复系数与实系数多项式因式分解
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推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) ( x2 ( )x ) f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
推论1 f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C
上具有标准分解式
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1 求 xn 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 解： 1) 在复数范围内 xn 1 有n个复根，
1, , 2, , n1
这里 cos 2 i sin 2 , n 1
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0 ∴ 也是为 f ( x)复根．
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ． 若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
n k 1, 2, , n
∴ 当n为奇数时
xn 1 ( x 1)[ x2 ( n1)x n1]
n1
n1
n1 n1
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2 x cos n 1 1]
n
n
当n为偶数时
xn 1 ( x 1)( x 1)[ x2 ( n1)x n1]
n2
n2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n2 n2
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2x cos n 2 1]
一、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1 f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
n
n
n
n
k cos 2k i sin 2k , k 1,2, , n
n
n
∴ xn 1 ( x 1)( x )( x 2 ) ( x n1)
2) 在实数域范围内
∵ k nk , k k 2cos 2k , k k 1
使 (x a) | f ( x) . 即， f ( x) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f ( x) C[x], ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x) C[x], 若( f ( x)) 1, 则 f ( x)在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) ( x2 ( )x ) f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
推论1 f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C
上具有标准分解式
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1 求 xn 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 解： 1) 在复数范围内 xn 1 有n个复根，
1, , 2, , n1
这里 cos 2 i sin 2 , n 1
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0 ∴ 也是为 f ( x)复根．
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ． 若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
n k 1, 2, , n
∴ 当n为奇数时
xn 1 ( x 1)[ x2 ( n1)x n1]
n1
n1
n1 n1
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2 x cos n 1 1]
n
n
当n为偶数时
xn 1 ( x 1)( x 1)[ x2 ( n1)x n1]
n2
n2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n2 n2
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2x cos n 2 1]
一、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1 f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
n
n
n
n
k cos 2k i sin 2k , k 1,2, , n
n
n
∴ xn 1 ( x 1)( x )( x 2 ) ( x n1)
2) 在实数域范围内
∵ k nk , k k 2cos 2k , k k 1
使 (x a) | f ( x) . 即， f ( x) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f ( x) C[x], ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x) C[x], 若( f ( x)) 1, 则 f ( x)在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.