函数最值问题的处理方法

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高中数学解题技巧之函数最值求解

高中数学解题技巧之函数最值求解函数最值求解是高中数学中常见的题型，也是考试中的重点内容之一。

掌握函数最值求解的方法和技巧，不仅可以帮助学生在考试中取得好成绩，还能提高数学思维能力和解题能力。

一、函数最大值和最小值的定义在解决函数最值问题之前，我们首先要明确函数最大值和最小值的定义。

对于函数f(x)，如果在定义域D上存在一个数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在D上的最大值；如果在定义域D上存在一个数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在D上的最小值。

二、求解函数最值的方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，我们可以大致判断出函数的最值所在的区间。

例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，那么函数的图像将开口向上，最小值一定在顶点处取得；如果a<0，那么函数的图像将开口向下，最大值一定在顶点处取得。

举例：求函数f(x)=2x^2+3x-4的最值。

首先，我们可以通过观察函数的图像来判断最值所在的区间。

由于a=2>0，所以函数的图像开口向上，最小值一定在顶点处取得。

根据二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为x=-b/2a，代入得到x=-3/4。

将x=-3/4代入函数中求得f(-3/4)=-37/8，所以函数f(x)=2x^2+3x-4的最小值为-37/8。

2. 导数法对于一元函数，我们可以通过求导数来求解函数的最值。

首先，我们求函数的导数，然后求导数为0的点，再通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

举例：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的最值。

首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x-9。

然后，令导数f'(x)为0，解方程3x^2-6x-9=0得到x=3或x=-1。

接下来，我们可以通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

当x<-1时，导数f'(x)为正；当-1<x<3时，导数f'(x)为负；当x>3时，导数f'(x)为正。

有关函数最值问题的十二种解法

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

例析函数最值题的几种解法

例析函数最值题的几种解法函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.例1 求函数（∈[]）的最值解：∵，∴当时，时，=.例2 求函数=(－＋)的最值解：由解析式及正弦函数的有界性得：当=时，=（－）；当=－时，=（＋）.二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于的二次型：=.由于为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）.例3 求函数=的最值解：∵分母≠,∴定义域为.原式化为=.当≠时，此二次方程有实根.∴△==≥0，即≤≤；当=时，=，即=时，=∈[,].∴= ，=.例4 求函数 =－的最值解：由＋=平方整理得：－－.由于为实数，∴△=－≥，故≥或≤－.当函数在＞时，=－＞－=x＞；在≤时，显然有＞，∴≤－不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴=.三、单调性法：如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值.例5 求函数=︱2－︱－︱－︱的最值解：去掉绝对值符号得：=－(≤x≤)或=－(＜≤)或=(＜≤),由此可知：在≤≤时，为减函数且－≤≤；在＜≤时，为增函数且－＜≤；在＜≤时，为增函数且＜≤.∴= ，= －.例6 求函数=︱－︱＋︱－︱＋︱－5︱的最值解：由已知不等式得：=－(＜＝或=－＋(≤＜)或=－(≤＜5)或=－(≥5 )，由此可知：在＜时，为减函数且＞；在≤＜时，为减函数且＜≤；在≤＜5 时，为增函数且≤＜；在≥5时，为减函数且≥；综上可得：=()=.四、均值不等式法：若、∈，＋=，=.当是定值，则当且仅当=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最大值.例7 求函数=的最值解：定义域为≠－，∵=－=≥－=－，∴当，即－≠－时，有=－. 注：若无使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.例8 求函数=的最值解：定义域为R，虽然 = ≥，但无解，∴等号不成立，这说明＞.可将原函数式配方得 =（－）＋，视为未知元，对于、递增，递减，－递增.∴－递增，由于－＞，∴（－）也递增.而≥，∴≥时有最小值且无最大值.故当=时，=.五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如：＋ =（＞），可令；＋≤（＞），可令（）；－=，可令等.例9 求函数=的最值解：设，则，∴∈[－]∵≥，∴取最小值时，.故，.例10 设、都是正数，且，求的最值解：将方程变形为＋.设（）是此椭圆上的点，令，则－.∴当－时，；当时，.即函数的最小值为,最大值为.六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法.例11 已知实数、满足等式－－，求的最值解：如图，∵点（）在圆上，∴表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线、（为切点），则的最值分别是直线、的斜率.=，即，∴=.整理为：= 0,解得,∴=,=.例12 求函数的最小值解：∵等价于“求动点到距离之和的最小值”，即的最小值.∵≥，当且仅当在线段上时，等号成立.故的最小值为.即原函数的最小值为.七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决.例13 求函数的最小值解：将函数变为，在直角坐标系中，设，问题可化为在轴上找一点，使的值最小.∵、在轴同侧，取点关于轴的对称点，连，交轴于，则直线的方程为，即.令得，∴点坐标为，.例14 求函数－的最大值解：－，在直角坐标系中，、，问题化为在轴上求一点，使－的值最大.∵、在轴同侧，直线与轴的交点即为点.∴直线的方程为，即.得，点坐标为.∴－.八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数.例15 求函数的最小值解：∵，设，则有：≥（常数）.∴当、共线且同向时，等号成立.即，得，∴当时.例16求函数最小值解：设，，，，则有：=≥（常数）.当与、共线且同向时，等号成立.即，得，∴当时.。

高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法

高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。

最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。

例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。

解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。

又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。

由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。

评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。

二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。

特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。

例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。

解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。

当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。

高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析

高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。

一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。

在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。

1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。

要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。

再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。

2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。

在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。

将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。

3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。

这个值就是函数的最大值或最小值。

二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。

例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。

解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。

3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。

4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。

当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。

因此，函数的边界点为正负无穷大。

5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。

综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。

这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。

下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。

一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。

一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。

我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。

根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。

例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。

2. 解方程f'(x) = 0。

将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。

这些驻点就是函数的极值点。

需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。

二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。

这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。

我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。

具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。

如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。

2. 使用二阶导数。

二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。

具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。

如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。

三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。

下面举一个例子来说明。

例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。

如何解决函数的最值问题

如何解决函数的最值问题江苏袁军函数的最值问题历来是高考考察的重点，如何解决函数的最值问题，同学们感觉很困惑，因为解决函数的最值的方法有很多种，到底选用哪种，同学们很迷惑。

下面就求函数的最值方法进行说明，希望对同学们掌握解决最值的问题有所帮助。

在高中阶段求函数的最值方法有：①利用函数的单调性求最值；②利用基本不等式求最值；③利用函数的图像求最值；④利用导数求最值。

一．利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值，即先判断函数的单调性，在确定最值。

而判断函数的单调性有下面三种方法⑴利用单调性的定义；⑵同增异减的原则；⑶导数判断单调性。

例1. 求函数[]243,3,5y x x x =-+∈的最值。

解析：本题是一个二次函数，二次函数的对称轴在给定的区间左边，函数243y x x =-+在[]3,5上是单调增函数，m ax m in (5)8,(3)0y f y f ∴====。

max min (5)8,(3)0y f y f ∴====.点评：本题是典型的二次函数求最值问题，解决该类问题主要是先判断二次函数的开口方向，再判断对称轴与所给区间的关系即可例2. 求函数2(32)12log x x y +-=的值域。

解析：求本函数的值域得先求函数的定义域，该函数的定义域由2320x x +->解得定义域为：{}13x x -<<，设232(13)u x x x =+--<<该函数在(]1,1-上是单调增函数，在12log u y =在(]0,4上是减函数。

由复合函数的单调性知，函数2(32)12log x x y +-=在(]1,1-是减函数，在(1,3)上是增函数，∴m in ()(1)f x f ==2-，函数没有最大值。

点评：本题是个复合函数的最值问题，在解决复合函数的最值问题，千万不能忽视先求函数的定义域，因为求复合函数的最值是建立在函数的单调性的基础上的，即先判断函数的单调性，再利用单调性得出函数的最值。

求函数最值的题型和方法

求函数最值的题型和方法
求函数的最值是数学中的常见问题，下面列举了几种常见的求函数最值的题型和方法：
1. 单变量函数的最值：对于单变量函数，可以通过求导数的方法来求函数的最值。

首先求出函数的导数，然后将导数等于0的方程求解，得到驻点（即函数取得极值的点）。

接着，通过将
驻点和函数的端点（如果有的话）进行比较，确定函数的最值。

2. 多变量函数的最值：对于多变量函数，求解最值的方法更加复杂。

可以通过求偏导数和二阶导数的方法来求解。

首先求出函数的偏导数，然后将偏导数等于0的方程组求解，得到驻点。

接着，求解雅可比矩阵的特征值，根据特征值的正负来确定驻点的类型（最大值、最小值或鞍点）。

最后，对比驻点和函数的端点（如果有的话），确定函数的最值。

3. 约束条件下的最值：在某些情况下，函数的变量受到一定的约束条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过拉格朗日乘数法来实现。

首先，将约束条件转化为方程组，然后定义拉格朗日函数。

接着，求解拉格朗日函数的导数等于0的方程组，得到驻点。

最后，通过对比驻
点和边界点，确定函数的最值。

4. 条件最值：在某些情况下，函数的取值受到一定的条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过消元法来实现。

首先，将条件限制转化为方程组，然后将其中的一个方程代入到函数中，得到一个只包含一个变量的函数。

接着，通过求解这个函数的最值，得到函数在满足条件限制下的最值。

需要注意的是，对于非线性函数或复杂函数，求解最值可能涉及到数值计算或近似计算的方法。

在实际应用中，通常会使用数值计算软件来求解函数的最值。

解决最值问题的三种最基本方法

解决最值问题的三种最基本方法摘要：最值问题是中学数学的重要题型之一，解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。

关键词：最值问题基本不等式消元法与换元法导数法。

最值问题是中学数学的重要题型之一，它的综合性较强，题型多样，解法灵活，涉及知识面广泛。

在高考中，常以一些基础题、小综合的中档题，或一些难题的形式出现，几乎每年的高考试题中都有考查。

解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。

本文结合两个典型例题进行分析和探讨，体会上述三种最基本方法的解题思路和解题技巧。

典型例题1：已知x＞1，y＞1，xy=16，求log2x·log2y的最大值？思路一分析：利用基本不等式≥ab，将log2x·log2y替换ab的位置，进而寻求最值。

解析：∵x>1，y>1，∴log2x>0，log2y>0，∴log2x+log2y≥2log2x·log2y，∵log2x+log2y=log2xy=log216=4，∴log2x·log2y≤4，当且仅当log2x=log2y，即x=y时等号成立。

∴最大值为4。

点评：利用基本不等式求最值，可以概括为“凑定和”与“凑定积”的问题，思路一灵活运用对数运算的性质，达到“凑定和”的目的。

思路二分析：先利用消元法，将y=代入，转变为一个变量的函数，再利用换元法转变为二次函数，利用二次函数的图像与性质求最值。

解析：∵xy=16，y=，∴log2x·log2y=log2x·log2=log2x·（log216-log2x）令t=log2x，∵x>1，t>0，∴原式=t·（4-t）=-t2+4t，利用二次函数图像得：t=2时，即x=4，取得最大值4。

点评：消元法是求最值问题常用的方法之一，是学生所熟悉和乐于使用的方法。

换元法中要特别注意中间变量的取值范围。

函数极值与最值问题的解决方法

函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。

解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。

具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。

2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。

3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。

若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。

4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。

举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。

首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。

然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。

接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。

因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。

最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。

二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。

它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。

具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。

2. 将定义域分成若干个区间。

3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。

4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。

然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。

函数最值问题的几种常见方法

最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值．解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ．二、判别式法形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值．解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取．三、换元法(一)局部换元法例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ．注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ．例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ．所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值．解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值．解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减，在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增，在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增．例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值．解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值．解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)，则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ．则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ．七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。

最值问题19种题型

最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。

在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。

下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。

1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。

解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。

4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。

解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。

5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。

解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。

9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。

解法一般是使用线性规划的方法进行求解。

10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。

解法一般是使用几何知识和公式进行计算。

11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。

解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。

12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。

解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。

13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。

(专题一)求函数最值问题常用的10种方法

【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2

1 (x 1) 3 (1 x)
4 3

(3 1

x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)；为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
【练习】求y x2 2x 3 ,( x 1)的最小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，，函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
专题一求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__；有_f_（__x_）__≥__M___；
条件 ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.

解函数的最值与极值问题

解函数的最值与极值问题函数的最值与极值问题是数学中的常见问题，通过求解函数的最大值、最小值以及函数的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和应用。

在本文中，我将介绍一些常见的方法和技巧，以解决函数的最值与极值问题。

一、最值问题的概念函数的最值问题是指在给定的定义域范围内，寻找函数的最大值和最小值的过程。

最大值是函数在定义域范围内取得的最大值，最小值则是函数在定义域范围内取得的最小值。

这些最值点可以通过找到函数的驻点（即导数等于零的点）和端点来确定。

二、最值问题的解法1. 使用导数法求解最值问题导数法是最常见也最基本的方法，通过求解函数的导数来确定函数的极值点和最值。

首先，计算函数的导数，然后将导数等于零求解，得到的解即为函数的驻点。

接着，将这些驻点代入原函数，求出对应的函数值，最大值和最小值即是其中的一个。

2. 使用二次函数的顶点公式求解最值问题当函数是二次函数时，可以使用顶点公式来求解最值问题。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，最值点即为函数的顶点。

顶点的横坐标是函数的最值点，将这个横坐标代入原函数，求出对应的纵坐标即为函数的最大值或最小值。

3. 使用辅助线段求解最值问题辅助线段法是一种简单有效的方法，特别适用于定义域为闭区间的函数。

通过构造一个辅助线段，将函数的定义域划分为若干个小区间。

然后，在每个小区间内比较函数的值，找到最大值和最小值。

4. 使用函数性质求解最值问题有时候，在函数的性质中可以找到求解最值问题的思路。

比如，对于周期函数，可以通过观察周期内的变化情况，确定函数的最大值和最小值。

当函数具有对称性或者特殊的增减性质时，也可以通过这些特点来求解最值问题。

三、极值问题的概念函数的极值是指函数在某一点上的最大值或最小值。

极大值是函数在该点的函数值大于它周围的函数值，而极小值则是函数在该点的函数值小于它周围的函数值。

四、极值问题的解法1. 使用导数法求解极值问题与最值问题类似，使用导数法也可以求解函数的极值问题。

数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题

数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题在数学高考中，函数题是一个较为常见的题型。

而函数题中的最值问题，往往是考察学生在解析几何、导数、极限等内容应用能力的重要环节。

为了帮助同学们更好地解决函数题中的最值问题，下面将分享一些数学高考必备技巧。

一、确定函数的定义域在解决函数题中的最值问题时，首先要确定函数的定义域。

因为只有正确确定函数的定义域，才能保证在确定最值时不遗漏结果。

二、化简函数式子在求解函数的最值问题时，化简函数式子是一个常用的技巧。

通过对函数式子进行整理，可以简化计算过程，使问题更容易解答。

三、求函数的导数对函数求导是解决最值问题的常用方法之一。

通过求导，可以得到函数的单调性和极值点的信息，从而帮助我们找到最值点。

四、用导数判断最值点通过函数的导数，我们可以判断函数在某个区间上的单调性，从而确定最值点的大致位置。

当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。

通过对导数符号的判断，可以排除一部分已知不是最值点的位置。

五、考虑函数在区间端点处的值在解决最值问题时，除了使用导数判断最值点外，还要考虑函数在自变量区间的端点处的取值情况。

通过比较函数在端点处的大小，可以确定最值点的具体位置。

六、用图像法辅助解题对于一些复杂的函数，可以通过画出函数图像的方式来帮助解题。

通过观察函数图像的走向和凹凸性质，可以更加直观地找到函数的最值点。

七、对称性的利用在解决函数最值问题时，有时候可以利用函数的对称性来简化计算。

如利用奇偶函数的性质，可以通过仅计算函数在定义域的一半上的取值情况，得到整个定义域的最值点。

八、注意边界条件在解决函数最值问题时，要特别注意边界条件，比如函数在某些点上无定义，或者在某些点上可能取到无穷大等情况。

这些边界条件的考虑对于正确求解最值问题非常重要。

九、化最值问题为优化问题在解决函数最值问题时，有时可以将最值问题转化为优化问题进行求解。

通过建立相应的优化模型，可以运用最优化理论进行求解。

函数最值问题常用的10种方法

求最值的方法总结归纳一、定义法一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：①“对定义域内任意x ，都有f(x)≦M ，②定义域内存在x 0，使得f (x0)=M,则称M 为函数y=f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：①对定义域内任意x,都有f(x)≥0，,在定义域内存在x 0,使得f(x0)=N,则称N 为函数y=f(x)的最小值例题1、设函数f(x)的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得定义域内任意x ，有f(x)≦M,则称M 是函数f(x)的最大值；（2）若定义域内存在x 0，使得对定义域内任意x ，且x ≠x 0,有f(x)<f(x 0),则f(x 0)是函数f(x)的最大值；（3）若定义域内存在x 0，使得对定义域内任意x ，且x ≤x 0,有f(x)≤f(x 0),则f(x 0)是函数f(x)的最大值；这些命题中，真命题的个数是（ C ）A:0 B ：1 C ：2 D ：3二、配方法配方法是求二次函数最值得基本方法，如函数F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的最值问题，例题2：已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a 是实数，且a ≠0), 求函数y 的最小值。

解析：22)(2)()()(2222-++-+=-+-=---a e e a e e a e a e y x x x x x x 令x x e e t -+=，则222)(22-+-=a at t t f , 因为t ≥2，所以2)(222)(2222-+-=-+-=a a t a at t t f 的定义域为[2，+∞) 因为抛物线y=f(t)的对称，轴为t=a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min =f(2)=2(a-1)2，当a>2时，y min =f(a)=a 2-2三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替代原来的某些变量，以便使问题得以解决的一种数学方法。