福师12秋《初等数论》练习题

福师12秋《初等数论》练习题

注：

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一、填空

1、 20132013的个位数为

解析：本题考核的知识点为同余

2、求所有正约数的和等于15的最小正数为

解析：本题考核的知识点为约数

3、模13的绝对值最小的完全剩余系为

解析：本题考核的知识点为完全剩余系

4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++也是模11的

剩余系。

解析：本题考核的知识点为完全剩余系

5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是：

解析：本题考核的知识点为简化剩余系

6、求不定方程组: 1531003100

x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 的正整数解为

解析：本题考核的知识点为不定方程组

7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解

8.2160的正约数的个数为

解析：本题考核的知识点为约数

9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ϕ是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ϕ也是模m 的 剩余系。 解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为

解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为

解析：本题考核的知识点为倍数

12. 叙述欧拉定理：

解析：本题考核的知识点为欧拉定理

13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为

解析：本题考核的知识点为标准分解式

14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为

解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解

15．模13的互素剩余系为

解析：本题考核的知识点为互素剩余系

二、229|,3|,3|a b ab a b ++设证明：

解析：本题考核的知识点为整除.

提示：

且

由

知

或 若

由知 若

由知 如果 那么 且

三、（若(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2

解析：本题考核的知识点为最大公约数.

提示：设 (a-b , a+b)= d ，则d | a-b, d | a+b ，根据条件得出d=1 或d=2

四、试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。

解析：本题考核的知识点为整除.

提示：∵ n ∈N ∴ 2 | n(n+1)(2n+1)，再证明3 | n(n+1)(2n+1)

五、求证 3,2,7,9,13,17,22--是模７的一个完全剩余系

解析：本题考核的知识点为完全剩余系

提示“模7的一个完全剩余系是{0，1，2，3，4，5，6},

{-3,-2,7,9,13,17,22}={7，22，9，17，－3，－2，13}≡{0，1，2，3，4，5，6}（nod7）得证

六、假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡2

03

解析：本题考核的知识点为同余.

提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可

七、设,m n 为正整数，(,)1m n =，证明：()()1(mod )n m m n mn ϕϕ+≡

解析：本题考核的知识点为欧拉定理

提示：1(m,n ),= 1(n )m (mod n )ϕ∴≡ 1(n )(m )m n (mod n )ϕϕ⇒+≡同理 1(n )(m )m n (mod n )ϕϕ+≡ 证得

八、设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡

解析：本题考核的知识点为同余的性质，

提示：

且是不小于5的素数．

又 且是不小于5的素数．

得出结论

九、解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩

解析：本题考核的知识点为同余式组的解法

提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解

解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡-1 (mod4)

∴ 14x ≡2(mod8)的解为

x ≡-1，-1+4(mod8)

原同余式组同解于

或 再分别求解。 十、解不定方程8181016x y z -+=

解析：本题考核的知识点为多元一次不定方程；

提示：(8,18,10,16)2=原不定方程有解且可化为2958x y z -+=，(2,9)1,(1,5)1==

29,5x y u u z v +=+=分别求解

十一、若2p >且为素数，则2121

!(1)0(mod )2p p p --⎛⎫+-≡ ⎪⎝⎭

解析：本题考核的知识点为威尔逊定理

提示：

然后利用威尔逊定理证明

十二、若[,]a b m =, 则 (,)(,)m a b a b +=

解析：本题考核的知识点为整除

提示：

根据条件推出结论