变量
R4C
duo (t) dt
uo (t)
R2 R3
R2 R4 R1
粘性摩擦系数
if 励磁回路电流
解： mm (t) Cmia (t)
ea
(t)
Cem (t)
Ce
dm (t)
dt
ua (t)
La
dia (t) dt
Raia (t) ea (t)
mm (t)
mc (t)
fm
dm (t)
dt
Jm
d 2m (t)
dt 2
消去中间变量
J m La
若要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器
这时所列写的微分方程为
R1C1 R2 C 2
d
2uc (t dt 2
)
＋(
R1C1
R2C2 )
duc (t) dt
uc (t)
ur
(t)
例2-4 有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程
解：由运算放大器的基本特 性和克希霍夫定律，列写出 下列方程
dt 2
( fmRa
CmCe
)
dm
dt
Cmua
Ramc
得
Tm
d 2m
dt 2
dm
dt
Kmua
Knmc
其中 Tm J m Ra /( fm Ra CmCe )
K m Cm /( f m Ra CmCe )
K n Ra /( fm Ra CmCe )
若以
解：f--阻尼系数 k--弹性系数 根据牛顿第二定律
式中
F1 (t)
f
dy(t) dt
F2 (t) k y(t)
F(t )
k
m
f
F2
y(t )
F1
整理后
例2-3 列写两级RC电路的微分方程
解：根据克希霍夫定律，可写出下列方程组
ur (t) R1i1(t) u1(t)
u1 (t) R2i2 (t) uc (t)