4函数的极值与最大小值

解 当 x 0 时，
f(x)=2x-4x322=2x3x-2432
令 f (x) = 0 ,求得稳定点 x = 6 ， 又因
f(6)=(2+8x 63 4)x=6=6>0
依定理6.11， x = 6 为 f 的极小值点，极小值 f (6)=108.
在直定到理n6-.11阶2 （导极函值数的，第在三x 0 充处分n阶条可件导）且设f(k)f(x 在0)= x 0 0 的(k= 某1 邻,2,域… ,内n-存1),
考察例子
f(x) =
x4 sin2
1 x
,
x 0,
0,
x = 0,
显然, 它有极小值 f(0) = 0.
由于
x 4 sin 21
4 x 3 sin 21-x 2 sin 2
f(0 )= lim x= 0 ,f(0 )= lim x x= 0
x 0 x
x 0
x
因此 f ( x ) 不满足定理6.10的条件.
在 x 1不取极值.再求四阶导数 f(4 )(x )= 2 4 (3 5 x 3-4 5 x 2+ 1 5 x -1 ),
有 f (4)(0) 0. 因为n = 4 为偶数，故 f 在 x 0 取得极大值.
综上所述， fБайду номын сангаас(0) 0 为极大值，
f(4)=-(4)4(3)3=- 6912 7 7 7 823543
（时I）f若(x当)x0，则(x在0点x,0x取0)得时极f小(值x).0 ，当 x(x0,x0) （II）若当 x(x0,x0)时 f(x)0 ，当 x(x0,x0)
时 f(x)0，则在点 x 0 取得极大值.
注1 由定理6.10易看出，函数单调区间的分界点——驻点、
不可导的点是可能的 极值点(只是可能的极值点! 未必一定
注 定理5.3说明可导函数的极值只能在其驻点 x 0 处取到，
即x
是驻点只是可导函数
0
f
(
x
)在点 x
取得极值的必要条
0
件，而不是充分条件，如 f (x) x3，x 0是其驻点，但
并不是 f (x) x3 的极值点.
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定理6.10 （极值的第一充分条件）设 f 在点 x 0 连续，在某 邻域 U0 x0; 内可导.
f n x0 0, 则
（ⅰ）当n为偶数时， f 在 x 0 处取得极值，且当 f (n)(x0)0 时 取极大值，f (n)(x0)0 时取极小值.
（ⅱ）当n为奇数时， f 在 x 0 处不取极值.
该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
例3 试求函数 x4(x 1)3的极值.
解 由于 f(x)=x3(x-1)2(7x-4)， 因此 x 0 , 1 , 4 是函数
§4 函数的极值与最大（小）值
一 极值判别 二 最大值与最小值
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一 极值判别
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且 也是函数性态的一个重要特征.
费马定理（定理5.3）已经告诉我们，若函数 f 在点 x 0 可
导，且x 0 为 f 的极值点，则 f ( x0 ) =0，这就是说可导函 数在点x 0 取极值的必要条件是 f ( x0 )=0.
12f(x0)与12f(x0)o(1) 同号， 所以当 f(x0)0时，（1）式取
负值 . 从而 ，对任意 xUo(x0;)有 f(x)- f(x0 )<0,
即 f 在 x 0 取极大值.
同样对 f (x0 )>0,可得 f 在 x 0 点取极小值 .
注 定理6.11 判定极值的充分条件而非必要条件.
表示↘递减）：
x (-∞,0) 0 (0,1)
y
+ 不存在 -
1 (1,+ ∞)
0
+
y
↗
0
↘
-3
↗
由上表可见：点 x = 0 为 f 的极大值点，极大值 f (0)=0； x = 1 为 f 的极小值点，极小值 f (1)=-3（图6-7）
例2 求 f(x)= x2 + 432 的极值点与极值. x
当| 而c
x o
s
|
充分小且
1 x
在的
x0
x
0
0,
x0,
充0 时分,小f 的( x领) 的域符内号, 无决限定次于改c o变s 1x正的、符负号号, ,
因此 f ( x ) 不满足定理6.10的条件.由此可见, 若 f ( x ) 在点 x 0
取极大值, 则在点 x 0 的充分小的领域内, 不一定在点 x 0 左
例1 求 f(x)=(2x+5)3 x2 的极值点与极值.
5
2
解 f(x)=(2x+5)3x2=2x3-5x3 在（-∞，+∞）上连
续，且当 x 0 时，有
f(x)=10x2 3-10x-3 1=10x-1.
33
3 3x
易见，x = 1为 f 的稳定点，x = 0 为 f 的不可导点，这两点是
否是极值点，需作进一步讨论．现列表如下（表中表示↗递增，
的三个稳定点． f 的二阶导数为
7
f(x )= 6 x 2 (x -1 )(7 x 2-8 x + 2 )
由此得 f(0)f(1)0及 f(4)0， 所以 f ( x)在x 4 时取得极小
值.求三阶导数
7
7
f(x ) 6 x ( 3 5 x 3 6 0 x 2 3 0 x 4 )
有 f(0 )0 ,f(1 )0 . 由于 n = 3 为奇数，由定理6.12知 f
是,如 x 0是函数 y x 3 的驻点，但非极值点)，求函数极值
的第一步：先将可能的极值点找出来； 第二步：用第一充分 条件进行判断.
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注2 定理6.10 为判定极值的充分条件而非必要条件.
考察例子 f(x)2x22sin1x, x0,
2,
x0,
它有极大值 由于
f(x)2x2sin1xcos1x, x0,
侧上升, 右侧下降.
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定理6.11（极值的第二充分条件）设 f 在 x 0 的某邻域 U ( x0; )
内一阶可导，在 x x 0 处二阶可导，且 f(x0)0,f(x0)0.
（ⅰ）若 f(x0)0 ，则 f 在 x 0 取得极大值.
（ⅱ）若 f(x0)0 ，则 f 在 x 0 取得极小值.
(析) 由条件及 f 在 x 0 处的二阶泰勒公式
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) 2 1 ! f x 0 x x 0 2 x x 0 2
知
f(x)f(x0) f2 x01 xx02
1
又因 f(x0)0，故存在正数 ，当 xU(x0;)时，