自动控制理论第2章

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若要消除负载效应,可在两个RC电路之间设置隔离放大器
这时所列写的微分方程为
R1C1 R2 C 2
d
2uc (t dt 2
)
+(
R1C1

R2C2 )
duc (t) dt

uc (t)

ur
(t)
例2-4 有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程
解:由运算放大器的基本特 性和克希霍夫定律,列写出 下列方程
m

dm
dt
为输出量
Tm
dm
dt
m

Kmua

K n mc
例2-6 直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入,
电动机转速为系统的输出,列写微分方程。 解: e(t) ur (t) uT (t)
ua (t) Kae(t)
Tm
dm (t) dt

m (t)

K mua (t)
2.2 控制系统的微分方程
一、建立系统或元件的微分方程的步骤 1、确定系统或元件的输入量和输出量
2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律,列出一组微分方程
3、消去中间变量,写出系统输入和输出变量的微分方程 4、对微分方程进行整理,写成标准形式,即输出量放左边,输入
量放右边,按降幂排列。
例2-1 图示电路,列写微分方程
u1 (t)

1 C1
(i1 i2 )dt
uc
(t)

1 C2
i2 (t)dt
消去中间变量 u1 i1 i2
R1C1 R2 C 2
d
2uc (t dt 2
)
+(
R1C1

R2C2

R1C2 )
duc (t) dt

uc
(t)

ur
(t)
该电路是由两个一级RC电路串联而成,后一级RC电路中的电流影响着前 一级RC电路的输出电压 ,这就是负载效应。
dt 2
( fmRa

CmCe
)
dm
dt
Cmua
Ramc

Tm
d 2m
dt 2

dm
dt

Kmua
Knmc
其中 Tm J m Ra /( fm Ra CmCe )
K m Cm /( f m Ra CmCe )
K n Ra /( fm Ra CmCe )
若以
电动机
mm Cmia
ea
Ce
dm
dt
ua

La
dia dt
Raia
ea
J
d 2m
dt 2

f
dm
dt
mm mc
电机输入输出方程为
JLa
百度文库
d 3 m
dt 3
(JRa

fL
a
)
d 2 m
dt 2
( fRa

C
m
Ce
)
d m
dt
Cmua
La
dmc dt

d 3m (t) dt 3
(J m Ra

f
m
La
)
d
2 m (t dt 2
)
(
f m Ra

Cm
Ce
)
dm (t dt
)

Cmua (t)

La
dmc (t) dt

Ramc (t)
这是三阶线性常系数微分方程,描述了电机转 角与电枢电压和负载力矩之间的关系
忽略电枢电感
Jm Ra
d 2m
iL R
ui (t)
C
uo(t)
ui
(t)

L
di(t) dt

Ri(t)

uo
(t)
i(t) C duo (t) dt
LC
d
2uo (t) dt 2
+RC
duo (t) dt

uo
(t)

ui
(t)
例2-2 图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量 m在外力F(t)作用下,位移x(t)的运动方程。
Ra mc
减速器
c

1
i
m
工作机械
J

Jm

JL i2
f

fm
fL i2
mc=
mL i
消去中间变量
JLa
d 3c
dt 3
(JRa

fL
a
)
d 2c
dt 2
( fRa

C
m
C
e
)
d c
dt

Ks
KaCm i
c

Ks
KaCm i
r

La i2
dmL dt

Ra i2
mL
若忽略 La
的数值,考虑 mL=0 ,并令
K KsKaCm Rai
F f CmCe Ra
可简化为
J
d 2c
dt 2
F
d c
dt

K c

K r
位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程
二、非线性微分方程的线性化
能够用线性微分方程描述的系统,称为线性系统。 线性系统的重要性质是满足叠加原理,即具有可加性和齐次性。 对线性系统进行分析和设计时,如果有几个外部输入同时加在系统上,则 可以对各个输入分别处理。可加性和齐次性使线性系统的分析大为简化。
uT (t) Ktm (t)
消去中间变量
Tm
dm (t)
dt

(1
KaKmKt
)m (t)

K a K mur
(t)
例2-7 位置随动系统如图 所示,以手柄给定转角系统的输入,工作机
械的转角为系统的输出,列写系统的微分方程。
桥式电位计
e r c
us Kse
放大器
ua Kaus

R3 R4
C
dui (t) dt

R2 R3 R1
ui
(t)
例2-5 列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。
ua取为输入量,θm为输出量。
ua 电枢输入电压 La 电枢电感 Ra 电枢电阻 ia 电枢电流 ea 电枢反电势
m 电动机转角
mc 负载力矩 mm 电磁转矩 fm 电动机轴上
粘性摩擦系数
if 励磁回路电流
解: mm (t) Cmia (t)
ea
(t)

Cem (t)

Ce
dm (t)
dt
ua (t)

La
dia (t) dt

Raia (t) ea (t)
mm (t)

mc (t)
fm
dm (t)
dt

Jm
d 2m (t)
dt 2
消去中间变量
J m La
解:f--阻尼系数 k--弹性系数 根据牛顿第二定律
式中
F1 (t)
f
dy(t) dt
F2 (t) k y(t)
F(t )
k
m
f
F2
y(t )
F1
整理后
例2-3 列写两级RC电路的微分方程
解:根据克希霍夫定律,可写出下列方程组
ur (t) R1i1(t) u1(t)
u1 (t) R2i2 (t) uc (t)
严格地说,构成控制系统的各类元件的输入变量和输出变量之间都存在 不同程度的非线性特性,
将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法,称为非线 性微分方程的线性化
ui (t) i1 (t)R1
uo (t) i2 (t)R3 uc (t) [i1(t) i2 (t)]R4
i1
(t)

i2
(t)

C
duc (t) dt
uo (t) i2 (t)R3 i1 (t)R2 消去中间变量
R4C
duo (t) dt

uo (t)


R2 R3

R2 R4 R1
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