实变函数习题3思考题参考答案

证明：设 E 1 ， E 2 是 R 中任意两个可测集，且集 E 1 测度有限，即 m* E1 ．由
n
E1 E 2 E1 [ E 2 \ ( E1 E 2 )] ， 且 m ( E1 E 2 ) mE1 ，
于是根据定理 3.8 知， 从而
m [ E 2 \ ( E1 E 2 )] mE 2 m ( E1 E 2 ) 。
k 1 k 1
故 m* E 0 。
7. 证明： （1）Cantor 集 C 是一个可测集，且为一个零测集； （2）空间 R 上可测集类 M(R )的势为 2 ，其中 c 表示连续统势．
1
1
c
证明： （1） 设 Fn 表示构造 Cantor 集 C 的过程中， 第 n 步构造手续中所保留下来的 2 个 长度为 3
上的最小值点和最大值点．那么， f ( x) 位于小闭区间 [ x i-1 , x i ] 上的曲线可以用底边长为
2
Dxi =
过
b-a 2 ， 高为 f ( x i ) - f ( x i ) 的 R 中的闭矩形区间 J i 完全覆盖， 该闭矩形的高不超 m
m m 1 ， i = 0,1, 2, , m ．显然， J i 覆盖了点集 G ，即 J i É G ，从而必有： n i =1 i =1
1
（解法二）证明：根据外测度的次可加性，有
k k m * Ei m * Ei 。 i 1 i 1
另一方面，令 E

i 1
k
E i ，则对于任意开集 G E E i ，有 G (G E i ) 。
i 1 i 1
k
k
又由于各个 G E i 互不相交，且 G E E i , Ai E i ， i = 1, 2, , k ，从而有
n
且 m E1 m E 2 ． 证明：设 E 1 ， E 2 均是 R 中的子集，则有
n
E 1 E 2 E 1 \ ( E 1 E 2 ) E 2 \ ( E 1 E 2 ) ，
又
m*( E1 E 2 ) 0 ，从而， E1 E 2 可测，且 m ( E1 E 2 ) 0 ．于是
且 | Ii |=
2 ( b - a) m
i
2 n
4 ( b - a) ， mn
i = 0,1, 2, , m ．
于是有： G

i =1
m
Ji
I
i =1
m
பைடு நூலகம்
，也即，开区间序列 I 1 , I 2 , , I m-1 , I m 覆盖了集合 G ．从而，
对于 " =
m 1 > 0 ，必存在开区间序列 { I 1 , I 2 , , I m-1 , I m } ，使得 G Ì I i ． n i =1
第一部分
习题 3 参考答案或提示
（A 组题）
1．证明： （1）若集 E R 有界, 则 m* E ；但反之不然。
n
（2）设集 E R ,若 m *E ，则集 E 无界；但反之不然。
n
证明： （1）因为 E 有界，故存在一个有限正数 δ > 0 ，使得空间 R 中以原点为中心且 边长为 2δ 的区间 I 覆盖集合 E ，从而 m* E | I | 。反之，设集合 E = N 为空间 R 中
A A U ( x, x ) | x E , m*( E U ( x, x ) ) 0 ，
3
显然
A A

A
x E
U ( x,
x
)E
根据 Lindelof （林德洛夫）至多可数覆盖定理，存在至多可数个开球 Ak U ( x k , k ) ，
n
k k m * Ei m * Ei 。 i 1 i 1
（解法一）证明：当 k = 2 时，E1 A1 ，E 2 A2 A1 ，且 A1 是可测集，由定理 3.2
c
知，
m*( E1 E 2 ) m *E1 m* E 2 。
然后，对集合个数 k 使用数学归纳法，可以证明结论成立。
E1 E 2 E 1 \ ( E1 E 2 ) 可测．因为 E 2 \ E1 E 2 E1 E 2 ，从而 E 2 \ E1 E 2 可测，且为
k
k
k
k
由于 G 是包含集 E 的任意一个开集，故有
m * E inf m G m * ( E i ) ，
GE i 1
k
综上可得
k k m * Ei m * Ei 。 i 1 i 1
1 2
4．设 f ( x) 是闭区间 [ a, b] R 上的连续函数，令 G {( x, y )| a x b, y f ( x)} R 证明： m* G 0 。 证明：设 f ( x) 是闭区间 [ a, b] R 上的连续函数，并设
m ( A B) m A m B m ( A B) ，
由于 m( A B ) ，故该项 m( A B ) 可从上述（7）式右端移到左端，得到
（3）
m ( A B ) m ( A B ) m A mB 。
9. 设 E 1 ， E 2 均是 R 中的子集， E 1 是可测集，且 m*( E1E 2 ) 0 ．试证： E 2 是可测集，
n
n
4
可加性知， m A mB m ( A \ B ) 。 （2）由于 A ( A \ B ) ( A B ) ，从而
m A m ( A \ B ) m ( A B ) m ( A \ B ) mB ，
（1）
若 mB ，则上面（1）式中的有限实数值 mB 可以从不等号右端移到左端，故有：
G G Ai G E i E i ， i = 1, 2, , k ．于是有 G (G Ai ) 。故而
i 1
k
m G m (G Ai ) m (G Ai ) m * (G Ai ) m * ( E i ) ，
i 1 i 1 i 1 i 1
由外测度的定义知，
m *(G ) =
令 n ，得到
m
m
| Ii |
i =1 i =1
4 ( b - a) mn
4 ( b - a) ， n = 1, 2, ． n
（2）
m *(G ) = lim m *(G ) £ lim
n n
4 ( b - a) = 0， n
即 m* G 0 。
5. 设集 E R ，且 m* E 0 ，试证： E 必定不是至多可数集。
1
n
自然数集，虽然 m *E 0 ，但集合 E 无界。 （2）反证法：设集 E 有界，由（1）中结论知，m* E ，这与已知条件 m *E 矛盾。故结论得证．逆命题类似证明。
2．设 E 1 ， E 2 是 R 中任意两个可测集，且至少有一个集测度有限．试证：
n
m ( E1 E 2 ) mE1 mE 2 m ( E1 E 2 ) 。
1
G {( x, y )| a x b, y f ( x)} R 2 。
因为 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上一致连续，于是，取 ε =
1 ，则 $ δ n > 0 ，使得对于任意 n 1 。在 [ a, b] 中均匀插 n
两点 x1 ， x 2 Î [ a, b] ，只要 | x1 - x 2 | < δ n ，就有 | f ( x1 ) - f ( x 2 ) | < 入 m + 1 个分点，将闭区间 [ a, b] 平均分成 m 个小闭区间，即用分割
，从而
M(R 1) 2 R 2 c ．

另一方面，Cantor 集 C 的势为连续势 c ，且 Cantor 集 C 的任何一个子集都是零测集，所以 有 2 M(R )，从而， 2 = 2
C
1
c
C
£ M(R 1) ．综上可知结论得证。
8. 设 A 和 B 是 R 中的任意两个可测集．试证： （1）若 B A ，则 m A mB m ( A \ B ) ； （2）若 mB ，则 m A mB m ( A \ B ) ； （3） m ( A B ) m ( A B ) m A mB ． 证明： （1）设 A 和 B 是 R 中的任意两个可测集．则 A B ( A \ B ) ，从而由测度的
m A mB m ( A \ B ) 。
（3）对于任何两个集合 A 和 B ，有 A B A ( B \ A) A ( B \ A B ) ，以及
A B A， A B B 。
由测度的可加性知， m ( A B ) m [ A ( B \ A B )] m A m ( B \ A B ) ． （2） 若 m A ， mB 都成立，则 m ( A B ) m ( A B ) m A mB 成立． 若 m A ， mB 中至少有一个成立，则必有 m( A B ) ，根据（2）式以及 定理 3.8 知，
-n
n
的闭区间的并集．从而有 C =
¥
n =1
F
(
¥
n
，
于是
m * C = m* Fn
n =1
m * Fn
2 n ) ， 3
n = 1, 2, ，
于是有 m* C 0 ，故 Cantor 集 C 是一个可测集，且为一个零测集。 （2）显然，空间 R 上可测集类 M(R ) 2
1
1
R
n
证明：假设 E 是一个有限集或可数集，易知必有 m* E 0 ，与已知条件矛盾，故 E 必 定不是至多可数集。
6. 设集 E R ， 若对于任意一点 x E ， 都存在一个相应正数 x 0 ， 以及开球 U ( x, x ) ，
n
使得 m*( E U ( x, x ) ) 0 ．试证： m* E 0 。 证明：根据已知条件，作开集类 A 如下
T : a = x 0 < x1 < x 2 < < x m-1 < x m = b ，
将 [ a, b] 平均分成 m 个小闭区间 [ x i-1 , x i ] ，其中 x i = a +
b-a i ，每个小区间的长度为 m
Dxi =
1 b-a ，并且使 D x i = < δ n ，以 x i ， x i 分别表示函数 f ( x) 在小闭区间 [ x i-1 , x i ] m m
k = 1, 2, ，使得开集类 A 的可数子开集类 B Ak U ( x k , k ) | k 1, 2, A 也覆
盖了集合 E ，也即
U (x
k 1 x E

k
, k ) E ．从而有
x ) U (xk , k ) E ， k 1
U ( x,
（1）
以及
x E
( E U ( x, x ) ( E U ( x k , k )) E ，
k 1
（2）
于是
m * E m * [ ( E U ( x k , k )) ] m *( E U ( x k , k )) 0 ，
m *(G ) = m *( J i ) £
i =1
m
m i =1
m *( J i ) =
m
| Ji |．
i =1
（1）
对于每一个闭矩形 J i ，作与 J i 的中心相同，但底边长和高都是 J i 的相应的变长的 2 倍， 也 即以
2 ( b - a) 2 为底边长，以 2 | f ( x i ) - f ( x i ) | ( £ ) 为高的开矩形 I i ，显然 I i É J i ， m n
m ( E1 E 2 ) m ( E1 [ E 2 \ ( E1 E 2 )]) mE1 m [ E 2 \ ( E1 E 2 )] mE1 mE 2 m ( E1 E 2 ) 。
3．设 A1 , A2 , , Ak 是 R 中有限个互不相交的可测集，且 E i Ai ， i 1, 2, , k ．试证：