工程力学A单辉祖第10章弯曲内力.ppt
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【优文档】学习任务——弯曲内力PPT
ENGINEERING MECHANICS
P
解：写出内力方程
Q(x)=P M(x)=Px
0xL
根据方程画内力图
Q图可以画在基线任一 侧，标正负号。
M图画在受拉侧，不标 正负号。
M图
q A
x L
qL
2⊕
qL 2 8
q Q(x)
B
A
M(x)
qL
2
Q图
Q(x) = qLqx 2
qL
2
M(x)=qLxqxx
L 五M集单工弯图、中跨学矩画力 静 项 M剪在：作定目力受使用梁5方拉梁的的程侧下左内弯和，侧右力曲弯不受截计构矩标拉面算件方正为上与力程负正剪内学·号。力力剪分。值图力析发绘图生制和了弯突矩变图，突变值等于集中力的值。
弯求变内 受五弯E集Q五四M梁集N图图矩下形力力、矩中、、：中G可画M列 特 方特 M力 用 以 力I剪剪N以在：：各点程 点作截弯作E力力画受使使E图：： ：用面曲用方方R在梁梁拉示杆内 垂的法变的I程程N基下下侧梁轴力 直左计形左G和和线侧侧，的线与 于右算为右弯弯任受受不M内由截 杆截指主截矩矩E一拉拉标力直面 轴面定的面方方C侧为为正方线位线上截构上H程程A，正正负程变置 的剪面件剪N··标。。号并为坐 外力上通力I剪剪C正。画曲标 力值的常值S力力负出线（ 或发剪称发图图号内。位生力为生x和和）。力于了和梁了弯弯间图轴突弯。突矩矩的。线变矩变图图函所，，数在突突关平变变系面值值式内等等的于于外集集力中中偶力力矩的的作值值用。。。
工程 力学
ENGINEERING MECHANICS
工学项目5
弯曲构件力学分析
单跨静定梁的内力计算与内力图绘制
一、概念
受力特点：垂直于杆轴线的外力或位于轴线所在平面内的外力偶矩作用。 变形特点：杆轴线由直线变为曲线。
P
解：写出内力方程
Q(x)=P M(x)=Px
0xL
根据方程画内力图
Q图可以画在基线任一 侧，标正负号。
M图画在受拉侧，不标 正负号。
M图
q A
x L
qL
2⊕
qL 2 8
q Q(x)
B
A
M(x)
qL
2
Q图
Q(x) = qLqx 2
qL
2
M(x)=qLxqxx
L 五M集单工弯图、中跨学矩画力 静 项 M剪在：作定目力受使用梁5方拉梁的的程侧下左内弯和，侧右力曲弯不受截计构矩标拉面算件方正为上与力程负正剪内学·号。力力剪分。值图力析发绘图生制和了弯突矩变图，突变值等于集中力的值。
弯求变内 受五弯E集Q五四M梁集N图图矩下形力力、矩中、、：中G可画M列 特 方特 M力 用 以 力I剪剪N以在：：各点程 点作截弯作E力力画受使使E图：： ：用面曲用方方R在梁梁拉示杆内 垂的法变的I程程N基下下侧梁轴力 直左计形左G和和线侧侧，的线与 于右算为右弯弯任受受不M内由截 杆截指主截矩矩E一拉拉标力直面 轴面定的面方方C侧为为正方线位线上截构上H程程A，正正负程变置 的剪面件剪N··标。。号并为坐 外力上通力I剪剪C正。画曲标 力值的常值S力力负出线（ 或发剪称发图图号内。位生力为生x和和）。力于了和梁了弯弯间图轴突弯。突矩矩的。线变矩变图图函所，，数在突突关平变变系面值值式内等等的于于外集集力中中偶力力矩的的作值值用。。。
工程 力学
ENGINEERING MECHANICS
工学项目5
弯曲构件力学分析
单跨静定梁的内力计算与内力图绘制
一、概念
受力特点：垂直于杆轴线的外力或位于轴线所在平面内的外力偶矩作用。 变形特点：杆轴线由直线变为曲线。
工程力学课件_10弯曲内力.
4
力学模型: F1
q
F2
M
纵向对称面
构件特征： 等截面直杆（等直梁）。
受力特点： 外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。
变形特点: 轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。 横截面发生了相对转动。
5
4. 工程实例
6
弯曲变形工程实例
7
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x)
q(x) FS(x)+dFS(x) A
FS(x) dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
28
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
M
C
水平直线
不变
M 抛物线 突变
CB 水平线 直线
x
(3)作FS 、M图：（从左至右）
qa/3
5a
25qa 2
M
25qa2 / 18 4qa2/3
FS 0 x 3
M 18
qa2/3 x (4)求FS 、M最大值：
5qa FS max 3
M1 qLx
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL 1
Fy qL FS2 q(x a) 0
1a
2q 2b
FS 2 q(x a L)
y x 图（a）
MB (Fi ) 0 ,
力学模型: F1
q
F2
M
纵向对称面
构件特征： 等截面直杆（等直梁）。
受力特点： 外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。
变形特点: 轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。 横截面发生了相对转动。
5
4. 工程实例
6
弯曲变形工程实例
7
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x)
q(x) FS(x)+dFS(x) A
FS(x) dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
28
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
M
C
水平直线
不变
M 抛物线 突变
CB 水平线 直线
x
(3)作FS 、M图：（从左至右）
qa/3
5a
25qa 2
M
25qa2 / 18 4qa2/3
FS 0 x 3
M 18
qa2/3 x (4)求FS 、M最大值：
5qa FS max 3
M1 qLx
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL 1
Fy qL FS2 q(x a) 0
1a
2q 2b
FS 2 q(x a L)
y x 图（a）
MB (Fi ) 0 ,
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
工程力学(单辉祖)_第10章_弯曲内力
FAy FCy F 2 FDy 3F 2 MD 3Fa 2
34
3. 画 FS 图 －水平直线
FS max 3F 2
4. 画 M 图 －直线
M max 3Fa 2
特点 ：铰链传力不传力偶矩，与铰相连 的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零
35
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线， 其凹凸性由载荷集度的正负而定
36
§10.6 刚架的内力
刚架内力
例题
37
刚架内力
刚架
用刚性接头连接的杆系结构
限制相连杆端截面间的相 对线位移与角位移
可传力，也可传递力偶矩
刚架内力
一般存在三内力分量－轴力FN; 剪力FS ; 弯矩M
38
例 题 [例10-9] 试画刚架的内力图
解：1. 外力分析
F
x
0,
FSA FAy Me l
Me FAy FBy l
M B 0
30
M A M e
3. 画剪力图
4. 画弯矩图
M 图－斜直线
M A M e M B 0
31
FS 图－水平直线
FSA Me l
例 题 [例 10-6] 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8 ql/8 ql/8 -3ql/8 0 ql2/16 ql2/16－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
34
3. 画 FS 图 －水平直线
FS max 3F 2
4. 画 M 图 －直线
M max 3Fa 2
特点 ：铰链传力不传力偶矩，与铰相连 的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零
35
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线， 其凹凸性由载荷集度的正负而定
36
§10.6 刚架的内力
刚架内力
例题
37
刚架内力
刚架
用刚性接头连接的杆系结构
限制相连杆端截面间的相 对线位移与角位移
可传力，也可传递力偶矩
刚架内力
一般存在三内力分量－轴力FN; 剪力FS ; 弯矩M
38
例 题 [例10-9] 试画刚架的内力图
解：1. 外力分析
F
x
0,
FSA FAy Me l
Me FAy FBy l
M B 0
30
M A M e
3. 画剪力图
4. 画弯矩图
M 图－斜直线
M A M e M B 0
31
FS 图－水平直线
FSA Me l
例 题 [例 10-6] 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8 ql/8 ql/8 -3ql/8 0 ql2/16 ql2/16－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
工程力学 (静力学)单辉祖主编PPT课件
y
F
y F
O
x
O
x
(a)
(b)
1-1-2 力的性质
例3：用图解法求合力
(a)
1-1-2 力的性质
例4：用图解法求Fx，Fy,Fz的合力
z Fz
FxxO源自Fyy1-1-2 力的性质
例4：已知系统平衡，画出B、C两点的受力方向
1-1-2 力的性质
例5：已知构件处于平衡状态，求Fc的方向
Fc
(a) (b)
➢ 固体力学研究在外力作用下，可变形固体内部各质点所产生的 位移、运动、应力、应变及破坏等的规律。属于固体力学范畴 的有材料力学、结构力学、弹性力学和塑性力学、复合材料力 学、断裂力学等。
➢ 流体力学的研究对象是气体和液体。研究在力的作用下，流体 本身的静止状态、运动状态及流体和固体间有相对运动时的相 互作用和流动规律等。属于流体力学的有水力学、空气动力学、 环境流体力学等。
据自己的爱好和特长，进一步广泛深入地研究工程力 学相关的其它问题
学习方法与要求
学习要求：
➢ 不可迟到、早退、旷课 ➢ 上课不允许睡觉、做与本课程无关的事、说与上课无关的话 ➢ 积极参与教学过程，认真完成课堂练习 ➢ 按教师要求及时、独立完成课后作业 ➢ 上课带教材、课堂笔记本、练习本、画图工具、计算器
M x M i xM y M i yM z M i z
M= ﹝（∑Mix）2+（Miy）2+（Miz）2 ﹞ ½
n
平面力偶系的简M化：Mi Mi i1
力偶系的平衡条件：
n
M Mi 0
或
i 1
M x M i x 0 M y M i y 0 M z M i z 0
平面力偶系的平衡条件：
工程力学精品课程-梁的弯曲内力PPT课件
BB
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
第10章 弯曲内力
6.04
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
工程力学 第10章.弯曲内力
M (x)
FS (x)
FS ( x) dFS
M ( x) dM
M
C
0
dx M ( x) FS ( x)dx q( x)dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x ) dx2 Fs ( x ) 略去二阶微量 q ( x) ，得： dx 2
弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力 FS。 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。
面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§10-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
E 3
x=3.1m
3.8
3.8
1.41
M
(kN· m) 3 2.2
[例6] 已知F图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 F(kN) 2 1
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
q=2kN/m
M(kN· m) 1 + 1.25 x
–
1
练习
P211:10-5
作业
P211:10-5 (b),(d),(f)
例题10 梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa , FB l l
工程力学10弯曲内力PPT课件
P
Y 0
A 4Pa
B
C
FsC YA 0
YA
a
a
2a YB
Fs C
P 2
4Pa
MC
mo 0
A
M C YA a 4Pa 0
• C Fs
MC
7 Pa 2
YA
P 2
（3）计算 B 截面内力
Y 0
A
Fs B YB 0
YA
Fs B
3 2
P
mo 0
M B YB 0 0
MB 0
P 4Pa
b
任意载
1. 分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm，
N/m。
q(x)
a dx
b
因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力 [q (x)dx]，根据平行力系求合力：
合力 b q(x) dx （载荷图面积） a
合力着力点：――在载荷图的面积形心上
Fb/l
+
x a Fbx / l Fab/ l x a Fa(l x) / l Fa(l a) / l Fab/ l
－
Fab/l
+
Fa/l
F
C处存在集中力F
剪力图上发生突变
突变的大小为
F Fb / l (Fa / l) Fl / l F
若梁上某点作用一向下（上） 的集中力，则在剪力图上该点的极
FA FB q 6 0 FB 3.5kN
[2]取CA段中任意截面的左侧部分加以
分析:
FS (x) qx 3x (0 x 2) C A
M (x) 1 qx2 3 qx2 (0 x 2) 2m
工程力学第10章弯曲内力
1.剪力
FQ Fy左侧外力
的代数和。
如取左侧段梁，则向上的 力为正，向下的力为负； 如取右侧段梁，则向上的 力为负，向下的力为正。
或FQ Fy右侧外力
即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力
左上右下为正
22
2.弯矩
M M C左侧外力
形心的力矩之和。
或M M C右侧外力
m
F
B
m
FB
FQ M
FAy
19
二、剪力和弯矩的符号规定
+
m
FQ
剪力FQ：左上右下为正，或使微段顺时针转 动为正.
m
FQ
dx
左下右上为负，或使微段逆时针转动为负.
-
m
FQ
m dx
20
+
弯矩M：左顺右逆为正，反之为负；或使微 段下凸为正，上凸为负
M m
M
m
（受拉）
-
m
m
21 （受压）
三、计算规律★★★
A
F
FB
B b
C a l
FB
Fa l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方 程和弯矩方程.
34
将坐标原点取在梁的左端 AC段:
FA
F
FB
B b x
Fb FQ ( x ) FA (0 x a ) (1) A l Fb M ( x ) FA x x ( 0 x a ) ( 2) l
a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩. F1=F
C
FA
FB
十 弯曲内力
+
FAy
(左侧梁) 左侧梁)
m F
m
F2
F3
M Fs
x (右侧梁) FB 右侧梁)
m
例：图示简支梁，已知： 图示简支梁，已知：
F =100 N, m1 = 20 N m, m2 =10 N m
F 1
m1 m2
2
试求指定截面的剪力F 和弯矩M 试求指定截面的剪力FS和弯矩M 。
a =100 mm, x1 =150 mm, x2 = 50mm
§10.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程 x—— 表示梁横截面的位置。 表示梁横截面的位置。
FS = FS (x)
——剪力方程 ——剪力方程 ——弯矩方程 ——弯矩方程
M = M(x)
二、剪力图与弯矩图
表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。 表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。
一、梁的内力的引入
例：悬臂梁截面内的内力 剪力F ): 剪力 s(x): 抵抗剪切作用的内 力, 是与横截面相切的分布内力系 的合力. 的合力. 弯矩M( ): 抵抗弯曲作用的矩, 弯矩 (x): 抵抗弯曲作用的矩, 是与横截面垂直的分布内力系的合 力偶矩. 注: 弯矩和扭矩的比较 共同点: 共同点:力偶矩 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲. 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲. F
左侧梁： 左侧梁：外力对 截面形心的力矩顺时针取正值 右侧梁：外力对 截面形心的力矩逆时针取正值 右侧梁：外力对截面形心的力矩逆时针取正值
计算剪力和弯矩的规律总结： 计算剪力和弯矩的规律总结：
外力、 外力、外力偶对弯曲内力符号的影响
第十章 工程力学之弯曲应力
max拉MWm1ax [拉] ； max压MWm2ax [压]
式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 max拉和最大压应力 max压 的抗弯截面模量，[ 压 ] 为材料的许用拉应力，[ 拉 ]为
材料的许用压应力。
例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁，可简化为受均布载荷 的简支梁，如图10-8所示。已知梁的跨长为3m，所受均布
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面；
后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象：
•两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。
2. 梁的变形规律
可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)
中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表
示中性层 故有
O
1
O
2
的曲率半径，因为中性层的纤维长度
O
1
O
2
不变，
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯
弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有
弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系
1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
第10章弯曲内力
M
mb
x
l
第十章 弯曲内力
§10－5 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系
一、M、FS和q之间的微分关系
二、推论 三、边界条件和突变条件 四、控制点法
§10－5 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系
一、M、 FS和q之间的微分关系y PF
q(x)
Me
q qx q↑为 +
Y 0 q↓为 -
x
q( x) q 常量
q q图
x FQ FQ图
dFS (x) q(x) 0 dx
dFS (x) q(x) q 常量 dx
x
水平线
斜直线 斜直线
M M图
dM (x) dx
FS (x)
FS
常量
FS 0
FS 0
FS 0
x
斜直线 水平线 斜直线
d
2M(x) dx2
一、工程实例 3. 吊车横梁
§10－1 引 言
§10－1 引 言
弯曲变形：外力垂直于杆的轴线，力偶作用在纵向平面内
梁：主要承受垂直于轴线载荷的杆件
直梁、曲梁
对称梁、非对称梁
二、平面弯曲
F A
FAy
§10－1 引 言
q
Me 对称面
B
x
FBy 对称轴
y
y
y
y
第十章 弯曲内力
§10－2 梁的计算简图
4
1 qa2 4
第十章 弯曲内力
§10－4 剪力、弯距方程与剪力、弯距图
一、剪力方程与弯矩方程 二、剪力图与弯矩图
§10－4 剪力、弯距方程与剪力、弯距图
一、剪力方程与弯矩方程
第十章弯曲内力课件
第十章 弯曲内力
h
1
§10-1 弯曲的概念和实例
起重机大梁
h
2
1
镗刀杆
h
3
车削工件
h
4
火车轮轴
h
5
6 h
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
h
7
Me
F2
F1
q
F3
F5
F4 F6
轴线
1、弯曲受力特点——外力垂直于杆件的轴线或杆受 到位于杆轴平面内的外力偶作用。 2、弯曲变形特点——杆的轴线由直线变为曲线。
一侧所有外力的代数和。
FSE
FAy
2F
外力正负：左上右下为正， 左下右上为负。
FSE
FSE
5F 3
2F F 3
h
28
简便法求截面上的剪力和弯矩
FAy
5F 3
FBy
F 3
FAy
FBy 截面上的弯矩等于截面任
一侧所有外力对截面形心力矩
的代数和。
ME
外力矩正负：左顺右逆为正，
FAy
2F
左逆右顺为负。
ME
ME
5F 3a 32
2F
a 2
3 Fa 2
h
29
例 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 B 左 截面和 B 右 上
的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
F
E
C
B
D
F By
F Ay 1m
1m
2m
1m 1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA0
FBy 7KN
MB 0
FAx
ql 2 / 2 最大剪力和弯矩分别为
h
1
§10-1 弯曲的概念和实例
起重机大梁
h
2
1
镗刀杆
h
3
车削工件
h
4
火车轮轴
h
5
6 h
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
h
7
Me
F2
F1
q
F3
F5
F4 F6
轴线
1、弯曲受力特点——外力垂直于杆件的轴线或杆受 到位于杆轴平面内的外力偶作用。 2、弯曲变形特点——杆的轴线由直线变为曲线。
一侧所有外力的代数和。
FSE
FAy
2F
外力正负：左上右下为正， 左下右上为负。
FSE
FSE
5F 3
2F F 3
h
28
简便法求截面上的剪力和弯矩
FAy
5F 3
FBy
F 3
FAy
FBy 截面上的弯矩等于截面任
一侧所有外力对截面形心力矩
的代数和。
ME
外力矩正负：左顺右逆为正，
FAy
2F
左逆右顺为负。
ME
ME
5F 3a 32
2F
a 2
3 Fa 2
h
29
例 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 B 左 截面和 B 右 上
的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
F
E
C
B
D
F By
F Ay 1m
1m
2m
1m 1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA0
FBy 7KN
MB 0
FAx
ql 2 / 2 最大剪力和弯矩分别为
《工程力学》第十章 弯曲应力
• 三、静力学关系
• 自纯弯曲的梁中截开一个横截
面来分析，如图10-5所示，图
中y轴为横截面的对称轴；z轴
为中性轴，z轴的确切位置待
定。在截面中取一微面积dA，
作用于其上的法向内力元素为
σdA，截面上各处的法向内力
图10-5
元素构成了一个空间平行力系。
• 由于梁弯曲时横截面上没有轴向外力，所以
这些内力元素的合力在x方向的分量应等于
• 图10-3所示。
图10-3
图10-4的对称轴，z轴与截面的中性轴重 合，如图10-4所示，至于中性轴的确切位 置，暂未确定。现研究距中性层y处纵向 纤维ab
• 由平截面规律知，在梁变形后该微段梁两
端相对地旋转了一个角度d ，如果以ρ代
表梁变曲后中性层
《工程力学》第十章 弯曲应力
§10-1梁弯曲时的正应力 设一简支梁如图10-1(a)所示，其上作用两个对称的集中 力P。此时在靠近支座的AC，DB两段内，各横截面上同 时有弯矩M和剪力Q，这种情况的弯曲，称为剪切变曲； 在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩M，而无剪力Q， 这种情况的弯曲，称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力
（10-15） • Wz称为抗弯截面模量，它是衡量横截面抗
弯强度的一个几何量，其值与横截面的形 状和尺寸有关，单位为米3(m3)或厘米 3(cm3)。对于矩形截面(图10-9)
（10-16）
• 对于圆形截面(图10-10(a))， （10-17）
• 对于空心圆形截面(图10-10(b))，
（10-18）
• (1)若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大 弯矩Mmax可能很小，而最大剪应力Qmax却 相对地较大，如果按这时的Mmax来设计截面 尺寸，就不一定能满足剪应力的强度条件；
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l
FAy
FBy
D－ D
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
ƩFy＝0, －FSE－FAy ＝0
FAy
ƩME＝0, ME － Me +FAy·l/2 ＝0
Me
E ME
FSE
FSE＝－2F
ME＝0
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
指定截面法
求横截面上剪力的规律
横截面上的剪力在数值上等于截面一侧梁段上外力的代数和。
Fs F e (一侧)
左上右下为正
左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负。
指定截面法
求横截面上弯矩的规律
横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧梁段上外力和 外力偶对该截面形心的力矩之代数和。
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0
§10-3 剪力与弯矩 截面法计算任一指定截面剪力与弯矩
（1）计算未知支座约束力； （2）假想地将梁截开，并任选一段为研究对象； （3）画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正；
（4）由 SFy=0 计算 FS；
（5）由 SMC=0 计算 M，C 为截面形心。
Fs FA
F C
M
B
2. 弯矩：M
M C＝0， M FA x 0
Fs
FB
M FA x
内力总是成对的，大小相等，方向相反，正负号如何规定？
二、剪力和弯矩的符号规定
§10-3 剪力与弯矩
+
+
剪力：使微段有沿顺时针 方向转动趋势为正
+
+
弯矩：使微段弯曲呈凹 形为正
FS + FS FS - FS
纵向对称面
F1
F2
A
梁的轴线 B
梁变形后的轴线与
FRB
外力在同一平面内 FRA
一、 梁的载荷 F q(x)
§10-2 梁的计算简图
Me
常见的载荷类型
集中力(concentrated force) 分布载荷(distributed load) 集中力偶(concentrated moment)
二、支座形式与支反力
§10-3 剪力与弯矩
5 FAy 3 qa
§10-3 剪力与弯矩
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
§10-3 剪力与弯矩
一、弯曲时梁横截面上的内力
F
例：如右图简支梁，已知外力F，
研究任一横截面x上内力。
A xC
B
截面法
FA
A
CM
FA
Fs
FB 1. 剪力：Fs
Fy＝0， FA Fs 0
§10-1 引言
上图：水闸立柱 下图：跳板
三、对称弯曲
§10-1 引言
工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴， 整个杆件有一个包含所有对称轴和杆件轴线的纵向对称面。
§10-1 引言
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是
一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。
+
-
剪力符号另一定义：使微 段左端向上，右端向下的 相对错动为正
弯矩符号另一定义：使横 截面顶部受压为正
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力 ƩFy＝0 ƩMA＝0
A A＋ E
B
l/2
l/2
§10-2 梁的计算简图
活动铰支座：垂直于支 承平面的支反力 FR
FRy
FRy
二、支座形式与支反力
§10-2 梁的计算简图
固定铰支座：支反力 FRx FRy
FRy FRx
FRy FRx
固定端：支反力 FRx FRy
支反力偶矩 M
M FRy FRx
§10-2 梁的计算简图
三、梁的类型
常见静定梁
F
§10-3 剪力与弯矩
例：简支梁AB受力如图，求截面D与C(C左、C右）上的剪力和弯矩。
解：⑴ 求支座约束力，建立平衡方程
MB(F) 0 : FAy 3a q 2a 2a M 0
MA(F) 0 : FBy 3a q 2a a M 0
解得：
FAy
5 3
qa
1 FBy 3 qa
M e Fl
F
3. A＋截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
D－ D
ƩFy＝0, －FSA+－FAy ＝0
ƩMA＝0, MA+ － Me ＝0
FSA＋＝－2F
MA＋＝Fl
l/2
l/2
l
FAy
FBy
M e MA
A
4. D-截面的剪力与弯矩 ƩFy＝0, FSD－F ＝0 ƩMD＝0, － MD ＝0
FSD-＝F MD-＝0
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：***
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
§10-1 引言 §10-2 梁的计算简图 §10-3 剪力与弯矩 §10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
M M C ( F e , M e ) (一侧)
左顺右逆为正
左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
§10-3 剪力与弯矩
例10-1：外伸梁，承受集中力F与集中力偶Me作用，计算横截面
E、A＋、D－的剪力和弯矩。
M e Fl
F
解：1. 计算支反力
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁
F
悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁
F
F
外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁
约束反力数超过静力平衡方程数的梁
F
4个未知约束反力（一度静不定梁）
三、梁的类型 ➢ 静定梁的工程实例形式：
§10-2 梁的计算简图
简支梁：
悬臂梁：
外伸梁：
外力
内力分析
一、弯曲的定义、力学特征与计算简图
受力特征： 垂直于杆轴线的外力，或 轴线平面内作用的力偶
§10-1 引言
变形特征：
变形前为直线的轴线， 变形后成为曲线。
计算简图 分析计算时通常以轴线代表梁
弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式。
梁：以弯曲为主要变形的杆件。
二、工程实例
§10-1 引言
二、工程实例
FAy＝2F FBy＝3F
2. E截面的剪力与弯矩
A A＋ E
B
l/2
l/2
l
FAy
FBy
D－ D
FSE＝－2F ME＝0
Me
C ME
3. A＋截面的剪力与弯矩
FSA＋＝－2F MA＋＝Fl
4. D-截面的剪力与弯矩
FSD-＝F
MD-＝0
FAy
FSE
M e MA
A
FAy
FSA
△→0
F MDFSD
D
△→0