工程力学A单辉祖第10章弯曲内力.ppt
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Fs FA
F C
M
B
2. 弯矩：M
M C＝0， M FA x 0
Fs
FB
M FA x
内力总是成对的，大小相等，方向相反，正负号如何规定？
二、剪力和弯矩的符号规定
§10-3 剪力与弯矩
+
+
剪力：使微段有沿顺时针 方向转动趋势为正
+
+
弯矩：使微段弯曲呈凹 形为正
FS + FS FS - FS
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
l/2
l/2
l
FAy
FBy
D－ D
FSE＝－2F ME＝0
Me
C ME
3. A＋截面的剪力与弯矩
FSA＋＝－2F MA＋＝Fl
4. D-截面的剪力与弯矩
FSD-＝F
MD-＝0
FAy
FSE
M e MA
A
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0
§10-1 引言
上图：水闸立柱 下图：跳板
三、对称弯曲
§10-1 引言
工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴， 整个杆件有一个包含所有对称轴和杆件轴线的纵向对称面。
§10-1 引言
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是
一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。
M e Fl
F
3. A＋截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
D－ D
ƩFy＝0, －FSA+－FAy ＝0
Ʃ百度文库A＝0, MA+ － Me ＝0
FSA＋＝－2F
MA＋＝Fl
l/2
l/2
l
FAy
FBy
M e MA
A
4. D-截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, FSD－F ＝0 ƩMD＝0, － MD ＝0
FSD-＝F MD-＝0
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：***
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
§10-1 引言 §10-2 梁的计算简图 §10-3 剪力与弯矩 §10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
§10-3 剪力与弯矩
例：简支梁AB受力如图，求截面D与C(C左、C右）上的剪力和弯矩。
解：⑴ 求支座约束力，建立平衡方程
MB(F) 0 : FAy 3a q 2a 2a M 0
MA(F) 0 : FBy 3a q 2a a M 0
解得：
FAy
5 3
qa
1 FBy 3 qa
§10-2 梁的计算简图
活动铰支座：垂直于支 承平面的支反力 FR
FRy
FRy
二、支座形式与支反力
§10-2 梁的计算简图
固定铰支座：支反力 FRx FRy
FRy FRx
FRy FRx
固定端：支反力 FRx FRy
支反力偶矩 M
M FRy FRx
§10-2 梁的计算简图
三、梁的类型
常见静定梁
F
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁
F
悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁
F
F
外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁
约束反力数超过静力平衡方程数的梁
F
4个未知约束反力（一度静不定梁）
三、梁的类型 ➢ 静定梁的工程实例形式：
§10-2 梁的计算简图
简支梁：
悬臂梁：
外伸梁：
外力
内力分析
M M C ( F e , M e ) (一侧)
左顺右逆为正
左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0
§10-3 剪力与弯矩 截面法计算任一指定截面剪力与弯矩
（1）计算未知支座约束力； （2）假想地将梁截开，并任选一段为研究对象； （3）画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正；
（4）由 SFy=0 计算 FS；
（5）由 SMC=0 计算 M，C 为截面形心。
纵向对称面
F1
F2
A
梁的轴线 B
梁变形后的轴线与
FRB
外力在同一平面内 FRA
一、 梁的载荷 F q(x)
§10-2 梁的计算简图
Me
常见的载荷类型
集中力(concentrated force) 分布载荷(distributed load) 集中力偶(concentrated moment)
二、支座形式与支反力
§10-3 剪力与弯矩
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
§10-3 剪力与弯矩
一、弯曲时梁横截面上的内力
F
例：如右图简支梁，已知外力F，
研究任一横截面x上内力。
A xC
B
截面法
FA
A
CM
FA
Fs
FB 1. 剪力：Fs
Fy＝0， FA Fs 0
一、弯曲的定义、力学特征与计算简图
受力特征： 垂直于杆轴线的外力，或 轴线平面内作用的力偶
§10-1 引言
变形特征：
变形前为直线的轴线， 变形后成为曲线。
计算简图 分析计算时通常以轴线代表梁
弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式。
梁：以弯曲为主要变形的杆件。
二、工程实例
§10-1 引言
二、工程实例
+
-
剪力符号另一定义：使微 段左端向上，右端向下的 相对错动为正
弯矩符号另一定义：使横 截面顶部受压为正
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力 ƩFy＝0 ƩMA＝0
A A＋ E
B
l/2
l/2
§10-3 剪力与弯矩
5 FAy 3 qa
指定截面法
求横截面上剪力的规律
横截面上的剪力在数值上等于截面一侧梁段上外力的代数和。
Fs F e (一侧)
左上右下为正
左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负。
指定截面法
求横截面上弯矩的规律
横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧梁段上外力和 外力偶对该截面形心的力矩之代数和。
l
FAy
FBy
D－ D
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
ƩFy＝0, －FSE－FAy ＝0
FAy
ƩME＝0, ME － Me +FAy·l/2 ＝0
Me
E ME
FSE
FSE＝－2F
ME＝0
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
F C
M
B
2. 弯矩：M
M C＝0， M FA x 0
Fs
FB
M FA x
内力总是成对的，大小相等，方向相反，正负号如何规定？
二、剪力和弯矩的符号规定
§10-3 剪力与弯矩
+
+
剪力：使微段有沿顺时针 方向转动趋势为正
+
+
弯矩：使微段弯曲呈凹 形为正
FS + FS FS - FS
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
l/2
l/2
l
FAy
FBy
D－ D
FSE＝－2F ME＝0
Me
C ME
3. A＋截面的剪力与弯矩
FSA＋＝－2F MA＋＝Fl
4. D-截面的剪力与弯矩
FSD-＝F
MD-＝0
FAy
FSE
M e MA
A
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0
§10-1 引言
上图：水闸立柱 下图：跳板
三、对称弯曲
§10-1 引言
工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴， 整个杆件有一个包含所有对称轴和杆件轴线的纵向对称面。
§10-1 引言
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是
一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。
M e Fl
F
3. A＋截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
D－ D
ƩFy＝0, －FSA+－FAy ＝0
Ʃ百度文库A＝0, MA+ － Me ＝0
FSA＋＝－2F
MA＋＝Fl
l/2
l/2
l
FAy
FBy
M e MA
A
4. D-截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, FSD－F ＝0 ƩMD＝0, － MD ＝0
FSD-＝F MD-＝0
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：***
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
§10-1 引言 §10-2 梁的计算简图 §10-3 剪力与弯矩 §10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
§10-3 剪力与弯矩
例：简支梁AB受力如图，求截面D与C(C左、C右）上的剪力和弯矩。
解：⑴ 求支座约束力，建立平衡方程
MB(F) 0 : FAy 3a q 2a 2a M 0
MA(F) 0 : FBy 3a q 2a a M 0
解得：
FAy
5 3
qa
1 FBy 3 qa
§10-2 梁的计算简图
活动铰支座：垂直于支 承平面的支反力 FR
FRy
FRy
二、支座形式与支反力
§10-2 梁的计算简图
固定铰支座：支反力 FRx FRy
FRy FRx
FRy FRx
固定端：支反力 FRx FRy
支反力偶矩 M
M FRy FRx
§10-2 梁的计算简图
三、梁的类型
常见静定梁
F
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁
F
悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁
F
F
外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁
约束反力数超过静力平衡方程数的梁
F
4个未知约束反力（一度静不定梁）
三、梁的类型 ➢ 静定梁的工程实例形式：
§10-2 梁的计算简图
简支梁：
悬臂梁：
外伸梁：
外力
内力分析
M M C ( F e , M e ) (一侧)
左顺右逆为正
左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0
§10-3 剪力与弯矩 截面法计算任一指定截面剪力与弯矩
（1）计算未知支座约束力； （2）假想地将梁截开，并任选一段为研究对象； （3）画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正；
（4）由 SFy=0 计算 FS；
（5）由 SMC=0 计算 M，C 为截面形心。
纵向对称面
F1
F2
A
梁的轴线 B
梁变形后的轴线与
FRB
外力在同一平面内 FRA
一、 梁的载荷 F q(x)
§10-2 梁的计算简图
Me
常见的载荷类型
集中力(concentrated force) 分布载荷(distributed load) 集中力偶(concentrated moment)
二、支座形式与支反力
§10-3 剪力与弯矩
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
§10-3 剪力与弯矩
一、弯曲时梁横截面上的内力
F
例：如右图简支梁，已知外力F，
研究任一横截面x上内力。
A xC
B
截面法
FA
A
CM
FA
Fs
FB 1. 剪力：Fs
Fy＝0， FA Fs 0
一、弯曲的定义、力学特征与计算简图
受力特征： 垂直于杆轴线的外力，或 轴线平面内作用的力偶
§10-1 引言
变形特征：
变形前为直线的轴线， 变形后成为曲线。
计算简图 分析计算时通常以轴线代表梁
弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式。
梁：以弯曲为主要变形的杆件。
二、工程实例
§10-1 引言
二、工程实例
+
-
剪力符号另一定义：使微 段左端向上，右端向下的 相对错动为正
弯矩符号另一定义：使横 截面顶部受压为正
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力 ƩFy＝0 ƩMA＝0
A A＋ E
B
l/2
l/2
§10-3 剪力与弯矩
5 FAy 3 qa
指定截面法
求横截面上剪力的规律
横截面上的剪力在数值上等于截面一侧梁段上外力的代数和。
Fs F e (一侧)
左上右下为正
左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负。
指定截面法
求横截面上弯矩的规律
横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧梁段上外力和 外力偶对该截面形心的力矩之代数和。
l
FAy
FBy
D－ D
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
ƩFy＝0, －FSE－FAy ＝0
FAy
ƩME＝0, ME － Me +FAy·l/2 ＝0
Me
E ME
FSE
FSE＝－2F
ME＝0
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。