新人教A版必修4高中数学弧度制学案

高中数学弧度制学案新人教A版必修4

【学习目标】理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；

【重点难点】理解弧度制定义，弧度制的运用.

【学习内容】

问题情境导学

实例：（1）测量人的身高用米、厘米为单位进行度量，家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量。

（2）在初中平面几何中，我们曾用角度量过角的大小，并规定周角1为1度。

的

360

一、弧度制的定义

？想一想1. 从度量长度和重量上，我们可以看出不同的单位制，能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？填一填（1）1弧度的角：长度等于_______的弧所对的_______叫做1弧度的角，用符号_____来表示，读作_____

（2）弧度制：以_____为单位来度量角的制度

思考1：（1）一弧度的角与所选取的圆的半径大小有无关系？

（2）任意角的弧度数与实数有怎样的对应关系？

二、角的弧度制的计算

填一填2：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是_______

三、角度与弧度的换算

？想一想3：既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？

填一填3：角度化弧度：o 360=_______，=o 180_______

=o 1_______≈_______。弧度化角度：=rad π2_______

=rad π_______，=rad 1_______≈_______

思考2：（1）角度制和弧度制有什么区别和联系？

（2）在弧度制下，与角α终边相同的角β如何表示？角的集合与实数集R 之间有怎样的对应关系？

四、弧度制下的扇形的弧长和面积公式

填一填4：设扇形的半径为R ，圆心角为α，则弧长为l =_______面积=S _______=_______

课堂互动探究

类型一、弧度制的概念

例1有关角的度量给出以下说法：

①o 1的角是周角的3601，rad 1的角是周角的π

21； ②rad 1的角等于o 1的角；③o 180的角一定等于rad π的角；

④度和弧度是度量角的两种不同的度量单位。其中正确的说法是_______

变式训练1-1：下列命题中，真命题是（ ）

.A 一弧度是一度的圆心角所对的弧

.B 一弧度是长度为半径的弧

.C 一弧度是一度的弧与一度的角之和

.D 1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位。

类型二、角度制与弧度制的换算

例2、将下列角转化为另一种形式表示：

（1）'3067o （2）o 300- （3）58π （4）92π-

变式训练2-1： 角度

o 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o 270 o 360 弧度

2-2：把o 570-写成[]πααπ2,0,(2∈∈+z k k ）的形式是_______ __

你能用此形式表示象限角及坐标轴上的角吗？

类型三、与扇形的弧长、面积有关的计算

例3、已知一扇形的周长为cm

8，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大值。

变式训练3-1：一扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数。【课堂小结与反思】通过这节课的学习有哪些收获？

【课后作业与练习】

基础达标

1.一条弧长等于半径的21，则此弧所对的圆心角是（ ） .A 3π .B 6

π .C 21 .D 以上均不对 2.43π对应的角度为（ ） .A o 75 .B o 125 .C o 135 .D o 155

3.o 120-化成弧度为（ ）

.A 65π-

.B 2π- .C 32π- .D 4

3π- 4.下列与4

9π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） .A o 452+πk (Z k ∈) .B )(4

9360Z k k ∈+⨯πo .C )(315360Z k k ∈-⨯o o .D )(45Z k k ∈+ππ 5.若2弧度的圆心角所对的弧长为cm 4，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）

.A 24cm .B 22cm .C 24cm π .D 22cm π

6.把角6

25π化成[]πααπ2,0,(2∈∈+z k k ）的形式是 _______ __

7.扇形的周长是cm 6，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度是_______ 能力提升

8.若α是第三象限的角，则2α

π-是( )

.A 第一或第二象限的角 .B 第一或第三象限的角

.C 第二或第三象限的角 .D 第二或第四象限的角

9．集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z k k M ,52ππαα{}παπα<<-=N 则N M ⋂等于（ ）

.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-103,5ππ .B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-54,107ππ .C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--54,107,103,5ππππ .D ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-107,103ππ 10.下列转化结果错误的是( )．

.A o 60化成弧度是3

π .B 310π-化成度是o 600- .C o 150-化成弧度是67π- .D 12

π化成度是o 15 11.若角α，β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是(其中k ∈Z )( )．

.A πβα=+ .B 2πβα=

- .C ππ

βαk 22+=- .D πβα)12(+=+k

12.用弧度制表示终边在x 轴上方的角的集合_______

13.若角α的终边与角58π的终边相同，则在[]π2,0上，终边与角4

α的终边相同的角是________．

14.若角α的终边与角

6

π的终边关于x y =对称，且)4,4(ππα-∈则α=________ 15.一条弦的长度等于半径r ，求：

(1)这条弦所对的劣弧长；

(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．