必修一函数的单调性1(含答案)

函数（一）

单调性

一、 基础知识

1、 增函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12

x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 叫做函数的增区间。

2、 减函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12

x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 叫做函数的减区间。

3、 单调性：如果函数()f x 在区间D 上式增函数或者减函数，那么就是函数()f x 在这一区间上具有

单调性，区间D 叫做函数的单调区间。

4、 单调区间：指的是函数具有单调性的最大取值区间。

5、证明单调性的步骤：做差→变形→判号→得结论。

6、单调函数的组合：某两个单调函数在同一区间内的加减后所得函数单调性

增函数+ 增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，

增函数—减函数=增函数，减函数—增函数=减函数

奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数

奇函数⨯偶函数=奇函数

二、习题精练

1、（1）证明函数2()f x x x =+在)+∞上递增 （2）证明函数2()f x x x =-在()0,+∞上递增。

2、（1）找出函数223y x x =-++的增区间 （2）找出223y x x =-++的减区间

3、（1）函数[)2

()485,f x x kx =--+∞在区间上单调递增，求实数k 的取值范围。 （2）函数[)2

()485,f x x kx =--+∞的增区间为，求实数k 的取值范围。 4、（1）已知函数{22,12,1

()x ax x ax x f x -+<+≥=是R 上的增函数，求a 的范围 （2）已知函数{2(4),2

416,2()x a x x ax x f x -<+-≥=是R 上的增函数，求a 的范围

5、求函数21y x =-

6、 已知函数()y f x =在区间(0,)+∞单调递减，请填空。

7、（1）函数()y f x =是定义在区间(0,)+∞上的单调增函数，且2

(2)(15)f m f m >-，求m 的取值范围。 （2）已知函数()y f x =是定义在(2,2)-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范

8、设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， (2)1f =，且 ()()()f xy f x f y =+，求满足不等式 (3)(3)2f f x +-≤的x 的取值范围.

9、已知函数(),f x x y R ∈对任意，都有()()()f x f y f x y +=+且当0x >时，2()0,(1)3f x f <=-

(1)求证：()f x 在R 上是减函数 （2）求()f x 在[]3,3-上的最值

10、已知函数()f x 定义在区间(0,)+∞上，满足对1122

()()()x f f x f x x =-且1,()0x f x ><时 (1) 求(1)f 的值 (2) 判断()f x 的单调性

(3)若[](3)1,()2,9f f x =-求函数在区间上的最小值

课后练习

1、已知函数()f x 对任意的,,m n R ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-，且0,()1x f x >>恒有

(1)求证：()f x 在R 上递增 （2）若(3)4f =，解不等式2

(5)2f a a +-< 2、已知{(21)72,(1),(1)

()x a x a x a x f x -+-<≥=在R 上递减，求a 的取值范围 参考答案

1、 略

2、 （1） (][],1,0,1-∞- （2） (][],1,1,3-∞-

3、 （1）40k ≤ （2）40k =

4、 （1）[]1,3 （2）3,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭

5、 （1）5(,3)(,15)2-∞-⋃ （2）3(0,)2

6、 （2）[]2,2-

10、（1）(1)0f = （2）单减 （3）—2

课后练习

1、（2）(3,2)-

2、31,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭