概率论独立性ppt课件
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概率论独立性ppt课件
请问：如图的两个事件是独立的吗？
我们来计算： P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A
B即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥.
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习.
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
或
PB | A PB, PA 0
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A) P(B) 1
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件,如果满足等式
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
解 设 Hi 随机地取出3 件 , 恰有 i 件音色不纯 ,
i 0,1,2,3 .
A 这批乐器被接收 . 则
PA PA | H0 PH0 PA | H1PH1
PA | H2 PH2 PA | H3 PH3
其中 P H0
C
3 96
C1300
第四节独立性和全概率课件
解析
由于随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$相互独 立，根据独立事件的概率乘法原则，有
$P(X_1+X_2 > X_3+X_4) = P(X_1 > X_3) times P(X_2 > X_4)$。根据泊松分布的概 率质量函数和独立性，计算得$P(X_1+X_2
> X_3+X_4) = frac{e^{-2}}{2} times frac{e^{-2}}{2} = frac{e^{-4}}{4}$。
概率质量函数，计算得$P(X+Y=2) = frac{1}{4} + frac{1}{4} + frac{e^{-2} times 2}{4} = frac{e^{-2} + 3}{4}$。
习题三及解析
题目
设随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$相互独立 且均服从参数为$lambda = 2$的泊松分布 ，求$P(X_1+X_2 > X_3+X_4)$。
独立性是概率论的基本概念之一
在概率论中，独立性是一个重要的概念，它决定了事件之间是否相互影响。
全概率公式是概率论中的基本公式之一
全概率公式是概率论中用于计算复杂事件发生的概率的基本公式之一，它基于独 立事件的乘积原则。
独立性和全概率在现实生活中的应用
金融预测
在金融领域中，股票价格的变化通常 被视为独立事件，通过全概率公式可 以计算股票价格在未来某个时间点的 预期值。
全概率公式的应用场景
风险评估
全概率公式可以用于风险评估， 通过分析各种可能的风险因素，
计算出事件发生的总概率。
决策制定
全概率公式可以帮助决策者综合考 虑各种可能的情况，从而制定出更 加科学合理的决策。
概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
《概率论》第1章6独立性S教学幻灯片
P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) P(A1A2)P(A3A4)
p2 p2 p2 p2 p2 (2 p2 )
第一章 概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
3/9
WangWenHaAo, B 独立与
A, B 独立
A,
B不相容有什么关系
P(AB) P(A)P(B)
A, B不相容 AB
为
p
40 50000
0.0008
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
10/9
Wang设We随n机Ha试o验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中 }
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D的面积
称为几何概型
事件 A发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
故 A, B 独立,从而 A, B独立 , A, B独第立一章 概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
4/9
WangWenHao
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
5/9
Wa求n混gW合e1n0H0设a个o每人个的人血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒的的概概率率. 为0.4%,
记
Ai {第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2,,100
A, B “独立”
P(A | B) P(A), P(B | A) P(B) P(AB) P(A | B)P(B)
P(B | A)P(A) P(A)P(B)
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
2/9
WangWen某Ha系o统由四系个统部可件靠I, I性I,III,IVP{系统正常I 工作II}
概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性
1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题 设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性 由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲 随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即 设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个 边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义 两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是： 若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义
概率论 独立性
概率论
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性
概率论与数理统计：事件的独立性与相关性.ppt
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
三 相互独立事件的性质
性质1 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则 将其中任何 m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成新的 n 个事件仍然相互独立. 性质2 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则有
Ai (i =1,2,…,100 ).
则
100
A Ai
i 1
100
P(A) 1 1P(Ai ) i 1 1 (1 0.004)100 0.33
若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则
P(Bn) 1 (1 )n, 0 1 n 1,2,
lim
n
P
(
Bn
)
1
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
n
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
i 1
例4 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝 炎病毒的概率.
解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为
事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件
注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个 事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的 影响.
伯恩斯坦反例
随机变量的相互独立性【概率论及数理统计PPT】
例2. (X,Y)的联合概率分布为:
Y0 1 X
0 0.3 0.4
(1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立.
1 0.2 0.1
解: (1)X,Y的概率分布分别为:
X0 1
Y
0
1
P 0.7 0.3
P
0.5 0.5
(2) P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.7×0.5 =0.35
所以,X,Y独n个随机变量独立性的概念与性质 定义:称n个随机变量X1,X2,…，X n相互独立,若对任意
ai<bi( i=1,2,…，n), 有 P{a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,a n<X n<b n}= P{a1<X1<b1}…P{a n<X n<b n}
(2)
0
即:
z<0 (x<0或y=z-x<0)
0≤z≤1
y=z-x>0 x=z-y≤z
z>1 y=z-x>0 x=z-y≤z
1．设成年人群的体重与身高组成二维随机向量（X，Y）， 历史资料表明（X，Y）服从二维正态分布，参数分别为μ=55， σ=10，μ=170，σ=8，ρ=0.90，求X和Y的边缘分布。
(2)P(X<Y)=
所以, X, Y独立.
随机向量的联合分布函数
一、二维随机向量的联合分布函数
1、n元实函数 F(x1,x2,…,xn)= P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn},
(x1,x2,…,xn)∈Rn, 称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的 联合分布函数。
注意: X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn 均表示事件,
第四节独立性和全概率课件
详细描述
在抛硬币实验中，每一次抛硬币正面朝上的概率是固定的 ，不受其他次抛硬币的结果影响，因此每一次抛硬币正面 朝上的概率是50%。
总结词
在抛硬币实验中，如果连续多次抛硬币正面朝上，下一次 抛硬币正面朝上的概率仍然是50%。
详细描述
在抛硬币实验中，每一次抛硬币的结果都是独立的，因此 连续多次抛硬币正面朝上并不会影响下一次抛硬币正面朝 上的概率，所以下一次抛硬币正面朝上的概率仍然是50% 。
04
独立性和全概率的实例 分析
抛硬币实验的独立性分析
总结词
在抛硬币实验中，每一次抛硬币的结果与其他次抛硬币的 结果是独立的。
详细描述
在抛硬币实验中，每一次抛硬币的结果只有两种可能，正 面朝上或反面朝上，且每一次抛硬币的结果不受其他次抛 硬币的结果影响，因此每一次抛硬币的结果是独立的。
总结词
在抛硬币实验中，每一次抛硬币正面朝上的概率是50%。
P(A and Bi) / P(Bi)。
全概率公式的应用场景
风险评估
全概率公式可以用于评估一个项目的 风险，通过分析项目中的各种可能情 况和每个情况下风险发生的概率，计 算出整体风险水平。
决策制定
统计分析
在统计分析中，全概率公式可以用于 分析数据的分布和规律，例如在回归 分析中用于计算预测变量的权重。
独立性的条件概率定义是指在给定某个条件下，两个事件之间没有相互影响的关 系。
详细描述
如果事件A在给定事件C发生的条件下与事件B独立，那么有$P(A|B, C) = P(A|C)$。这意味着在给定某个条件C下，事件A的发生与否与事件B无关。
02
全概率公式
全概率公式的内容
定义
全概率公式是概率论中的一个重 要公式，用于计算一个事件发生 的概率，该事件可以分解为若干
概率论4-独立性
P( A) p,
P( A) 1 p,
不同的p可用来描述不同的Bernoulli试验.
由n个(次)相同的、独立的Bernoulli试验组成的试 验，称为n重Bernoulli试验。 如: ① 检查7个产品, 合格情况; ② 打靶10次, 脱靶情况;
③ 诞生100个婴儿, 性别情况.
设Bn,k = “n重Bernoulli试验中A恰好发生k次”,
3 5 5 5 5
1 5 1 k C5 2 k 0 2 1 2
5
思考: 若采用只要有一方获胜三局则终止比赛,
情况如何? 证 : 设 Ak表示“经过 k局比赛 ,甲获胜”事件, 则 “甲获胜” = A3∪A4∪A5 并且
1 P( A3) C 2
§1.4 独立性
1.4.1 事件的独立性
两个事件之间的独立性是指一个事件的发生不
影响另一个事件的发生.
注: 两个事件独立不是指这两个事件互不相容.
定义1 若事件A与B满足 P(AB) = P(A)P(B), 则称A
与B相互独立，简称A与B独立.
例1.4.1 在有三个孩子的家庭中, 假定新生婴儿是男 或是女是等可能的 . 设 A表示“有男孩也有女 孩”事件, B表示“至多只有一个女孩”事件, 则由古典定义知, 而
对于n个试验E1, E2, …, En, 假如E1的任一结果、
E2的任一结果、…、En的任一结果都是相互独
立的，则称试验E1, E2, …, En相互独立。
假如这n个试验还是相同的，则称其为n重独立
重复试验。
1.4.3 n重 Bernoulli 试验 定义 只有两个结果(成功与失败,记为A与 A )的试 验称一个产品, 看是否合格. 注: 在一次Bernoulli试验中, 设成功的概率为p, 即:
概率论第2章条件概率与独立性精品PPT课件
解 设Ai 第 i 次考试及格 i 1, 2, 3
B＝{他考试能及格}
则
B A1A2A3 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2A3A4
P B = P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3
= P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P A4 A1A2A3
2、规范性 若A B，则P(B A) 1 特别地，P( A) 1
3、可加性
若B1, B2 , ，Bn , 为一列两两互不相容事件，
则 P( Bk A) P(Bk A)
k1
k1
常用到 P(B | A) = 1 - P(B | A)
例2 一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大(假定一个小 孩是男还是女是等可能的)？ 解 样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}
A={已知有一个是女孩}={(男,女)，(女,男)，(女,女)} B={另一个也是女孩}={(女，女)} 则
P(B | A) P(AB) 1/ 4 1 P(A) 3 / 4 3
例3 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活 过25岁的概率是0.4, 问现龄20岁的该种动物能活过25岁的 概率是多少？ 解 设 A={该种动物能活过20岁}
P(A1A2…An-1)＞0, 则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来 计算。
证明：当P(A1A2An-1)＞0时， 由于A1A1A2…A1A2…An-1, 则有 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0 由条件概率的定义，得
事件的独立性与相关性ppt课件
5
例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与 听力都有缺陷，记
A =“学生视力有缺陷”P，( A) 0.30 B =“学生听力有缺陷”P，(B) 0.07 AB=“学生听力与视力都有缺陷”，P( AB) 0.03 现在来研究下面三个问题： （1）事件 A与 B 是否独立？ 由于
概率论与数理统计
1
1.5 事件的独立性与相关性
1.5.1 两个事件的独立性与相关性 1.5.2 有限个事件的独立性 1.5.3 相互独立事件的性质 1.5.4 Bernoulli概型
2
1.5.1 两个事件的独立性与相关性
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？
类似地可算条件概率 P( A B) P( AB) 0.03 3 P(B) 0.07 7
7
定义 设 0 P( A) 1,0 P(B) 1, 称
( A, B)
P( AB) P( A)P(B)
P( A)(1 P( A))P(B)(1 P(B))
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A31)= P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832
12
例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件
事件 A 与 B C 也相互独立.
P(Bn) 1 (1 )n, 0 1 n 1,2,
lim
例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与 听力都有缺陷，记
A =“学生视力有缺陷”P，( A) 0.30 B =“学生听力有缺陷”P，(B) 0.07 AB=“学生听力与视力都有缺陷”，P( AB) 0.03 现在来研究下面三个问题： （1）事件 A与 B 是否独立？ 由于
概率论与数理统计
1
1.5 事件的独立性与相关性
1.5.1 两个事件的独立性与相关性 1.5.2 有限个事件的独立性 1.5.3 相互独立事件的性质 1.5.4 Bernoulli概型
2
1.5.1 两个事件的独立性与相关性
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件 正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？
类似地可算条件概率 P( A B) P( AB) 0.03 3 P(B) 0.07 7
7
定义 设 0 P( A) 1,0 P(B) 1, 称
( A, B)
P( AB) P( A)P(B)
P( A)(1 P( A))P(B)(1 P(B))
A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A31)= P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832
12
例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件
事件 A 与 B C 也相互独立.
P(Bn) 1 (1 )n, 0 1 n 1,2,
lim
01-5独立性-19页精品文档
解 ： 设事件 Ai =“有 i 台机器故障”
( 1 ) P ( A 0 ) C 4 0 0 . 2 0 ( 1 0 . 2 ) 4 0 . 8 4 0 . 4 0 9 6 .
16
第一章 概率论的基本概念
§5 独立性
例6. 今有四台机器，如果在一小时内这些机器发生 故障的概率为0.2，机器相互独立，求 （1）计算在一小时内都不发生故障的概率； （2）一人照看四台机器，设一台机器故障只需一 人修理，求机器的待修率； （3）至少需几人，才能使待修率<0.1?
解 ： 设事件 Ai =“有 i 个台机器故障”
(2 )P (A 2)P (A 3)P (A 4)1P (A 0)P (A 1) 10 .84C 4 10 .2 1(10 .2 )30 .1 8 0 8 .
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第一章 概率论的基本概念
§5 独立性
例6. 今有四台机器，如果在一小时内这些机器发生 故障的概率为0.2，机器相互独立，求 （1）计算在一小时内都不发生故障的概率； （2）一人照看四台机器，设一台机器故障只需一 人修理，求机器的待修率； （3）至少需几人，才能使待修率<0.1?
三、多个事件的独立性
1）三个事件的独立性：设A、B、C是三个随机事件，
如果 P AB P AP B A, B,C这三个
P BC P B P C 事件两两独立
P
AC
P AP C
P A B P A P C B P C
则 称 A 1 ,A 2 ， ， A n 这 n 个 随 机 事 件 相 互 独 立 ．
7
第一章 概率论的基本概念
§5 独立性
3）独立随机事件的性质：
概率论课件——独立性
Three events A, B, C are called Independence between them if
P( AB) P( A) P( B), P( BC) P( B) P(C ), P( AC) P( A) P(C )
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
则有
P ( B A) P ( B), P ( B A) P ( B)
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 .
P ( AB ) P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
又因为 A、B 相互独立, 所以有
P ( AB ) P ( A) P ( B ),
因而 P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B )
P ( A)(1 P ( B ))
P ( A) P ( B). 从而 A 与 B 相1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
1 (0.8)10 0.893.
例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,
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2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B, A与B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
第六节 独立性
主要内容： 1）两个事件的独立性 2）多个事件的独立性 3）独立性的概念在计算概率中的应用
重点： 1）两个、多个事件独立性的定义 2）利用独立性的概念接概率题目
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
或
PB | A PB, PA 0
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
例 一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品，设
Ai={第i次取到正品}，则
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A) P(B) 1
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件,如果满足等式
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四
个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四
个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
可见,
P(AB)=P(A)P(B)
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则
P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
PAB PA PB
所以 ,当
PB
0时
,
PA |
B
P AB PB
PAPB PB
PA
或者 ,当
PA
0时 ,
PB |
A
PPAAB
PAPB PA
PB
再证充分性 : 设 PA | B PA 成立 ,则有
P( A2 | A1)P( A1) P( A2 | A1)P( A1)
8 7 2 8 4. 10 9 10 9 5
而
P(A1A2 )
87 10 9
28 .
45
因为 P(A1A2 ) P(A1)P(A2 )
所以在有放回抽样 下，第i次取到正品和第j次取到正品 不是独立的.
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时, 等式
PABC PAPBPC
不一定成立 .
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数}
C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同 时为偶数}
请问：如图的两个事件是独立的吗？
我们来计算： P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A
B即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥.
前我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习.
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)
P AB P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或
P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
1）有放回抽样
8
8
P(A1) 10 , P(A2 ) 10 ,
而
P(A1A2 )
88 10 10
P(A1)P(A2 ).
所以在又放回抽样下，第i次和第j次抽到正品是独立的。
2）无放回抽样
8 P( A1) 10 ,
P( A2 ) P( A1A2
A1A2 ) P(A1A2 ) P(A1A2 )
PAB PA | BPB PAPB
由定义可知,事件 A、B 相互独立.
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2,
P(AB)=2/52=1/26.