Dijkstra算法
dijkstra算法
Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。
每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。
请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。
例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。
显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。
3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。
因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。
该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。
迪克斯特拉算法
迪克斯特拉算法
迪克斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）是一种常用的最短路径算法，用于在一个加权图中寻找从源节点到目标节点的最短路径。
它是一种贪心算法，它以最少的花费跟踪从源节点到其余各节点的最短路径。
迪克斯特拉算法的基本原理是：在一个加权图中，从源节点开始，首先把源节点标记为“已访问”，然后找出与源节点相连的节点，并把它们标记为“未访问”，接着找出与未访问的节点相连的节点，并把它们标记为“已访问”，直到到达目标节点为止。
这样，就可以确定从源节点到目标节点的最短路径。
迪克斯特拉算法的特点是它可以在线性时间内找到最短路径，因此在很多情况下，它是最佳的选择。
另外，它的实现也相对简单，并且易于理解。
迪克斯特拉算法并不能解决所有的最短路径问题，它只能处理有向无环图中的最短路径问题，所以在某些情况下，它可能会失败。
迪克斯特拉算法是一种非常有用的最短路径算法，它有许多优点，可以帮助我们在有向无环图中更加快速地找到最短路径。
dijkstra算法
Dijkstra算法是荷兰计算机科学家Dijkstra在1959年提出的，因此也称为Dijkstra算法。
它是从一个顶点到其他顶点的最短路径算法，解决了加权图中最短路径的问题。
Dijkstra算法的主要特征是它从起点开始使用贪婪算法策略。
每次，它遍历最近的顶点的相邻节点，直到起点延伸到终点，该节点才被访问。
算法思路
该算法是根据路径长度的递增顺序生成的
顶点集V分为两组
（1）S：一组计算的顶点（最初仅包含源点V0）
（2）V-s = t：一组不确定的顶点
T中的顶点以递增顺序添加到，以确保：
（1）从源点v0到S中其他顶点的长度不大于从v0到t的任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中的顶点：从v0到顶点的长度
t中的顶点：从v0到顶点的最短路径长度，仅包括s中的顶点作为中间顶点
基础：可以证明，t中从v0到VK的直接路径的权重是从v0到VK的直接路径的权重，或者是从v0到VK的路径权重之和，即通过S中的顶点。
（可以通过相反的证明方法证明）
寻找最短路径的步骤
算法步骤如下：
G = {V，E}
1.初始条件为s = {V0}，t = V-s = {其他顶点}，相应的顶点距离值以t为单位
如果存在<V0，VI>，则D（V0，VI）是<V0，VI> arc的权重如果没有<V0，VI>，则D（V0，VI）为∞
2.从t中选择一个具有与S中的顶点关联的边且权重最小的顶点W，并将其添加到s
3.修改t中其余顶点的距离值：如果将W添加为中间顶点，则缩短了从v0到VI的距离，然后修改了距离值
重复上述步骤2和3.直到s包含所有顶点，即w = VI。
Dijkstra算法
Dijkstra算法这⾥介绍 Dijkstra 算法，它是⼀个应⽤最为⼴泛的、名⽓也是最⼤的单源最短路径算法Dijkstra 算法有⼀定的局限性：它所处理的图中不能有负权边「前提：图中不能有负权边」换句话说，如果⼀张图中，但凡有⼀条边的权值是负值，那么使⽤ Dijkstra 算法就可能得到错误的结果不过，在实际⽣活中所解决的问题，⼤部分的图是不存在负权边的如：有⼀个路线图，那么从⼀点到另外⼀点的距离肯定是⼀个正数,所以，虽然 Dijkstra 算法有局限性，但是并不影响在实际问题的解决中⾮常普遍的来使⽤它看如下实例：（1）初始左边是⼀张连通带权有向图，右边是起始顶点 0 到各个顶点的当前最短距离的列表，起始顶点 0 到⾃⾝的距离是 0（2）将顶点 0 进⾏标识，并作为当前顶点对当前顶点 0 的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 2，就可以说，起始顶点 0 到顶点 2 的最短路径即 0 -> 2因为：图中没有负权边，即便存在从顶点 1 到顶点 2 的边，也不可能通过松弛操作使得从起始顶点 0 到顶点 2 的距离更⼩图中没有负权边保证了：对当前顶点的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作后，只要能从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，就能确定起始顶点到该顶点的最短路径（3）将顶点 2 进⾏标识，并作为当前顶点（4）对当前顶点 2 的相邻顶点 1 进⾏松弛操作，同时更新列表（5）对当前顶点 2 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，同时更新列表（6）对当前顶点 2 的相邻顶点 3 进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 1，就可以说，起始顶点 0 到顶点 1 的最短路径即 0 -> 2 -> 1（7）将顶点 1 进⾏标识，并作为当前顶点（8）对当前顶点 1 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，同时更新列表从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 4，就可以说，起始顶点 0 到顶点 4 的最短路径即 0 -> 2 -> 1 -> 4（9）将顶点 4 进⾏标识，并作为当前顶点当前顶点 4 没有相邻顶点，不必进⾏松弛操作从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，即顶点 3，就可以说，起始顶点 0 到顶点 3 的最短路径即 0 -> 2 -> 3（10）将顶点 3 进⾏标识，并作为当前顶点对当前顶点 3 的相邻顶点 4 进⾏松弛操作，发现不能通过松弛操作使得从起始顶点 0 到顶点 4 的路径更短，所以保持原有最短路径不变⾄此，列表中不存在未标识顶点，Dijkstra 算法结束，找到了⼀棵以顶点 0 为根的最短路径树Dijkstra 算法的过程总结：第⼀步：从起始顶点开始第⼆步：对当前顶点进⾏标识第三步：对当前顶点的所有相邻顶点依次进⾏松弛操作第四步：更新列表第五步：从列表的未标识顶点中找到当前最短距离最⼩的顶点，作为新的当前顶点第六步：重复第⼆步⾄第五步，直到列表中不存在未标识顶点Dijkstra 算法主要做两件事情：（1）从列表中找最值（2）更新列表显然，借助最⼩索引堆作为辅助数据结构，就可以⾮常容易地实现这两件事情最后，Dijkstra 算法的时间复杂度：O(E*logV)。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理， 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
Dijkstra算法详解
Dijkstra算法详解Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的经典算法，广泛应用在图论和网络路由等领域。
本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、步骤以及应用。
一、介绍Dijkstra算法，由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出，是一种用于求解带权有向图中单源最短路径问题的贪心算法。
该算法可以找到从给定源节点到图中所有其他节点的最短路径。
二、原理Dijkstra算法采用了贪心策略，通过逐步选择未访问节点中距离最短的节点，逐步确定最短路径的节点集合。
具体步骤如下：1. 创建一个数组dist[]，将所有节点的初始距离设置为无穷大，起始节点的距离设置为0。
2. 创建一个集合visited[]，用于记录已经确定最短路径的节点。
3. 选择距离最小的节点u，并将其标记为visited。
4. 遍历u的所有邻居节点v，更新节点v的最短距离dist[v]，如果dist[v]更新，则更新v的前驱节点为u。
5. 重复步骤3和4，直到所有节点都被访问过或没有可访问节点为止。
6. 最终得到的dist[]数组记录了起始节点到图中所有其他节点的最短距离，通过回溯前驱节点可以得到最短路径。
三、步骤解析我们通过一个简单的例子来解析Dijkstra算法的步骤。
假设我们有以下带权有向图：1. 初始化dist[]数组，所有节点的距离设置为无穷大，起始节点A 的距离设置为0。
dist[A] = 0, dist[B] = ∞, dist[C] = ∞, dist[D] = ∞, dist[E] = ∞, dist[F] = ∞。
2. 选择距离最小的节点，即起始节点A，将其标记为visited。
visited[] = [A]3. 更新节点A的邻居节点的最短距离。
节点B和节点C是节点A 的邻居节点，更新它们的最短距离。
dist[B] = 1, dist[C] = 44. 选择距离最小的节点，即节点B，将其加入visited集合。
Dijkstra算法详细介绍
Dijkstra算法详细介绍Dijkstra算法详细介绍1,算法特点：迪科斯彻算法使⽤了⼴度优先搜索解决赋权有向图或者⽆向图的单源最短路径问题，算法最终得到⼀个最短路径树。
该算法常⽤于路由算法或者作为其他图算法的⼀个⼦模块。
2.算法的思路Dijkstra算法采⽤的是⼀种贪⼼的策略，声明⼀个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和⼀个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 (dis[s] = 0）。
若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为⽆穷⼤。
初始时，集合T只有顶点s。
然后，从dis数组选择最⼩值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加⼊到T中，OK，此时完成⼀个顶点，然后，我们需要看看新加⼊的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否⽐源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。
然后，⼜从dis中找出最⼩值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。
3.举例实现这次来介绍指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。
我们⾸先要建⽴⼀个⼆维数组来记录点与点之间的关系，如下图所⽰：同时我们还需要⽤⼀个⼀维数组 dis 来存储源点（这⾥我们⽤使⽤1号点）顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下图所⽰：既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找⼀个离 1 号顶点最近的顶点。
通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。
当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。
既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。
迪克拉斯算法
迪克拉斯算法1. 算法思想Dijkstra算法的基本思想是通过已知距离最短的顶点来逐步确定到其他顶点的最短路径。
具体来说，算法维护一个集合S，初始时S中只包含源顶点，并且对所有顶点v，记录从源顶点到v的最短路径长度。
然后每次从S中选取一个距离最短的顶点u，并将该顶点加入S中，更新所有与u相邻的顶点v的最短路径长度。
2. 算法步骤Dijkstra算法的具体步骤如下：1）初始化：设置源顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2）逐步确定最短路径：重复以下步骤，直到所有顶点都被添加到集合S中。
a) 从未加入S集合的顶点中选取距离最短的顶点u。
b) 将u加入S集合。
c) 更新以u为起点的所有顶点v的最短路径长度，如果路径长度更短，则更新v的距离。
3）输出最短路径：当所有顶点都被添加到集合S中后，输出从源顶点到每个顶点的最短路径。
3. 示例为了更好地理解Dijkstra算法的运行过程，我们通过一个示例来演示算法的执行步骤。
假设有以下有向带权图G，其中顶点集合为{A, B, C, D, E, F, G}，边集合为{(A, B, 10), (A, C, 15), (B, D, 12), (C, F, 5), (D, E, 10), (E, F, 5), (F, G, 15)}，源顶点为A。
首先，初始化源顶点A的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
然后依次选取距离最短的顶点，逐步确定最短路径。
第一步：选取源顶点A，添加到集合S中，更新与A相邻的顶点B和C的距离。
此时距离最短的顶点是B。
第二步：选取顶点B，添加到集合S中，更新与B相邻的顶点D的距离。
此时距离最短的顶点是C。
第三步：选取顶点C，添加到集合S中，更新与C相邻的顶点F的距离。
此时距离最短的顶点是D。
第四步：选取顶点D，添加到集合S中，更新与D相邻的顶点E的距离。
此时距离最短的顶点是F。
第五步：选取顶点F，添加到集合S中，更新与F相邻的顶点G的距离。
此时距离最短的顶点是E。
dijkstra算法平均最短路径公式
Dijkstra算法（Dijkstra's algorithm）是一种用来确定图中起点到其他每个顶点的最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）在1956年提出的，是广泛应用于计算机科学和工程领域的重要算法之一。
1. 问题描述在一个带权重的有向图中，每一条边都有一个权重值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
给定一个起点，我们希望找到从起点到其他每个顶点的最短路径。
2. Dijkstra算法原理Dijkstra算法的基本原理是通过每次选择具有最小路径长度的顶点来逐步确定最短路径。
算法的具体步骤如下：1）初始化：将起点到其他每个顶点的最短路径长度初始化为无穷大，起点的最短路径长度初始化为0。
2）选择起点：选择起点作为当前顶点。
3）更新路径长度：对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于目前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
4）选择下一个顶点：从尚未确定最短路径的顶点中，选择具有最小路径长度的顶点作为当前顶点。
如果所有的顶点都已经确定了最短路径，算法结束；否则继续执行步骤3。
5）重复步骤3和步骤4，直到所有的顶点都确定了最短路径。
3. 算法的实现Dijkstra算法可以使用不同的数据结构来实现，包括数组、优先队列（如最小堆）等。
这里以使用数组和最小堆为例介绍算法的实现。
3.1 使用数组实现使用一个数组dist[]来存储当前起点到每个顶点的最短路径长度，初试化为无穷大。
使用一个数组visited[]来标记每个顶点是否已经确定了最短路径。
使用一个数组parent[]来记录每个顶点的前驱顶点。
具体实现步骤如下：1）初始化dist[]为无穷大，起点的dist值为0。
2）重复以下步骤n次，其中n为顶点数：a）选择dist[]中值最小且对应的顶点未被确定最短路径的顶点u。
b）标记顶点u为已确定最短路径。
数据结构迪杰斯特拉算法
数据结构迪杰斯特拉算法什么是迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法，也称为Dijkstra算法，是一种用于计算图中单个源点到其他所有顶点的最短路径的算法。
它是一种贪心算法，通过不断选择当前最优解，逐步求得全局最优解。
迪杰斯特拉算法的基本原理1.初始化：定义一个数组dist用于存储起始顶点到其他顶点的最短路径长度，初始值为无穷大；定义一个数组visited用于标记该顶点是否已经找到了最短路径，初始值为False；起始顶点的最短路径长度为0.2.选择起始顶点：从图中选择一个起始顶点作为当前顶点，并将其加入到已访问的顶点集合中，将起始顶点与其相邻的顶点的最短路径长度更新为起始顶点到其相邻顶点的距离。
3.更新最短路径长度：对于当前顶点的所有未访问邻接顶点，如果通过当前顶点到达邻接顶点的路径长度小于dist中记录的最短路径长度，则更新dist中的值为新的路径长度。
4.选择下一个顶点：在未访问的顶点中选择一个距离起始顶点最近的顶点作为下一个当前顶点，并将其加入到已访问的顶点集合中。
5.重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被访问过或者没有未访问的顶点可供选择。
6.输出最短路径：根据dist数组得到起始顶点到各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法的应用迪杰斯特拉算法主要应用于网络路由问题、地图导航、推荐系统等需要求解最短路径的场景。
其中，网络路由问题中的路由器可以看作图的顶点，网络连线可以看作图的边。
通过运用迪杰斯特拉算法可以找到从一个路由器到另一个路由器的最短路径，从而实现数据的快速传输。
地图导航问题中，道路可以看作图的边，交叉口可以看作图的顶点。
通过运用迪杰斯特拉算法可以找到从一个地点到另一个地点的最短路径，从而指导用户行进。
推荐系统中，用户可以看作图的顶点，用户之间的关系可以看作图的边。
通过运用迪杰斯特拉算法可以发现与用户最相关的其他用户，从而进行个性化推荐。
迪杰斯特拉算法的优缺点优点1.可以求解单源最短路径问题，适用于各种类型的图。
DIJKSTRA算法详细讲解
DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。
DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。
下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。
首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。
3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。
如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。
重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。
4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。
5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。
根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。
下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
将集合S设为空。
开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。
2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。
4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。
6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。
狄克斯特拉算法
狄克斯特拉算法
狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）是由荷兰计算机科学家艾兹贝尔·狄克斯特拉（Edsger W. Dijkstra）于1959年提出的一种最短路径算法，它可以解决单源最短路径问题（Single Source Shortest Path），是最常被使用的路由算法之一。
狄克斯特拉算法的基本思想是，从源点出发，每次选择最近的邻接点，然后以该点为中心，不断更新整个图的最短路径。
它的运行原理是：首先，将源点标记为已访问；然后，从源点出发，搜索图中的所有邻接点，更新每个邻接点的最短路径；最后，重复上述步骤，直至所有节点都被标记为已访问。
由于狄克斯特拉算法具有较强的适应性和可扩展性，因此它可以被广泛应用于多种复杂的路由问题中，如最近邻居（Nearest Neighbor）、最佳路径（Best Path）和最低成本路径（Lowest Cost Path）等。
此外，它还可以被用于解决无穷源最短路径问题（Infinite Source Shortest Path）。
狄克斯特拉算法的具体实现方法有很多，如堆优化的Dijkstra算法（Heap Optimized Dijkstra）和双向Dijkstra算法（Bidirectional Dijkstra）等。
狄克斯特拉算法在许多行业中都得到了广泛的应用，如交通和物流、社会网络分析、机器学习等。
它是一种非常实用的路由算法，可以帮助用户快速找到最短路径，从而提高效率和准确性。
迪克斯特拉算法
P[j]=P[k]; P[j][j]=1; } } } }
void main( ) { Graph<char> G;
G.ReadGraph("sctest.dat"); int n=G.NumberOfVertices( ); int *D=new int[n]; int **P=new (int**[n])[n]; ShortestPathDijkstra(G,0,D,P); for(int i=0;i<n;i++) { cout<<"P["<<i<<"]={ ";
if(D[j]<min) { k=j; min=D[j];}
final[k]=1; //marked vertex k, v=GetVertex(G,k); //found the shortest path for(j=1;j<n;j++) { w=GetVertex(G,j); l=G.GetWeight(v,w)+min;
S中只有一个源点v0，以后每求得的一条最短路 径就将终点加入S，直到全部顶点都加入到S.
定义一个数组 D[n]; n是图的顶点数。 D[i]=从源点v0到顶点vi最短路经的长度。
第一步 取D[i]为v0到vi的边的权值，无边时取值∞， 取一个最小值 D[j1]=min{D[i], i<n}
D[j1]是v0到vj1的最短路径的长度。
const T & eVertex) { PQueue< PathInfo< T > > PQ(MaxGraphSize);
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解Dijkstra算法是⼀种计算单源最短⽆负边路径问题的常⽤算法之⼀，时间复杂度为O(n2)算法描述如下：dis[v]表⽰s到v的距离，pre[v]为v的前驱结点，⽤以输出路径,vis[v]表⽰该点最短路径是否已经确认初始化：dis[v]=INT dis[s]=0 pre[s]=0 执⾏n次 在没有确定的点中找到⼀个路径最短的，并修改为已经确认 通过这个点修改其他所有没有确定的点 直到所有点已经确认为最短路径，退出循环现在证明算法的正确性：⾸先，我们说明两条性质：1.确定任何⼀个点为最短路径时，前驱p⼀定已经是最短路径（假设源点的前驱是它本⾝）。
2.任意时刻在还没有确定最短路径的点的集合中路径最短的点就是可以被确定的点。
稍微证明⼀下这两条性质（反证法）：证明1：假如前驱p还不是最短路径，那么显然当p是最短路径时到当前节点的路径更短，即不是最短路径的节点所确定的节点⼀定不是最短路径（好像很显然）证明2：为了⽅便描述，我们定义已经确定的点为⽩点，没有确定的点为蓝点。
若是蓝点中路径最短x还不能确定为⽩点，那么x的最短路径上必定存在⼀个蓝点y。
即dis[x]>dis[y]+edge[y][x]。
⽽dis[y]处于两种状态：(1)dis[y]已经是y点的最短路径，那么显然与dis[x]为蓝点中最短的相⽭盾。
(2)dis[y]还不是y点的最短路径，那么它的前驱显然是另外⼀个蓝点，即dis[y]>=dis[x]（这⾥省略了⼀些步骤，不过⾃⼰稍微想⼀下，我觉得挺显然的），也⽭盾。
综上，性质2得证。
回过头再看我们的算法：在刚开始的时候，⾸先确定的最短路（就是直接和源点相连的点）进⼊⽩点集合，满⾜性质1，2。
此后每个过程都满⾜以上两个性质，所以算法正确。
算法实现：1 memset(vis,0,sizeof(vis));2 vis[s]=1;3 dis[s]=0;4 for(int i=1;i<n;i++)5 {6 int m=INT_MAX;7 int k=0;8 for(int j=1;j<=n;j++)9 {10 if(!vis[j] && dis[j]<m)11 {12 m=dis[j];13 k=j;14 }15 }16 if(k==0)17 break;18 vis[k]=1;19 for(int j=1;j<=n;j++)20 {21 if(dis[k]+e[k][j]<dis[j])22 dis[j]=dis[k]+e[k];23 }24 }View Code。
Dijkstra算法
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7.4 .1 Dijkstra算法
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下面给出该算法的框图：
通过框图，容易计算该算法计算量 f ( p, q) ( p
2
)
。
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7.4 .1 Dijkstra算法
下面通过一个实例来说明Dijkstra算法是如何工作的。 ∞
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7.4 .1 Dijkstra算法
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7.4 .1 Dijkstra算法
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图) {G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞} for i:＝1 to n dij L(vi)＝∞
L(a):＝0 S:＝ （初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}
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7.4 .1 Dijkstra算法
Dijkstra算法基本思想:把图中所有结点分为两组， 每一个结点对应一个距离值。 第一组：包括已确定最短路径的结点，结点对应 的距离值是由v0到此结点的最短路径长度； 第二组：包括尚未确定最短路径的结点，结点对 应的距离值是v0经由第一组结点（中间结点）至 此结点的最短路径长度。 • 按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到 第一组中去，直至v0可达的所有结点都包含于第 一组。在这个过程中，总保持从v0到第一组各结 点的最短路径长度都不大于从v0至第二组任何结 点的路径长度。
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7.4 .1 Dijkstra算法
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设源点为v0 初始时v0进入第一组，v0的距离值为0；第二组包含其它所有结点， 这些结点对应的距离值这样确定（设vi为第二组中的结点）
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最短路径—Dijkstra算法Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。
（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
GPSR路由协议：（车载自组织网络中自适应路由协议研究_李诗雨）2>基于地理位置的路由随着科技的发展，现在的车辆通常都会具有全球定位系统，利用这个系统，车辆可以随时随地查找出自己的地理坐标。
于是越来越多的学者开始利用这些定位系统来制定新的路由，如Greedy Perimeter Stateless Routing(GPSR)}ZO}。
GPSR是影响最广和应用范围最大的一个路由协议。
它脱离了传统路由协议需要维护一个全局静态路由，需要时刻去查看该路由的有效性的方式，而开始将更多的注意力放到车辆四周的临近车辆，只依赖它们进行短距离的路由计算。
在GPSR协议中[[21]，网络节点都可以通过GPS等方法获取自身的地理位置，源节点在发送数据时会在报文里加入目的节点的GPS坐标，在后面每一跳节点都会查找自己的邻居车辆，在其中找到一个距离目的节点在地理位置上最近的节点作为下一跳节点。
这种尽量沿直线最短距离传递的路由称为贪婪传递(Greedy Forwarding )，如图2-14的情况，假设F点为需要转发报文的中间节点，D点为需要接收报文的目的节点。
半径为R的圆是F节点无线传输最大的范围，A,B,C三个节点为F节点的邻居节点，由于A节点在物理位置上距离D节点最近，因此F节点会将报文传送给A节点。
贪婪传递数据传输延时小，健壮性好，只要网络一直连通，就一定能发现可达路由。
但是由于没有全局路由，有些情况数据会传达到某一节点而它没有距离目的节点更近的临接节点，导致数据无法再向前传输，这种节点称为空洞。
GPSR在公路中测试性能比较高，但是在城市场景中不尽如人意，因为城市中车辆密度比较高，GPSR将很难检测出距离最优的传递路由。
[22]而基于地理位置的典型路由协议——贪婪边界无状态协议(Greedy Perimeter Stateless Routing, GPSR)具有开销小、扩展性和适应性较好等优点。
因此针对GPSR路由协议的研究，使其更好地适应车载网络场景是本文的研究方向。
VADD：基于车载传感器网络的路口数据传输的算法研究_罗钰清基于道路DTN的VADD算法：VADD通过分析车辆的移动性和可被预测性，通过路由计算，规划处一条理论上的GPSR——机会路由相结合，基于路口JTAR：一：背景城市环境——车辆密度稀疏且各条道路上分布不均匀——解决路由中断和局部最大化问题。
V2I：车辆向固定设施进行消息投递目标节点位置不会发生变化，不需要位置服务提供移动节点的当前位置。
稀疏环境下——兼顾车辆密度和路径长度基于路口和车流量感知路由优点：A:计算各条路口的转发时延，使用Dijkstra算法给出全局最优路径B:道路邻接长度进行路由恢复C:路由循环问题建筑物阻挡——城市道路环境下，不同道路的车辆之间不能直接进行通信，通过位于路口的车辆。
二：转发时延——Dijkstra算法计算出道路最小时延和全局最优路径消息在车辆间——贪婪转发模式；位于路口的消息出现局部最大化，启动路由恢复模式最优下一跳路口选择:依据邻居路口至消息目标节点所需要的最小时延。
消息转发时延：（VADD和GyTAR）2.1贪婪直路转发模式：采用GPSR贪婪转发策略假如在最优路口方向没有邻居出现，将由车辆继续携带消息直到在最优路口方向出现新的邻居。
极端情况下，消息将由车辆一直携带，直到到达路口。
2.2路由恢复策略：GPSR引入“存储-携带-转发”作为基本策略。
适应频繁中断的网络环境。
出现问题：1）携带消息恰好进入最优方向道路，贪婪直路；2）否则路由恢复模式。
路由恢复策略：当消息从路口J k被携带进入一条通往路口J t的非最优方向道路Skt,那么存在一个系数*满足：定理2：假设携带消息的车辆位于一条非最优道路Skt的位置Pt，令在此道路上从路口Jk到P。
的长度表示为IJk。
，那么该消息的最优下一跳路口可以表示为道路Skt的**的长度部分被定义为道路Skt的临界长度。
优点：降低路又恢复阶段的时延，从而降低消息投递时延。
2.路由循环及解决方案：1）位于路口的车辆在向最优下一跳路口进行转发时，在选择距离最优下一跳路口最近的邻居时，没有判断该邻居是否位于最优下一跳路口方向的道路。
因此，位于路口的车辆在选择下一跳邻居节点时，需要判断该邻居是否位于最优下一跳路口方向的道路。
如果所考察的邻居虽然距离最优下一跳路口是最近的，但如果不在最优方向的道路，则不向其转发。
2）二：城市车辆密度教稠密的环境下，可降低宽带竞争和包冲突，减小路由开销；根据节点所处位置及该节点的邻居节点所在的不同路口方向，可以将邻居节点划分为不同的区域。
邻居区域：位于同一道路的车辆和位于路口的车辆。
方案：对于一个节点A新产生的消息，或者接收到一个新的消息副本，只有在节点A的每个邻居区域中距离它最远的邻居才会被感染。
4.2GPSR路由算法的改进基于上述问题我们可以发现，GPSR路由协议在选择下一跳时，只依据邻居节点和目的节点的距离，而且忽略了建筑物的阻挡，道路拓扑结构问题。
在本文中提出一种改进方案，在贪婪转发模式下，选择下一跳节点时，除了考虑邻居节点与目的节点的距离之外，还引入邻居节点的速度方向。
在周边转发模式下，角度。
3.2.1DREAM路由协议3.2.2GPSR路由协议3.3基于地图的路由协议3.4本章小结2.3本章小结注：2.3.3路由技术在传统的有线网络中，路由算法的实现是通过网络中的路由器和交换机固定设备来完成的，车载网络Ad Hoc网络的特殊应用，它是由移动的节点之间形成的自组网络，具有节点移动性能高，无线带宽资源受限，通信链路存活时间短等特点，因此传统的基于距离矢量路由协议和基于链路状态路由协议己经不再适用，所以研究出如下功能的路由协议:检测网络拓扑结构变化情况;维护拓扑的连接;高度自适应功能。
此外，还要考虑多径路由、多播路由、稳定性路由和路由安全等问题。
目前已经有很多被大家接受的路由协议，如基于拓扑的路由协议DSR, AODV, DSDV, OLSR等，也有很多学者在这些协议的基础上进行分析和改进。
随着车载定位技术的不断发展，车载终端能够较精确地获得当前时刻的位置信息，结合这些信息可以有效地改善V ANET的路由性能，由于基于地理位置的路由协议是不必建立路由表或存储路径，并且每个节点仅需要依靠邻居节点的位置信息就可以决定下一跳节点，这样就能够较好地适应网络大小和拓扑结构变化的网络。
本文在后续章节将对车载路由协议作详细介绍。
基于地理路由协议GPSR的研究和改进_韩连胜———————具体流程基于地理位置的贪婪周边无状态路由算法理论及应用研究_王丽娟（博士论文，具体英文论文的翻译）2.2.1在上一章中对车载自组织网络路由算法优化的研究发现，在车载自组织网络路由算法的优化中，我们可以采用GPCR算法引入岔路口的车辆节点作为协调节点的方法，解决消息受道路两旁高大建筑物的阻挡和信号沿直线传播的问题；GSR算法中利用城市地图从整体上考虑消息转发路径并使用Dijkstra单源最短路径算法为消息投递过程选择最优路径的方法；A-STAR 算法中考虑道路上车辆节点密度并由此判断该道路连通性的优劣附以权重值的方法，解决真实道路场景中车辆密度分布不均问题；以及VADD算法引入的机会通信方式，采用“存储-携带-转发”的消息通信模式，解决车载网络链路不稳定，拓扑结构变化快等问题。