三角函数平面向量一题多解 28题89解

题目及解答

(a+

-

证法二：由正弦定理，sin

a b c A

+≥⇒+

2

<三角函数图像变换问题的

2，所以2BD =(0,)πθ∈，所以

（2）由0[1,1]41010

b a b

b a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪

⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或

若4,a b <-则302a b b +<-<<；

若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<

，故5

1223

a b b +≤+<<． （3）由2

0[1,1]

442(1)0b a b a b b >⎧

⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩

得2

218()22a b +-≤， 由柯西不等式，2

2

22291112[8()]1()8282a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2

218()22

18()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4

3

23

a b ⎧=⎪⎪⎨

⎪=

⎪⎩

时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2.

第6题 三角形内角平分线定理的2种证法

三角形内角平分线定理：

△ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于D ，

则AB DB AC DC

=． 证法一：初中平面几何证法 利用平行线分线段成比例 证明：过D 作DE AC

交AB 于E ，则ADE DAC ∠=∠，

又DAE DAC ∠=∠，所以DAE DAC ∠=∠，

所以AE DE =，又由DE AC 得，

DB EB EB AB DC EA ED AC ===，所以AB DB

AC DC =

． 证法二：高中三角证法 正弦定理法 证明：在△ABD 和△ACD 中，

sin sin AB ADB

BD BAD ∠=

∠， sin sin AC ADC

CD CAD

∠=

∠， 而BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=，

所以sin sin ,BAD CAD ∠=∠sin sin ,ADB ADC ∠=∠所以AB DB

AC DC

=

． 说明：还可以利用面积法

第7题 三角形重心定理的2种证法

三角形重心定理：

三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．

如图，AD BE CF 、、是△ABC 的三条中线，则它们交于一点G ，且

2AG BG CG

GD GE GF

===. 证法一：初中平面几何证法，构造三角形中位线法

连接EF ，由已知EF 为△ABC 的中位线， 所以,EF

BC 1

2

EF BC =

， 设CF BE 、交于1G ，则再由EF

BC 得

11112BG CG BC

G E G F EF

===，

同理可证AD BE 、的交点2G 满足同样的性质，所以12G G 、重合于G ，且2AG BG CG

GD GE GF

=== 证法二：高中向量几何证法，利用相等向量法

在中线AD 上取点1G 满足112AG G D

=，则112AG G D =，

于是123AG AD =，又D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，

所以1

1()3

AG AB AC =+， 对于平面ABC 内任意点O ，1

1()3

OG OA OB OA OC OA -=-+-

所以1

1()3

OG OA OB OC =++，同理在中线BE 上取点2G 满足222BG G E

=，则

21

()

3OG OA OB OC =++，在中线CF 上取点3G 满足332CG G F

=，则

31

()

3

OG OA OB OC =++， 所以123OG OG OG ==，所以1

2

3

G G G 、、重合于G 且 2.AG BG CG GD GE GF

===

第8题 垂心定理的2种证法

若AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，则AD 、BE 、CF 相交于一点H ．H 叫做△ABC 的垂心．

证法一：初中平面几何证法，运用四点共圆性质

证明：设△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点H ，连结CH 交AB 于点F ． ∵AD ⊥BC 于E ，BE ⊥AC 于E ，

∴A 、B 、D 、E 四点共圆，∴∠1＝∠ABE ， 同理∠2＝∠1，∴∠2＝∠ABE ， ∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90°即CF ⊥AB ．

证法二：高中解析几何法，坐标法

如图，

以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0)，由两条直线垂直的条件

1,BE AC c

k k a =-

=1,CF AB b k k a

=-=