第十二章 非正弦周期电流电路
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2 0 2 1 2 2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
S U 0 I 0 U 1 I1 U 2 I 2 U k I k 华东理工大学 上 页 下 页
§12-4 非正弦周期电流电路的计算
理论依据: 傅里叶级数 + 叠加定理
计算步骤:
1. 求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表),根据准确度 要求取若干项。 2. 分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
iR t I R 0 iR 1 t iR 2 t 4 2.21 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 38.7 A iC t I C 0 iC 1 t iC 2 t 2.21 2 sin t 141.3 2.22 2 sin 2t 38.7 A
例1.
已知: u=200+200sinωt + 100sin2ωt
iR
+
R
R=50Ω, ωL=20 Ω, 1/ ωC =40 Ω
iC
C L
iL
V
u
求： iR , iC , iL ,电流表、电压表 读数及电路中消耗的平均功率。 ⑵ 对基波分量：
A － 解： ⑴ 对直流分量： IR(0) R + IC(0) IL(0)
iS
Im
T/2 T
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
t
is 的展开式为：
Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
华东理工大学 上 页 下
页
周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
I
1 T 2 [ I 0 I km cos(k1t k )] dt 0 k 1 T
2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
I I0 I I I I I
k 1
华东理工大学
同理有：U U 0 U U U U U
P U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
结论: 非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成
的功率与各次谐波构成的平均功率之和。
Notes: 1. 谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率； eg. 若u=u1+u2, i=I0+i1+i3 则P U I cos
1 1 1
2. 若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：
P I R I R I R I R I R
2 2 0 2 1 2 2 2 k
式中，I为非正弦周期电流的有效值
四. 视在功率
S UI U U U U I I I I
2 k 1 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
结论: 非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量
的平方与各次谐波的有效值的平方和的平方根。 例1. u 0
设正弦交流电压的最大值U m 2 220 V , 求经过半波整流后电压的有效值。
解： 取傅里叶级数展开式的前三项：
1 1 ω t u U m ( 2 4 cos 1t 3 cos 21t ) Um Um 2Um cos 1t cos 21t 2 3 2
1. 定义: 非正弦周期电流电路中的平均功率为其瞬时功率 在一周期内的平均值。 i + 即：
1 T 1 T P 0 p dt 0 u i dt T T
u
－
1 T P 0 [U 0 U km cos(k1t uk ] [ I 0 I km cos(k1t ik )] dt K 1 k 1 T
画各分电路图注意点: ①直流分量激励下，C开路，L短路； XLk=kωL ②各次谐波分量激励下，电抗值不同
XCk=1/kωC
3. 将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。
I0 1 I 2 注意： it I 0 i1 t i2 t I I 华东理工大学
L 1 Байду номын сангаас 1 I I
Z L 1
1 200 / 20 U R 1 I 2.21 38.7 A Z 1 50 j 40
j 20 2.21 38.7 2.21141.3 A 1 j 20 j 40 j L j C 1 j j 40 C I L 1 I R 1 2.21 38.7 4.42 38.7 A 1 j 20 j 40 jL j C U L 1 I L 1 Z L 1 4.42 38.7 j 20 88华东理工大学 .451.3 V C 1 I R 1 I
非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义 (由于发电设备的限制即使工程中用的正弦量也只能是近似的 )。 华东理工大学
二. 非正弦电路
1. 定义: 电路中的变量(电压、电流）呈现非正弦情况 时称此电路为非正弦电路。 2. 种类:
①正弦激励下的非线性电路 0 ωt
+
－
0
ωt
②非正弦激励下的非线性电路
mn
A
讨论： f (t ) A0
A
n 1
mn
cos(nt n )
1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Amncos(nωt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类： A0=a0 直流分量
基波分量 Am1 cos(t 1 ) Am 2 cos(2t 2 ) 二次谐波
iL t I L 0 iL 1 t iL 2 t 4 4.42 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 141.3 A
n 1
f (t ) a0 (an cosnt bn sin nt )
其中: A0
cos(nt n ) T / 2 2 n 1 bn f (t ) sin ntdt T /2 T T / 2 1 a0 f (t )dt 2 2 A mn a n b n T T / 2 T /2 bn 2 arctan an f ( t ) cos n tdt n 华东理工大学 an T T/ 2
IS 0
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
2 2 2
UM 1 UM 1 2UM 2 2 2 则有：U U 0 U1 U 2 155.2 V 23 2 2 华东理工大学
二. 平均值
定义（以电流为例）： 非正弦周期电流的平均值为其绝对值的平均值。 即：
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
R 1 I
R
U0
－
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 1 C 1 I I
Z L 1
IR(0) =U0 / R=200 / 50=4A IC(0) =0
IL(0)= IR(0) =4A UL(0) = 0
1 Z C 1 j j 40 C Z L 1 jL j 20
基波
t
t
七次谐波
华东理工大学 上 页 下
页
直流分量+基波
直流分量
基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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页
等效电源
iS
Im
t T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
is5
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
+ 100 U 2 0 V ZC 2 2 －
L 2 C 2 I I
Z L2
2 100 / 20 U R 2 I 1.1138.7 A Z2 50 j 40 j 2L j 40 IC 2 I R2 1.1138.7 2.2238.7 A 1 j 40 j 20 j 2L j 2C
华东理工大学 上 页 下
页
Z 1 R Z C 1 // Z L 1
j 40 j 20 50 j 40 j 20 50 j 40
R 1 I
R
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 2 I R 2 I j 20 1.1138.7 1.11 141.3 A 1 j 40 j 20 j 2L j 华东理工大学 上 页 下 页 2C
1 j 2C
L2 I L 2 Z L 2 1.11 141.3 j 40 44.4 51.3 V U
§12-1 非正弦周期信号
一. 非正弦信号
1. 定义: 电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号。
2. 种类: 非周期性 (“信号与系统”中研究)
周期性[ i(t)=i(t+T) / u(t)=u(t+T)]
例: 电子技术中常用的非正弦周期信号--微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、 半波整流电压等。
j L
⑶ 对二次谐波：
R 2 I
R
ZC 2
1 j j 20 2C
j 20 j 40 Z R Z // Z 50 50 j 40 j 20 j 40
2 C 2 L 2
Z L 2 j 2L j 40
Am3 cos(3t 3 ) 三次谐波
Amk cos(kt k )
k次谐波
高 次 谐 波
奇次谐波
偶次谐波
二. 物理意义：一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分
量和多个与ω成整数倍的不同频率的正弦交流电流。 华东理工大学
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
有效值 平均值 华东理工大学 上 页 下
页
三. 平均功率（有功功率）
S U 0 I 0 U 1 I1 U 2 I 2 U k I k 华东理工大学 上 页 下 页
§12-4 非正弦周期电流电路的计算
理论依据: 傅里叶级数 + 叠加定理
计算步骤:
1. 求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表),根据准确度 要求取若干项。 2. 分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
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t
ui
t
uo
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t
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§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
iR t I R 0 iR 1 t iR 2 t 4 2.21 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 38.7 A iC t I C 0 iC 1 t iC 2 t 2.21 2 sin t 141.3 2.22 2 sin 2t 38.7 A
例1.
已知: u=200+200sinωt + 100sin2ωt
iR
+
R
R=50Ω, ωL=20 Ω, 1/ ωC =40 Ω
iC
C L
iL
V
u
求： iR , iC , iL ,电流表、电压表 读数及电路中消耗的平均功率。 ⑵ 对基波分量：
A － 解： ⑴ 对直流分量： IR(0) R + IC(0) IL(0)
iS
Im
T/2 T
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
t
is 的展开式为：
Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5t ) 2 3 5
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周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
I
1 T 2 [ I 0 I km cos(k1t k )] dt 0 k 1 T
2 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
I I0 I I I I I
k 1
华东理工大学
同理有：U U 0 U U U U U
P U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
结论: 非正弦周期电流电路中的平均功率为直流分量构成
的功率与各次谐波构成的平均功率之和。
Notes: 1. 谐波次数不同的电压电流在电路中不构成平均功率； eg. 若u=u1+u2, i=I0+i1+i3 则P U I cos
1 1 1
2. 若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：
P I R I R I R I R I R
2 2 0 2 1 2 2 2 k
式中，I为非正弦周期电流的有效值
四. 视在功率
S UI U U U U I I I I
2 k 1 2 k 2 0 2 1 2 2 2 k
结论: 非正弦周期电流（电压）的有效值，等于它的直流分量
的平方与各次谐波的有效值的平方和的平方根。 例1. u 0
设正弦交流电压的最大值U m 2 220 V , 求经过半波整流后电压的有效值。
解： 取傅里叶级数展开式的前三项：
1 1 ω t u U m ( 2 4 cos 1t 3 cos 21t ) Um Um 2Um cos 1t cos 21t 2 3 2
1. 定义: 非正弦周期电流电路中的平均功率为其瞬时功率 在一周期内的平均值。 i + 即：
1 T 1 T P 0 p dt 0 u i dt T T
u
－
1 T P 0 [U 0 U km cos(k1t uk ] [ I 0 I km cos(k1t ik )] dt K 1 k 1 T
画各分电路图注意点: ①直流分量激励下，C开路，L短路； XLk=kωL ②各次谐波分量激励下，电抗值不同
XCk=1/kωC
3. 将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。
I0 1 I 2 注意： it I 0 i1 t i2 t I I 华东理工大学
L 1 Байду номын сангаас 1 I I
Z L 1
1 200 / 20 U R 1 I 2.21 38.7 A Z 1 50 j 40
j 20 2.21 38.7 2.21141.3 A 1 j 20 j 40 j L j C 1 j j 40 C I L 1 I R 1 2.21 38.7 4.42 38.7 A 1 j 20 j 40 jL j C U L 1 I L 1 Z L 1 4.42 38.7 j 20 88华东理工大学 .451.3 V C 1 I R 1 I
非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义 (由于发电设备的限制即使工程中用的正弦量也只能是近似的 )。 华东理工大学
二. 非正弦电路
1. 定义: 电路中的变量(电压、电流）呈现非正弦情况 时称此电路为非正弦电路。 2. 种类:
①正弦激励下的非线性电路 0 ωt
+
－
0
ωt
②非正弦激励下的非线性电路
mn
A
讨论： f (t ) A0
A
n 1
mn
cos(nt n )
1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Amncos(nωt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类： A0=a0 直流分量
基波分量 Am1 cos(t 1 ) Am 2 cos(2t 2 ) 二次谐波
iL t I L 0 iL 1 t iL 2 t 4 4.42 2 sint 38.7 1.11 2 sin2t 141.3 A
n 1
f (t ) a0 (an cosnt bn sin nt )
其中: A0
cos(nt n ) T / 2 2 n 1 bn f (t ) sin ntdt T /2 T T / 2 1 a0 f (t )dt 2 2 A mn a n b n T T / 2 T /2 bn 2 arctan an f ( t ) cos n tdt n 华东理工大学 an T T/ 2
IS 0
is1
is3
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§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
2 2 2
UM 1 UM 1 2UM 2 2 2 则有：U U 0 U1 U 2 155.2 V 23 2 2 华东理工大学
二. 平均值
定义（以电流为例）： 非正弦周期电流的平均值为其绝对值的平均值。 即：
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
R 1 I
R
U0
－
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 1 C 1 I I
Z L 1
IR(0) =U0 / R=200 / 50=4A IC(0) =0
IL(0)= IR(0) =4A UL(0) = 0
1 Z C 1 j j 40 C Z L 1 jL j 20
基波
t
t
七次谐波
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直流分量+基波
直流分量
基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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等效电源
iS
Im
t T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
is5
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
+ 100 U 2 0 V ZC 2 2 －
L 2 C 2 I I
Z L2
2 100 / 20 U R 2 I 1.1138.7 A Z2 50 j 40 j 2L j 40 IC 2 I R2 1.1138.7 2.2238.7 A 1 j 40 j 20 j 2L j 2C
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Z 1 R Z C 1 // Z L 1
j 40 j 20 50 j 40 j 20 50 j 40
R 1 I
R
+ 200 U 1 0 V 2 Z C 1 －
L 2 I R 2 I j 20 1.1138.7 1.11 141.3 A 1 j 40 j 20 j 2L j 华东理工大学 上 页 下 页 2C
1 j 2C
L2 I L 2 Z L 2 1.11 141.3 j 40 44.4 51.3 V U
§12-1 非正弦周期信号
一. 非正弦信号
1. 定义: 电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号。
2. 种类: 非周期性 (“信号与系统”中研究)
周期性[ i(t)=i(t+T) / u(t)=u(t+T)]
例: 电子技术中常用的非正弦周期信号--微分脉冲电流、方波电压、锯齿波电压、 半波整流电压等。
j L
⑶ 对二次谐波：
R 2 I
R
ZC 2
1 j j 20 2C
j 20 j 40 Z R Z // Z 50 50 j 40 j 20 j 40
2 C 2 L 2
Z L 2 j 2L j 40
Am3 cos(3t 3 ) 三次谐波
Amk cos(kt k )
k次谐波
高 次 谐 波
奇次谐波
偶次谐波
二. 物理意义：一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分
量和多个与ω成整数倍的不同频率的正弦交流电流。 华东理工大学
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
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三. 平均功率（有功功率）