数字信号处理及matlab实现部分作业详解

1、把序列⎪⎩⎪⎨⎧== ,01 ,20 ,1)(其他＝n n n x 表示为单位阶跃之和的形式。

解：)
2(2)1()( )]2()1([2)1()()1(2)()(---+=---+--=-+=n u n u n u n u n u n u n u n n n x δδ2、判断下列系统线性性、因果性、稳定性。

(a))()(n nx n y =；
(b)b n ax n y +=)()(,其中a ，b 为常数；
解：(a)线性性：对于两个输入序列)(1n x 和)(2n x ，相应的输出分别为)(1)(1n nx n y =)
(2)(2n nx n y =这两个输出的线性组合为
)
(2)(1)](2)(1)(3n bnx n anx n by n ay n y +=+=这两个输入信号的线性组合产生的输出为
)
(2)(1)](2)(1[)](2)(1[)(4n bnx n anx n bx n ax n n bx n ax T n y +=+=+=现在)(4)(3n y n y =，所以系统为线性系统；
因果性：因为系统只与当前输入有关，所以系统是因果的；
稳定性：若)(n x 有界，即∞<≤M n x |)(|，则nM n x n n nx n y ≤≤=|)(||)(||)(|，当∞→n 时，∞→)(n y ，所以不稳定。

(b)线性性：对于两个输入序列)(1n x 和)(2n x ，相应的输出分别为
b n ax n y +=)(1)(1b
n ax n y +=)(2)(2这两个输出的线性组合为
db
n dax cb n cax n dy n cy n y +++=+=)(2)(1)](2)(1)(3这两个输入信号的线性组合产生的输出为
b n dax n cax b n dx n cx a n dx n cx T n y ++=++=+=)(2)(1)](2)(1[)](2)(1[)(4现在)(4)(3n y n y ≠，所以系统为非线性系统；
因果性：因为系统只与当前输入有关，所以系统是因果的；
稳定性：若)(n x 有界，即∞<≤M n x |)(|，
则|||||||)(||)(||)(|b M a b n ax b n ax n y +≤+≤+=，即|)(|n y 有界，所以稳定。

3、一个线性移不变系统的冲击响应)(n h 和输入信号)(n x 分别为
⎪⎩⎪⎨⎧=== 2 ,11 ,20 ,1)(n n n n h ＝，⎪⎩
⎪⎨⎧==-=1 ,30 ,21 ,1)( n n n n x ＝，求系统对输入的响应。

解：根据卷积公式∑-=-=
2
1)()()(k k n h k x n y ，得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=3 ,32 ,81 ,80 ,41 ,1)(n n n n n n y ＝
1、求序列)1()()(---=n u b n u a n x n n 的z 变换，并确定它的收敛域。

（a b a b >>>,0,0）
解：∑∑∑∑∞
=-∞=---∞=-∞=--=-=1010)(n n n n n n n n n n n n z b z a z b z
a z X 前部分收敛域为：11<-az ，即a
z >后部分收敛域为：11<-z b ，即b
z <因此，b
z z a z z z b z b az z X -+-=---=---111111)(，b z a <<2、已知1
33)(232-+-+=z z z z z z X ，用长除法求x(n)。

解：长除法的商为：...94)(321+++=---z z z z X ，（在考试的时候要列出长除法的具体表达式，这里因为不好打字所以没做）
因此，)
1()(2-=n u n n x 3、已知1,)
5.0)(1()(2>--=z z z z z X ,用部分分式法求x(n)。

解：5
.0211)5.0)(1()(-+-=--=z A z A z z z z z X 2)1()5.0)(1(11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==z z z z z A ，1)5.0()5.0)(1(25.0-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==z z z z z A 1
15.011125.012)(-----=--+-=
z z z z z z z X 查表得：)()5.02()(5.0)(2)(n u n u n u n x n n -=-=1、描述采样定理；
对于一个C Ω≤Ω的带限信号，只要采样频率高于带限信号最高频率的两倍，即C Ω>Ω时，可以由其采样信号唯一正确地重建原始信号，这就是采样定理。

2、请阐述离散傅立叶级数和离散傅立叶变换的关系；
离散傅里叶级数是周期序列，只有N 个独立的值，只要知道一个周期的内容，其他内容就可以知道。

对于长度为N 的有限长序列，可以看做是周期为N 的周期徐磊的一个周期，因此可以利用离散傅里叶计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅里叶变换。

因此，离散傅里叶变换本质上是离散傅里叶级数。

3、描述用DFT 计算线性卷积的过程；
假设)(1n x 序列有M 个点，)(2n x 序列有N 个点，1-+=N M L ，则利用DFT 计算线性卷积的过程如下：
（1）将)(1n x 、)(2n x 序列后面分别补零，成为长度为L 的序列；
（2）将补零后的序列分别作L 点DFT 变换获得)(1k X 、)(2k X ；
（3）将)(1k X 、)(2k X 相乘，然后乘机再做IDFT 变换，变换后就是)(1n x 、
)(2n x 的线性卷积。

4、解释频谱泄漏、谱间干扰、栏栅效应；
由于用DFT 对序列进行谱分析时，必须将其截断为长度为N 的有限长序列，序列的频谱是离散谱线，经截断后每根谱线都带上了一个辛格谱，就好像使谱线向两边延伸，通常将这种因时域上的截断导致频谱展宽成成称之为频谱泄漏。

因截断使主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，称之为谱间干扰。

N 点DFT 是在频率区间[0,2π]上对信号的频谱进行N 点等间隔采样，得到的是若干个离散点)(k X ，且它们只限制为基频0F 的整数倍，这就好像在栏栅的一边透过缝隙看另一边的景象，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成本被遮挡，所以成为栏栅效应。

5、求信号11 )()(<<-=a n u a n x n 的傅立叶变换；解：a z a z z z a z n u a z X n n n n n >-===∑∑∞=-∞-∞=- )()(0
n ，可见极点在单位圆内，为因果稳定线性移不变系统，把ωj e z =代入可得序列的傅里叶变换为：
a
e e e X j j j -=ωωω)(6、有一频谱分析用的FFT 处理器,其抽样点数必须是2的整数幂,假定没有采用任何特殊的数据处理措施,已知给定的条件为:
频率分辨率≤1Hz,信号最高频率≤10kHz.
试确定以下参量：1最小记录长度Ｔ０；②抽样点间的最大时间间隔Ｔ（最小抽样频率）；③在一个记录中最少点数Ｎ．
解：（1）s 11
1100==≥F T （2）s 105115-⨯=⨯⨯=<h T （3）4
154
3010232768221021
101022⨯>===⨯=⨯⨯=>m h N F f N 取
1、
数字低通滤波器的参数为：通带：ωp =0.20π，R P =1dB ，阻带：ωs =0.50π，R s =15dB 。

用双线性变换法设计巴特沃思型数字低通滤波器，写出设计好的巴特沃思型数字低通滤波器的系统函数H(z)。

解：用频率预畸公式，3249.02tan =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=Ωp p ω，12tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ωs s ω；1)1lg(20R =--=p p δ，15
)lg(20=-=s s R δ因此，89125.01011
==--p δ，17783.01015==-s δ09195.011)1(21
22=⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---=--s p d δδ，3249.0=ΩΩ=s p k 由12.2lg lg N =≥k
d ，得滤波器阶数N=3，查表得a1=2,a2=2,a3=1,所以归一化的3阶低通滤波器函数为：
1
)(+++=p G ，0343.0)(+++=Ω=s G p s
p 系统函数为：3
213
2123231
277.0183.176.11018.0054.0054.0018.0527
.0242.2336.3895.1034.0103.0103.0034.0)
()(------+-=-+-+++=-+-+++==z z z z z z z z z z z z s G z H z s 2、线性时不变系统的差分方程为y(n)+2y(n-1)=x(n)+x(n-1)，系统的初始状态
为零，输入信号为x(n)=u(n),求y(n)。

（10点）
解：根据y(n)=x(n)+x(n-1)-2y(n-1)，
y(0)=x(0)+x(-1)-2y(-1)=1;y(1)=x(1)+x(0)-2y(0)=0;y(2)=x(2)+x(1)-2y(1)=2……
一直迭代做到y(9)体会滤波的过程。

3、设模拟滤波器的系统函数为233)(2+++=
s s s s H a ，用冲激响应不变法设计数字滤波器。

解：2112233)(2+-+=+++=
s s s s s s H a 因此1211112)(-------=z e z e z H T T ，令T=1，则2
1123112121121105.0503.01097.01)(1211112)(---------------+-+=++--+=---=z z z z e z e e z e e z e z e z H ）（
1、设计线性相位低通数字滤波器，要求滤波器的阻带衰减A S <-50dB,通带边频ωp =0.25π，阻带边频ωs =0.55π。

（1）选择合适的窗函数并确定滤波器长度N 。

（2）求滤波器的延时。

窗函数过渡带宽最小阻带衰减（dB ）
矩形窗 1.8π/N
-21三角窗
4.2π/N -25汉宁窗
6.2π/N -44汉明窗
6.6π/N -53布莱克曼窗11π/N
-74解：（1）根据题意，过渡带宽为πωω3.0=-p s ，根据阻带衰减查表符合要求的为汉明窗，过渡带宽为N /6.6π，因此，22
=N （2）滤波器延时5
.102/)1(=-=N τ2、请描述吉布斯效应，并以相应的图示说明
解：理想低通滤波器和阻带幅度分别为衰减1和0，和Hg（w）在通带和阻带均有波纹，通常称为吉布斯效应。

照教材218页进行描述及图示。

3、用凯泽窗设计一个线性相位的低通数字滤波器，要求阻带衰减A s 为－75dB ，通带边频ωp =0.25π，阻带边频ωs =0.55π。

（1）确定凯泽窗函数的β参数和滤波器的长度N
（2）确定滤波器的时延。

已知凯泽窗的过渡带宽为10π/N ，凯泽窗函数的β参数可由下式计算：
0│A s │<21dB
=β0.5842(|A s |-21)0.4+0.07886(|A s |-21)21<│A s │<=50dB
0.1102(|A s |-8.7)
│A s │>50dB 解：（1）由题意得3.7)7.875(1102.07.8||1102
.0=-⨯=-=）（s A β，过渡带宽πωω3.0=-p s ，已知凯泽窗的过渡带宽为10π/N ，因此，34
=N （2）滤波器延时5
.162/)1(=-=N τ4、用窗函数法设计一个N ＝7阶低通数字滤波器，截止频率为0.2π，采用矩形窗。

解：由题意得()[]()332.0sin 2121sin 21)(--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n N n N n N n h n h c d πππω，h(0)=h(6)=0.1009,h(1)=h(5)=0.1514,h(2)=h(4)=0.1871,h(3)=0.2。