宁波中考数学反比例函数提高练习题压轴题训练

当 t=1 时，直线 MN：y=x+3 与 x 轴交于点 G（﹣3，0），与 y 轴交于点 H（0，3） 当 t=4﹣ 时，直线 MN 过点 A． 当 1≤t≤4 时，直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为
S= 【解析】【解答】解：（1）∵ A 点坐标为（﹣6，0） ∴ OA=6
∵ 过点 C（﹣6，1）的双曲线 y= ∴ k=﹣6
∵ 反比例函数 y= （x＜0）的图象过点 A（﹣1，2）， ∴ k=﹣1×2=﹣2， ∴ 反比例函数解析式为 y=﹣ （x＜0）； ∵ 一次函数 y= x+b 的图象过点 A（﹣1，2）， ∴ 2=﹣ +b，解得：b= ， ∴ 一次函数解析式为 y= x+ ．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：
∴
=2，
∴ DF=2GD= ，
∴ 点 F 的坐标为（ ，0）． 设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b，
∴有
，解得：
．
∴ 折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+ 【解析】【分析】（1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值， 再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（2）设 OG=x，利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标．再过点 F 作 FH⊥CB 于点 H，由此可得出△ GCD∽ △ DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度，从而得出点 F 的坐标，结合点 G、F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．
【答案】（1）6；-6；（﹣ ，4） （2）解：①设直线 MN 解析式为：y1=k1x+b1
由题意得： 解得 ∵ 抛物线 y=﹣
过点 M、N
∴ 解得 ∴ 抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2
∴ 顶点 P 坐标为（﹣1，5t﹣ ） ∵ P 在双曲线 y=﹣ 上 ∴ （5t﹣ ）×（﹣1）=﹣6 ∴ t= 此时直线 MN 解析式为：
2．如图，已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B （0，3）．过点 A（5，0）的直线 y=kx+b 与 y 轴于点 C，且 BD=OC，tan∠ OAC= ．
（1）求反比例函数 y= 和直线 y=kx+b 的解析式； （2）连接 CD，试判断线段 AC 与线段 CD 的关系，并说明理由； （3）点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点，且 AE=OC，连接 BE 交直线 CA 与点 M，求∠ BMC 的 度数． 【答案】（1）解：∵ A（5，0）， ∴ OA=5．
∴
，得 t=
∴ t= 或 t=
③∵ 点 P 的坐标为（﹣1，5t﹣ ）
∴ yP=5t﹣ 当 1≤t≤6 时，yP 随 t 的增大而增大 此时，点 P 在直线 x=﹣1 上向上运动
∵ 点 F 的坐标为（0，﹣
）
∴ yF=﹣ ∴ 当 1≤t≤4 时，随者 yF 随 t 的增大而增大 此时，随着 t 的增大，点 F 在 y 轴上向上运动 ∴ 1≤t≤4
∵
，
∴
，解得 OC=2，
∴ C（0，﹣2），
∴ BD=OC=2，
∵ B（0，3），BD∥ x 轴，
∴ D（﹣2，3），
∴ m=﹣2×3=﹣6，
∴
，
设直线 AC 关系式为 y=kx+b，
∵ 过 A（5，0），C（0，﹣2），
∴
，解得
，
∴
；
（2）解：∵ B（0，3），C（0，﹣2），
∴ BC=5=OA，
（0，4）．过点 C（﹣6，1）的双曲线 y= （k≠0）与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E．
（1）填空：OA=________，k=________，点 E 的坐标为________；
（2）当 1≤t≤6 时，经过点 M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣ ）与点 N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣ ）的
【答案】（1）解：当 k=1 时，直线 y=x+k 和双曲线 y=
化为：y=x+1 和 y= ，
解
得
，
，
∴ A（1，2），B（﹣2，﹣1）
（2）解：当 k=2 时，直线 y=x+k 和双曲线 y=
化为：y=x+2 和 y= ，
解
得
，
，
∴ A（1，3），B（﹣3，﹣1）
设直线 AB 的解析式为：y=mx+n，
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形
的边
，顶点 坐标为
，
点 坐标为
.
（1）点 的坐标是________，点 的坐标是________（用 表示）；
（2）若双曲线
过平行四边形 的顶点 和 ，求该双曲线的表达式；
（3）若平行四边形 与双曲线
【答案】 （1）
；
总有公共点，求 的取值范围.
（2）解：∵ 双曲线
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双
曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为 A（﹣6，0），B
在△ OAC 和△ BCD 中
∴ △ OAC≌ △ BCD（SAS）， ∴ AC=CD， ∴ ∠ OAC=∠ BCD， ∴ ∠ BCD+∠ BCA=∠ OAC+∠ BCA=90°， ∴ AC⊥CD； （3）解：∠ BMC=45°． 如图，连接 AD，
∵ AE=OC，BD=OC，AE=BD， ∴ BD∥ x 轴， ∴ 四边形 AEBD 为平行四边形， ∴ AD∥ BM， ∴ ∠ BMC=∠ DAC， ∵ △ OAC≌ △ BCD， ∴ AC=CD， ∵ AC⊥CD， ∴ △ ACD 为等腰直角三角形， ∴ ∠ BMC=∠ DAC=45°． 【解析】【分析】（1）由正切定义可求 C 坐标，进而由 BD=OC 求出 D 坐标，求出 反比例 函 数 解 析 式 ； 由 A 、 C 求 出 直 线 解 析 式 ； （ 2 ） 由 条 件 可 判 定 △ OAC≌ △ BCD ， 得 出 AC=CD，∠ OAC=∠ BCD，进而 AC⊥CD；（3） 由已知可得 AE=OC，BD=OC，得出 AE=BD， 再加平行得四边形 AEBD 为平行四边形，推出 △ OAC≌ △ BCD，∴ AC=CD，∵ AC⊥CD， ∴ △ ACD 为等腰直角三角形，∴ ∠ BMC=∠ DAC=45°.
3．如图，已知直线 y=x+k 和双曲线 y=
（k 为正整数）交于 A，B 两点．
（1）当 k=1 时，求 A、B 两点的坐标； （2）当 k=2 时，求△ AOB 的面积； （3）当 k=1 时，△ OAB 的面积记为 S1 ， 当 k=2 时，△ OAB 的面积记为 S2 ， …，依此类
推，当 k=n 时，△ OAB 的面积记为 Sn ， 若 S1+S2+…+Sn= ，求 n 的值．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点 E（3， ），
∴ k=3× =2，
∴ 反比例函数的表达式为 y= ．
又∵ 点 D（m，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴ 2m=2，解得：m=1 （2）解：设 OG=x，则 CG=OC﹣OG=2﹣x， ∵ 点 D（1，2）， ∴ CD=1． 在 Rt△ CDG 中，∠ DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x， ∴ CD2+CG2=DG2 ， 即 1+（2﹣x）2=x2 ，
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知一次函数 y= x+b 的图象与反比例函数 y= （x＜0）的图象交于点 A（﹣ 1，2）和点 B，点 C 在 y 轴上．
（1）当△ ABC 的周长最小时，求点 C 的坐标； （2）当 x+b＜ 时，请直接写出 x 的取值范围． 【答案】（1）解：作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 y 轴于点 C，此时点 C 即是所 求，如图所示．
4．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比
例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D（m，2）和 AB 边上的点 E（3，
）． （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、y 轴正半轴交于点 F，G，求折痕 FG 所在直线的函数关系式．
∴
∴
，
∴ 直线 AB 的解析式为：y=x+2
∴ 直线 AB 与 y 轴的交点（0，2），
∴ S△ AOB= ×2×1+ ×2×3=4；
（3）解：当 k=1 时，S1= ×1×（1+2）= ，
当 k=2 时，S2= ×2×（1+3）=4， …
当 k=n 时，Sn= n（1+n+1）= n2+n，
∵ S1+S2+…+Sn= ，
∴ 当 x+ ＜﹣ 时，x 的取值范围为 x＜﹣4 或﹣1＜x＜0 【解析】【分析】（1）作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 y 轴于点 C，此时点 C 即 是所求．由点 A 为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的 坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组 即可求出点 A、B 的坐标，再根据点 A′与点 A 关于 y 轴对称，求出点 A′的坐标，设出直线 A′B 的解析式为 y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线 A′B 的解析式，令直 线 A′B 解析式中 x 为 0，求出 y 的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结 合点 A、B 的坐标，即可得出不等式的解集．
，
解得：
，或
，
∴ 点 A 的坐标为（﹣1，2）、点 B 的坐标为（﹣4， ）． ∵ 点 A′与点 A 关于 y 轴对称， ∴ 点 A′的坐标为（1，2）， 设直线 A′B 的解析式为 y=mx+n，
则有
，解得：
，
∴ 直线 A′B 的解析式为 y= x+ ．
令 y= x+ 中 x=0，则 y= ，
∴ 点 C 的坐标为（0， ） （2）解：观察函数图象，发现： 当 x＜﹣4 或﹣1＜x＜0 时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
解得：x= ，
∴ 点 G（0， ）． 过点 F 作 FH⊥CB 于点 H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠ GDF=∠ GOF=90°，OG=DG，OF=DF． ∵ ∠ CGD+∠ CDG=90°，∠ CDG+∠ HDF=90°， ∴ ∠ CGD=∠ HDF， ∵ ∠ DCG=∠ FHD=90°， ∴ △ GCD∽ △ DHF，
联立 ∴ 8x2+35x+49=0 ∵ △ =352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0
∴ 直线 MN 与双曲线 y=﹣ 没有公共点．
②当抛物线过点 B，此时抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点
∴ 4=5t﹣2，得 t= 当抛物线在线段 DB 上，此时抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点
直线交 y 轴于点 F，点 P 是过 M，N 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 的顶点．
①当点 P 在双曲线 y= 上时，求证：直线 MN 与双曲线 y= 没有公共点；
②当抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值； ③当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求 t 的取值范围，并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积．
过点
和点
，
∴
，解得
，
∴ 点的坐标为
， 点的坐标为
，
把
点的坐标
代入
，解得
，
∴ 双曲线表达式为
（3）解：∵ 平行四边形 与双曲线
总有公共点，
∴ 当点
在双曲线
，得到
，
当点
在双曲线
，得到
，
∴ 的取值范围
.
【解析】【分析】（1）由四边形 ABCD 为平行四边形，得到 A 与 B 纵坐标相同，C 与 D 纵 坐标相同，横坐标相差 2，得出 B、C 坐标即可；（2）根据 B 与 D 在反比例图象上，得到
∴ ×（
…+பைடு நூலகம்2）+（1+2+3+…n）= ，
整理得：
，
解得：n=6．
【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△ AOB 的
面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或
竖直三角形）的面积和或差；（3）利用 n 个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.