平面向量的加减法电子教案
平面向量运算教案
平面向量运算教案教案标题：平面向量运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的加法、减法、数量乘法和点积运算。
3. 能够运用平面向量进行问题求解。
教学重点：1. 平面向量的加法、减法和数量乘法运算。
2. 平面向量的点积运算及其应用。
教学难点：1. 平面向量的点积运算的理解和应用。
2. 运用平面向量解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教材、教具、实物示例等。
2. 学生准备：教材、作业本、笔、计算器等。
教学过程：Step 1：导入与概念解释（5分钟）1. 教师通过引入平面向量的概念，与学生共同探讨向量的定义和性质。
2. 教师利用实物示例或图示解释平面向量的表示方法和向量的模、方向。
Step 2：向量的加法与减法（15分钟）1. 教师介绍向量的加法与减法的定义和运算规则。
2. 教师通过示例演示向量的加法与减法的具体操作步骤。
3. 学生进行练习，巩固向量的加法与减法的运算方法。
Step 3：向量的数量乘法（10分钟）1. 教师讲解向量的数量乘法的定义和运算规则。
2. 教师通过示例演示向量的数量乘法的具体操作步骤。
3. 学生进行练习，巩固向量的数量乘法的运算方法。
Step 4：向量的点积运算（20分钟）1. 教师引入向量的点积运算的概念和定义。
2. 教师讲解向量的点积运算的计算方法和性质。
3. 教师通过示例演示向量的点积运算的具体操作步骤。
4. 学生进行练习，巩固向量的点积运算的计算方法。
Step 5：应用与问题解决（15分钟）1. 教师引导学生通过实际问题，运用平面向量进行求解。
2. 学生分组讨论解决问题的方法，并展示解题过程和结果。
3. 教师进行点评和总结，引导学生理解向量运算在实际问题中的应用价值。
Step 6：作业布置与课堂小结（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生运用所学的平面向量运算方法解决问题。
2. 教师对本节课的重点内容进行小结，并展望下节课的教学内容。
平面向量的加法、减法运算教学案 (2)
平面向量的加法、减法运算一、教学目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、教学重点1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义 三、教学难点1.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．2.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 四、教学过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求两个向量和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则．AC →AC →(2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( ) (3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________． 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关．2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了．3．(1)向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →. 类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c .归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 3．引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记平面向量的加法、减法运算一、学习目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、学习过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求 和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则． (2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )(3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( ) 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关． 2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c . 归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记。
数学平面向量的运算教案
数学平面向量的运算教案一、引言数学中的向量是一种特殊的量，它具有大小和方向。
平面向量是指在平面上表示的向量。
本教案将介绍平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘、点乘和叉乘。
二、平面向量的表示平面向量可用有序数对表示，记作AB→，其中A和B是向量的起点和终点。
向量的模表示为|AB→|。
三、平面向量的加法1. 定义：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为EF→，其中E是向量AB→和CD→的终点，F是向量EF→的起点。
2. 表示：AB→ + CD→ = EF→。
3. 计算：向量的相加按照横纵坐标分别相加。
AB→ + CD→ = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)。
四、平面向量的减法1. 定义：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为EF→，其中E是向量AB→的终点，F是向量EF→的起点。
2. 表示：AB→ - CD→ = EF→。
3. 计算：向量的相减按照横纵坐标分别相减。
AB→ - CD→ = (x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2)。
五、数乘1. 定义：数乘是指将一个向量乘以一个实数。
2. 表示：kAB→。
3. 计算：向量的数乘即将向量的坐标分别乘以该实数。
kAB→ = k(x, y) = (kx, ky)。
六、平面向量的点乘1. 定义：设有平面向量AB→和CD→，则它们的点乘为AB→·CD→= |AB→| |CD→| cosθ，其中θ为向量AB→和CD→的夹角。
2. 表示：AB→·CD→。
3. 计算：向量的点乘即将对应坐标相乘再相加。
AB→·CD→ = (x1, y1) · (x2, y2) = x1x2 + y1y2。
七、平面向量的叉乘（仅限于三维向量）1. 定义：设有平面向量AB→和CD→，则它们的叉乘为AB→×CD→= |AB→| |CD→| sinθn，其中θ为向量AB→和CD→的夹角，n为垂直于平面的单位向量。
初中数学教案平面向量的加法与减法
初中数学教案平面向量的加法与减法初中数学教案：平面向量的加法与减法引言：平面向量是数学中的重要概念，它们在解决几何和代数问题中起着重要作用。
平面向量的加法与减法是其中的基本运算，通过掌握这些运算，学生们将能更好地理解和应用平面向量的概念。
本教案将重点介绍初中数学中平面向量的加法与减法，并提供相应的教学活动和练习。
一、概念与性质1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的标量，用箭头表示。
2. 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则。
即将两个向量的起点连接起来，构成一个平行四边形，那么这两个向量的和就是该平行四边形对角线的向量。
3. 平面向量的减法：平面向量的减法可以通过将减数取负后与被减数相加，即将减数的方向翻转180度，然后与被减数相加。
二、教学活动活动1：向量相加的可视化1. 准备一张平面坐标纸和两个向量的起点。
2. 让学生标出这两个向量，然后将它们的起点连接起来。
3. 请学生通过平行四边形法则，确定这两个向量的和。
4. 让学生将这个和向量画在纸上，观察并讨论结果。
活动2：向量相减的实际应用1. 选择一个与日常生活相关的实际场景，例如风力的影响。
2. 以箭头的形式表示不同风速和风向的向量。
3. 让学生利用相减法确定两个不同风速的合成风速，并判断合成风速对不同活动的影响。
三、练习题1. 已知向量AB = (2, 3)和向量AC = (-1, 5)，求向量AB + AC的结果。
2. 已知向量CD = (-3, 2)和向量CE = (4, -1)，求向量CD - CE的结果。
3. 如果向量AB = (1, 2)和向量BC = (3, -4)，求向量AC的结果。
四、扩展应用1. 提供更复杂的平面向量加法与减法练习题，加强学生对概念的理解和应用能力。
2. 探索平面向量运算的几何解释，例如向量代表位移、速度或力。
结语：通过本教案的学习，学生们应该能够理解平面向量的加法与减法的概念，并能够运用这些知识解决问题。
初二数学复习教案平面向量的加法和减法
初二数学复习教案平面向量的加法和减法初二数学复习教案平面向量的加法和减法一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在解决平面几何问题以及其他数学领域中发挥着重要的作用。
本文将对初二数学中的平面向量的加法和减法进行复习，并提供相应的教案。
二、平面向量的定义在平面上，向量可以用有序数对表示。
设有点A（x1，y1）和点B （x2，y2），则表示向量AB的有序数对就是（x2-x1，y2-y1），记作向量AB=（x2-x1，y2-y1）。
三、平面向量的加法1. 向量共线情况下的加法如果两个向量共线，它们的和向量方向和模长都可以直接求出。
假设有向量A=（x1，y1）和向量B=（x2，y2），则它们的和向量C可以表示为：C=A+B=（x1+x2，y1+y2）。
2. 向量不共线情况下的加法如果两个向量不共线，无法通过直接相加来求出它们的和向量。
此时，我们可以使用平行四边形法则来求解。
具体步骤如下：（1）将两个向量的起点放在一起；（2）从第一向量的终点引出一条与第二向量起点相连的向量；（3）以这条向量为对角线构建一个平行四边形；（4）将第二个向量的终点连接至平行四边形的对角线另一端；（5）两个向量的和向量即为平行四边形的对角线向量。
四、平面向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法。
设有向量A和向量B，它们的差向量C可以表示为：C=A-B= A+(-B)，其中-B表示向量B的逆向量。
五、教案设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生应能够：（1）了解平面向量的概念及表示方法；（2）掌握向量共线情况下的加法方法；（3）掌握向量不共线情况下的加法方法；（4）掌握向量的减法方法。
2. 教学步骤（1）引导学生回顾平面向量的定义和表示方法；（2）讲解向量共线情况下的加法，并通过例题进行示范和讲解；（3）讲解向量不共线情况下的加法，引导学生理解平行四边形法则，并通过例题进行练习；（4）讲解向量的减法，强调向量减法的转化规则，并通过例题进行巩固；（5）布置练习作业，检验学生的掌握情况。
平面向量的加减教案
平面向量的加减教案引言：平面向量的加减是数学中重要的概念之一。
通过掌握平面向量的加减法则，我们能够更好地理解和运用向量的性质，解决与向量相关的数学问题。
本教案将介绍平面向量的加减法则及其应用，以帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
一、平面向量的定义和表示1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
例如，向右箭头表示正东方向的向量，向上箭头表示正北方向的向量。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。
例如，向量AB可以记作→AB或A B，其中→表示向量，A B表示向量的长度。
二、平面向量的加法1. 平面向量的加法定义：若有向量→A和→B，它们的和记作→A + →B，表示从→A出发，沿着→B的方向走到最后的位置。
2. 平面向量的加法法则：向量的加法满足"三角形法则"。
即将两个向量的起点相连，以第一个向量的方向作为起始方向，以第二个向量的方向作为终止方向，则连接起始点和终止点的向量为和向量。
例如：→A + →B = →CA B + B C = A C3. 平面向量的加法性质：- 交换律：→A + →B = →B + →A- 结合律：(→A + →B) + →C = →A + (→B + →C)三、平面向量的减法1. 平面向量的减法定义：若有向量→A和→B，它们的差记作→A - →B，表示从→B的终止点回到→A的终止点的向量。
2. 平面向量的减法法则：向量的减法满足"平行四边形法则"。
即将两个向量的起点相连，以第二个向量的方向作为终止方向，以第一个向量的方向反向作为起始方向，则连接起始点和终止点的向量为差向量。
例如：→A - →B = →CA B - B C = A C3. 平面向量的减法性质：- 减去一个向量等于加上其负向量：→A - →B = →A + (-→B)四、平面向量的应用1. 位移向量：在平面向量的应用中，位移向量被广泛用于描述物体在平面内的移动。
高中一年级下学期数学《平面向量的运算—向量的减法运算》教案
《平面向量的运算-减法运算》教案【教学目标】1、知识与技能：掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；2、过程与方法：通过类比相反数，得到相反向量的概念的过程，提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养，掌握向量减法的运算的方法，提升学生的数学运算核心素养；3、情感态度价值观：通过本节的学习，培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】重点：向量减法的运算和几何意义；难点：减法运算时差向量方向的确定。
【教学方法】讲授法【教学用具】多媒体【教学过程】一、提出问题在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。
类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？二、向量的减法及运算法则1、相反向量：与向量a→长度相等，方向相反的向量，叫做a →的相反向量，记作−a→ 。
性质：（1）−（−a →）=a→； （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量，即−0→=0→； （3）a →+（−a →）=（−a →）+a →=0→ （4）如果a →，b →互为相反向量，那么a →=−b →，b →=−a →，a →+b →=0→ 2、向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。
a →－b →=a →+（－b →） 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
a →－b →叫做a →与b→的差。
向量的差仍为向量探究：向量减法的几何意义是什么？向量减法的几何意义是：a →－b →可以表示为从向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。
作法：共起点，连终点，箭头指向被减向量。
问：如图，红色向量表示什么？思考：若向量a →，b →共线，怎样作出a →－b→？若a→，b →方向相同，则|a →−b →|=|a →|−|b →|（或者|b →|−|a →|） 若a →，b →方向相反，则|a →−b →|=|a →|+|b →|思考：若向量a →，b →不共线，怎样作出a →－b→？ 3、不共线三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边若a →、b →不共线时，||a →|−|b →||<|a →−b →|<|a →|+|b→| 探究： |a →−b →|,|a →|,|b→|之间的关系。
平面向量的加减法运算教学设计
平面向量的加减法运算教学设计以平面向量的加减法运算为主题的教学设计第一节：引入引导学生回顾平面向量的定义和性质，强调向量的表示方法和运算规则。
简要介绍平面向量的加法和减法运算，以及它们的几何意义。
第二节：平面向量的加法运算1.1 向量的加法定义向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
引导学生根据定义进行向量的加法运算。
1.2 加法运算的性质向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
通过示例和练习题让学生理解和应用这些性质。
1.3 加法运算的几何意义向量的加法可以用平行四边形法则来解释，即将两个向量的起点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和终点。
第三节：平面向量的减法运算2.1 向量的减法定义向量的减法是指将第二个向量取负后与第一个向量进行加法运算。
引导学生根据定义进行向量的减法运算。
2.2 减法运算的性质向量的减法满足减去一个向量等于加上其相反向量，即a-b=a+(-b)。
通过示例和练习题让学生理解和应用这个性质。
2.3 减法运算的几何意义向量的减法可以用平行四边形法则来解释，即将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和第二个向量的终点。
第四节：应用练习通过一些实际问题和练习题，让学生应用所学的平面向量的加减法运算解决几何和物理问题。
可以设计一些场景，如力的合成、位移的计算等。
第五节：总结与拓展对平面向量的加减法运算进行总结，强调运算的规则和性质，以及几何意义。
鼓励学生进一步拓展应用平面向量的知识，如向量的数量积和向量的夹角等。
通过以上教学设计，可以帮助学生系统掌握平面向量的加减法运算，理解其几何意义，并能够应用于实际问题的求解。
同时，通过练习和拓展，培养学生的问题解决能力和数学思维。
平面向量的加减法复习教案
BB平面向量的加减法复习教案教学目标1.掌握向量加法的三角形法则、向量加法的多边形法则、向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则；2.掌握向量的加法满足交换律与结合律；3.灵活使用向量加减法法则和运算律实行向量的运算.教学重难点灵活使用向量加减法法则和运算律实行向量的运算.教学过程一、知识点复习1. 向量加法的三角形法则与多边形法则的两个要点: (1) ; (2) . 提示: 当b a 与是两个平行向量时，方法同上.符号语言:如图，(1)AB BC +=_____________；（2）CD BC AB ++_____________. 练习:（1）思考:已知向量DE AD BA CB ,,,，能直接写出DE AD BA CB +++的和向量吗？ （2）填空:=+BC AB ；=+BA CB ；=+ED OE ； =++ED BE AB ；=++++EF DE CD BC AB . 2. 向量减法的三角形法则的两个要点:(1) ; (2) . 提示: 当b a 与是两个平行向量时，方法同上. 符号语言:如图，=-AB AC ________． 练习:BACA (1)如图，试用AC AD AB ,,表示向量DC BD ,.=BD ；=DC .(2) 填空:=-OB OA ；=+-BC AE AB ；=--DC AD AB .3. 向量加法的平行四边形法则的两个要点:(1) ; (2) . 符号语言:如图，=+AD AB ________；=-AD AB ________． 练习:(1)如图，已知平行四边形ABCD ，设b AB a AD ==,，试用向量b a ,表示向量BD CA ,.=CA _________________；=BD _________________.（2）如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，点E 在AB 上，CE //AD .AE EC CD BE ++＋＝__________________； AB BC CE AD ++＋＝__________________.4．零向量:叫做零向量. 记作 . 练习:（1）零向量既没有大小，又没有方向，这句话对吗？. （2）填空:a +（-a ）= ； a + =a（3）填空:=+CB BC ；=++CA BC AB ；=+-BC AC AB ；=-+OC AC OA .5．向量加法的运算律：CEDCBA向量加法满足交换律，即： . 向量加法满足结合律，即： . 练习：（1）化简：=-+-CD BD AC AB ； （2）化简：（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）＝ .二、经典例题讲解1.如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB = DF .（1）填空：BA BC +=________；AF BA +=_________；._______=-AF BC （2）在原图中求作：AF BC +．2.如图，已知向量d c b a ,,,，求作：d c b a +-+3.如图，在平面直角坐标系中，O 为上原点，点)1,1(P 关于原点的对称点为R ，点)2,3(Q 关于x 轴的对称点为K . 1）求作向量RK OR ,.2）求作：OQ OP -.3）求作：OK OQ -.AE CF BDabc三、课堂小结四、作业布置1．如图，已知向量AB a =、BC b =、CD c =、DE d =；试用a 、b 、c 、d 表示下列向量：（1）AB AC -；（2）AB AE -．2．如图，c BC b AB a OA ===,,，试用a 、b 、c 、d 表示下列向量：OC AC OB 和,．3．如图，已知向量a 、b 、c ，求作：c b a +-．OABCa bc教学反思：在向量教学中，要注重突出数学思想和方法的讲解。
《平面向量的加法教案》
《平面向量的加法教案》章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的几何表示1.3 向量的坐标表示章节二：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的几何表示2.3 向量加法的坐标表示章节三：向量加法的性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 单位向量与零向量的加法章节四：向量的数乘运算4.1 数乘向量的定义4.2 数乘向量的几何表示4.3 数乘向量的坐标表示章节五：向量的线性组合5.1 线性组合的概念5.2 线性组合的几何意义5.3 线性组合的坐标表示教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握向量的加法运算，理解向量加法的性质。
3. 理解向量的数乘运算，掌握数乘向量的几何和坐标表示。
4. 掌握向量的线性组合，理解线性组合的概念和几何意义。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、运算和性质。
2. 利用图形和动画，直观展示向量的几何表示和运算过程。
3. 通过例题和练习，巩固向量加法和数乘运算的知识。
4. 引导学生进行小组讨论，探讨向量线性组合的概念和意义。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对向量概念和运算的理解。
2. 布置课后作业，检验学生对向量加法和数乘运算的掌握。
3. 进行小组讨论，评估学生对向量线性组合的理解和应用能力。
教学资源：1. 教学PPT，展示向量的概念、运算和性质。
2. 图形和动画，直观展示向量的几何表示和运算过程。
3. 课后作业，巩固向量加法和数乘运算的知识。
4. 小组讨论材料，引导学生探讨向量线性组合的概念和意义。
教学安排：1. 章节一：2课时2. 章节二：2课时3. 章节三：1课时4. 章节四：2课时5. 章节五：2课时教学总结：通过本教案的教学，学生应掌握向量的概念、几何表示、坐标表示以及向量的加法、数乘运算和线性组合。
教学中，注重引导学生理解向量的运算性质，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过小组讨论和课后作业，巩固学生的学习成果，为后续课程的学习打下坚实基础。
高中一年级下学期数学《平面向量的运算—向量的加法运算》教案
《平面向量的运算-加法运算》教案【教学目标】1、知识与技能：掌握向量加法的概念，能熟练掌握向量加法，平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。
2、过程与方法：理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量之和。
3、情感态度价值观：通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。
【教学重难点】重点：两个向量的和的概念及其几何意义；难点：向量加法的运算律。
【教学方法】讲授法【教学用具】多媒体【教学过程】我们知道，数能进行运算。
因为有了运算而使数的威力无穷。
那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进向量的运算，本节我们就来研究平面向量的运算，探究其运算性质，体会向量运算的作用。
今天我们先学习向量的加法。
一、提出问题思考：位移、力是向量，它们可以合成。
我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？问题1： 如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，这个质点的位移如何表示？AC AB BC =+问题2：由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？如图，已知非零向量a →,b →,在平面内任取一点A ，作AB → =a →,BC → =b →，则向量AC → 叫做a →与b →的和，记作a →+b →，即a →+b →=AB → +BC → =AC→ 。
二、向量的加法运算及运算法则求两个向量和的运算，叫向量的加法。
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
作法：“首尾顺次连 ,起点指终点”位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
问题3 ：对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F 吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a →和b→，以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，则以O 点为起点的向量OC→ (OC 是平行四边形OACB 的对角线)就是向量a →与b→的和。
平面向量的运算教案
平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．规律方法：（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC→＋AB →；（2）DB →＋CD →＋BC →；（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →．解：（1）BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB→＝（BC→＋CD →）＋DB →＝BD →＋DB →＝0．（3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB→＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0．规律方法：向量加法运算中化简的两种方法（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．规律方法：应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．三、课堂总结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC→图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB结论对角线OC →就是a 与b 的和图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、课堂检测1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（）A ．QP →B ．OQ→C ．SP→D ．SQ→解析：选B ．OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO →＋AC →；（2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）；（2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB →－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →．规律方法：向量减法运算的常用方法探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．规律方法：求作两个向量的差向量的两种思路（1）可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋（－b ）即可．（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ．规律方法：用已知向量表示其他向量的三个关注点（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0．三、课堂总结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、课堂检测1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（）A ．CB →B ．BC →C ．CD →D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →．2．化简：AB →－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB→＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|AC →|＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|．又||AC →||≤|AB →－AC →|≤|AB →|＋|AC →|，3≤|AB →－AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【教学重难点】【教学目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究点1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j－－23b2b－a）．解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b．②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．a－3b＋13b－32a ＋74b－11 12b＝53a－1118b．（2）原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a1－1＋23＋＝－53a＋5b＝－5（3i＋2j）＋53（2i －j）5－103－＝－53i－5j．规律方法：向量线性运算的基本方法（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2由于e 1与e 2－λ＝0，－1＝0，所以k ＝±1．规律方法：向量共线定理的应用（1）若b ＝λa （a ≠0），且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．（2）若b ＝λa （a ≠0），且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →．（1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN →＝MD →＋DA →＋AN→＝－12DC →－AD →＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0．所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1．规律方法：用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．三、课堂总结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、课堂检测1．1312（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（）A ．BO →B ．AO→C ．CO →D ．DO→解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2．又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【教学重难点】【教学目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．（2）①因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos0°＝3×3×1＝9．②因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°，所以AB →→＝|AB →||DA →|·cos120°＝6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →）＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7．规律方法：向量数量积的求法（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 规律方法：求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a 与b的夹角为______．解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，所以24cosθ＝36＋72－96＝12，所以cosθ＝1 2．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝b2|a||b|．又因为|a|＝2|b|，所以cosθ＝|b|22|b|2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a，b是非零向量，当a＋t b（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋t b）．证明：因为|a＋t b|＝（a＋t b）2＝a2＋t2b2＋2t a·b＝|b|2t2＋2a·b t＋|a|2，所以当t＝－2a·b2|b|2＝－a·b|b|2时，|a＋t b|有最小值．此时b·（a＋t b）＝b·a＋t b2＝a·b b|2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5规律方法：求向量a 与b 夹角的思路（1）求向量a 与b 夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．（2）在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．三、课堂总结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θe ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．四、课堂检测1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（）A．π6B．π4C．π3D．π2解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为（）A．－6B．6C．3D．－3解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（k a－4b）＝0，所以2k a2－8a·b＋3k a·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．解析：设a与b的夹角θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－123×5＝－45，所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝＝－125 e．答案：－12 5 e4．已知|a|＝1，|b|＝2．（1）若a∥b，求a·b；（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；（3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．解：设向量a与b的夹角为θ．（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝2；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－2．（2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋2，|a＋b|＝3＋2．（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝a·b|a||b|＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。
【教案】平面向量的加法运算+教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
题目 6.2.1向量的加法运算课标要求在探究向量的运算性质时，与实数的运算性质进行了类比数的运算，学生能够理解向量的线性运算，运算的原理、方法、规律，理解平面向量的线性运算的概念。
提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。
核心素养目标1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。
2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力。
3. 通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
教学重点两个向量的的概念及其几何意义,向量加法的运算律。
教学难点数形结合求向量的和。
教学策略 1.探究与发现2.自主练习与指导教具准备多媒体课件，班班通，教材教学方法启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程环节一：复习回顾，温故知新教师活动：提出问题，引导、检查学生学习情况1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？学生活动：回顾上节课学习过的内容，思考问题并举手回答活动意图说明：通过复习上节所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：知识探究（一）：向量的三角形法则教师活动：思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作bABaOA==,，则向量OB叫做a和b的和，记作ba+．即OBABOAba=+=+。
求两个向量和的运算叫做向量的加法。
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
向量加法的三角形法则：第一个向量的终点和第二个向量的起点连在一起，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量叫做两个向量的和向量。
【口诀】首尾相连首尾连。
学生活动：回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题通过思考，浏览教材，总结向量加法的三角形法则的定义理解口诀的含义并熟背口诀活动意图说明：通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
《平面向量的加、减运算的坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示》教案【教材分析】本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参.【教学重点和难点】重点：平面向量的坐标运算；难点：对平面向量坐标运算的理解.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，已经学过平面向量的加、减法，那如果向量用坐标表示，那怎么算向量的加、减法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本29-30页，思考并完成以下问题1、如何由a，b的坐标求a＋b，a－b的坐标？2、一个向量的坐标表示与其有向线段的始点和终点有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．平面向量的坐标运算（1） 若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2） 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 注意：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标. 四、典例分析、举一反三 题型一 向量的坐标运算例1 已知向量a ，b 的坐标分别是(2,1)，(-3，4)，求a ＋b ，a －b 的坐标． 【答案】a ＋b ＝(-1，5)，a －b ＝(5,-3).【解析】a ＋b ＝(2,1)＋(-3，4)＝(-1，5)，a －b ＝(2,1)-(-3，4)＝(5,-3). 解题技巧（平面向量坐标运算技巧）(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练一1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)， MP ―→＝MN ―→，则P 点坐标为______． 【答案】（-5，-1）【解析】设P (x ，y )，则MP ―→＝(x －3，y ＋2)，MN ―→＝(－8,1)， ∴MP ―→＝ (－8,1)，∴{x −3=−8y +2=1, ∴{x =−5y =−1.题型二 向量坐标运算的应用),(11y x a =),(22y x b =b a +),(2121y y x x ++=ba -),(2121y y x x --=),(11y x A ),(22y x B ()1212,y y x x AB --=例2 已知O (0,0)，A (1,2)，B (3,3)，若OP →＝OA →＋tOB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)P 在x 轴上， t ＝－23；P 在y 轴上，t ＝－13；P 在第二象限，－23<t <－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形．【解析】 (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t ，2＋3t )，所以P 点坐标为(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，得t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，得t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，得－23<t <－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(2－3t,1－3t )，若四边形OABP 为平行四边形，只需OA →＝PB →，则⎩⎪⎨⎪⎧2－3t ＝1，1－3t ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13，t ＝－13，所以t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形．解题技巧： (向量中含参问题的求解)(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练二1、已知O (0,0)，A (1,2)，B (3,3)，OP →＝tOA →＋OB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？y 轴上？第二象限？(2)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值，若不能，请说明理由．【答案】(1)P 在x 轴上， t ＝－32.P 在y 轴上， t ＝－3.P 在第二象限， t 无解，(2)t ＝－1时，四边形OABP 为平行四边形．【解析】(1)OP →＝tOA →＋OB →＝(3＋t,3＋2t )， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t )，若P 在x 轴上，则3＋2t ＝0得t ＝－32，若P 在y 轴上，则3＋t ＝0得t ＝－3，若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋t <0，3＋2t >0，得t 无解，(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(－t ，－2t)，若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝1，－2t ＝2，即t ＝－1，所以t ＝－1时，四边形OABP 为平行四边形．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本30页练习，36页习题6.3的2，3，4题. 【教学反思】本节课知识较简单，学生理解起来较容易，达到了本节课目的，由于内容量少，所以时间比较充足，在课上如果有剩余时间可以将作业做了.《6.3.3 平面向量的加、减运的坐标表示》导学案【学习目标】知识目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参. 【学习重点】：平面向量的坐标运算； 【学习难点】：对平面向量坐标运算的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本29-30页，填写。
数学第一册第五单元教案：平面向量的加减与数量积的计算方法
数学第一册第五单元教案：平面向量的加减与数量积的计算方法】一、教学目标1.掌握平面向量的概念、零向量及其表示方式。
2.理解平面向量之间的加减法和向量的数量积的概念。
3.熟练掌握向量的加减运算及数量积的计算方法。
4.能够应用平面向量的加减法和数量积的计算方法解决相关问题。
二、教学重难点1.向量的加减法及数量积的计算。
2.向量的数量积的几何意义。
三、教学过程1.引入通过介绍导弹、飞机、航天器等飞行体的运动及其轨迹问题，引入向量概念。
2.概念解释根据学生比较熟悉的匀速直线运动及夹角的概念引入平面向量及其概念，并介绍零向量的概念及表示方式。
3.平面向量的加减法通过图象、三角函数、坐标等三种方式引入向量的加减法及其计算方法，重点讲解平移法则和三角形法则，并强调其基本性质。
4.向量的数量积引入向量的数量积，并重点解释其几何意义，此处可引导学生进行探究，从图形和坐标等方式来理解数量积的概念。
5.向量的数量积的计算方法通过展示坐标系上向量的计算过程，引导学生发现数量积的计算方法。
6.应用题示范几个有代表性的应用题，指导学生运用向量的加减法和数量积的计算方法解决问题，如平面几何、静力学等等，强调计算过程及正确性。
7.练习由浅入深、由简单到复杂地组织一些练习题，让学生加深对向量的理解和运用。
四、教学方法1.课堂讲授通过清晰、简洁的语言和精心设计的实例、结构，解从宏观、微观、历史、现实等多角度深入浅出地讲解各个知识点。
2.启发式教学引导、指导、激发学生，培养其创新思维和合作精神，帮助学生理解、吸收、运用知识。
3.练习注重学生的思维训练和动手实践，提高学生的理论水平和实际操作能力。
五、教学形式1.板书讲解2.小组讨论3.学生互动讲解4.课件演示六、教学资源1.多媒体教学课件2.教材3.小学数学教学辅导资料七、教学评价1.对学生的参与程度评价2.对学生学习效果的评价3.对教学方法的评价4.对教学材料的评价5.对教学过程的评价。
平面向量加减法PPT教案
| a b || a b | .
第10页/共13页
（2）必要性：若 | a b || a b |，
设 OA a，OB b，以OA、OB 为邻边作平行四边形，
则 a b OC，a b BA， A
| OC | | BA|，
a
即平行四边形OACB对角线相等，
O
∴ 平行四边形OACB为矩形.
第2页/共13页
一般地：
A0 A1 A1A2 A2 A3 An2 An1 An1An A0 An A1A2 A2 A3 A3A4 An1An An A1 0
口诀：首尾相接首尾相连.
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3、向量的减法：
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即
C
b
B
∴ a 的方向与 b 的方向垂直 .
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3 证明：如图所示，
BGCD，
B
C
第12页/共13页
a
a
a a Ba a
作法: 1在平面内任取一点O
a aa
a-b
2作OA a,OB b 3则向量BA a b
即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .
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作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D a . O ab b
ab
a
A
F
E
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a b a (b ) .
(与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的 相反向量，记作 a，a 与 a 互为相反向量.
规定，0 0 . a (a ) (a) a 0 . ) 定义：求两个向量差的运算叫向量的减法.
教案平面向量的运算
教案平面向量的运算研讨课：平面向量的运算教案导学目标：通过学习本课，学生将能够熟练掌握平面向量的运算规则，并能够灵活运用于相关问题中。
一、概述本课主要介绍平面向量的运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及向量的数乘。
通过具体的示例和练习，帮助学生深入理解向量运算的意义和方法。
二、向量的加法1. 向量的定义回顾向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
记作AB→，表示从点A 指向点B的有向线段。
2. 向量的加法法则向量的加法满足交换律和结合律。
交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)3. 注解示例例题1：已知A(2, 3)→，B(-1, -4)→，求向量AB→的坐标。
解析：根据向量的定义和加法法则，向量AB→的坐标为B的坐标减去A的坐标，即AB→ = (x2-x1, y2-y1) = (-1-2, -4-3) = (-3, -7)→。
三、向量的减法1. 向量的定义回顾向量的减法可以理解为向量的加法的逆运算。
2. 向量的减法规则要计算向量的差，可以将被减向量取反后与减向量相加。
AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)3. 注解示例例题2：已知A(2, 3)→，B(-1, -4)→，求向量BA→的坐标。
解析：根据向量的减法规则，向量BA→的坐标为B的坐标减去A 的坐标，即BA→ = (x2-x1, y2-y1) = (-1-2, -4-3) = (-3, -7)→。
四、数量乘法1. 数量乘法的定义向量乘以一个实数称为数量乘法。
2. 数量乘法规则数量乘法改变向量的大小，不改变向量的方向。
若k为实数，AB→ * k = (k * x, k * y)3. 注解示例例题3：已知A(2, 3)→，求向量3AB→的坐标。
解析：根据数量乘法规则，3AB→的坐标为向量AB→的坐标的每个分量乘以3，即3AB→ = (3 * 2, 3 * 3) = (6, 9)→。
平面向量的运算教案
平面向量的运算教案教案标题：平面向量的运算教案目标：1. 理解平面向量的定义和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数乘运算；3. 能够应用平面向量的运算解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量的定义和性质；2. 平面向量的加法、减法和数乘运算的具体步骤；3. 运用平面向量的运算解决实际问题。
教学难点：1. 平面向量的加法、减法和数乘运算的运用；2. 运用平面向量的运算解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：教科书、练习册。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和定义，通过图示和实例让学生理解平面向量的含义。
二、讲解平面向量的加法运算（15分钟）1. 介绍平面向量的加法定义和性质；2. 讲解平面向量的加法运算的具体步骤；3. 通过示例演示平面向量的加法运算。
三、讲解平面向量的减法运算（15分钟）1. 介绍平面向量的减法定义和性质；2. 讲解平面向量的减法运算的具体步骤；3. 通过示例演示平面向量的减法运算。
四、讲解平面向量的数乘运算（15分钟）1. 介绍平面向量的数乘定义和性质；2. 讲解平面向量的数乘运算的具体步骤；3. 通过示例演示平面向量的数乘运算。
五、综合运用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的加法、减法和数乘运算解决问题；2. 指导学生进行思考和讨论，鼓励学生积极参与。
六、总结与拓展（10分钟）1. 总结平面向量的运算规则和步骤；2. 提出一些拓展问题，激发学生的思考和兴趣。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生自主学习和思考，提高解决问题的能力。
教学反思：本节课通过清晰的教学目标、重点和难点的设定，结合具体的教学过程和方法，帮助学生理解和掌握平面向量的运算。
同时，通过实际问题的引入和综合运用，培养学生运用平面向量解决问题的能力。
在教学过程中，教师应注重与学生的互动和引导，激发学生的学习兴趣和思考能力。
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巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur度．
解
如图所示，AB表示船速，AC 为水流 速度，由向量加法的平行四边形法则，
D
B
uuur
AD 是船的实际航行速度，显然
uuur uuur 2 uuur 2 AD AB AC
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
向量加法运算及其几何意义
rr
rr
ar, br
和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a, b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
向量的加法运算
122 52
=13．
C
A
tan CAD 12 5
利用计算器求得 CAD 6723
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．
巩固知识 典型例题
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f1与 f2 的大小．
B
CA
uuur r r AC = a + b
规定：a 0 0 a a
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加r 法r满足r交换r 律和r 结r 合律r ：r r r a b b a (a+b)+c a (b c)
温故知新
零向量 长度等于 零 的向量，记作 0 单位向量 长度等于 1个单位 的向量 平行向量 方向 相同或相反 的非零向量. (共线向量) 向量a，b平行，记作 a∥b .
规定：零向量与任一向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量.
向量a，b相等，记作 a＝b
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
uuur r r
AC = a + b
动脑思考 探索新知
D
C 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
uuur uuur
B AD BC，根据三角形法则得
uuur uuur uuur uuur uuur AB AD AB BC AC．
这说明，在平行四边形ABCD中，uAuCur
uuur 所表示的向量就是AB 与
uuur
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
向量加法法则
b
已
知
向
量a,
b,
求
作
向
量a
b
a
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在 平 面 内 任 取 一 点A
2.作AB a, BC b
则 向 量AC a b
o· a A
b ab
B
C
作法：
1.在 平 面 内任 取 一 点O
2.作OA a,OB b
则 向 量OC a b
首尾相接，首尾连
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线
• 三角形法则推广为多边形法则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ，
这时也必须“首尾相连”.
起点相同，连对角
动脑思考 探索新知
D
C 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
uuur uuur
B AD BC，根据三角形法则得
uuur uuur uuur uuur uuur AB AD AB BC AC．
这说明，在平行四边形ABCD中，uAuCur
uuur 所表示的向量就是AB 与
uuur
C
• 运动的合成
uuur uuur uuur AB + BC = AC
A
• 力的合成 F1 + F2 = F
F1 B
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
解 利用平行四边形法则，可以得到
f2
f1
f1 f2 2 f1 cos k ，
k
所以
f1
k． 2 cos
动脑思考 探索新知
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂 成什么角度时，双臂受力最小？
运用知识 强化练习
计算：
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
1 AB BC CD ； 2 OB BC CA．
uuur
uuur
1 AD； 2OA．
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
向量的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，向量 的减法是否也有类似的法则？
相反向量
规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的 相反向量，记作-a，显然-(-a)=a，
规定，零向量的相反向量仍是零向量。
向量减法的定义
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾