复系数与实系数多项式因式分解
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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高等代数定理汇总前三章
第一章多项式定理1对于数域上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)≠0，g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理2对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式ⅆ(x)，且ⅆ(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使ⅆ(x)=u(x)f(x)+ν(x)g(x).定理3P[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x)，v(x)使u(x)f(x)+ν(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x))=1，且f(x)|g(x)ℎ(x)，那么f(x)|ℎ(x).推论如果f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x))=1，那么f1(x)f2(x)|g(x).定理5如果p(x)是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x)，g(x)，由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者 p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地被分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么它是微商f′(x)的k−1重因式.推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么p(x)是f(x)，f′(x)，⋯，f(k−1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f′(x)的公因式.推论3多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f′(x)互素.定理7（余数定理）用一次多项式x−α去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α).推论α是f(x)的根的充分必要条件是(x−α)|f(x).定理8P[x]中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α1，α2，⋯，αn+1有相同的值，即f(αi)=g(αi)，i=1，2，⋯，n+1，那么f(x)=g(x).代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必是一个整系数多项式，而rs有s|a n，r|a0.特别地，如果f(x)的首项系数a n=1，那么f(x)的有理根都是整根，而且是a0的因子.定理13（艾森斯坦判别法）设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得1）p∤a n；2）p|a n−1， a n−2， ⋯， a0；3）p2∤a0，那么f(x)在有理数域上是不可约的.第二章行列式定理1对换改变排列的奇偶性.推论个在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!2定理2任意一个n级排列与排列12⋯n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.行列式性质1 行列互换，行列式不变.性质2 如果行列式一行为零，那么行列式为零.性质3 如果某一行是两组数的和，那么行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应行一样.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.定理3设ⅆ=|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn|， A ij 表示元素a ij 的代数余子式，则下列公式成立：a k1A i1+a k2A i2+⋯+a kn A in={ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； a 1l A 1j +a 2l A 2j +⋯+a nl A nj={ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.用连加号简写为∑a ks A is =n s=1{ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； ∑a sl A sj=n s=1{ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.定理4（克拉默法则）如果线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式，即系数行列式ⅆ=|A|≠0，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为x1=d1d ，x2=d2d，⋯，x n=d nd，其中ⅆj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b1，b2，⋯，b n所组成的矩阵的行列式.定理5如果齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解，那么必有|A|=0.第三章线性方程组定理1在齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a s1x1+a s2x2+⋯+a sn x n=0中，如果s<n，那么它必有非零解.定理2设α1，α2，⋯ ，αr与β1，β2，⋯，βs是两个向量组.如果1)向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经β1，β2，⋯，βs线性表出；2)r>s，那么向量组α1，α2，⋯ ，αr必线性相关.推论1如果向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经向量组β1，β2，⋯，βs线性表出，且α1，α2，⋯ ，αr线性无关，那么r≤s.推论2任意n+1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理4矩阵的行秩与列秩相等. 定理5n×n矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n. 推论齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式等于零.定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.。
实系数多项式
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第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
11. 因式分解技巧-实数集与复数集内的分解 -单墫
11.实数集与复数集内的分解．因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，2x 3-没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内32-x 是既约多项式，但是在实数集内，因为),3)(3(32-+=-x x x 所以32-x 不是实数集内的既约多项式，到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求 根 公 式一次多项式永远是既约的.x 的二次三项式c bx ax ++2在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得,242aac b b x -±-= )1( 从而 C bx ax ++2 ⋅-----+--=)24)(24(22aac b b x a ac b b x a )2( 在实数集内，当042≥-ac b 时，c bx ax ++2也可以用(2)式分解．如果,042<-ac b 那么 c bx ax ++2是实数集内的既约多项式．如果ac b 42-不是有理数的平方，那么C bx ax ++2就是有理数集内的既约多项式．如果ac b 42-是有理数的平方，那么c bx ax ++2可以用(2)分解，其实，用十字相乘更为方便：例1 分解因式：.7322--x x解 由于 ,7,3,2-=-==c b a ,065)7(24)3(422>=-⨯⨯--=-ac b65不是有理数的平方，所以在有理数集内7322--x x 是既约多项式．在实数集与复数集内可得 7322--x x⋅--+-=)4653)(4653(2x x 例2 分解因式：.7322+-x x解 由于 ,7,3,2=-==c b a,047724)3(422<-=⨯⨯--=-ac b所以在实数集内7322+-x x 是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得7322--x x),4473)(4473(2i x i x --+-= 其中i 称为虚数单位，满足等式 .12-=i例3 分解因式：⋅+-89322x x 解 由于 ,89,3,2=-==c b a ,08924)3(422=⨯⨯--=-ac b 所以在有理数集内可得.)43(2893222-=+-x x x 这也是89322+-x x 在实数集与复数集内的分解式， 例4 分解因式：.2322--x x解 由于 ,2,3,2-=-==c b a,525)2(24)3(4222==-⨯⨯--=-ac b所以2322--x x 在有理数集内可以分解．事实上，由十字相乘可得 ).2)(12(2322-+=--x x x x当然，这式子也可以用(2)来分解．11.2 代 数 基 本 定 理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- （n 是正整数）．一定有复数c 使得.0)(=c f这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式f (x)都有一次因式x-c ，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式f(x)恰好有n 个根，如果n x x x ,,,21 是0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的n 个根，那么)3).(())(()(21n n x x x x x x a x f ---=每一个复数都可以写成a+bi 的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位，在b≠0时，a+bi 称为虚数．虚数a+bi 与a- bi 称为共轭复数，它们的和为,2)()(a bi a bi a =-++它们的积为22222))((b a i b a bi a bi a +=-=-+（因为)12-=i即共轭复数的和与积都是实数．如果bi a x +=1与bi a x -=2是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为))((21x x x x --)]()][([bi a x bi a x --+-=),(2222b a ax x ++-=是实系数的多项式，对于实系数多项式f(x)，我们可以用(3)式把它分解为复数集内的一次因式的积．有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的21x x 、)，我们把相应的两个共轭的一次因式（例如 1x x -与2x x -)乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了f(x)在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出f(x)的根，就可以把f(x)分解，三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解．例5 分解因式：.124+-x x解 由第9单元例3，我们知道124+-x x 不能分解为两个有理系数的二次因式的积，它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，124+-x x 是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到 124+-x x2243)12(x x x -++=2223)1(x x -+=).13)(13(22+-++=x x x x在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到124+-x x)13)(13(22+-++=x x x x⋅--+--+++=)23)(23)(23)(23(i x i x i x i x 11.3 单 位 根．多项式1-n x 的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1．由于 14-x )1)(1(22+-=x x),)()(1)(1(i x i x x x -+-+=所以四次单位根有4个，即±1，±i，前两个是实数，后两个是虚数，例6 分解因式：.13-x 解 在有理数集内，熟知),1)(1(123++-=-x x x x这也是13-x 在实数集内的分解式． 在复数集内，13++x x 还可用(2)进一步分解为),231)(231(12i x i x x x ---+--=++ 所以 ⋅+--+---=-)231)(231)(1(13i x i x x x 231i +-与231i --是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根），我们把231i +-记为w ，容易看出,2312i --=ω 并且 .1,1,1223ωωωωω-=+-=+= (4)一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是),,,2,1(2sin 2cosn k nk i n k =+ππ (5) 其中 .12sin 2cos =+n n i n n ππ例7 分解因式：.15-x 解 在复数集中，15-x 的根为,54sin 54cos ,52sin 52cosππππi i ++ ,1,58sin 58cos ,56sin 56cos ππππi i ++ 由(3)，得 15-x ⋅-----=)54sin 54cos )(52sin 52cos)(1(ππππi x i x x ⋅----)58sin 58cos )(56sin 56cos (ππππi x i x 因为 ,52sin 52cos 58sin 58cos ππππi i -=+ 与52sin 52cos ππi +共轭，又 ,54sin 54cos 56sin 56cos ππππi i -=+ 与54sin 54cos ππi +共轭，并且 ,1cos sin 22=+αα 所以 )52sin 52cos )(52sin 52cos (ππππi x i x +--- 22)52(sin )52cos (ππ+-=x ,1)52cos 2(2+-=x x π )54sin 54cos )(54sin 54cos (ππππi x i x +--- .1)54cos 2(2+-=x x π 所以在实数集内，可得15-x⋅+-+--=]1)54cos 2(][1)52cos 2()[1(22x x x x x ππ 在有理数集内，由第2单元例13，得),1)(1(12345++++-=-x x x x x x1234++++x x x x 在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在(5)中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么nk i n k ππ2sin 2cos +称为本原单位根．例如，对于n-15，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根，可以证明，与n 饮本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式，例如34x x +12+++x x 就是一个分圆多项式．11.4 攻 玉 之 石“他山之石，可以攻玉”，三次虚单位根w 可以帮助我们在有理数集内分解因式，例8 分解因式：.2245++++x x x x解 w 是多项式2245++++x x x x 的一个根．事实上，利用(4)，可知 2245++++ωωωω222++++=ωωωω)122++=ωω（,0=于是ω-x 是2245++++x x x x 在复数集内的因式，它的共轭因式2ω-x 也是2245++++x x x x 的因式，又 ,1))((22++=--x x x x ωω从而12++x x 是2245++++x x x x 的因式．所以 2245++++x x x x)222()()(223345+++++-++=x x x x x x x x).2)(1(32+-++=x x x x这里，23+-x x 没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式f(x)有虚根w(即f(w ) =O ），那么f(x)就有因式.12++x x 例9 证明：在m 、n 为自然数时，多项式11323++++n m x x有因式+2x .1+x 证明 因为 11323++++n m ωω12++=ωω,0=所以，12++x x 是11323++++n n x x 的因式．例10 分解因式：.1510++x x解 12++x x 是1510++x x 的因式，所以把1510++x x 分组分解，得1510++x x)()()()(4565677898910x x x x x x x x x x x x ++-+++++-++=-+++)(345x x x)1()(223+++++x x x x x).1)(1(345782+-+-+-++=x x x x x x x x134578+-+-+-x x x x x x 是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明． 例11 分解因式：.115-x解 115-x1)(35-=x)1)(1(5105++-=x x x+-+-++++++-=45782234)(1)(1)(1x x x x x x x x x x x （).13+-x x )6((最后一步利用了例7及例10).如果沿另一途径分解：115-x1)(53-=x]1)()()())[(1(32333433++++-=x x x x x [根据例7]).1)(1)(1(369122++++++-=x x x x x x x )7(比较(6)、(7)，我们知道136912++++x x x x 不是有理数集内的既约多项式，它可分解为136912++++x x x x).1)(1(34578234+-+-+-++++=x x x x x x x x x x例12 分解因式：.)(444y x y x +++ 解 w 是多项式44)1(1++⋅+x x 的根．事实上，利用(4)，可得44)1(1+++ωω42)(1ωω++=21ωω++=,0=因此，12++x x 是44)1(1+++x x 的因式，22y xy x ++是x y x （++444)y +的因式（这个判断对解444)(y x y x +++)464(43223444y xy y x y x x y x ++++++=)232(2432234y xy y x y x x ++++=)]()()[(2432232232234y xy y x xy y x y x y x y x x ++++++++=.)(2222y xy x ++=小 结在复数集内，)1(≥n n 次多项式。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
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例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
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实系数多项式因式分解定理
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高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
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高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
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希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标通过《高等代数Ⅰ》的教学，使学生掌握多项式及代数学的基础知识和基础理论、初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法、理解具体与抽象、特殊与一般，有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，为学习本专业其余课程奠定基础。
应达到的具体能力目标：具有独立思维能力和解决实际问题能力；具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅰ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第一章多项式（18学时）（一）教学要求1. 了解一元多项式的运算，复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理；2. 理解多项式的带余除法；3. 掌握整除的概念与性质,带余除法定理及证明，最大公因式的概念与求法，多项式互素的概念与性质，因式分解及唯一性定理。
4. 理解多项式在不同的数域的因式分解形式；5. 掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
（二）教学重点与难点（内容五号仿宋GB2312，段前段后0行，段落固定值18磅）教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。
（三）教学内容第一节数域1. 代数研究的基本问题2. 数域的定义第二节一元多项式1. 基本知识2. 多项式的运算规律3. 一元多项式环第三节整除概念1. 例解多项式竖式除法，普通除法2. 定理（带余除法）3. 整除，余式，因式，倍式4. 多项式整除的充要条件5. 整除的几个性质第四节最大公因式1. 公因式，最大公因式的定义2. 求最大公因式的方法3. 辗转相除法4. 互素及特性第五节因式分解定理1. 不可约多项式2. 不可约多项式的性质3. 因式分解唯一性定理4. 标准分解式第六节重因式1. k重因式2. 重因式的性质3. 求重因式的方法第七节多项式函数1. 余数定理2. 多项式函数与多项式的根第八节复系数与实系数多项式的因式分解1. 复系数多项式的因式分解定理与标准分解式2. 代数基本定理3. 实系数多项式因式分解定理第九节有理系数多项式1. 有理数域上一元多项式多项式的因式分解问题。
高等代数使用教材及辅导材料
高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社 1978高等代数丘维声高等教育出版社 1996高等代数张禾瑞郝炳新高等教育出版社 1983高等代数习题课教材钱芳华黎有高卜淑云邓培民广西师范大学出版社 1997高等代数解题方法许甫华张贤科清华大学出版社 2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社 1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社 1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社施普林格出版社 2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
一复系数多项式
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
第二章 多项式 第七节 复数实数域上的多项式课件
其中，1 , 2 ,
f (x) a(x 1)k1 (x s )ks
,s 是不同的复数，k1, k2, , ks 是正整数，并且
k1 k2 ks n.
定理2.7.3
任何n (n > 0)次多项式在复数域中有n个根(重根按 重数计算) . 证 设f (x)是一个次多项式,那么由定理2.7.1,它在复
一、代数基本定理 二、实系数多项式的性质定理
一、代数基本定理
定理2.7.1(代数基本定理) 任何n (n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根.
定理2.7.2(复系数多项式因式分解定理) 复数域C上任一n (n > 0)次多项式可以唯一地 分解为n一次因式的乘积.
由定理2.7.2， n (n > 0)次复系数多项式 f (x) 的标准分解式为
二、实系数多项式的性质定理
定理2.7.4
若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根 ,那么 的共轭数 也是f (x)的根, 并且 与 有同一重数.
换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对.
证 令f (x) a0 xn a1xn1 an . 由假设
a0 xn a1xn1 an 0.
数域C中有一个根 1, 因此在C [x]中
f (x) (x 1) f1(x),
这里 f1(x是) C上的一个n – 1 次多项式.若n – 1 > 0,那
么在C中有一个根 2 , 因而在C [x]中
f (x) (x 1)(x 2 ) f2 (x).
这样继续下去,最后f (x)在C [x]中完全分解成n个一 次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根.
整除.由共轭复数的性质知道g (x)的系数都是实数.故 f (x) g(x)h(x), 此处h (x) 也是,那么它一定是h (x)的根,因而根 据方才所证明的, 也是h (x)的一个根.这样也是f (x) 的重根.重复应用这个推理方法,容易看出, 与的重
复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有 一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一 地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.3结论 ：设 (),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是 ()g x 的根， 则 ()|()f x g x例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x -4、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是 )(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
数学竞赛-第1部分-多项式
第一部分 多项式一. 知识点.1. 数域: 至少包含两个数. 对四则运算封闭.常用的:有理数域,实数域,复数域.数域F 作为自身上的线性空间是一维的.dim 2=R C ,基为1,i ,即{|,}a bi a b =+∈C R .dim =∞Q R ,},|2{)2(Q Q ∈+=b a b a ,dim 2=Q Q ,基:{,,}a a b c =+∈Q Q ,dim 3=Q Q ,基:线性空间的维数观点看: )2(Q 作为有理数域上的线性空间是2维的,就是一组基,而实数域作为有理数域上的线性空间是无限维的.故有理数域和实数域之间有无限多个数域,而复数域和实数域之间没有数域.2. 一元多项式环: []{()|()}P x f x f x F =是数域上的一个多项式,多项式是一个有限和.这个集合关于多项式的加减乘封闭,但是对除法不封闭,整除并不是对任意多项式都成立,任给两个多项式(),()f x g x ,()()f x g x 称为有理式形式, ()()(),()[]()f x P x f x g x P x g x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭组成一个域,称为有理函数域. 多项式包含三部分内容: 1). 整除性理论 2).因式分解理论 3). 多项式根的理论1). 整除性理论:(1). 带余除法: 取)(),(x g x f ,0)(≠x g ,则存在][)(),(x P x r x q ∈,使得)()()()(x r x q x g x f +=,其中0)(=x r 或))(())((x g x r ∂<∂,且这样的)(),(x r x q 由)(),(x g x f 唯一确定.(2). 整除: ()()()f x g x q x =(3). 最大公因式和互素:1). 公因式: 取多项式)(),(x g x f ,)(x d 若满足g d f d |,|,则称)(x d 为f 与g 的一个公因式.2). 最大公因式: 取多项式)(),(x g x f ,称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式,若)(x d 满足 a). g d f d |,|, b). )(x f 与)(x g 的任一公因式都是)(x d 的因式,即若有g f |,|ϕϕ,则必有d |ϕ. 结论: (1) 若)()()()(x r x q x g x f +=,则))(),(())(),((x r x g x g x f =.a bs r =+,则(,)(,)a b b r =(2) 取(),()[]f x g x F x ∈,存在最大公因式,且存在)(),(x v x u ,使得)()()()()(x d x g x v x f x u =+, 11f gq r =+,1221233232,,,g r q r r r q r r r q =+=+=则1122333(,)(,)(,)(,)(,0)f g g r r r r r r cr =====.(3) 首1的)(x d 为(),()f x g x (不全为零)的最大公因式(a),,d f d g ⇔且)(x d 是公因式中次数最大者. (b),,d f d g ⇔且存在(),()u x v x ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+(c)⇔)(x d 是{()()()()|(),()}S u x f x v x g x u x v x =+∀中非零多项式中的次数最小者. (d)证明: (a)⇒(b) 由定义, (),()f x g x 的公因式都是)(x d 的因式, 故)(x d 是公因式中次数最大的那个. (b)⇒(c) 取0()((),())d x f x g x =,则存在00(),()u x v x ,使得000()()()()()d x u x f x v x g x =+,而)(x d 是公因式,则0()|()d x d x ,而()d x 次数最大,则0()()d x d x =,(c)⇒(d) ()()()()()d x u x f x v x g x =+,首先()d x S ∈,而,,d f d g 从而任给()h x S ∈,都有d h ,故 )(x d 是S 中次数最小的.首先)(x d 是公因式,若0()d x 是(),()f x g x 的最大公因式,则0()|()d x d x ,但是)(x d 是公因式中次数最大的.故0()()d x d x =,)(x d 为(),()f x g x 的最大公因式.(d)⇒ (a): 若)(x d 是{|,}uf vg u v +∀中多项式次数最小者.设()()()()()d x u x f x v x g x =+,则 ,,d f d g 事实上若()()()()f x d x q x r x =+,其中()0r x =或()()r x d x ∂<∂.()()()()()(()()()())()(1()())()()r x f x d x q x f x u x f x v x g x q x u x q x f v x q x g =-=-+=--,而 )(x d 是{|,}uf vg u v +∀中多项式次数最小者,故()()d x r x ∂≤∂,从而()0r x =.|d f ,同理|d g , 由()()()()()d x u x f x v x g x =+可知(),()f x g x 的公因式都是()d x 的因式, ()d x 是最大公因式.(4) (((),())(()()(),())f x g x f x h x g x g x =-,其中()h x 是任意非零多项式.3).多项式互素: 取][)(),(x P x g x f ∈,若1),(=g f ,则称f 与g 是互素的.定理: 设][)(),(x P x g x f ∈,则f 与g 互素当且仅当存在多项式)(),(x v x u ,使得1=+vg uf .性质: 1). 设1),(=g f ,且gh f |,则h f |. 2). 若g f g f |,|21,且1),(21=f f ,则g f f |21.(2) (,)1f g =⇔(,)1fg f g ±=⇔((),())1m mf xg x =⇔(,)1m n f g =. (3) (,)()f g d x =,()t x 是首1多项式,则(()(),()())()()t x f x t x g x t x d x =.(4) 12(,)1,(,)1,f g f g ==则12(,)1,f f g =增加: (1) 设,f g 非零,若任给()h x ,由()|()()f x g x h x ,都可得()|()f x h x ,则1),(=g f .证明: 若不成立设(,)()f g d x =,则设11()(),()()f d x f x g d x g x ==,则1|()f gf x ,则1|()f f x ,矛盾.(2) 设,f g 非零,若任给()h x ,由()|()f x h x ,()|()g x h x ,都可得()()|()f x g x h x ,则1),(=g f . 证明: 若(,)()f g d x =,设11()(),()()f d x f x g d x g x ==,则11|()()()f d x f x g x ,11|()()()g d x f x g x ,从而由题意,可知11|()()()fg d x f x g x ,即()|1d x ,故()1d x =,故1),(=g f .2).因式分解理论1. 不可约多项式:数域P 上的次数1≥的多项式)(x p 若不能分解成两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积,则称)(x p 是一不可约多项式.否则称为可约的.即若)(x p 可约,则可以)()()(21x p x p x p =,其中)())(()),((121x p x p x p ∂<∂∂≤.若)(x p 不可约,则因式只有非零常数及)(x p 的非零常数倍两类.即)(1)(x p cc x p ⋅=. 不可约多项)(x p 与任一多项式)(x f 的关系是:或)(|)(x f x p ,或1))(),((=x f x p .若)(x f 与)(x p 有公共根,则)(|)(x f x p .定理:设)(x p 不可约,][)(),(x P x g x f ∈,若)()(|)(x g x f x p ,则)(|)(x f x p ,或)(|)(x g x p .反之,若任给][)(),(x P x g x f ∈,)()(|)(x g x f x p 可得)(|)(x f x p ,或)(|)(x g x p ,则)(x p 不可约.2. 因式分解及唯一性定理3. 标准分解式: )()()()(2121x p x p x cp x f s rs r r =,其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素、首1、不可约多项式.c 是)(x f 的首项系数.4. 复系数、实系数与有理系数多项式的因式分解1). 复系数多项式][x C :任一次数1≥的多项式在复数域内都可唯一的分解成一次因式的乘积.即在复数域上,只有一次多项式不可约.2次及2次以上的多项式都可约.标准分解式:s rs r r x x x c x f )()()()(2121ααα---= ,其中s ααα,,,21 为互不相等的复数.2).实系数多项环][x R :1). 基本结论: 实系数多项式的非实复根共轭成对出现.2). 实数域上的不可约多项式是一次多项式和不可约二次多项式.3). 实系数多项式因式分解定理: 任一次数1≥的实系数多项式在实数域内都可唯一的分解成一次因式和不可约二次因式的乘积.标准分解式:t s l t t l r s r q x p x q x p x x x c x f )()()()()(2112111++++--= αα,其中t t s q q p p ,,,,,,,,111 αα都是实数. t i q p i i 2,1,042=<-.3). 有理系数多项式(1). 任一次数1≥的有理系数多项式都可分解成有理数域上不可约多项式的乘积,且分解唯一.(2). 有理系数多项式因式分解可转化为整系数多项式因式分解.进而可求有理系数多项式的有理根. 在有理数域范围内,存在任意次数的不可约多项式.(判断不可约的方法.)本原多项式的乘积是本原的,反之,本原多项式若整除,所得的商也是本原的.设本原的(),()f x g x ,且()()()f x g x q x =.首先商()q x 是有理的. ()q x 做本原分解1()()q x rq x =,则 1()()()f x rg x q x =,故1r =±,即()q x 是本原的.定理:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是一整系数多项式,若sr 是)(x f 的一个有理根,其中1),(=s r ,则0|,|a r a s n ,特别的,若1=n a ,则)(x f 的有理根是整数,且是0a 的因子.5.重因式:不可约多项式)(x p ,若)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+,则称)(x p 是)(x f 的一个k 重因式.即)()()(x g x p x f k =,其中)(|)(x g x p /.推论: 不可约多项式)(x p 是)(x f 的重因式当且仅当)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式,则)(x p 是)(x f '的1-k 重公因式.推论: )(x f 无重因式当且仅当1))(),((='x f x f .不可约多项式在复数域上无重因式(也无重根). 消去重因式的方法:()((),'())f x f x f x 无重因式,但与)(x f 有相同的不可约因式. 若)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r=,则1211112((),'())()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---= .故 12()()()()((),'())s f x p x p x p x f x f x = . 3). 多项式根的理论1. 取P ∈α,P a a a a f n n n n ∈++++=--0111)(αααα ,称为)(x f 在α处的值(函数值),则)(;:)(ααf P P x f →定义了P 的一个函数.2 取P ∈α,0)(0111=++++=--a a a a f n n n n αααα ,称为α为)(x f 的一个根.余数定理: 用一次多项式α-x 去除)(x f ,所得余式是一个常数,这个常数就是)(αf .推论:α是)(x f 的根当且仅当)(|)(x f x α-.定理:][x P 中任意一个n 次多项式在数域P 中根的个数最多有n 个,其中重根按重数计.3). 多项式函数的相等与多项式的相等.定理:若][x P 中多项式)(),(x g x f 的次数不超过n (n ≤),)(x f 与)(x g 在1+n 个不同的数121,,,,+n n αααα 处的值相等,即1,,,2,1),()(+==n n i g f i i αα,则)()(x g x f =.根与重根,余数定理,有理系数多项式的有理根的求法,实系数多项式的非实复根的共轭成对,代数基本定理,韦达定理,根的个数.3. 多元多项式 关于n 个未定元的多项式:[][][,]P x y P x y =,系数是x 的多项式的关于未定元y 的多项式,例如234242(,)(21)(1)(1)f x y x x y x y x x y x =+-++--++,故1212[,,,][][][]n n P x x x P x x x =单项式: 1212(0)n k k k n i ax x x k ≤∈Z ,次数是12n k k k +++ .有限个单项式的和121212n n i i i i i i na x x x ∑ 称为一个多元多项式.次数是其中次数最高的单项式的次数.多元多项式的排序问题: 一元多项式可以降次幂排列,或升次幂排列. n 元多项式字典排序法.取多项式12(,,)n f x x x 中的两项12121212,n n k l k k l l n n ax x x bx x x ,看n 维向量1212(,,,),(,,,)n n k k k l l l .若12121212,n n k l k k l l n n ax x x bx x x 不同,则1212(,,,)(,,,)n n k k k l l l ≠ ,若向量1122(,,,)n n k l k l k l --- 的第一个非零数是一个正数,就称12(,,,)n k k k 先于12(,,,)n l l l ,此时单项式1212n kk k n ax x x 在单项式1212n l l l n bx x x 之前,如多项式:242446422446123131231131232322x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++. 根与系数的关系.设多项式11112()()()()n n n n n f x x a xa x a x x x ααα--=++++=--- ,则有根与系数的关系.1123312(1)(1)n i i i ji j i j k i j k n n n a a a a ααααααααα=<<<⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪=-⎩∑∑∑ .记1122312n i j i j i j k i j k n n x x x x x x x x x x x σσσσ<<<=+++⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=⎩∑∑ 称为初等对称多项式. n 元多项式互换任意两个未定元的位置后,多项式不变,称为对称多项式.对称多项式1212(,,,)(,,,)n n f x x x ϕσσσ= ,对称多项式可以写成初等对称多项式的多项式. 方法如下.找出首项: 1212n k k k n ax x x ,做231212n k k k k k n a σσσ-- ,其首项为1212nk k k n ax x x .两式相减. 231212n k k k k k nf a σσσ--- 的首项比f 的小,如此下去即可.或者: (1) 把多项式写成齐次对称多项式的和10n n f f f f -=+++ .每个m f 如下来做.(2) 设m f 的首项为1212n k k k n ax x x ,列出满足如下的向量12(,,,)n l l l(a) 1212(,,,)(,,,)n n k k k l l l ≥ (b) 12n l l l ≥≥≥ (c) 12n l l l m +++=(3) 做231121212(,,,)121(,,,)n n nn l l l l l l l m n l l l n n f x x x A σσσσ-----=∑ 其中12(,,,)n l l l 满足(2) (4) 取特殊值12(,,,)n x x x ,定出(3) 中的系数12(,,,)n l l l A 即得m f .而10n n f f f f -=+++ .多项式因式分解:在复数域上,21()()()n n x x x x ξξξ-=--- ,其中22cossin i n n ππξ=+是一个n 次本原单位根. 而22()()2cos1k n k k x x x x n πξξ---=-+实系数多项式. 在实数域上:若n 是奇数,则122121(1)2cos 1n n k k x x x x n π-=⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭∏. 若n 是偶数,则212121(1)(1)2cos 1n n k k x x x x x n π-=⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭∏. 二 典型例题1. 设带余除法算式:()()()()g x f x q x r x =+,(商式和余式)任取非零()h x ,则(1) ()()h x f x 除()()h x g x 的商式和余式是什么? (2) ()f x 除()cg x 的商式和余式是什么?解: 设11()()()()()()h x g x h x f x q x r x =+(商式和余式), 则11()()()()()()r x h x g x h x f x q x =-,可得 1()|()h x r x ,设1()()()r x h x x ϕ=. 若1()0r x =,则1()()()g x f x q x =,即()|()f x g x ,则()0r x =. 若1()0r x ≠,则1()()()()()r x h x x f x h x ϕ∂=∂+∂<∂+∂,即()()x f x ϕ∂<∂,并且1()()()()g x f x q x x ϕ=+(带余除法算式),故1()(),()()q x q x r x x ϕ==,故()()()()()()()h x g x h x f x q x h x r x =+. (2) ()()()()cg x cf x q x cr x =+.求多项式的最大公因式.2. 设有理系数多项式)(x f 与)(x g 互素,)()1()()1()(233x g x x x x f x x -+-+-=ϕ, )()()()1()(22x g x x x f x x -+-=ψ,求))(),((x x ψϕ.解: )]()1()()1)[(1()(22x g x x f x x x x ++++-=ϕ, )]()()1)[(1()(x xg x f x x x ++-=ψ.若)(x d 是)()1()()1(22x g x x f x x ++++与)()()1(x xg x f x ++的一个公因式,则 )]()()1)[(1()]()1()()1[(|)(222x xg x f x x x g x x f x x x x d +++-++++.即)(|)(x f x d -,)]()()1)[(1()]()1()()1)[(1(|)(222x xg x f x x x x g x x f x x x x d ++++-+++++,即)(|)(x g x d ,从而))(),((|)(x g x f x d ,即1)(=x d ,从而1))(),((-=x x x ψϕ.3. 设)(),(21x f x f 是首1次数3≤的互异多项式,设)()(|13243124x f x x f x x +++,求12((),())f x f x .解: 已知)1)(1(1)1)(1(336242+-=-=++-x x x x x x .有6个根,故|124++x x 的4个根2121,,,ξξωω满足1,132313231-====ξξωω,由于)()(|13243124x f x x f x x +++,从而2121,,,ξξωω也是)()(32431x f x x f +的根,代入有⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(32223213121311ωωωωωωf f f f ,即⎩⎨⎧=+=+0)1()1(0)1()1(221211f f f f ωω,求解得⎩⎨⎧==0)1(0)1(21f f ,即)(),(|121x f x f x -. 33111213312222()()0()()0f f f f ξξξξξξ⎧-=⎨-=⎩,即112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f ξξ---=⎧⎨---=⎩,求解得⎩⎨⎧=-=-0)1(0)1(21f f ,即)(),(|121x f x f x +. 由于1)1,1(=+-x x ,则)(),(|)1)(1(21x f x f x x +-,由于)(),(21x f x f 是首项系数为1的次数3≤的互异多项式,故)1)(1(+-x x 是最大公因式.4. 设q px x x f n ++=)((0≠p ),)('x f 除)(x f 的余式为)(1x r ,)(1x r 除)('x f 的余式为)(2x r .(1) 求)(),(21x r x r . (2)证明: )(x f 有重因式当且仅当0)1()1(111=-+----n n n n n q n p n . 证明: (1) q px x x f n ++=)(,则p nx x f n +=-1)(',计算可得q x n p n x n x f x f +-+=)1(1)(')(,其中q x np n x r +-=)1()(1是个一次多项式,从而 )()()1())1(()()())1(()('2222x r x q np n p n nq x x r x q q x n p n x f +--+=++-=,则 p pn q n p p n nq n p n nq f x r n n n n n n +--=+--=--=-----111112)1()1())1(())1((')(. (2) )(x f 有重因式当且仅当0)1()1()(11112=+--=----p pn q n x r n n n n n ,即0)1()1(111=-+----n n n n n p n q n . 5. 若)(),(x g x f 不全为零,任给n 正整数,证明: ))(,)(())(),((n n n x g x f x g x f =.证明: 由(,)|,f g f g ,有(,)|,n n n f g f g ,从而),(|),(n n n g f g f .同时, 1)),(,),((=g f g g f f ,则 1)),(,),((=nnn n g f g g f f .即存在多项式)(),(x v x u ,使得1),(),(=+n n n n g f g v g f f u ,即n n n g f vg uf ),(=+,从而n n n g f g f ),(|),(.得到))(,)(())(),((nn n x g x f x g x f =.利用标准分解式也可以. 6. 设一元多项式)(),(),(x h x g x f ,其中1))(),((=x h x f ,且)(x f 与)(x g 被)(x h 除所得余式相等, 证明:1))(),()((=x h x g x f .证明: 由1))(),((=x h x f ,知存在)(),(x v x u ,使得1=+vh uf .由题意,设r hq g r hq f +=+=21,.则 21hq g hq f -+=.代入得1)(21=+-+vh hq g hq u 即1)(21=++-ug h v uq uq ,从而1))(),((=x h x g . 即存在)(),(11x v x u ,使得111=+h v g u ,则1))((11=++h v g u vh uf ,即1)(1111=+++h h vv vg u ufv fg uu ,从而1))(),()((=x h x g x f .7. 设,,[]f g h F x ∈,证明存在()[]p x F x ∈使得)(|)(x p x f ,且))()((|)(x h x p x g +当且仅当h g f |),(. 证明: ⇒ 设)(),(x d g f =,则g d f d |,|,从而)(|)(x p x d ,且))()((|)(x h x p x d +,则)(|)(x h x d . ⇐h g f |),(,则存在)(x k ,使得k g f h ),(=,而对),(g f ,存在多项式)(),(x v x u ,使得),(g f vg uf =+,代入vgk ufk h +=,即vgk ufk h =-,令p ufk =-,则p f |,且)(|h p g +.整除的问题: 若()|()f x g x ,说明()f x 的根是()g x 的根,反之,若()f x 的根是()g x 的根,不一定有 ()|()f x g x .若,αβ是()f x 的根,则|()x f x α-,|()x f x β-,若αβ≠,则()()|()x x f x αβ--.8.证明: 任给非负整数n ,都有))1((|11222++++++n n x xx x . 证明: 已知1)1)(1(32-=-++x x x x .从而12++x x 的根是13=x 的两个共轭复根,记为αα,.若能证明122)1(++++n n x x 以αα,为根,则可知12++x x 是122)1(++++n n x x 的一个因式.))1()(1()1()1()1()1(212122122n n n n n n n n ++-+=+++-=++=++++++ααααααααααα0))(1())12()(1(2=+-+=+++-+=n n n n ααααααα.2212222(1)(1)(21)(1)(1)0n n n n n n n αααααααααααααα++++=++++=++=++=另外,可用数学归纳法:设))1((|11222++++++n n x xx x ,看323(1)n n x x ++++.3233221322121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=++++++221221((1))(1)(1)n n n x x x x x x +++=++++++.类似的,可证明2331321|m n p x x x x x ++++++.从根的角度,也可以如下33132332321(1)(1)1m n p m n p x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+++,而2331|1|1k x x x x ++--. )1)1((|1201520152--+++x x x x9. 证明如果)()(|122212x xf x f x ++,那么)(|1),(|121x f x x f x ++证明: 由)()(|122212x xf x f x ++,则12+x 的两个根是)()(2221x xf x f +的根,则 ⎩⎨⎧=---=-+-0)1()1(0)1()1(2121if f if f ,从而⎩⎨⎧=-=-0)1(0)1(21f f 从而)(|1),(|121x f x x f x ++. 10. 设121)(-++++=n xx x x f ,证明: n n x x x f x f -+2))((|)(. 证明:已知1)()1(-=-n x x f x ,)(x f 的根是1=n x 的非1根.设α是)(x f 的一个根,则1=n α.而0))((2=-+n n f ααα,且)(x f 的根两两不等.故n n x x x f x f -+2))((|)(.11. 取数域F 上多项式)(x f ,设1)(>=∂n f ,若)(|)('x f x f ,证明)(x f 有n 重根,同时若)(x f 有n 重根,则)(|)('x f x f .证明: 若)(x f 有n 重根,则n x c x f )()(α-=,而1)()('--=n x cn x f α,)(|)('x f x f . 若)(|)('x f x f ,则)('))('),((x af x f x f =,从而)()(')())('),(()(α-==x c x af x f x f x f x f . 而对)(x f 及)('x f ,有))('),(()(x f x f x f 与)(x f 有相同的不可约因式,故)(α-x 是)(x f 的唯一的不可约因式,故n x c x f )()(α-=.11. 设)(x f 是复数域上首项系数为1的n 次多项式,若))(())(),('()(21b x b x x f x f x f --=,21b b ≠ 且1b x -是)('x f 的k 重因式(这里)('x f 是)(x f 的一阶微商),问=)(x f ?为什么?解: ))(),('()(x f x f x f 与)(x f 有相同的不可约因式,故21)()()(21n n b x b x x f --=,n n n =+21.1b x -是)('x f 的k 重因式,是)(x f 的因式,从而是)(x f 的1+k 重因式,故1211)()()(--+--=k n k b x b x x f .12. 当正整数n 取何值时,多项式()(1)1n n f x x x =+--有重因式.解: 11'()(1)n n f x n x nx --=+-,则()f x 有重因式当且仅当((),'())1f x f x ≠,即()f x 与'()f x 有公共根α,则()(1)10n n f ααα=+--=,11'()(1)0n n f n n ααα--=+-=.即(1)1n n αα+=+,11(1)n n αα--+=,则11(1)n n ααα-+=+,从而11n α-=,1(1)1n α-+=,即,1αα+都是1n -次单位根,设a bi α=+,则11a bi α+=++,从而222221a b a a b +=+++,则1,2a b =-=,则122α=-±,是3次单位根.故13n k -=. 13. 设A 是复n 阶方阵,()f x 是一个次数大于0的复系数多项式,()g x 是矩阵A 的最小多项式.证明:(1)若()((),())d x f x g x =,则秩=)(A d 秩)(A f .(2))(A f 可逆当且仅当((),())1f x g x =. 证明:由()((),())d x f x g x =,则存在(),()[]u x v x x ∈C ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+,故有 ()()()()()d A u A f A v A g A =+.又()0g A =,故()()()d A u A f A =,从而有秩≤)(A d 秩)(A f .又 )()(x f x d ,则存在()[]q x x ∈C ,使得)()()(x q x d x f =,则)()()(A q A d A f =,秩≥)(A d 秩)(A f .(2).必要性:由于0))((>∂x f ,则()((),())0d x f x g x =≠,若0))((>∂x d ,由)()()(x p x d x g =得()()()0d A p A g A ==.但是)(A f 可逆,由(1得知)(A d 可逆,故0)(=A p ,且()()()()x g x p ∂<∂，这与()g x 是A 的最小多项式相矛盾.从而0))((=∂x d ,即()1)(),(=x g x f .充分性.若()1)(),(=x g x f ,则由(1)知秩)(A f =秩n E =.所以)(A f 可逆.14. 设n n F A ⨯∈,][)(),(x F x g x f ∈,且1))(),((=x g x f ,令21,,W W W 分别为齐次线性方程组0)()(=X A g A f ,0)(=X A f 与()0g A X =的解空间,证明21W W W ⊕=.证明:因为1))(),((=x g x f ,所以存在)(),(x v x u ,使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有E A g A v A f A u =+)()()()(,则对于任意的W ∈α,有ααα)()()()(A g A v A f A u +=,则12)()(,)()(W A g A v W A f A u ∈∈αα,则12W W W =+.又对于任意的12W W α∈ ,有()()0f A g A αα==,从而有()()()()0u A f A v A g A ααα=+=,故有12W W W =⊕.几个有理系数多项式的问题:1. 设p 是素数,a 是整数,1)(++=px ax x f p,且)1(|2+a p ,证明)(x f 没有有理根. 证明: 用1+x 替换x 代入可得1(1)(1)(1)1(1)(1)1p p p f x a x p x a x px px p x -+=++++=+++++++1()1p p ax apx ap p x a p -=+++++++ ,)1(|2+a p 从而)1(|+a p ,且a p |/,取素数p 应用爱森斯坦判别法,)(x f 在有理数域上不可约,从而无有理根.2. (1) 设)(x f 是整系数多项式,若有偶数a 及奇数b 使得)(),(b f a f 都是奇数,则)(x f 无整根.证明: 设)(x f 有整根α,则)()()(x g x x f α-=,)(|)(),(|)(b f b a f a αα--,而)(),(b f a f 都是奇数,则α-a 与α-b 都是奇数,从而b a b a -=---)(αα为偶数,矛盾.(2). 设][)(1110x a x a x a x a x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明:若0,a a n 为奇数,且)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,则)(x f 无有理根.证明: 设)(x f 有有理根rs =α,其中1),(=s r ,则n a s a r |,|0,而0,a a n 为奇数,则s r ,都为奇数.且 )()()(x g rs x x f -=,即)()()(x g s rx x rf -=,从而)(|x f s rx -.代入11-， )1(|)(),1(|)(----f s r f s r ,s r ,都为奇数, 则s r -与s r --都为偶数,而)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,矛盾,从而)(x f 无有理根.(3).设][)(111x a x a xa x x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明若n 为偶数,而n n a a a ,,,11- 均为奇数,则)(x f 无有理根.证明: 代入n a f =)0(为奇数,n n a a a f ++++=-111)1( 为奇数.则)(x f 无整根.设)(x f 有有理根,则为整根,设为c ,0)(111=++++=--n n n n a c a c a c c f .若c 为偶数,则)(c f 是个奇数,矛盾.若c 为奇数,则)(c f 是个奇数,矛盾.3 (1) 设1)())(()(21----=n x x x x f ααα ,其中n ααα,,,21 是两两不等的整数,证明)(x f 在有理数域上不可约.证明:假设)(x f 在有理数域上可约,则设)()()(x h x g x f =,其中)(),(x h x g 是整系数多项式,且次数都小于)(x f 的次数.代入n ααα,,,21 ,则1)()()(-==i i i h g f ααα,从而任给i ,则1)(,1)(-==i i h g αα或者1)(,1)(=-=i i h g αα,都有0)()(=+i i h g αα,从而多项式)()(x h x g +有n 个根,但是次数n <.故只有0)()(=+x h x g .则)()(2x g x f -=,但)(x f 首1,矛盾.(2) 设12()()()()1n f x x x x ααα=---+ ,其中n ααα,,,21 是互不相同的整数,求证)(x f 在有理数域上可约当且仅当)(x f 是一整系数多项式的完全平方.若n 为奇数,则)(x f 在有理数域上不可约. 证明: 若)(x f 在有理数域上可约,则设)()()(x h x g x f =,其中)(),(x h x g 是整系数多项式,且次数都小于)(x f 的次数.代入n ααα,,,21 ,则()()()1i i i f g h ααα==,从而任给i ,则()1,()1i i g h αα==或者 ()1,()1i i g h αα=-=-,都有()()i i g h αα=,从而多项式()()g x h x -至少有n 个根,但是次数n <.故只有()()g x h x =.则2()()f x g x =.反之自然.若n 为奇数,则)(x f 不可能是一整系数多项式的完全平方,故不可约.4. 设n ααα,,,21 是两两不等的整数,若1)()()()(22221+---=n x x x x f ααα ,证明)(x f 在有理数域上不可约.证明: 首先证明)(x f 不是多项式的平方. 若)()(2x g x f =,设)(x g 整系数,令 )())(()(21n x x x x h ααα---= ,则1)()()(22+==x h x g x f ,从而1)()(22=-x h x g ,即1))((=-+h g h g ,故h g h g -+,只能为常数1,1-.即⎩⎨⎧=-=+11h g h g 或者⎩⎨⎧-=--=+11h g h g ,都有1)(=x g ,或者1)(-=x g .矛盾.现在设)()()(x v x u x f =,其中v u ,是整系数,则次数比f 的次数小.则n v u 2)()(=∂+∂,而)(u ∂,)(v ∂的次数不能都大于n ,故)(u ∂,)(v ∂其一小于等于n .现在假定n u <∂)(.)(x f 无实根,从而)(x u 也无实根,设)(x u 首1,则)(x u 恒大于零, 1)()()(==i i i v u f ααα,从而1)(=i u α,任给i .从而1)(-x u 至少有n 个根,矛盾,故只能n u =∂)(,同理,)(x v 也是首1的n 次多项式,而1)()(=i i v u αα,故()()i i u v αα=,所以)()(x v x u =,故)()(2x u x f =.矛盾.5. 设c bx ax x x f +++=23)(为整系数多项式,若bc ac +为奇数,则)(x f 在有理数域上不可约. 证明: 若可约,则)(x f 有一个有理根β从而是整根,可设 11121311223)()())(()(b x a b x a x b x a x x c bx ax x x f ββββ--+-+=++-=+++=.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-c b b a b a a 1111βββ,c b a bc ac )(+=+为奇数,则c 为奇数,而c |β,从而β为奇数.b a +为奇数,设a 为偶,b 为奇, 则c b |1,1b 为奇数,β-=1a a ,则1a 为奇数,11a b b β-=为偶数,矛盾,故)(x f 在有理数域上不可约.6. 设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的非零复根,(1) 证明)(x p 的常数项非零;(2)证明对任意正整数m ,1)),((=m x x p ;(3)设22)(3+-=x x x p ,求51α.证明: (1) α是)(x p 的非零复根,则排除x x p =)(.不可约多项式的常数项是非零的,若否,)()(x xg x p =.(2) m x 的根都是零,而)(x p 无零根,故在复数域上,)(x p 与m x 无公共的一次因式, 1)),((=m x x p .(3) 022)(3=+-=αααp ,即1213=+-αα,则αα11212=+-,则525)211(1αα-=. 7. 证明非零复数α是一有理系数非零多项式的根当且仅当存在一有理系数多项式)(x f ,使得)(1ααf =.证明: ⇐. 设01)(b x b x b x f n n +++= 则由于)(1ααf =,则)(1ααf =,从而对1)()(-=x xf x g ,有01)()(=-=αααf g .⇒. 设有理系数多项式)(x h 满足0)(=αh .(1) 设01)(c x c x c x h m m +++= ,其中00≠c ,0)(01=+++=c c c h m m ααα ,则01c c c m m =---αα ,从而1010=---ααc c c c m m ,即有 αα10110=----c c c c m m ,取0110)(c c x c c x f m m ---=- ,则αα1)(=f . (2) 设s s m m x c x c x h ++= )(,其中0≠s c ,1≥s .0)(=++=s s m m c c h ααα ,0=++-s s m m c c α,s s s m m c c c -=+++-αα1 ,1010=--+-ααc c c c s s m m ,αα10110=--+--c c c c s s m m ,设0110)(c c x c c x f s s m m +----= ,则αα1)(=f . 8.设(),()[]f x g x x ∈Q 且()f x 在Q 上不可约,若存在复数α,使得()0,()0f g αα=≠,则存在()[]h x x ∈Q ,使得()()1g h αα=.证明:由()f x 不可约,则((),())1g x f x =或者()|()f x g x .又存在复数α,使得()0,()0f g αα=≠,所以((),())1g x f x =,则存在(),()[]u x h x x ∈Q ,使得()()()()1u x f x h x g x +=,故()()1g h αα=.9. 假设实系数多项式()f x 的根都是实根,则()f x '的根也都是实根,且在()f x 的相邻两个实根之间()f x '有且仅有一个单根.证明: 设1212()()()()s m m m s f x x a x a x a =--- 其中12s a a a <<< ,12s m m m n +++= ,由罗尔定理, ()f x '在区间12231(,),(,),,(,)s s a a a a a a - 内各有一个根设为121s b b b -<<< ,而12,,,s a a a 是()f x '的121,1,,1s m m m --- 重根,而1211111s m m m s n -+-++-+-=- ,故121s b b b -<<< 都是单根.补充11. 取数c (不一定是有理数),设M 为以c 为根的一切有理系数多项式作成的集合,证明:1) 存在首1不可约多项式()p x M ∈,使得M 中多项式为()p x 的倍式. 2) ()p x 是唯一的.证明: 1) 任取()g x M ∈,分解()g x 为有理系数不可约多项式的乘积12()()()()s g x p x p x p x = , 12()()()()0s g c p c p c p c == ,故存在一个不妨设为1()0p c =,则1()p x M ∈,且不可约.令11()()p x a p x -=,变为首1,()p x 为所求.事实上,任给()f x M ∈,做带余除法()()()()f x p x q x r x =+, 其中()0r x =或者()()r x p x ∂<∂.若()0r x ≠.代入c ,则()()()()()0f c p c q c r c r c =+==,从而()p x 与()r x 有公共根,不互素,而()p x 不可约,故()|()p x r x ,与次数矛盾,则()0r x =.(2) 如还有()h x 也满足条件,则()p x 与()h x 互相整除,故相等.例子:以c =.2()2f x x =-,而{()()|()[]}M f x g x g x x =∈Q .c =25c =+25c -=平方得421010c c -+=,取42()101p x x x =-+.有理数域上不可约.事实上,首先42()101p x x x =-+无有理根,故若可约,则分解为两个二次因式的乘积. 2222()(1)(1)()(1)(1)p x x ax x bx p x x cx x dx =++++=+-+-.其中,,,a b c d 为整数.42432101()(2)()1x x x a b x ab x a b x -+=+++++++,得0,210a b ab +=+=-,故212a =矛盾.补充2:设u 是一个复数,若存在有理系数(或整系数)多项式()[]f x x ∈Q 使得u 是()f x 的一个根()0f u =,则称u 是一个代数数.证明:对任意代数数u ,总存在一个首1的次数最小的有理系数多项式()g x 使得()0g u =,且()g x 是有理数域上的不可约多项式,由u 唯一确定(()g x 称为u 的最小多项式,极小多项式). 代数数:复数范围内有理数域上的代数元,代数元:取域F 的扩域E ,E α∈,若存在F 上的非零多项式()f x ,使得()0f α=,则称α是F 上的一个代数元,否则称为一个超越元Q 上的代数元,圆周率π是Q 上的超越元,但π是实数域上的一个代数元.4. 设()f x 是一个整系数多项式,,,a b c 是三个互异的整数,证明不可能有(),(),()f a b f b c f c a ===. 证明: 设1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++ 是整系数多项式, 则1111()()()()()()(,)n n n n n n f a fb a a b a a b a a b a b q a b ----=-+-++-=-()()()(,),()()()(,),f b f c b c q b c f c f a c a q c a -=--=-若(),(),()f a b f b c f c a ===,则()(,)()(,)()(,)b c a b q a b c a b c q b c a b c a q c a -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,故(,)(,)(,)1q a b q b c q c a =.故三个数为1或者1-.(,)(,)(,)1q a b q b c q c a ===,则b c c a a b -=-=-,不可能.5. 设[]F x 为数域F 上的全体多项式的集合,α是一个复数,证明[]F α是数域当且仅当α是F 上某个不可约多项式的根.证明: 充分性: 设α是不可约多项式()h x 的根,[]F F α⊆成立,故[]F α中有非零数,任给非零数 ()[]f F αα∈,首先((),())1h x f x =或者()|()h x f x ,但是()0f α≠,故((),())1h x f x =.则存在多项式(),()u x v x ,使得()()()()1u x h x v x f x +=,代入α,得到()()1v f αα=,()f α可逆,则[]F α是数域. 必要性: 任给非零()[]f F αα∈,[]F α是数域,则()f α可逆,即存在()[]g F αα∈,使得1()()g f αα=,则()()1f g αα=,从而()()1f x g x -以α为根,在所有以α的多项式中找次数最低的那个即为不可约多项式.6. 证明数域上任意一个不可约多项式在复数域中无重根.若()f x 不可约,则((),'())1f x f x =,无重根.7. ()sin f x x =在实数域内不能写成x 的多项式.()sin f x x =有无限多个根.8. 若n 是奇数,则()()()|()n n n nx y y z z x x y z x y z +++++---.证明: 设()()n n n n f x x y z x y z =++---,看成是x 的多项式,取x y =-代入则()0f y -=,故()|()x y f x +,同理()|()x z f x +,()|()y z f x +,而三个因式互素,故()()()|()n n n n x y y z z x x y z x y z +++++---.9.若1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 可约,则1011()n n n n g x a x a x a x a --=++++ 也可约. 证明: 1(1)0111()()n n n n n n g x x a a x a x a x x f x -----⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭. 若()()(),(),()f x p x q x p x m q x n m =∂=∂=-,则1111111()()()n n m n m g x x f x p q x p x q p x q x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,可约. 1. 设n 阶方阵()B t 和1n ⨯矩阵()b t 分别为()(())ij B t b t =和1()()()n b t b t b t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中(),()ij i b t b t 均为关于t的实系数多项式,1,2,,i j n = ,记()d t 为()B t 的行列式,()i d t 为用()b t 替代()B t 的第i 列后所得的n 阶方阵的行列式,若()d t 有实根0t 使得00()()B t X b t =成为关于X 的相容线性方程组,试证明1(),(),,()n d t d t d t 必有次数1≥的公因式.证明: 0()0d t =,则0t t -是()d t 的一个因式,事实上0t t -也是1(),,()n d t d t 的因式.假若10()0d t ≠,则增广矩阵00((),())r B t b t n =,而0(())r B t n <,从而00()()B t X b t =无解,矛盾.。
复系数多项式.
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
附：单位根、单位原根
定义1 多项式 x n 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
n x 1 的n个复根为 事实上,在复数范围内
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
1, , , ,
2
n1
这里
2 2 cos i sin , n 1 n n 2k 2k k cos i sin , k 0,1, , n 1. n n
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
定义2 若1, , , ,
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
5 2 3 4
x 1 ( x 1)( x )( x )( x )( x )( x )
§8 复系数与实系数多项式的因式分解
x + pi x + qi (i =1,2,L, r)
2
是不可约的，也就是满足
p − 4qi < 0,i =1,2,L, r.
2 i
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实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明： 证明：定理对一次多项式显然成立 . 假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 α是实数，则 f (x) = (x −α) f1(x), 其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果α 不是实数， 则 α 也是 f (x)的根且 α ≠ α.
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于是
f (x) = (x −α)(x −α) f2 (x).
显然 (x −α)(x −α) = x2 − (α +α)x +αα 是一实系数二 次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x) (x)也可以如此分解 .
§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
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注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 . 由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式 全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .ຫໍສະໝຸດ 上页下页返回
高等代数第1章.
例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解： 由定理12，方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2，r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知，只有1为方程的根。 例2 证明：f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明： 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式，即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3，f(-1)=5 矛盾！ 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理：对于任意的f(x)∈C[x]，若 ∂(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系，代数基本定理 可以等价地叙述为： 推论1 对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))≥1， 则存在x-a∈C[x]，使得(x-a)⎪f(x)，即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式，即对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))>1， 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
数分高代定理大全
数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，而rs是它的有理根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得 1.|n p a /； 2.120|,,,n n p a a a --；3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩当l 当l 定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式0d A =≠，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,nn d d d x x x d dd===其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,nb b b 所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nna a ab a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nnc c c c c c C c c c =，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩中，如果s n ，那么它必有非零解.定理 2 设12,,r 与1,,,r 2是两个向量组，如果1）向量组12,,r 可以经1,,,r 2线性表出，2）rs ，那么向量组12,,r 必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r 级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
燕山大学高等代数复习大纲
高等代数复习大纲
1 、多项式
数域
一元多项式
整除的概念
最大公因式综合除法
因式分解定理
重因式
多项式函数
复系数与实系数多项式
有理数多项式
多元多项式
对称多项式
2、行列式
排列
n阶行列式
n阶行列式的性质
行列式的计算
行列式按一行(列)展开
克兰姆( Cramer)法则
拉普拉斯( Laplace)定理
3、线性方程组
消元法
n维向量空间
线性相关性
矩阵的秩
线性方程组的有解判别定理
线性方程组解的结构
4、矩阵
矩阵的概念
矩阵的运算
矩阵乘机的行列式与秩
矩阵的逆
矩阵的分块
初等矩阵
5、二次型
二次型的矩阵表示
标准型
唯一性
正定二次型。
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推论1 f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C
上具有标准分解式
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ． 若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
n
n
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0 ∴ 也是为 f ( x)复根．
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
n
n
k cos 2k i sin 2k , k 1,2, , n
n
n
∴ xn 1 ( x 1)( x )( x 2 ) ( x n1)
2) 在实数域范围内
∵ k nk , k k 2cos 2k , k k 1
若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) ( x2 ( )x ) f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
一、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1 f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
n k 1, 2, , n
∴ 当n为奇数时
xn 1 ( x 1)[ x2 ( n1)x n1]n1 Nhomakorabean1
n1 n1
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2 x cos n 1 1]
使 (x a) | f ( x) . 即， f ( x) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f ( x) C[x], ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x) C[x], 若( f ( x)) 1, 则 f ( x)在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
n
n
当n为偶数时
xn 1 ( x 1)( x 1)[ x2 ( n1)x n1]
n2
n2
n2 n2
[ x2 ( 2 2 ) x 2 2 ]
( x 1)( x 1)( x2 2x cos 2 1) [ x2 2x cos n 2 1]
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1 求 xn 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 解： 1) 在复数范围内 xn 1 有n个复根，
1, , 2, , n1
这里 cos 2 i sin 2 , n 1