高中数学必修一函数专题：二次函数值域

高一数学必修一函数专题：二次函数值域
第一部分：计算二次函数的值域
题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2
)(在定义域R x ∈上的值域。

解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴a
b x 2-
=。

第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2
)(开口向上。

二次函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-=处取得最小值。

最大值为∞+。

第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2
)(开口向下。

二次函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-=处取得最大值。

最小值为∞-。

例题一：已知：二次函数12
1)(2
+-=
x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。

本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12
121
=⇒⨯--
=x x 。

第二步：二次函数12
1)(2
+-=x x x f 图像开口向上。

2
1
11121)1()(2min =+-⨯=
=f x f 。

+∞=max )(x f 。

所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),2
1
[)(+∞∈x f 。

例题二：已知：二次函数2)(2
+--=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。

本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴2
1
)1(21-=⇒-⨯--
=x x 。

第二步：二次函数2)(2
+--=x x x f 图像开口向下。

4
9
221412)21()2
1()21
()(2
max =++-
=+----=-=f x f 。

-∞=min )(x f 。

所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]4
9
,()(-∞∈x f 。

跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2
+=。

计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。

跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。

题型二：计算二次函数c bx ax x f ++=2
)(在指定范围上的值域。

解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴a
b x 2-
=。

第二步：第一种情况：对称轴a
b
x 2-
=属于给定的范围。

①⇒>0a 开口向上：二次函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-
=处取得最小值； 最大值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。

②⇒<0a 开口向下：二次函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-
=处取得最大值； 最小值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。

第二种情况：对称轴a
b
x 2-
=不属于给定的范围。

在给定的范围的两个边界处取得两个最值。

例题一：已知：二次函数463)(2
+-=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域。

本题解析：第一步：计算二次函数对称轴13
26
=⇒⨯--
=x x 。

第二步：对称轴1=x 在给定范围]2,0[∈x 内。

二次函数463)(2
+-=x x x f 开口向上。

141613)1()(2
min =+⨯-⨯==f x f 。

给定范围]2,0[∈x 边界0到对称轴1=x 的距离为1，2到对称轴1=x 的距离为1 ⇒距离相同时，在两个边界处同时取得另一个最值。

4400)2()0()(max =+-===f f x f 。

所以：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域：]4,1[)(∈x f 。

例题二：已知：二次函数122
1)(2
+--
=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域。

本题解析：第一步：计算二次函数对称轴2)
2
1(22-=⇒-⨯--
=x x 。

第二步：对称轴2-=x 在给定的范围]0,3(-∈x 内。

二次函数122
1)(2
+--=x x x f 开口向下。

31)2(2)2(2
1
)2()(2max =+-⨯--⨯-
=-=f x f 。

给定范围]0,3(-∈x 边界3-到对称轴2-=x 的距离为1，0到对称轴2-=x 的距离为2 ⇒)(x f 在较远的0=x 处取得最小值。

1100)0()(min =+-==f x f 。

所以：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域：]3,1[)(∈x f 。

例题三：已知：二次函数x x x f 3)(2
+-=。

计算：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域。

本题解析：第一步：计算二次函数的对称性2
3
)1(23=⇒-⨯-
=x x 。

第二步：对称轴2
3
=
x 不在给定范围)1,1(-∈x 内。

二次函数在给定的范围)1,1(-∈x 的两个边界3-=x 和0=x 处取得两个最值。

4)1(3)1()1(2-=-⨯+--=-f 。

2131)1(2
=⨯+-=f 。

较大的函数值为二次函数的最大值，较小的函数值为二次函数的最小值。

4)(min -=x f ，2)(max =x f 。

所以：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域：)2,4()(-∈x f 。

跟踪训练一：已知：二次函数34)(2
+--=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在)0,3(-∈x 上的值域。

跟踪训练二：已知：二次函数12
3)(2
+-=
x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在]1,0[∈x 上的值域。

跟踪训练三：已知：二次函数x x x f 23)(2
+=。

计算：二次函数)(x f 在]2,1[∈x 上的值域。

跟踪训练四：已知：二次函数342)(2
++-=x x x f 。

计算：二次函数)(x f 在)1,1[-∈x 上的值域。

第二部分：计算二次函数的值域
题型一：计算函数ax c b ax x f -±-=
)(在定义域上的值域。

例题一：已知：函数1221)(++-=x x x f 。

计算：函数)(x f 的值域。

本题解析：第一步：计算函数的定义域。

根据根号下的数大于等于零得到：021≥-x ，21012≤⇒≥+x x ，]2
1,21[21-∈⇒-≥x x 。

第二步：对函数进行平方。

22)1221()]([1221)(++-=⇒++-=x x x f x x x f 22)12(12212)21(+++⋅-⋅+-=x x x x
214224122)12)(21(212)12)(21(22122++-=+-=++-=+++-+-=x x x x x x x x 。

第三步：计算二次函数142
+-=x y 在定义域]2
1
,21[-∈x 上的值域。

二次函数的对称轴0)
4(20
=⇒-⨯-
=x x 。

对称轴0=x 在定义域]2
1,21[-∈x 内，二次函数142
+-=x y 开口向下。

二次函数142
+-=x y 的最大值在0=x 处取得：110max =+=。

定义域]21,21[-∈x 的两个边界：21-
=x 到对称轴0=x 的距离为21，21=x 到对称轴0=x 的距离为21。

二次函数142+-=x y 的最小值在21-
=x 和21=x 同时取得：01)2
1(4min 2
=+-⨯-=。

所以：二次函数142
+-=x y 在定义域]2
1
,21[-∈x 上的值域为]1,0[。

第四步：计算函数1221)(++-=x x x f 的值域。

12142021140114011402222⨯≤+-≤⨯⇒≤+-≤⇒≤+-≤⇒≤+-≤x x x x 4214222221422021420222≤++-≤⇒+≤++-≤+⇒≤+-≤⇒x x x ，
4)]([22142)]([222≤≤⇒++-=x f x x f 。

1221)(++-=x x x f ，021≥-x ，0)(01221012≥⇒≥++-⇒≥+x f x x x ， ]2,2[)(2)(24)]([22∈⇒≤≤⇒≤≤⇒x f x f x f 。

例题二：已知：函数x x x f --+=
12)(。

计算：函数)(x f 的值域。

本题解析：第一步：计算函数的定义域。

根据根号下的数大于等于零得到：02≥+x ，201-≥⇒≥-x x ，]1,2[1-∈⇒≤x x 。

第二步：对函数进行平方。

2222)1(122)2()12()]([12)(x x x x x x x f x x x f -+-⋅+⋅-+=--+=⇒--+=
32232221)1)(2(2222++---=+-+--=-+-+-+=x x x x x x x x x 。

第三步：计算二次函数22
+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域。

二次函数对称轴：2
1
)1(21-=⇒-⨯--
=x x 。

对称轴2
1-
=x 在定义域]1,2[-∈x 内，二次函数22
+--=x x y 开口向下。

二次函数的最大值在对称轴21-
=x 处取得：4
92)21()21(max 2=+----=。

定义域]1,2[-∈x 的两个边界：2-=x 到对称轴21-
=x 的距离为23，1=x 到对称轴21-=x 的距离为2
3
二次函数的最小值在2-=x 和1=x 处同时取得：02)2()2(m in 2
=+----=。

所以：二次函数22
+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域：]4
9
,0[。

2
3222022320492049202222⨯-≥+---≥⨯-⇒≤+--≤⇒≤+--≤⇒≤
+--≤x x x x x x x x 0322333322303220222≥++---≥⇒+-≥++---≥+⇒-≥+---≥⇒x x x x x x ，
0)]([3322)]([222≥≥⇒++---=x f x x x f 。

x x x f --+=12)(，02≥+x ，x x x --+⇒≥-1201正负都有可能。

]3,3[)(3)(30)]([32-∈⇒-≥≥⇒≥≥x f x f x f 。

跟踪训练一：已知：函数x x x f 2232)(---=。

计算：函数)(x f 的值域。

跟踪训练二：已知：函数x x x f -++=
32)(。

计算：函数)(x f 的值域。

题型二：计算函数d cx b ax x f +±+=)(在定义域上的值域。

本题解析：第一步：不带根号的一次函数变为根号下的一次函数的形式。

假设：)(2323)1(23b k kx x b kx k x b x k x ++-=+⇒+-=+⇒+-=+。

根据对应系数相等得到：3=-k ，32-=⇒=+k b k ，5)1(3235+--=+⇒=x x b 。

x x x f -++=123)(，5)1(323+--=+x x ⇒51)1(315)1(3)(2+-+--=-++--=x x x x x f 。

假设：),0[1+∞∈⇒-=t x t ，53)(2
++-=t t x f 。

第二步：计算二次函数532
++-=t t y 在),0[+∞∈t 上的值域。

二次函数对称轴：6
1
)3(21=⇒-⨯-
=t t 。

对称轴6
1=
t 在区间),0[+∞∈t 上，二次函数532
++-=t t y 开口向下。

二次函数最大值在对称轴61=
t 处取得：12
61561)61(3max 2=++⨯-=，-∞=min 。

所以：函数)(x f 在定义域上的值域：),12
61
[
)(+∞∈x f 。

例题二：已知：函数32)(++=x x x f 。

计算：函数)(x f 在定义域上的值域。

本题解析：第一步：不带根号的一次函数变为根号下的一次函数的形式。

假设：)3(232)32(b k kx x b k kx x b x k x ++=⇒++=⇒++=。

根据对应系数相等得到：12=k ，2103=
⇒=+k b k ，2
3)32(2123-+=⇒-=x x b 。

32)(++=x x x f ，3223)32(21)(23)32(21++-+=⇒-+=
x x x f x x 2
3
32)32(212-+++=x x 。

假设：),0[32+∞∈⇒+=
t x t ，2
3
21)(2-+=
t t x f 。

第二步：二次函数2
3
212-+=
t t y 在),0[+∞∈t 上的值域。

二次函数的对称轴：12
121-=⇒⨯-
=t t 。

对称轴1-=t 不在),0[+∞∈t 上⇒),0[+∞∈t 在对称轴1-=t 的右边，二次函数2
3
212-+=
t t y 开口向上 ⇒当),0[+∞∈t 时：二次函数2
3
212-+=t t y 单调递增。

二次函数最大值在+∞=x 处取得：+∞=max ；二次函数最小值在0=x 处取得：2
3
min -=。

所以：函数)(x f 在定义域上的值域：),2
3
[)(+∞-
∈x f 。

跟踪训练二：已知：函数x x x f 321)(--=。

计算：函数)(x f 在定义域上的值域。