福师12秋《初等数论》练习题
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，那么( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，那么15〔〕n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数〔〕.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,那么A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),那么不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 〔8分〕四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔唯一的〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?〔8分〕解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] ------------(4分)= 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------〔4分〕2、求解不定方程144219=+y x .〔8分〕解：因为〔9，21〕=3，1443，所以有解； ----------------------------〔2分〕化简得4873=+y x ； -------------------〔1分〕考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------〔2分〕所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------〔1分〕因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
福师《初等数论》期末复习题
(单选题)1.如果b|a，a|b，则（）A: a=bB: a=-bC: a < bD: a=±b正确答案: D(单选题)2.如果b|a，a|c，则（）A: b=cB: b=-cC: b|cD: c|b正确答案: C(单选题)3.下列关于质数、合数的说法，正确的是（）A: 两个质数之和一定是质数B: 质数一定是奇数C: 两个合数之和一定是合数D: 两个质数之积一定是合数正确答案: D(单选题)4.所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个A: 20B: 21C: 22D: 23正确答案: C(单选题)5.1050与858的最大公因数是（）A: 2B: 3C: 6D: 12正确答案: C(单选题)6.（1/5）=（）A: -1B: 0C: 1D: 2正确答案: C(单选题)7.下列说法错误的是（）A: 101是合数B: 素数有无限多个C: 奇数一定能表示为两平方数之差D: 两个连续自然数互质正确答案: A(单选题)8.如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）A: 奇数B: 偶数C: 奇数或偶数D: 由n的奇偶性而定正确答案: B(单选题)9.适合同余式3x≡6(mod18)的x的整数值是（）A: 2+6t,t为任意整数B: 3+2t,t为任意整数C: 2+3t,t为任意整数D: 6+2t,t为任意整数正确答案: A(单选题)10.能被4,5,7整除的最小的正整数是（）. A: 120B: 130C: 140D: 150正确答案: C(单选题)11.417被-15除的带余除法表达式是（）A: 417 = (-15)(-30)-33B: 417 = (-15)(-26)+27C: 417 = (-15)(-28)+(-3)D: 417 = (-15)(-27)+12正确答案: D。
初等数论试题(练习题)
《初等数论》选修结业试题班级 姓名； 考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、=),0(b （ ）. A b Bb- CbD 02、如果a b ，b a ，则( ). Aba = Bba -= Cba ≤ Dba ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 Dba +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 二、计算题（每题10分，共30分） 1、 求24871与3468的最大公因数?2、 求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题（每题10分，共40分） 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.答案一、单项选择题C D C A C A 二、计算题 3、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17. 4、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题 5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,br '≤0.所以rbq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于br ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r'=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()bq a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,br ≤0.6、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.证明： 因为62332nnn ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332nnn ++是整数.7、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则().A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果(),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为().4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者().5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果b a ,是两个正整数,则存在()整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.（8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果b a ,是两个正整数,则存在(唯一)整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) =173911768⨯=104⨯391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分） 化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。
初等数论试题及答案
《初等数论》模拟试卷说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、填空（30分）1、d （1001）= 。
σ（2002）= 。
φ（5005）= 。
2、梅森数n M 是形如 的数。
3、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。
4、2003！中末尾连续有 个零。
5、（21a+4，14a+3）= 。
6、222z y x =+通解为 。
7、费尔马大定理是 。
8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。
9、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是 。
10、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 。
11、[X]=3，[Y]=5，则[X —2Y]可能的值为 。
12、X 能被3，4，7整除，这个最小的正整数是 。
13、两个素数的和是39，这两个素数是 。
二、解同余方程组（12分）⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x一、叙述并且证明费尔马定理。
（12分）二、证明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有∏=n d n d nd )(21 （10分）三、设Ｐ为奇素数，则有（10分）（１）111)1....(21----++p p p p ≡－1（ｍｏｄＰ）（２）p P P P )1....(21-++ ≡0（ｍｏｄＰ）六、用初等方法解不定方程01996202=+-xy x 。
（8分）七、解不定方程式15x+25y=-100. (6分)八、试证33393z y x =+ 无正整数解。
（6分）九、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（6分）《初等数论》模拟试卷（B ）答案一、1、8，1152，960，2、12-n3、19，4、499，5，1， 6、见书7、见书 8、77，9、c a a a n ),,(21 10、193，11、-9，-8，-7， 12、84，13、2，37二、孙子定理)140(mod 86≡x三、见书。
福师《初等数论》在线作业一-0005.BB6CF311-
A:A B:B C:C D:D 答案：C 9x+11y=100的正整数解的个数是（） A:0 B:1 C:2 D:无穷 答案：B a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（） A:0 B:1 C:2 D:无穷 答案：D题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见下图
A:错误 B:正确 答案：A题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：A题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B题面见图片 A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:错误 B:正确 答案：A
题见图片
A:错误 B:正确 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：A
。
A:A B:B C:C D:D 答案：D
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B 10^1000的缩剩余系与完全剩余系中元素个数之比是（） A:1/5 B:1/2 C:2/5 D:4/5 答案：C
福师《初等数论》在线作业一-0005
题见下图
A:A B:B C:C D:D 答案：A
。
A:A B:B C:C D:D 答案：B 不定方程a^2+b^2=c^2+d^2的互素正整数解组个数是（） A:0 B:1 C:有限 D:无穷 答案：D
。
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B 同余方程x^7+3x^6+3x^5+x+2≡0(mod 5)的解的个数是（） A:1 B:2 C:3 D:4 答案：C
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
福师《初等数论》在线作业二-000153B7C8
题见图片
A:A B:B C:C D:D答案：B
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A:A B:B C:C D:D答案：C
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A:A B:B C:C D:D答案：D题面见图片 A:错误B:正确答案：B
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A:错误B:正确答案：B题面见图片 A:错误B:正确答案：A题面见图片 A:错误B:正确答案：A
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A:A B:B C:C D:D答案：C p为素数是2^p-1为素数的（）A:充分条件B:必要条件C:充要条件D:既非充分也非必要条件答案：B恰有10个正约数的最小正整数是（）A:24 B:48 C:96 D:162答案：B a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A:0 B:1 C:2 D:无穷答案：D
A:错误B:正确答案：B
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A:错误B:正确答案：A
题见下图
A:错误B:正确答案：A
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A:错误B:正确答案：A题面见图片 AB:正确答案：A题面见图片 A:错误B:正确答案：A
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A:错误B:正确答案：A题面见图片 A:错误B:正确答案：A
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A:错误B:正确答案：A题面见图片 A:错误B:正确答案：B
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A:错误B:正确答案：B
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A:A B:B C:C D:D答案：A
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A:A B:B C:C D:D答案：B k是正整数，则k^2+k+1（）完全平方数A:一定是B:一定不是C:有可能是有可能不是D:无法判断答案：B不定方程a^2+b^2=c^2+d^2的互素正整数解组个数是（）A:0 B:1 C:有限D:无穷答案：D
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(完整版)初等数论练习题答案
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。
⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
初等数论测试(带答案)
,其中
563
是素数.
（8 分）
四、证明题(第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共 32 分)
n n2 n3 17、证明对于任意整数 n ,数 3 2 6 是整数.
18、证明相邻两个整数的立方之差不能被 5 整除. 19、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和.
A ac bc(mod m) B a b C ac T bc(mod m) D a b
5、如果( ),则不定方程 ax by c 有解.
A (a, b) c B c (a, b) C a c D (a, b) a
6、整数 5874192 能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
证明 设 n 是正数,并且 n 1(mod 4) ,
----------（3 分）
如果
n x2 y2 , 则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余, 所以 x2 , y 2 只能与 0,1 同余,
所以
x2 y 2 0,1,2(mod 4) ,
而这与 n 1(mod 4) 的假设不符,
C 7 不整除（12，15） D 7 不整除[12，15]
12、同余式
（ ）.
A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解
二、填空题 1、有理数 ，
，能写成循环小数的条件是（ ）.
2、同余式
有解，而且解的个数为( ).
3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为( ).
4、设 是一正整数，Euler 函数
429 67
27 67
(1)
27 1. 67 1 22
67 27
67 27
福建师范大学《初等数论》考试大纲
《初等数论》考试大纲一、单项选择题1、设a ，b ，c 是正整数，则（ A ） A. ),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a = B. [,,](,,)[,][,][,](,)(,)(,)a b c a b c a b b c c a a b b c c a = C. 22,,[,,][,][,][,](,)(,)(,)a b c a b c a b b c c a a b b c c a =（）D. [,][,][,](,)(,)(,)a b b c c a a b b c c a =2、设k 是正奇数，则（ B ）A. 1 + 2 + + 8∣1k + 2k + + 8kB. 1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9kC. 1 + 2 + + 7∣1k + 2k + + 7kD. 1 + 2 + + 5∣1k + 2k + + 5k3、用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)，则（ C ）A. 625,73x y ==B. 73,62x y ==C. 73,625x y ==D. 73,25x y ==4、=（258,516,1032）（ D ）A. 774B.516C.1032D.2585、两整数,a b 互质的充分与必要条件是（ A ）A.存在两个整数s ，t 满足条件+=1as btB.对任意两个整数s ，t 满足条件+=1as btC.存在两个正整数s ，t 满足条件+=1as btD.对任意两个正整数s ，t 满足条件+=1as bt6、设0,0m n >>，且m 是奇数，则（ B ）A.+=(2,21)1m nB.(21,21)1m n -+=.C.-=(21,2)1m nD. =(2,2)1m n7、若p 是素数，且p 不能整除a ，|p ab ，则( C )A. |b pB. |a pC.|p bD. |ab p8、若2n - 1是素数，则n 是（ D ）A. 3n >B.3n ≤C.合数D.素数9、以下结论正确的是（ A ）A. [][][][{}{}]x y x y x y +=+++B. +=+[][][]x y x yC.={+}{}+{}x y x yD. -+=[][]0x x10、设,x y 都是实数，则（ B ）A.[2][2][][][]x y x x y y +≤+++B.[2][2][][][]x y x x y y +≥+++C. [2][2]=[][][]x y x x y y ++++D. -+={}{}0x x11、313159被7除的余数等于（ C ）A. 4B.5C. 6D.712、设()f x 是整系数多项式，且(1),(2),,()f f f m 都不能被m 整除，则（ D ）A. 方程()0f x =只有零解B. 方程()0f x =有正整数解C. 方程()0f x =有负整数解D.方程()0f x =没有整数解13、777n =的个位数字是（ A ）A.3B.4C.5D.614、如果今天是星期一，问从今天起再过101010天是星期几？（ B ）A. 星期四B. 星期五C. 星期三D. 星期二15、甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生每人分到相同数量的铅笔x ，乙班学生每人也分到相同数量的铅笔y ，则（ C ）A. x=4,y=8B. x=4,y=4C. x=8,y=4D. x=8,y=816、设正整数n 的十进制表示为10k n a a a =，其中09,0,0i k a i k a ≤≤≤≤≠，且110()k k S n a a a a -=++++，则（ A ）A. 9|n 的充分必要条件是9|()S nB.9|n 的充分必要条件是n |9C. 9|n 的充分必要条件是9|2nD. n |9的充分必要条件是()|9S n17、若n 是奇数，则（ B ）A. 28|(+1)nB.28|(1)n -C. 28|nD. 2(1)|8n -18、设n ，k 是正整数，则（ C ）A. n k 与n k + 3的个位数字相同B. n k 与n k + 2的个位数字相同C.n k 与n k + 4的个位数字相同D. n k 与n k +14的个位数字相同19、以下结论正确的是（ A ）A.对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立B. 对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2都成立C. 对于某些整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2能够成立D. 对于某些正整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2能够成立20、以下结论正确的是（ B ）A. 3不能整除++(1)(21)n n n ，n ∈ZB. 12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈ZC. 若3∣a 2 + b 2，则3不能整除aD. 若3∣a 2 + b 2，则3不能整除b21、以下结论正确的是（ C ）A. 设r 是正奇数，则对任意的正整数n ，2n +都能整除(12)r r r n +++B. 设r 是正奇数，则对某些正整数n ，2n +能整除(12)r r r n +++C.整数5001001个能被1001整除D. 若,a b 是二个连续的正奇数时，则a b +不能整除a b a b +22、设0,|a a b >，则（ D ）A. (,)b a b =B. (,)2a b a =C. (,)a b ab =D.(,)a b a =23、若|,1,2,,i d a i k =，则（ B ）A. 122|(,,,)k d a a a B.12|(,,,)k d a a a C. 123|(,,,)k d a a a D. 124|(,,,)k d a a a24、设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，则（ A ）A. 17∣9x + 5yB. 17∣2xC. 17∣3yD. 17∣9x25、设n 为正整数，则（ C ）A. (!,(1)!1)1n n ++=B. (!1,(1)!)1n n ++=C. (!1,(1)!1)1n n +++=D. (!,(1)!)1n n +=26、以下结论正确的是（ A ）A. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 有相同的最大公约数 B. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 的最大公约数不相等C. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 的最小公倍数不相等D.设m 是12,,,n a a a 的任意一个公倍数，则12|[,,,]n m a a a27、设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，则（ B ）A. b ∣aB.a ∣bC. a ∣cD. c ∣a28、设a ，b 是正整数，则（ C ）A. (a + b )[a , b ] =b [b , a + b ]B. (a + b )[a , b ] = a [b , a - b ]C. (a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]D. (a - b )[a , b ] = a [b , a - b ]29、设a ，b 是正整数，且a < b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144，则（ D ）A. 72,48a b ==B. 46,74a b ==C. 44,76a b ==D. 48,72a b ==30、设,,a b c 为正整数，则（ A ）A.[,,](,,)a b c ab bc ca abc =B. [,,](,,)a b c a b c abc =C.,,[,,]a b c ab bc ca abc =（） D. ,,[2,2,2]2a b c a b c abc =（） 二、简述模m 的完全剩余系的特征，并给出模m 的完全剩余系的一个充分必要条件，其中m 为正整数解：（1）由带余数除法知道，对于给定的正整数m ，可将所有整数按照被m 除的余数分成m类，其中每一类都称为模m 的剩余类.从模m 的每一个剩余类中任取一个数组成一个集合，则称该集合是模m 的一个完全剩余系（或简称为完全系）.（2）同一剩余类中的任何两个整数关于模m 互相同余，不同剩余类中的任何两个整数关于模m 互不同余.（3） 整数集合M 是模m 的完全剩余系的充分必要条件是M 中含有m 个整数，而且M 中任何两个整数对模m 互不同余.三、叙述不定方程的定义，并简述n 元一次不定方程的一般解的求法.解：（1）不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且其解的取值范围受到某些限制（如整数、正整数和有理数等）的方程（组）．（2）n 元一次不定方程一般解的求法如下：首先，判断n 元一次不定方程是否有解，若有解，根据定理3．2．2将其化归为n-1个二元一次不定方程；再求出每一个二元一次不定方程的解的一般形式，从结果中消去参数，即得原n 元一次不定方程的解.四、叙述最大公因数和最小公倍数的定义，并简述二者的联系.解：（1）几个整数的公共因数称为公因数. 不全为零的几个整数的公因数中最大的一个，称为最大公因数（或最大公约数）（2）几个非零整数的公共倍数称为公倍数. 几个非零整数的正公倍数中最小的一个叫做最小公倍数（3）对任意非零整数a ，b ，有(),,ab a b a b ⎡⎤=⎣⎦，或者⎡⎤=⎣⎦,/(,)a b ab a b ，这说明两个非零整数的最小公倍数的问题实质上可化归为它们的最大公因数的问题.五、简述欧拉定理和Wilson 定理的证明过程中蕴涵的数学思想方法.解：（1）欧拉定理的证明过程蕴涵了整体化思想. 整体化思想就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径.（2）Wilson 定理的证明过程蕴涵了配对思想. 配对思想就是将整体对象中满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题.（3）配对思想方法实质上是通过对把局部补成整体的一种方法. 因此，也可以说配对思想是整体化思想的一种变形.（温馨提示：照抄答案，没有加入自己的答案，一律不给分。
初等数论练习题二（含答案）
初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(m od 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(m od 75111≡x . 8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(m od 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
最新福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-46、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数，参见P11-137、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52提示： 且是不小于5的素数．又 且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.1、 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
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福师12秋《初等数论》练习题
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一、填空
1、 20132013的个位数为
解析：本题考核的知识点为同余
2、求所有正约数的和等于15的最小正数为
解析：本题考核的知识点为约数
3、模13的绝对值最小的完全剩余系为
解析：本题考核的知识点为完全剩余系
4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++也是模11的
剩余系。
解析：本题考核的知识点为完全剩余系
5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是：
解析：本题考核的知识点为简化剩余系
6、求不定方程组: 1531003100
x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 的正整数解为
解析：本题考核的知识点为不定方程组
7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解
8.2160的正约数的个数为
解析：本题考核的知识点为约数
9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ϕ是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ϕ也是模m 的 剩余系。
解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为
解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为
解析：本题考核的知识点为倍数
12. 叙述欧拉定理：
解析：本题考核的知识点为欧拉定理
13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为
解析：本题考核的知识点为标准分解式
14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为
解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解
15．模13的互素剩余系为
解析：本题考核的知识点为互素剩余系
二、229|,3|,3|a b ab a b ++设证明：
解析：本题考核的知识点为整除.
提示：
且
由
知
或 若
由知 若
由知 如果 那么 且
三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2
解析：本题考核的知识点为最大公约数.
提示：设 (a-b , a+b)= d ，则d | a-b, d | a+b ，根据条件得出d=1 或d=2
四、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
解析：本题考核的知识点为整除.
提示：∵ n ∈N ∴ 2 | n(n+1)(2n+1)，再证明3 | n(n+1)(2n+1)
五、求证 3,2,7,9,13,17,22--是模７的一个完全剩余系
解析：本题考核的知识点为完全剩余系
提示“模7的一个完全剩余系是{0，1，2，3，4，5，6},
{-3,-2,7,9,13,17,22}={7，22，9，17，－3，－2，13}≡{0，1，2，3，4，5，6}（nod7）得证
六、假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡2
03
解析：本题考核的知识点为同余.
提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可
七、设,m n 为正整数，(,)1m n =，证明：()()1(mod )n m m n mn ϕϕ+≡
解析：本题考核的知识点为欧拉定理
提示：1(m,n ),= 1(n )m (mod n )ϕ∴≡ 1(n )(m )m n (mod n )ϕϕ⇒+≡同理 1(n )(m )m n (mod n )ϕϕ+≡ 证得
八、设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡
解析：本题考核的知识点为同余的性质，
提示：
且是不小于5的素数．
又 且是不小于5的素数．
得出结论
九、解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩
解析：本题考核的知识点为同余式组的解法
提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解
解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡-1 (mod4)
∴ 14x ≡2(mod8)的解为
x ≡-1，-1+4(mod8)
原同余式组同解于
或 再分别求解。
十、解不定方程8181016x y z -+=
解析：本题考核的知识点为多元一次不定方程；
提示：(8,18,10,16)2=原不定方程有解且可化为2958x y z -+=，(2,9)1,(1,5)1==
29,5x y u u z v +=+=分别求解
十一、若2p >且为素数，则2121
!(1)0(mod )2p p p --⎛⎫+-≡ ⎪⎝⎭
解析：本题考核的知识点为威尔逊定理
提示：
然后利用威尔逊定理证明
十二、若[,]a b m =, 则 (,)(,)m a b a b +=
解析：本题考核的知识点为整除
提示：
根据条件推出结论。