空间直角坐标系中点的坐标求法
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例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° .
z
求 P 点的坐标。
r n (1, 1,0)
AP ( 1,1, t )
(0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
uuu r r AP gn 3 6 sin 60 uuu , 解得t r r 2 3 AP gn
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° . 求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
x 2 y 2 z 2 2
F(?,?,?)
B(2,2,0)
F (2 , 2 , 2 2 )
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
CE∥平面 PAB，求 E 点坐标
1.四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱 都是底面边长的 2 倍，P 是侧棱上的点 （1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC， AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE 是边长为 6 的正三角形， （1）证面 DEC⊥面 BDE （2）求点 A 到面 BDE 的距离 E
点的坐标的设元与求解策略
高中数学人教版选修2-1第三章Leabharlann Baidu
引例
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
C D
A
B
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
z S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
x (1,0,0) D C (0,0,0)
A (2,2,0)
B (0,2,0)
D
A
C
B
4.在锥体 P-ABC 右，底面是边长为 1 的菱形，且 ∠DAB=60°，PA=PD= 2 ，PB=2，E，F 分别 是 BC、PC 的中点， （1）证 AD⊥面 DEF （2）求二面角 P-AD-B 的余弦值。
P F
C
D E A B
5.在四棱锥 P-ABC 右，侧面 PCD⊥底面 ABCD， PD⊥CD，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥CD， ∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2 （1）证 BC⊥面 PBD（2）Q 是棱 PC 上一点， 满足二面角 Q-BD-P 为 45°，求 Q 点坐标
x
(0,1,t)
(0,1,0)
y
(1,0,0)
(1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的 中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
P
D
C
A
B
6.四棱锥 P-ABCD 中底面是正方形，SA⊥CD，BD⊥SC （1）证 SA⊥平面 ABCD （2）点 P 在 SC 上，SC⊥平面 PBD，设 SA=AB，求直线 BP 与平面 SBD 所成角的大小。
S
P A D
B
C
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
uu u r PB (2,2, 2)
E (0,1,1)
D (0,0,0) F (2λ,2λ,2-2λ)
uuu r EF (2 ,2 1,1 2 ) uuu r uuu r 由 EF⊥PB EF gPB 0
y
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
由两点的距离公式可得
( x 1)2 y 2 z 2 1 2 2 2 ( x 2) ( y 2) z 4 x 2 ( y 2)2 z 2 4
S(?,?,?)
x2 2 x 1 y2 z2 1 2 x 4 x 4 y2 4 y 4 z2 4 2 2 2 x y 4 y 4 z 4
P
E
D F
C
A
B
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
E (0,1,1)
解得 x 1, y
2
1 D(1,0,0)
2
A(2,2,0)
B(0,2,0)
1 3 1 3 ,z 故 S (1, , ) 2 2 2 2
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
解得
C (0,2,0) y
1 3
故 F
2 2 4 , , 3 3 3
x
A
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练
1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
2 如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面成的角为 45°， 1 底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，若 2
D (0,0,0) F
C (0,2,0) y
A
x
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解 三点共线（有坐标） 两向量共线 P(0,0,2)
PF PB
( x, y, z 2) (2,2, 2) (2 ,2 , 2 )
z
求 P 点的坐标。
r n (1, 1,0)
AP ( 1,1, t )
(0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
uuu r r AP gn 3 6 sin 60 uuu , 解得t r r 2 3 AP gn
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° . 求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
x 2 y 2 z 2 2
F(?,?,?)
B(2,2,0)
F (2 , 2 , 2 2 )
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
CE∥平面 PAB，求 E 点坐标
1.四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱 都是底面边长的 2 倍，P 是侧棱上的点 （1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC， AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE 是边长为 6 的正三角形， （1）证面 DEC⊥面 BDE （2）求点 A 到面 BDE 的距离 E
点的坐标的设元与求解策略
高中数学人教版选修2-1第三章Leabharlann Baidu
引例
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
C D
A
B
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
z S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
x (1,0,0) D C (0,0,0)
A (2,2,0)
B (0,2,0)
D
A
C
B
4.在锥体 P-ABC 右，底面是边长为 1 的菱形，且 ∠DAB=60°，PA=PD= 2 ，PB=2，E，F 分别 是 BC、PC 的中点， （1）证 AD⊥面 DEF （2）求二面角 P-AD-B 的余弦值。
P F
C
D E A B
5.在四棱锥 P-ABC 右，侧面 PCD⊥底面 ABCD， PD⊥CD，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥CD， ∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2 （1）证 BC⊥面 PBD（2）Q 是棱 PC 上一点， 满足二面角 Q-BD-P 为 45°，求 Q 点坐标
x
(0,1,t)
(0,1,0)
y
(1,0,0)
(1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的 中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
P
D
C
A
B
6.四棱锥 P-ABCD 中底面是正方形，SA⊥CD，BD⊥SC （1）证 SA⊥平面 ABCD （2）点 P 在 SC 上，SC⊥平面 PBD，设 SA=AB，求直线 BP 与平面 SBD 所成角的大小。
S
P A D
B
C
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
uu u r PB (2,2, 2)
E (0,1,1)
D (0,0,0) F (2λ,2λ,2-2λ)
uuu r EF (2 ,2 1,1 2 ) uuu r uuu r 由 EF⊥PB EF gPB 0
y
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
由两点的距离公式可得
( x 1)2 y 2 z 2 1 2 2 2 ( x 2) ( y 2) z 4 x 2 ( y 2)2 z 2 4
S(?,?,?)
x2 2 x 1 y2 z2 1 2 x 4 x 4 y2 4 y 4 z2 4 2 2 2 x y 4 y 4 z 4
P
E
D F
C
A
B
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
E (0,1,1)
解得 x 1, y
2
1 D(1,0,0)
2
A(2,2,0)
B(0,2,0)
1 3 1 3 ,z 故 S (1, , ) 2 2 2 2
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
解得
C (0,2,0) y
1 3
故 F
2 2 4 , , 3 3 3
x
A
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练
1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
2 如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面成的角为 45°， 1 底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，若 2
D (0,0,0) F
C (0,2,0) y
A
x
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解 三点共线（有坐标） 两向量共线 P(0,0,2)
PF PB
( x, y, z 2) (2,2, 2) (2 ,2 , 2 )