圆的切线长
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵P A、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB 与圆O 相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC 和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL ），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2． 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ，∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线. O FDC B A3421O F D CB A【答案】连接AO .∵ AO BO∠=∠.=，∴ 23∵ BA CBF∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB∥AO.∵ AD DB⊥,∴ 90∠=︒.DAOBDA∠=︒.∴ 90∵ AO是⊙O半径，∴ DA为⊙O的切线.3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A.12B.24C.8D.6【答案】D；【解析】∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．类型二、圆外切四边形4.（西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
圆的切线、切线长、线切角
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。
例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。
例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
圆的切线长度公式
圆的切线长度公式为了学习圆的切线长度公式，我们首先需要了解圆的基本性质。
圆由一组所有到圆心的距离相等的点组成。
这个固定的距离被称为圆的半径。
在学习切线长度公式之前，我们先来了解一下与圆相关的几个重要术语。
与圆相关的几何术语包括圆的半径、直径、弦、切线、切点和切线长度。
圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。
在圆上任意取一点P，连接圆心O和点P的线段OP就是圆的半径。
圆的直径是圆上通过圆心的一条线段，它等于两倍的半径。
用符号d 表示圆的直径。
圆的弦是圆上的一条线段，它的两个端点都在圆上。
圆的直径同时也是一个弦。
切线是与圆相切的一条直线，并且只与圆的切点相交。
切线与半径的关系是它与切点的连线垂直。
切点是切线与圆的交点。
切线长度是从切点到切点的两点之间的距离。
现在我们来研究圆的切线长度公式。
设圆的半径为r，切点到圆心的距离为d，切线长度为L。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系：d^2+(L/2)^2=r^2根据上面这个等式，我们可以解出切线长度L的公式。
由于切点与切线的连线垂直，所以在切点处可以构成一个直角三角形。
我们可以利用直角三角形的性质，来推导切线长度的公式。
设直角三角形的两条直角边分别为L/2和d，斜边为r。
根据勾股定理，我们有：d^2+(L/2)^2=r^2我们可以将上式变形为：L^2/4=r^2−d^2将等式两边乘以4，可以得到：L^2=4(r^2−d^2)取根号，可以得到切线长度L的公式：L=2√(r^2−d^2)这就是圆的切线长度的公式。
这个公式表达了切线长度与圆的半径和切点到圆心的距离之间的关系。
它告诉我们，切线长度与半径成正比，与切点到圆心的距离成反比。
利用切线长度公式，我们可以求解关于切线长度的各种问题。
例如，已知圆的半径和切点到圆心的距离，我们可以利用切线长度公式求解切线长度；或者已知切线长度和圆的半径，我们可以反推切点到圆心的距离。
总结一下，圆的切线长度公式是L=2√(r^2−d^2)，其中L表示切线长度，r表示圆的半径，d表示切点到圆心的距离。
切线长和圆与圆的位置关系
切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理
B
O
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
O
典例精析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧 AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、 E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 14
⑵ ∠DOE= 70°.
；
D P A
C
E B
求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法：
A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、 E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？ 理由是什么？
A F O
E 设 AF = x cm ，则 AE = x cm. 解: ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). C 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
A 内心性质：三角形的内心到三角形的三边 F I 的距离相等.
D
B
┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
圆的切线和切点
圆的切线和切点圆是几何中的基本概念之一，而切线和切点是与圆密切相关的内容。
在本文中，我们将探讨圆的切线和切点的定义、性质以及相关的定理。
一、圆的切线和切点的定义在几何学中，切线是与圆相切于一点的直线，切点是切线与圆相切的点。
圆的切线与圆的半径垂直。
二、圆的切线和切点的性质1. 切线与半径的垂直性：切线与半径在切点处相交，且相交点是垂直的。
2. 切点唯一性：一条直线只能与圆相切于一个点，即切点是唯一确定的。
3. 切点在半径上的位置：切点到圆心的连线与切线相垂直。
三、圆的切线与切点的定理1. 切线与切点的定理：切线上的切点到圆心的距离等于切线与切点之间连线的长度。
即在一个三角形中，切点和三角形顶点连线的长度等于该三角形的高。
2. 切线的长度定理：外切圆的切线等于两切点之间的连线长度的两倍。
即切线长等于两切点与外切圆的半径之和。
3. 切线与切线的定理：如果两条切线相交于圆的外部一点，那么两条切线所夹的弧度相等。
四、圆的切线与切点的应用圆的切线和切点在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 轮胎的制造：轮胎的制造过程中需要确定轮胎与地面的接触点，这可以通过圆的切线和切点来确定。
2. 光学系统：在光学系统中，切线和切点可以帮助确定光线的传播路径和反射规律，对于光学仪器的设计和调整有着重要的意义。
3. 数学建模：在数学建模中，圆的切线和切点可以用于解决多种实际问题，例如物体运动的轨迹、流体力学中的接触问题等。
总结：圆的切线和切点是几何学中重要的概念，其定义、性质和定理都与圆的特性密切相关。
了解圆的切线和切点的性质和定理，能够帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识。
同时，圆的切线和切点也在实际问题中有广泛的应用，为我们解决各种问题提供了重要的数学工具。
通过深入研究和理解圆的切线和切点的概念，我们将能够更好地应用几何知识解决实际问题。
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，∴DE是⊙O切线.【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.FCFC【答案】连接AO.∵AO BO=，∴23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒.∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D ；【解析】∵AE 与圆O 切于点F ，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm ，EF=EC ，设EF=EC=xcm ，则DE=（4﹣x）cm ，AE=（4+x ）cm ，在三角形ADE 中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x ）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S △ADE =AD•DE÷2=3×4÷2=6cm 2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF ，EF=EC ．类型二、圆外切四边形 4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
切线长定理
问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC=
.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.
A重合的点为B．
➢ OB是⊙O的一条半径吗？
A
➢ PB是⊙O的切线吗？
O.
P
➢ PA、PB有何关系？ B
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
切线长定理:
A
从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相
O
P
等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角. 几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
内心：三角形内切圆的圆心
OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
（3）写出图中所有的全等三角形；
A （3）写出图中所有的全等三角形；
⑵ ∠DOE=
.
内心性质：三角形的内心到三角形的三边
（1）写出图中所有的垂直关系；
D ∠APO和∠BPO有何关系？ F （利用图形轴对称性解释）
的距离相等.
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
拓展结论 A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D、 E O C D
P
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
圆的切线长定理
圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。
一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
即PA * PB = PT^2，其中T是切点。
二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。
设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。
连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。
由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。
将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。
三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。
以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。
如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。
2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。
通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。
3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。
通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。
4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。
例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。
圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。
通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。
切线长与圆与圆的位置关系
切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 二、三角形内切圆1． 概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的心里，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，别离为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们别离以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 别离平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
直线与圆的位置关系切线长定理
直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。
其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。
一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。
具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。
切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。
二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。
这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。
假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。
首先，我们要找到直线与圆相切的条件。
直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。
将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。
当Δ=0时，直线与圆相切。
接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。
设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。
7 切线长定理
思考：切线
P
长和切线的
O
区别和联系？
C
新课讲解
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的 一条线段的长，可以度量.
新课讲解
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
A 请你们结合图 形用数学语言 表达定理
O P
B
PA、PB分别切⊙O于A、B, 连结PO
当堂小练
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列 结论不正确的是( C ) A．PA＝PB B．∠APO＝25° C．∠OBP＝65° D．∠AOP＝65°
当堂小练
2.如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，
CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，
新课讲解
练一练
1.已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
解：如图，PA，PB为⊙O的切线． 由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA， ∴PA＝ OP2－OA2＝ 36－9＝3 3 (cm)． 又由切线长定理知PA＝PB， ∴PB＝33 cm.
∴AB = AC2 BC2 102 242 = 26.
∵ ⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.
新课讲解
又∵ ∠ C=90°, ∴四边形OECF为正方形. ∴ CE=CF=r. ∴ BE = 24-r, AF=10-r. ∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r+ 10-r= 34-2r. 而AB = 26, ∴ 34 -2r = 26. ∴ r = 4, 即⊙O 的半径为4.
圆的切线长的最小值
圆的切线长的最小值圆的切线长的最小值是一个有趣且常见的数学问题。
在几何学中，切线是与圆相切且仅有一个交点的直线。
求解切线长的最小值需要运用微积分和几何知识。
本文将探讨这个问题的解决方法，并且展示与之相关的数学概念和性质。
在了解切线的最小值之前，我们先来回顾一下圆的基本性质。
圆是一个平面上的闭合曲线，其上任意两点到圆心的距离相等。
圆由一个中心点和半径确定。
我们可以通过不同的方法来计算圆的周长、面积以及其他性质。
对于切线问题，我们主要关注与圆相切的直线和其长度。
首先，我们需要研究圆与直线之间的关系。
在平面几何中，我们知道圆与直线可以有三种不同的相交情况：相离、相切以及相交。
如果一条直线与圆相切，那么它只与圆有一个交点，并且这个交点与圆的切点重合。
有了这个基本概念，我们可以开始解决切线长度的最小值问题。
为了找到切线的最小值，我们使用微积分的方法。
首先，我们选取一个固定的圆心和半径。
然后，我们在圆心外部以不同的角度绘制一条射线。
我们将这条射线与圆相交，并确定与射线相切的切点。
接下来，我们连接圆心和切点，得到圆的半径和切线的夹角。
然后，我们使用三角函数和导数的知识来计算切线的长度和其最小值。
为了简化计算，我们可以将圆心选取为坐标系原点。
假设圆的半径为r，并且切线的倾斜角为θ。
我们可以通过三角函数的定义，将切线的长度表示为圆的半径和倾斜角的函数。
根据三角函数的性质，我们可以得到切线长度的表达式，如下所示：切线长度= 2 * r * sin(θ/2)通过对切线长度进行求导，并令导数等于零，我们可以找到切线长度的最小值。
由于需要求解的是切线长度的最小值，我们应该对切线角度的范围进行限制。
根据几何性质，切线角度的范围应为[0, π]。
我们可以使用微积分的相关技巧，如拉格朗日乘数法和二阶导数的判定方法，来求解切线角度的最小值和对应的切线长度。
通过以上步骤，我们可以得到切线长度的最小值以及对应的切线角度。
这个最小值代表了在给定的圆半径下切线长度的最小限制。
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。
第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。
其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。
这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。
也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。
第三个定理，是切线长定理。
在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。
在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。
圆的切线长定理
A
O· B
P
① PA=PB ② PO平分∠APB
一、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等。
二、填空
(
)
如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50。
连结PO，则 ∠APO = 25 度。 A
0
P
B
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
求证：AC∥OP
C
A
OD
P
B
练习 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线分别 交PA 、PB于D 、E
（1）若PA=2，则△PDE的周长为_4___；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=_7_0__°_;
A
O
E
CD
P
B
在图中你还能发现哪些结论？
李师傅在一家木料厂上班，工作之 余想对厂里的三角形废料进行加工： 裁下一块圆形用料，且使圆的面积最 大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他 确定一下。
A
B
C
A
N
M
I
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心
这个三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
B
┐ E
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内 切圆，如何画？
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圆的切线长
一、求角度
1. 如图所示，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如
果⊙O的半径为，且AB＝6，求∠ACB的度数。
二、求线段长
2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上的一点，以O
为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接
DB、DE、OC，若AD＝2，AE＝1。
求CD的长。
三、证线段相等
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的
圆交AB于点D，过点D作⊙O的切线EF交AC于点E。
求
证：AE＝DE。
四、证明线段成比例
4.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD
⊥AB于点D，从C、B两点分别作半圆O的切线，它们相
交于点E，连接AE交CD于点P。
求证：PD：CE＝AD：AB。
五、证明线段平行
5. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B
是切点，BC是⊙O的直径。
求证：AC∥OP。
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝3，
过点B作以A为圆心、AC为半径的⊙A的切线，切点为
D，延长CA交⊙A于点E，交切线BD的延长线于点F，
连接DE。
（1）求证：ED∥AB；
（2）（2）求线段EF的长及。