等比数列的性质教学设计

3.1.2等比数列性质

【课程分析】等数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。

【学情分析】学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。

【学习目标】掌握等比数列的性质

一．导入新课

（一）回顾等比数列的有关概念

（1） 定义式：32121

(0)n n a a a q q a a a -====≠ （2） 通项公式：11n n a a q -=

导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。

二．推进新课

题：就任一等差数列｛a n ｝，计算a 7+a 10和a 8+a 9，a 10+a 40和a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？

引导探：…

性质1（板书）：在等比数列中，若m+n ＝p+q ，有a m a n ＝a p a q

探究二. (引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2)

已知｛a n ｝是等比数列.

（1）2537a a a =⋅是否成立？2519a a a =⋅成立吗？为什么？

（2）211(1)n n n a a a n -+=⋅>是否成立？你据此能得到什么结论？2()n n k n k a a a n k -+=⋅>是否成立？你又能得到什么结论？)

合作探：…

性质2（板书）：在等比数列中2()n n k n k a a a n k -+=⋅>（本质上就是等比中项） 探究三：一位同学发现：若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则232,,k k k k k S S S S S --也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

性质 数列{}n a 是公比为q )0(>q 的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项之和，则新构成的数列,......,...,,,)1(232n k kn n n n n n S S S S S S S ----仍为等比数列，且公比为n q 证明 ①当1=q 时，1na S n =，

则1)2()1()1(1

11111)2()1()1(==-----=-----na na na k na k na k kna S S S S n k n k n

k kn （常数），所以数列}{)1(n k kn S S --是

以n S 为首项，1为公比的等比数列；

②当1≠q 时，()q

q a S n n --=111 则()()()()

n n k n k kn n k n k n k n k kn n k n k n

k kn q q q q q q q a q q a q q a q q a S S S S =--=----------=-----------)1()2()1()2(1

)1(1)1(11)2()1()1(11111111（常数），所以数列}{)1(n k kn S S --是以n S 为首项，n q 为公比的等比数列；

由①②得，数列,......,...,,,)1(232n k kn n n n n n S S S S S S S ----为等比数列，且公比为n q 。

三．应用举例：（理解、巩固）

例1．1） 在等比数列｛a n ｝中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求

2)在等比数列｛b n ｝中，b 4＝3，求该数列的前7项之积。

例2在等比数例中，2244460,225,n a a a a a a >++=求35a a +

例3等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且564718a a a a +=，求

3132310log log log a a a +++的值

例4、在等比数列{}n a 中，221=+a a ,443

=+a a 求 65a a + 的值. 解：因{}n a 是等比数列，所以654321,,a a a a a a +++是等比数列，

所以 824)(2

2124365==++=+a a a a a a

四.练习（掌握，应用）

1、下列命题中:(1) 常数列既是等差数列又是等比数列;

(2) 若{a n }是等差数列，则{3－2a n }也是等差数列;

(3) 若{a n }是等比数列，则{ a n +a n +1}也是等比数列;

(4) 若{a n }是等比数列，则⎪⎩⎪⎨⎧⎭

⎬⎫n a 1也是等比数列. 其中正确的命题是_____________(填命题序号)

2、在等比数列{}n a 中，3543=a a a ，,24876=a a a 则11109a a a 的值为_______

3、在等比数列{}n a 中，14=S ，48

=S ，求20191817a a a a +++的值. 解：因为162020191817S S a a a a -=+++

由上述等比数列性质知，构造新数列,...,...,,1620484S S S S S --其是首项为14=S ，公比为3448=-=S S S q 的等比数列，162020191817

S S a a a a -=+++是新数列的第5项，所以8134154162020191817==⋅=-=+++-q S S S a a a a 。

4、已知等比数列前n 项的和为2，其后n 2项的和为12，求再后面n 3项的和.

解：由

2...21=+++n a a a ，12...321=+++++n n n a a a ， 因()()(),......,...,...3221222121n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++成等比数列，其公

比为n q ，所以问题转化为：,21=A ,12211=+n n q A q A 求n n n q A q A q A 514131++的值.

因为,21=A ,12211=+n n q A q A 得0622=-+n n q ，所以2=n q 或

3-=n q ，于是⎩⎨⎧-==++378112143514131n n n n q q A q A q A .

五．课堂小结

（1） 等比数列的性质1、性质2 性质3内容及推导方法归纳。

（2） 等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数

列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证，再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法，我们称为数学思想方法。是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段。它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。