专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
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2021考研高等数学17堂课
主讲 武忠祥 教授
专题9 方程根的存在性及个数
方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；
若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上
至少有一个实根.
【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+
→x f a
x ,0,)(lim <⋅=−
→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b a
βα,可以是有限数，也可以是无穷大.
方法2：罗尔定理；
若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且
),,(),()(b a x x f x F ∈=′
则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.
2.根的个数： 方法1：单调性；
若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上
最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()
(≠x f
n ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.
【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________
【例2】设,)1()(3
3x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根
(C)有3个根 (D)有4个根
【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++2342
3
在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0 （C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数. 【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+4 1 | |x 0cos ||2 1=−x x （C ）. （A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程 x x t x t −=∫ −30 d e 2 （ ） （A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−= ∫ −30 d e )(2 ，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区 间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。 又 13)(,0)0(22 +−=′=−x e x f f x −∞=′>=′+∞ →)(lim ,02)0(x f f x 062)(2 <−−=′′−x xe x f x ),0(+∞∈x 则存在唯一的),,0(0+∞∈x 使0)(0=′x f ，且 当),0(0x x ∈时， 0)(>′x f 当),(0+∞∈x x 时， 0)(<′x f 0)(0>x f ，−∞=+∞ →)(lim x f x 则原方程在区间),0(0x 上无实根，在区间),(0+∞x 上有唯一实根.故原方程共有三个实根. 【例6】 方程)1(22 +=+x x e x 的实根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解1】 令22)(2 −−+=x x e x f x ,则 01)0(<−=f ，,011 )1(>+= −e f 02)2(2>−=e f 则)(x f 分别在)2,0(),0,1(−内至少各有一个零点， 即原方程至少有2个实根，又 22)(−+=′x e x f x ，02)(≠+=′′x e x f 从而原方程最多2个实根，故原方程有且仅有2个实根. 【解2】 【解3】 【例7】设有方程ax x =ln ,则下列结论不正确的是( ) (A) 当e a 1> 时原方程无实根； (B) 当e a 1 =时原方程有唯一实根； (C)当e a 1 0<<时原方程有两个实根； (D) 当0≤a 时原方程有唯一实根 【解1】将原方程变形得0ln =−x ax 令),0(ln )(>−=x x ax x f 则 x a x f 1)(− =′ 1）若0≤a 时,,0)(<′x f 则)(x f 单调减，又,)(lim ,)(lim 0 −∞=+∞=+∞ →→+ x f x f x x 则 方程ax x =ln 有唯一实根. 2）若0>a 时,则当a x 10<<时，,0)(<′x f )(x f 单调减，当a x 1 >时，,0)(>′x f )(x f 单调增.又, )(lim ,ln 1)1 (,)(lim 0+∞=+=+∞=+∞→→+x f a a