空间直角坐标系中点的坐标求法
空间直角坐标系求圆心的位置
空间直角坐标系求圆心的位置
空间直角坐标系中，求圆心的位置需要知道圆的方程或者圆上的三个点的坐标。
假设我们知道圆的方程为(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a, b, c)为圆心的坐标，r为圆的半径。
如果我们知道圆上的三个点的坐标分别为(x₁, y₁, z₁)，(x₂, y₂, z₂)，(x₃, y₃, z₃)，我们可以通过数学方法求解圆心的坐标。
另外，如果我们知道圆在平面上的投影圆的方程，以及圆心在平面上的投影坐标，我们也可以通过一些变换方法求解圆心在空间直角坐标系中的位置。
总之，求解空间直角坐标系中圆心的位置需要依据具体的问题条件进行计算，可以通过圆的方程、圆上的点坐标或者投影圆的信息来求解。
希望这些信息能够帮助到你。
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间直角坐标系中点的坐标求法
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD， PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形， ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在， 求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练 1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°.
求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
（1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE
是边长为 6 的正三角形，
（1）证面 DEC⊥面 BDE
（2）求点 A 到面 BDE 的距离
6
AP n 2
3
(1,0,0)
x
(0,1,0) y (1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，
侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。
空间向量的直角坐标运算律
.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
3.2空间直角坐标系中点的坐标
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为 10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱
长为10，
所以正四棱锥的高为2 23 ，
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案
达标检测
1.点Q(0,0,2 017)的位置是 A.在x轴上 B.在y轴上
√C.在z轴上
D.在平面xOy上
1 2 34 5
答案
2.点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称
1 2 34 5
答案
3.点A(－1， 3，2)在xOz平面的射影点的坐标为
C－5
2
2，5
2
2，0， D－5
2
2，－5
2
2，0.
解答
引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶 点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)， D(0，－5,0).
解答
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5 2，侧棱长为13，建立的空 间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，
B5
2
2，5
2
2，0，
3第三讲 空间向量的坐标运算-学生版
第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。
高数空间解析几何学空间直角坐标系
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 移 动 1 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )
C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为 空 间 两 点
x1
P1 P 2
x1 2
1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2
y0 2 z3 2
2 2
y
2,
z3
P1 P 2
(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的 坐 标 为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b
《中点坐标公式》课件
中点坐标公式
REPORTING
目录
• 中点坐标公式的定义 • 中点坐标公式的应用 • 中点坐标公式的扩展 • 中点坐标公式的实际应用 • 中点坐标公式的注意事项
PART 01
中点坐标公式的定义
平面直角坐标系中的中点坐标公式
总结词
通过两点坐标求中点坐标
详细描述
在平面直角坐标系中，给定两个点的坐标$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，中点M 的坐标为$(frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2})$。
空间直角坐标系中的中点坐标公式
总结词
通过两点坐标求中点坐标
详细描述
在空间直角坐标系中，给定两个点的坐标$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_2, y_2, z_2)$， 中点M的坐标为$(frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2}, frac{z_1 + z_2}{2})$。
圆锥曲线中点弦的方程推导
总结词
基于中点坐标公式推导
详细描述
利用中点坐标公式，我们可以推导出圆锥曲 线中点弦的方程。设圆锥曲线$C: f(x,y)=0$ 上有点$M(x_0,y_0)$，过点$M$作直线$l$ 与曲线$C$交于另一点$N(x_1,y_1)$，则中 点$P(x,y)$的坐标为$left(frac{x_0+x_1}{2}, frac{y_0+y_1}{2}right)$。根据中点坐标公 式和圆锥曲线的性质，我们可以推导出中点 弦的方程为$fleft(frac{x_0+x_1}{2}, frac{y_0+y_1}{2}right)=0$。
空间直角坐标系中点的坐标求法
空间直角坐标系中点的坐标求法在我们日常生活中，经常听到“坐标”这个词，不知道你们有没有想过，它到底是什么样的东西？没错，坐标其实就是帮助我们确定某个点在空间中位置的工具，简单来说，就是告诉你“你在哪儿”，它就像是你出门旅行之前用地图找位置一样，只不过这张地图是数字的，而且还特别讲究“方向”。
好啦，今天我们不讲别的，咱们就来说说“空间直角坐标系中点的坐标”是怎么求的，听起来有点专业对吧？不过别怕，咱们慢慢聊，保证让你听完之后觉得“哦，原来这么简单呀”！先说说什么是空间直角坐标系。
你想象一下，咱们生活的世界是三维的，对吧？上下、左右、前后，咱们每走一步，都是在某一个方向上移动。
而空间直角坐标系就像是给这个三维世界画了个网格一样，把空间划分成了一个个小格子。
每个格子都有自己的位置，你只要知道了三个方向上的坐标值，基本上就能确定它的具体位置了。
说得简单点，空间直角坐标系就是一个三维坐标网，你的位置就是三个数字：x坐标、y坐标和z坐标。
说到这里，你可能就会想，假设我有两个点，它们分别在不同的位置，那我要怎么求这两个点的中点呢？这个问题一点也不复杂。
咱们先来个假设：假设点A的坐标是(x₁, y₁, z₁)，点B的坐标是(x₂, y₂, z₂)，那么它们的中点坐标怎么求呢？其实也就是“平均法”，就是把两个点在每个方向上的坐标分别加起来，然后除以2。
简单来说，中点的x坐标就是（x₁ + x₂）/2，y坐标是（y₁ + y₂）/2，z坐标是（z₁ + z₂）/2，听起来像不是特别复杂吧？举个例子，假设点A的坐标是(1, 2, 3)，点B的坐标是(5, 6, 7)，那它们的中点坐标就可以这样算：x坐标是（1+5）/2 = 3，y坐标是（2+6）/2 = 4，z坐标是（3+7）/2= 5。
所以，它们的中点坐标就是(3, 4, 5)。
是不是很简单？根本不需要什么特别复杂的计算。
你可能会想，为什么要这么算？为啥不直接找个“点”随便就行了呢？这个算出来的中点就是两点之间“平分”出来的一个“中心点”，它能够代表这两个点在空间中的一个“平衡”位置，常常在物理学、工程学等领域中，作为一种非常实用的工具。
空间直角坐标系中点与坐标系的关系
那在空间直角坐标系中，点M（a,b,c）的坐标出了是点与坐标轴垂线交点外， 是否也是代表着一种距离呢？和平面直角坐标系中肯定是不同的，那不同之 处在哪里？大家一起思考下。
Z c a
b M（a,b,c）
通过右图所演示的点的确立过程， 可以得到，空间直角坐标系中的 坐标，同样代表着一种距离信息。 X坐标绝对值表示点到 Y坐标绝对值表示点到
练习：在空间直角坐标系中作出点P(3，-2，4)
思路：现将问题放在平面上看待，即找出点P在平面XOY中的对应 点P`。两个点间就差一个高度4。
Z
P （3，-2,4）
Y （3，-2,0）P` X O
在空间直角坐标系中画出下列点，并思考他们有什么共同之处
A(1，1，0) B(1，2，0) C(1，0，1) D(2，0，1) E(0，1，2) F(0，2，3)
①点 P(a，b，c)关于 x 轴的对称点为 P1(a，－b，－c)； ②点 P(a，b，c)关于 y 轴的对称点为 P2(－a，b，－c)； ③点 P(a，b，c)关于 z 轴的对称点为 P3(－a，－b，c)； ④点 P(a，b，c)关于原点的对称点为 P4(－a，－b，－c)．
Y
YOZ平面 XOZ平面
的距离 的距离 的距离
c
O a
b
Z坐标绝对值表示点到
M` （a,b,0）
XOY平面
X
例题：在空间直角坐标系中，自点M（-4，-2,3）引各坐标平面和 坐标轴垂线。求个垂足的坐标。
M
所以，在X轴垂足坐标为
Z 3
在Y轴垂足坐标为
-4 Y
M`
-2 X O
在Z轴垂足坐标为 到XOY平面距离为 到Y0Z平面距离为 到XOZ平面距离为
怎么看空间直角坐标系的点
怎么看空间直角坐标系的点空间直角坐标系是三维空间中常用的一种坐标系。
在空间直角坐标系中，一个点可以由其在三个坐标轴上的坐标确定。
本文将介绍如何准确定位和观察空间直角坐标系中的点。
1. 空间直角坐标系的概念空间直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，通常分别表示为X轴、Y轴和Z轴。
这些坐标轴的交点称为原点，通常记作O。
每个轴上都有一个正半轴和一个负半轴；正半轴从原点开始延伸正方向，负半轴则反之。
通过给定点在X、Y和Z 轴上的坐标，可以确定三维空间中的一个点。
在空间直角坐标系中，每个点的坐标形式为(X, Y, Z)，其中X、Y和Z分别表示点在X、Y和Z轴上的坐标。
2. 确定一个点的坐标要确定一个点在空间直角坐标系中的坐标，需要找到该点在X、Y和Z轴上的投影。
以下是一种确定一个点的坐标的方法：•垂直于X轴放置一个尺度，尺度上的单位可以是任意长度单位。
将尺度的原点与X轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在X轴上的坐标。
•在与X轴垂直并与尺度平行放置一个尺度，将尺度的原点与Y轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在Y轴上的坐标。
•在与X轴和Y轴垂直的平面上放置一个尺度，将尺度的原点与Z轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在Z轴上的坐标。
通过以上步骤，可以得到点在X、Y和Z轴上的坐标，从而确定了该点在空间直角坐标系中的位置。
3. 观察空间直角坐标系中的点观察空间直角坐标系中的点可以通过以下方法进行：•视角的选择：选择一个适当的视角可以更好地观察点的位置。
可以通过改变观察者的位置和角度来调整视角。
观察点时，需要确保能够清晰地看到点所在的位置，并尽可能避免视觉上的混淆。
•点的位置关系：观察点时，可以注意点与坐标轴之间的位置关系。
对于每个点，可以通过观察其在各个轴上的坐标值，了解点在空间直角坐标系中的具体位置。
可以通过比较各个坐标轴上的坐标值，判断点在空间中是处于哪个象限或者平面上。
•距离和方向的观察：可以观察点与其他点、轴线或平面之间的距离和方向关系。
空间直角坐标系
yoz 面
o 面 xoy
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
x
Ⅷ
2017/2/4 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
Ⅴ
2
二、空间点的坐标
在直角坐标系下 1 1 有序数组 ( x, y, z ) (称为点 M 的坐标) 点 M
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
坐标轴上的点 P, Q , R ;
2017/2/4
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
A( x, y,0)
3
三、空间中两点之间的距离公式
两点间的距离公式:
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
2
2
6
2 2 2 ( 5 4 ) ( 2 3 ) ( 3 1 )
6
M3 M2
5
M 2 M 3 M 1M 3
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 .
2017/2/4 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
M1
例2. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
第一节
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
二、空间点的坐标
三、空间中两点之间的距离公式
四、小结
3.1.4空间向量的直角坐标运算
七、 当堂训练（ 8 分钟）
15
OA与BO的夹角
5. 已知 a (3, 2,5), b (1, 3,0), c (7, 2,1) ，求 2 | a b c | (4) cos a, b (1) a b c （2）(a b) c （3）
三、学习目标：(10s)
1. 掌握向量的坐标表示、坐标运算。 2．掌握平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3．掌握两个向量夹角与向量长度的坐标计算 公式。 4.体会类比思想在空间向量公式推导当中的 应用。
四、自学指导:（7分钟）
认真阅读课本P89-P91，并注意以下问题：
1.空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系 的方法以及如何用坐标表示向量的加减、数乘、 数量积？ 2.空间向量平行和垂直的条件是什么？ 3.怎样表达两个向量的夹角？ 4.向量长度的坐标计算公式是什么？ （限时7分钟，7分钟后进行检测，看谁能利用本节 知识做对检测题）
3.空间向量平行和垂直的条件
若 a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
a // b (b 0)
当b 与三个坐标平面都不平 行时
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
b1 a ___ 1 a b ( R) b2 a2 ___ a ___ 3 b
则 a
a a a
2 1 2 2
————————
Cos a, b
AB
2 2 2 a12 a 2 a3 b12 b2 b32 若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则
a b ———————— = ab
空间向量点坐标求法
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
射影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
(2) G 4, 0, 2 3
3 3
A1
a
求空间直角坐标下 点的坐标的方法
广西玉林高中
1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
a
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
，
x
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1,
y
B
11
)
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2，
公式法
D1 O
C1
x
y
6
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
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2
1 D(1,0,0)
2
A(2,2,0)
B(0,2,0)
1 3 1 3 ,z 故 S (1, , ) 2 2 2 2
学以致用
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
C D
A
B
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
z S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
x (1,0,0) D C (0,0,0)
A (2,2,0)
B (0,2,0)
y
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
由两点的距离公式可得
( x 1)2 y 2 z 2 1 2 2 2 ( x 2) ( y 2) z 4 x 2 ( y 2)2 z 2 4
S(?,?,?)
x2 2 x 1 y2 z2 1 2 x 4 x 4 y2 4 y 4 z2 4 2 2 2 x y 4 y 4 z 4
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
uu u r PB (2,2, 2)
E (0,1,1)
D (0,0,0) F (2λ,2λ,2-2λ)
uuu r EF (2 ,2 1,1 2 ) uuu r uuu r 由 EF⊥PB EF gPB 0
P
D
C
A
B
6.四棱锥 P-ABCD 中底面是正方形，SA⊥CD，BD⊥SC （1）证 SA⊥平面 ABCD （2）点 P 在 SC 上，SC⊥平面 PBD，设 SA=AB，求直线 BP 与平面 SBD 所成角的大小。
S
P A D
B
C
x 2 y 2 z 2 2
F(?,?,?)
B(2,2,0)
F (2 , 2 , 2 2 )
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
D (0,0,0) F
C (0,2,0) y
A
x
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解 三点共线（有坐标） 两向量共线 P(0,0,2)
PF PB
( x, y, z 2) (2,2, 2) (2 ,2 , 2 )
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° . 求 P 点的坐标。
探究一：空间内与坐标轴平行（坐标轴上） 的线段上的动点坐标的设元
D
A
C
B
4.在锥体 P-ABC 右，底面是边长为 1 的菱形，且 ∠DAB=60°，PA=PD= 2 ，PB=2，E，F 分别 是 BC、PC 的中点， （1）证 AD⊥面 DEF （2）求二面角 P-AD-B 的余弦值。
P F
C
D E侧面 PCD⊥底面 ABCD， PD⊥CD，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥CD， ∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2 （1）证 BC⊥面 PBD（2）Q 是棱 PC 上一点， 满足二面角 Q-BD-P 为 45°，求 Q 点坐标
点的坐标的设元与求解策略
高中数学人教版选修2-1第三章
引例
如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，
PB 与底面成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，
1 ∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，问在棱 2
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
P
E
D F
C
A
B
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
z
中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
(0,0,2) P
E (0,1,1)
解得
C (0,2,0) y
1 3
故 F
2 2 4 , , 3 3 3
x
A
(2,0,0)
B (2,2,0)
探究三：空间内既不在坐标轴上，也不满足 三点共线的点的设元与求解
侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1， 试求 S 点的坐标。
S
探究三：如图，四棱锥 S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，
CE∥平面 PAB，求 E 点坐标
1.四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱 都是底面边长的 2 倍，P 是侧棱上的点 （1）证 AC⊥SC （2）若 SD⊥面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在 点 E，使 BＥ∥面ＰＡＣ
S
A
D
B
C
３．四棱棱的底面ＡBCD 是梯形，AD∥BC， AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE 是边长为 6 的正三角形， （1）证面 DEC⊥面 BDE （2）求点 A 到面 BDE 的距离 E
例 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上一点，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° .
z
求 P 点的坐标。
r n (1, 1,0)
AP ( 1,1, t )
(0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
uuu r r AP gn 3 6 sin 60 uuu , 解得t r r 2 3 AP gn
x
(0,1,t)
(0,1,0)
y
(1,0,0)
(1,10)
探究二：空间内不与坐标轴平行的线段上的 动点坐标的设元与求解
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的 中点，F 在 PB 上，若 EF⊥PB 于点 F。 试求点 F 的坐标
PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，
求出 E 点的位置；若不存在，说明理由.
跟踪演练
1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点. 若平面 A1BD⊥平面 EBD，试确定 E 点的位置.
2 如图，四棱柱 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面成的角为 45°， 1 底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD＝1，若 2