第2讲周期性问题

周期性问题

人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。

——苏轼

在日常生活中，有不少“周而复始”的循环现象，如：日出日落、月缺月圆、四季轮回，我们称这样的现象叫周期现象。在长期的实践

中，人们还创造了具有这种周期性变化的记数

方法和计时方法，如：计算钟点是“l ，2，3，4，5. 6，7，8. 9，10 ,11，12”这12个数循环，构成一个周期。按照7天一轮计算天数是“日、一、二、三、四、五、六”，这也是一个周期，这相当于一些连续自然数被7除的余数0，l ，2，3，4，5，6的循环。 我们把与周期有关的数学问题叫做周期性问题。12个数的循环，就说周期是12；7个数的循环，就说周期是7。解周期性问题的关键是发现周期现象和利用周期，因此，我们在解这类问题时，要抓住两点： (1)找出规律，发现周期现象； (2)把要求解的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解法。 例题解析 例1 今年6月l 日是星期六，今年6月20日是星期几？ 分析与解：每星期有7天，就是以7为周期，把6月1 日作为周期的第1天，1除以7余l ，且6月1日是星期六。将星期与余数排列成下表： 余数 1 2 3 4 5 6 0 星期 六 日 一 二 三 四 五 从6月1日到6月20日共20天，20÷7=2……6，说明6月20日是星期四。 答：今年6月20日是星期四。 用这种方法计算时，先排列出余数与星期一至星期日的对应关系来，再计算总天数，用总天数除以7，查看余数相对应是星期几就可以了。 例2 如图2 -1，数手指．大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5；然后换向，无名指为6．中指为7，食指为8，大拇指为9；再换向，食指为10．…这样数到2010时，应该停在哪个手指上？

分析与解要依题意数手指．一个一个地数到2010是不太现实的，要找出规律，应通过观察。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… 2010 大 食 中 无 小 无 中 食 大 食 中 无…( ) 可以发现8个数为一周期，因为2010÷8= 251……2，余数是2，一周期里第2个是食指，所以数到2010就应停在食指上。 答：应该停在食指上。 例3某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出一集，星期六停播。问：最后一集在星期 几播出? 分析与解：把从星期日直至星期五这样的6天当作一个播放周期，试着看看84集的连续剧可播出多少周期零几天。由于84÷6 =14 可见这部连续剧恰可播14个周期，幸运的是，开播的那天恰是星期日，所以播完时恰逢星期五。 倘若是从星期二开播，就要先从84中减去4，得80，再看80÷6=13……2，这时，播最后一集的日子是星期一。 例4如图2-2，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面（ABC ）是红色，底面（BCD ）是白色，右侧面(ACD)是蓝色，左侧面（ABD ）是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧的棱翻转，第3次绕底面面对你的棱向你翻转，第4次绕底面左侧的棱翻转。此后依次重复上述操作过程。

问：按规则完成第l00次操作后，面对你的面是什么颜色？

解 由初始状态第1次翻转后，红面为底面；第2次翻转后，蓝面变为底面，这时黄面正对着你；第3次翻转后，黄面变为底面；第4次翻转后，红面变为底面，这时白面正对着你．继续按规则操作，会发现连续翻转到第8次时红面正对着你。此后，每8次操作面对你的红面重复出现，形成周期有序的变化。 由于100÷8=12……4．所以完成第100次操作后，面对你的面与完成第4次操作面对你的面相同，是白色，研究数的循环，就是要发现周期性和确定周期。在小学数学中，循环小数是大家较早遇到的周期性问题。

例 5 1

7 写成循环小数后，小数点后第

2000位数字是什么？

解 1

7

=0.142857142857…

它的循环节是6位，循环节的6个数字依次是1，4，2，8，5，7。因为2000÷6=333…2，所以，1

7 展开成循环小数后，它的第2000位数

字是循环节的第2位数字，是4。

答：小数点后第2000位数字是4．

分母是7的分数有一个十分有趣的性质，它们的循环周期都是6，循环节中的6个数字都是1，4，2，8，5，7，只是排列的顺序不同而已．具体写出来就是：

现在请想一想，你能回答下面的问题吗？ “有一个六位数，无论用1，2，3，4，5，6这6个数中的哪一个去乘它，所得的结果仍然是六位数，而且6令数字也完全相同，只是排列的顺序不同，这个六位数是多少？” 答：142857。

1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一年级 第二试有这样一道题：

一个自然数a ，若将其数字重新排列，可得一个新的自然数b 。如果a 恰是b 的3倍，我们称a 是一个‘希望数’。

请你举例说明：‘希望数’一定存在。 这是一道很难的题目，因为怎样寻找“希望数”，既没有法则可依，也没有公式可套，一个个试吗？没有足够的时间，很多同学都放弃了，如果你能联想到分母是7的分数写成循环小数后的上述性质，此题的答案就唾手可得： 3×142857 =428571．即428571是一个“希望数”。

若干个同样的数相乘，个位数字的变化也有

周期性。例如，2²的连乘积：2，2²=4，23

=8，24 =16，25=32，26=64，…个位数字的变化是2，4，8，6，2，4，…周期是4。

例6 求19931993的个位数字。

解：对于1993n

，其个位数字随n 的变化呈现一定规律，当n=l ，2，3，4，5，6，7，8，…时，1993的末位数字依次为3，9，7，1，3，9，7,1，…每4个数出现周期性变化，又1993÷4=498……1。

故19931993的个位数字为3。 给定自然数a ，可从特例归纳出a 的末位数字随n 的增大而作周期性变化的规律，很容易得到：(1)当a 的末位数字是0，1，5或6时，周期是1；(2)当a 的末位数字是4或9时，周期是2；(3)当a 的末位数字是2，3，7或8时，周期是4。一些有规律的数，被某个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性。

例7有一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…其中第1、第2个数都是1，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的和，那么，在这串数中，第2000个数被3除后所得的余数是几？

解 我们只要把前两个数被3除后所得的余数相加，然后再除以3，所得的余数就是后一个数被3除的余数。（想一想：为什么？）这样就很容易算出前若干个数被3除的余数．列表如下：

观察余数可以看出，第9、第10两个数被3除的余数与第l 、第2两个数被3除的余数对应相