6自由度随机振动控制算法
6 多自由度体系的微振动
V
x
• 当超过弹性限度后，势能将越来越偏离 谐振势能
F
线性近似
例：单摆
M dV d mgl sin
V mgl 1 cos
• 在较大摆角下，势能不是谐振势 • 在很小的摆角范围，势能近似为 谐振势：
2 4 V mgl 1 cos mgl 2! 4!
第六章 多自由度体系的微振动
本章内容
多自由度的微振动是自然界十分普遍的运动 体系，如：双摆，多原子振动，固体晶格振 动等。本章学习： 多自由度体系谐振动的概念 振动的描述
线性近似
例：弹簧振子。在弹性限度内，势能为 二次函数，力为恢复力
V 1 2 kx
2
F
dV dx
kx
g sin 0 , l l g f t l
• 当力学体系在稳定平衡位置附近做微小 振动，只考虑最低级近似－线性近似， 体系做线性振动 • 稳定平衡：保守体系在稳定平衡位置的 势能有极小值（拉格朗日定理）
一、有限多自由度的线性振动
极值条件：
t
2 2 2
1
0
0
t
2 2
2 2
2
2
2
0 0
0
0
t
2
3
0
2 02 2 0 0
0
2
2 2
2 0 0
2
2 0 2 2 0 0
A B 0 C
关于A,B,C的 代数方程组 “特征值问题”
2
• 在平衡位置（x=0）附近展开：
三轴六自由度闭环虚拟随机振动试验系统建模与仿真
关键词：三轴六自由度；虚拟振动试验系统；振动控制；闭环仿真
中图分类号：V216.2; O324
文献标志码：A
文章编号：1673-1379(2020)05-0428-07
DOI: 10.12126/see.2020.05.002
Modeling and simulation of closed-loop three-axis six-DOF virtual random vibration test system
三轴六自由度闭环虚拟随机振动 试验系统建模与仿真
韩 伟，李敏伟，孙建勇，齐亚超，王克强，马 英
（中国航空综合技术研究所，北京 100028）
摘要：三轴六自由度振动试验实施过程复杂、技术难度大，而虚拟振动试验技术有利于提高振动试
验的试前预示、试后分析能力，优化多输入多输出振动试验系统控制方案，降低试验风险。文章首先结
Keywords: three-axis and six-DOF; virtual vibration test system; vibration control; closed-loop simulation
收稿日期：2020-04-26；修回日期：2020-09-12
引用格式：韩伟, 李敏伟, 孙建勇, 等. 三轴六自由度闭环虚拟随机振动试验系统建模与仿真[J]. 航天器环境工程, 2020, 37(5): 428-434 HAN W, LI M W, SUN J Y, et al. Modeling and simulation of closed-loop three-axis six-DOF virtual random vibration test system[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2020, 37(5): 428-434
工件的定位6个自由度
如图13-14所示为常用的几种心轴结构形式。
心轴在机床上的常用 装 夹 方 式 如 图 13-15 所示。
• 当工件既要求定心精度高，又要装卸方便时，常以圆柱 孔在小锥度心轴上定位，如图13-16所示。
如图13-17所示为几种圆锥销的应用示例。其中图13-17a用于 粗基准定位；图13-17b用于精基准定位。
如图13-7所示为三种标准支承钉，其中平头支承钉多用于工件以精基准定位；球 头支承钉和齿纹支承钉适用于工件以粗基准定位，支承钉与夹具体上孔的配合为 H7/r6或H7/n6。若支承钉需经常更换时，可加衬套，其外径与夹具体孔的配合亦 为H7/r6或H7/n6，内径与支承钉的配合为H7/js6。当使用几个A型支承钉（处于 同一平面）时，装配后应一次磨平其工作表面，以保证其等高性要求。
(3) 可调支承 可调支承是指高度可以调节的支承，如图13-10所 示。一个可调支承限制工件一个自由度。。 必须注意， 必须注意 可调支承在一批工件加工之前只调整一次，在同一批工件加
工中，其位置保持不变，作用相当于固定支承，所以，可调支承在调整后必须 可调支承在调整后必须 用锁紧螺母锁紧。 用锁紧螺母锁紧。
一、工件定位的概念及方法
1. 工件定位的概念 在加工之前，使工件在机床或夹具上占据某一正确位置的过程称 为定位 定位；工件定位后将其固定，使其在加工过程中保持定位位置不变 定位 的操作称为夹紧 夹紧；工件定位、夹紧的过程合称为装夹 装夹。 夹紧 装夹 2. 工件定位的方法 (1) 直接找正定位法 在机床上利用划针或百分表等测量工具 (仪器)直接找正工件的位置的方法称为直接找正定位法。如图13-1所
注意： 注意： 底面上布置的三个支承点不能在同一条直线上，且三个支承 点所形成的三角形的面积愈大愈好。侧面上布置的两个支承点所 形成的连线不能垂直于三点所形成的平面，且两点之间的距离愈 远愈好。这就是上述所提到的“合理布置”的含义。 六点定则” “六点定则”可用于任何形状、任何类型的工件，具有普遍性。 如图13-4所示 为盘状工件的定位，底面的三个支承点限制了工件 的、、 三个自由度，外圆柱面上的两个支承点限制了工件的及自 由度，工件圆周槽中的支承点限制了工件的自由度。 根据“六点定则”利用支承点来限制工件自由度时，有时能 够分清哪个支承点限制了工件的哪个自由度，有时分不清哪个支 承点限制了工件的哪一个自由度。 工件在实际定位时，不是用定位支承点，而是用各种不同形 状的定位元件，不同的定位元件限制工件的自由度数是不一样的。
振动分析中常用的计算公式
振动台在使用中经常运用的公式1、 求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1） 式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ） m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、 加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式 A=ωv ……………………………………………………公式（2） 式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ） ω=2πf （角速度） 其中f 为试验频率（Hz ）V=ωD ×10-3 ………………………………………………公式（3） 式中：V 和ω与“”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4） 式中：A 、D 和ω与“”，“”中同义 公式（4）亦可简化为：A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“”中同义，但A 的单位为g1g=s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA28.6 ………………………………………公式（5）式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。
速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f DV 28.6103⨯=- …………………………………公式（6） 式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。
加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7） 式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。
根据“”，公式（7）亦可简化为：f A-D ≈5×DAA 的单位是m/s 2 4、 扫描时间和扫描速率的计算公式 线性扫描比较简单：S 1=11V f f H - ……………………………………公式（8） 式中： S1—扫描时间（s 或min ）f H -f L —扫描宽带，其中f H 为上限频率，f L 为下限频率（Hz ） V 1—扫描速率（Hz/min 或Hz/s ）对数扫频： 倍频程的计算公式n=2Lg f f LgLH ……………………………………公式（9）式中：n —倍频程（oct ）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ）扫描速率计算公式R=TLg f f LgLH2/ ……………………………公式（10）式中：R —扫描速率（oct/min 或）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ） T —扫描时间 扫描时间计算公式T=n/R ……………………………………………公式（11）式中：T —扫描时间（min 或s ）n —倍频程（oct ）R —扫描速率（oct/min 或oct/s ）5、随机振动试验常用的计算公式 频率分辨力计算公式:△f=Nf max……………………………………公式（12） 式中：△f —频率分辨力（Hz ）f max —最高控制频率 N —谱线数（线数） f max 是△f 的整倍数随机振动加速度总均方根值的计算（1）利用升谱和降谱以及平直谱计算公式 PSD (g 2/Hz)功率谱密度曲线图（a ）A 2=W ·△f=W ×(f 1-f b ) …………………………………平直谱计算公式A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=+⎰111)(m b a b f f ff m fw df f w b ba……………………升谱计算公式 A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎰121112111)(m f f f f m f w df f w ……………………降谱计算公式 式中：m=N/3 N 为谱线的斜率（dB/octive ） 若N=3则n=1时，必须采用以下降谱计算公式A3= lg12f f 加速度总均方根值：g mis=321A A A ++ （g ）…………………………公式（13-1）设：w=w b =w 1=Hz f a =10Hz f b =20Hz f 1=1000Hz f 2=2000Hz w a →w b 谱斜率为3dB ，w 1→w 2谱斜率为-6dB利用升谱公式计算得：A 1=5.12010111202.011111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++m b a b b f f m f w 利用平直谱公式计算得：A 2=w ×（f 1-f b ）=×(1000-20)=196利用降谱公式计算得：A 3 =1002000100011210002.0111212111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----m f f m f w 度总均方根值公式计算得：g mis=321A A A ++=1001965.1++=利用加速(2) 利用平直谱计算公式：计算加速度总均方根值PSD (g 2/Hz)功率谱密度曲线图（b ）为了简便起见，往往将功率谱密度曲线图划分成若干矩形和三角形，并利用上升斜率（如3dB/oct ）和下降斜率（如-6dB/oct ）分别算出w a 和w 2，然后求各个几何形状的面积与面积和，再开方求出加速度总均方根值g rms =53241A A A A A ++++ (g)……公式（13-2）注意：第二种计算方法的结果往往比用升降谱计算结果要大，作为大概估算可用，但要精确计算就不能用。
三轴六自由度随机振动试验转换矩阵原理及控制方法
第35卷第3期2022年6月振动工程学报Journal of Vibration EngineeringVol.35No.3Jun.2022三轴六自由度随机振动试验转换矩阵原理及控制方法郑荣慧1，徐俊2，陈国平1，孙建勇2，陈怀海1（1.南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京210016；2.中国航空综合技术研究所，北京100028）摘要:分析了三轴六自由度振动系统的加速度特征，建立了振动台试件上任一点的加速度特征表达式，通过引入台体绝对刚性假设，推导得到了输入转换矩阵的表达式。
分析了六自由度振动系统运动所需的六个合力与激振器实际所需施加激振力之间的关系，并给出了输出转换矩阵的推导过程。
给出三轴六自由度随机振动试验控制方法的一般原理与步骤，包括驱动信号生成以及响应信号均衡等。
讨论了两种常见的八激振器配置方案以及传感器的布置方式。
为验证本文的理论和算法，给出了一个三轴六自由度随机振动控制仿真算例。
关键词:随机振动；振动环境试验；六自由度；输入输出转换；多输入多输出中图分类号:O324文献标志码:A文章编号:1004-4523（2022）03-0544-06DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2022.03.0031概述三轴六自由度随机振动试验是一种先进的振动环境试验方式。
不同于传统的方阵或者长方阵振动控制试验，三轴六自由度随机振动试验可以同时实现沿正交轴向的三个线振动以及绕三个正交轴向转动的角振动环境。
三轴六自由度随机振动试验属于多输入多输出随机振动试验，需要使用基本的多输入多输出振动控制理论。
考虑到几乎没有可用于宽频带的角加速度传感器，因此，目前角加速度的测量是利用线加速度测量结果通过输入变换矩阵转换而来。
三轴六自由度随机振动试验需要使用三轴六自由度振动台系统来实现。
图1展示了美国Hill空军基地的电动式和美国TEAM公司的电液式这两种三轴六自由度振动台系统［1‐2］。
6自由度控制算法
6自由度控制算法在机器人控制与运动规划中，6自由度（6DoF）控制算法是一种常用的方法。
这种算法可以实现对机械臂或机器人的六个自由度进行精确控制，使其在三维空间内能够实现各种复杂的运动轨迹和任务。
6自由度控制算法的核心思想是：通过对机械臂的关节角度进行精确控制，从而实现末端执行器的运动。
一般来说，典型的6自由度机械臂由6个关节组成，每个关节可以控制一个自由度。
常见的机械臂有工业机械臂、服务机器人臂等。
实现6自由度控制的算法可以分为两个主要步骤：逆运动学求解和控制器设计。
逆运动学求解是根据机械臂的末端位姿（位置和姿态），确定关节角度以实现期望运动。
控制器设计是针对不同的任务需求，设计合适的控制策略以保证机械臂的精确控制和稳定性。
在逆运动学求解方面，一种常用的方法是使用解析解法。
对于六自由度的机械臂，可以通过对正运动学方程求逆，从而得到关节角度与末端位姿之间的映射关系。
一般来说，这种方法可以快速计算出关节角度，但对于一些特殊情况（例如奇异构型）可能无法求解解析解，需要使用数值解法来求解逆运动学问题。
在控制器设计方面，常见的方法包括PID控制、基于模型的控制（如轨迹跟踪控制、力/力矩控制）和基于反馈线性化的控制等。
PID控制是一种经典的控制策略，通过调节比例、积分和微分参数，实现机械臂位置和速度的精确控制。
基于模型的控制方法利用机械臂的动力学模型，通过预测机械臂的运动轨迹或实施力/力矩控制来实现精确控制。
而基于反馈线性化的控制方法，则通过设计非线性转换器和线性控制器，将非线性动力学系统转化为线性系统，从而实现控制目标。
除了逆运动学求解和控制器设计，6自由度控制算法还需要考虑如传感器选取与数据融合、路径规划、碰撞检测和碰撞回避等问题。
传感器可以提供机械臂的姿态和位姿信息，用于控制系统的反馈；数据融合则将多个传感器的信息进行整合，提高机械臂的感知能力。
路径规划是将机械臂的运动轨迹优化为最佳路径，以提高运动效率和精确度。
6自由度算法
6自由度算法
6自由度算法是一个在机器人学中常用的概念，它指的是描述机器人在三维空间中的运动的六个自由度。
这六个自由度分别是：平移自由度（x、y、z轴方向上的移动）和旋转自由度（绕x、y、z轴的旋转）。
在机器人的运动控制中，六自由度算法被广泛应用于路径规划、逆运动学求解以及姿态控制等方面。
路径规划是机器人在给定起点和终点的情况下，通过计算合适的路径来实现从起点到终点的移动。
在使用六自由度算法进行路径规划时，机器人需要考虑到其在三维空间中的运动限制，例如避免碰撞障碍物或者避免出现关节超过其可行动范围的情况。
通过合理地选择路径规划算法和使用六自由度算法，机器人可以更加高效地完成路径规划任务。
逆运动学求解是指根据给定的机器人末端执行器的位置和姿态，计算机器人各关节的角度以实现末端执行器的准确位置控制。
在实际应用中，通过使用六自由度算法，机器人可以根据末端执行器的位置和姿态，逆向计算出各关节的角度，并将其应用于机器人的控制系统中，实现精确的位置控制。
姿态控制是指机器人在执行任务过程中，保持特定的末端执行器姿态。
通过使用六自由度算法，机器人可以根据任务要求，计算出合适的关节角度，使得末端执行器保持所需的姿态。
这对于需要精确控制姿态的应用场景，如装配、焊接等任务非常重要。
总的来说，六自由度算法在机器人的运动控制中起到了至关重要的作用。
它能够帮助机器人实现路径规划、逆运动学求解和姿态控制等任务，提高机器人的运动精度和效率。
未来随着机器人技术的不断发展，六自由度算法也将进一步完善和应用于更多的机器人应用场景中，为人们的生产和生活带来更多的便利和效益。
状态空间法求解6自由度运动方程
一、概述状态空间法是一种经典的控制工程方法，它可以用来求解动力学系统的运动方程。
对于多自由度系统而言，状态空间法可以更加直观地描述系统的运动规律，方便进行控制器设计和系统分析。
本文将以6自由度运动方程为例，介绍状态空间法的求解过程。
二、背景知识1. 6自由度运动6自由度运动是指物体在三维空间中具有6个独立的自由度，它们可以分别描述物体的位置和姿态。
这种运动状态下，物体的运动方程相对复杂，需要通过合适的方法进行求解。
2. 状态空间法状态空间法是一种用矩阵和向量表示动力学系统运动方程的方法。
它将系统的状态量表示为向量，将系统的输入和输出表示为矩阵，通过线性代数的方法求解系统的数学模型。
三、状态空间法求解步骤1. 系统建模我们需要根据物体的运动特性建立系统的动力学模型。
对于6自由度运动，可以利用牛顿-欧拉方程或拉格朗日方程进行建模，得到系统的运动方程。
2. 状态量定义将系统的状态量表示为一个状态向量，其中包括物体的位置、速度、加速度和姿态等信息。
3. 定义输入输出系统的输入输出可以表示为矩阵，其中输入是外部施加的力或扭矩，输出是系统的位置和姿态信息。
4. 构建状态方程根据系统的动力学模型和状态量定义，可以建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统状态的演变规律，可以用矩阵形式表示为x' = Ax + Bu，其中x'为状态变化率，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，u为外部输入。
5. 构建输出方程根据系统的输出定义，可以建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出与状态和输入之间的关系，可以用矩阵形式表示为y = Cx + Du，其中y为系统的输出，C为输出矩阵，D为直接传递矩阵。
6. 求解系统通过线性代数的方法，可以求解状态方程和输出方程，得到系统的数学模型。
这个模型可以用来进行系统分析、控制器设计等工作。
四、实例分析我们以一个飞行器的姿态控制系统为例，介绍状态空间法求解6自由度运动方程的具体步骤。
工件的自由度及六点定位原理
工件的自由度及六点定位原理工件的自由度与六点定位原理大家好，今天咱们聊聊那个老生常谈但总是让人津津乐道的话题——工件的自由度和六点定位原理。
别小看这俩概念，它们可是机械制造中的“秘密武器”，能让你的工件稳稳当当、不乱跑，就像你的孩子一样听话。
咱们得知道什么是自由度。
想象一下，一个机器人有六个关节，每个关节都能独立转动，那它就有6个自由度。
同样地，一个工件如果能够自由移动X轴、Y轴、Z轴这三个方向，再加上旋转X轴、Y轴、Z轴这三个方向，总共就是6个自由度啦！这些自由度让工件能做很多复杂动作，就像是一个全能选手，什么都能做。
再来说说六点定位原理。
想象一下，你有一个宝贝盒子，你想让它稳稳当当地放在桌子上，不让它乱动。
这时候，你就用六个钉子把它固定在桌子上，每个钉子都对准桌子的一个角，这样，无论怎么摇晃，盒子都不会掉下来，就像有了六个“保镖”守护着它。
这就是六点定位原理，通过六个固定的点来确保工件的稳定性。
那么，这两个概念是怎么应用到实际工作中的呢？比如，在机械加工中，为了保证零件的尺寸精度和位置精度，就需要对工件进行六点定位固定。
这样一来，加工出来的零件就不会出现误差，质量也能得到保证。
再比如，在装配过程中，如果工件没有固定好，可能会因为振动或者受力不均而产生偏移，影响装配质量和产品性能。
因此，使用六点定位原理可以有效减少这种情况的发生，确保装配过程顺利进行。
说到这里，你是不是也觉得这两个概念挺有趣的？它们就像是生活中的指南针和罗盘，帮助我们正确地定位和操作工件。
在工作中遇到问题时，不妨多想想这两个原理，说不定就能找到解决问题的方法哦！我想说的是，无论是工件的自由度还是六点定位原理，都是我们机械制造中的重要知识点。
掌握好这些知识，不仅能提高我们的工作效率，还能保证产品质量。
所以，大家一定要好好学习，争取早日成为机械领域的“大神”！好了，今天的分享到此结束。
希望大家通过这篇文章，能对工件的自由度和六点定位原理有更深入的了解。
6自由度控制算法
由于六自由度位置姿态调整平台动力学特性和串联机器人是相通的,所以可以借鉴。
增强型PD控制器,这种控制器是在一个线性PD控制的基础上加上沿期望轨迹计算的名义动力学前馈部分以及一个非线性补偿部分,它的最大优点是可以根据规划好的期望轨迹离线计算前馈补偿部分,从而降低实时计算的计算量。
计算力矩控制方法,它通过计算力矩的方式控制非线性系统沿期望轨迹运动,如果机器人动力学模型是准确的,计算力矩控制器可以实现动态解耦,并得到一个指数稳定的闭环动力方程,从而实现跟踪误差的指数收敛。
在并联机器人的控制策略中,除了常用的PID控制之外,还有自适应控制，滑模变结构控制，鲁棒控制以及智能控制等控制方法。
基于滑模控制的方法在具有不确定性的系统的研究和应用中，滑模控制一直是一个非常有效的控制方法。
滑模控制也叫变结构控制，其本质是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性。
这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”不是一成不变的，而是可根据系统当前的状态有目的地不断变化。
对于具有信号传输时延的交互控制遥操作系统，也可以应用滑模控制来实现。
只要知道时延大小，滑模控制就可以实现变时延情况下的遥操作系统的稳定控制。
由于滑动模态与系统对象参数及扰动无关，因此滑模控制具有响应快、对应参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。
鲁棒控制由于遥操作系统中操作对象的不确定性，以及操作任务的实时变化，导致遥操作系统的特性和参数随工作状态和工作环境的变化而变化，这样就无法得到精确的描述遥操作系统特性的数学模型，给控制系统的设计带来困难。
鲁棒控制设计的目标就是在模型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能保持预期的性能。
因此鲁棒控制在遥操作系统中发挥了巨大作用，它较大程度地消除了主观上认识的模型和真实的被控对象之间的误差和不确定性。
基于干扰观测器(DOB)的鲁棒运动控制方法由Ohnishi提出,目前广泛应用于各类电动高精度机械伺服系统"干扰观测器设计基于被控对象的开环数学模型,其基本思想是将外部力矩干扰及模型参数变化造成的实际对象与名义模型输出的差异,统统等效到控制输入端,即观测出等效干扰,在控制中引入等量的补偿,实现对各种干扰的完全抑制,同时还可以减弱非线性环节对伺服系统性能的影响,具有很强的鲁棒性。
带连杆六自由度并联振动台控制方法
2017年 第 1 2 期
台水平向3 个 液 缸 与 平 台 之 间 依 靠 3 液缸与平台直接 。6 运动自 沿 9 G 和 z 轴 的 3 个平动自由度以 动自
Rx、 Ry、 Rz 。
$ % 与气（
接， 垂向 为 运动学 的 ， 重点是要得到下铰点在静
37
下的坐
。本研究的解算方法
水平向的下铰点建立局部
XU Xian-zliuang， SHEN Rutao， GUAN Guangfeng， XIONG Wei， WANG Hai-tao
( School of Transportation Equipment and Ocean Engineering， Dalian Maritime University， Dalian， Liaoning 116000)
t
引言 并联机器人因其高刚度、 高精度及高承载力等优 点得到了广泛的应用[1联振动台的液压缸固定 于基体， 可有效解决液压缸缸体在高频振动时可能产 生的横向振动， 提高机构的可靠性;另外采用轻量连杆 可有效减少驱动力用于克服结构本身重量所做的功和 克服铰接摩擦力所做的功[2]。 连杆形式的并联振动台的控制方法已经广泛应用 于工程系统。本研究主要分析带连杆的六自由度振动 台的位姿控制方法。 1 控制策略 带连杆六自由度振动台位姿控制策略的基本原理 如图1 所示， 采用基于工作误差-铰接反馈的控制方
36
doi ： 10.11832/j .issn.1000-4858.2017.12.006
液％与气（
2017年 第 1 2 期
带连杆六自由度并联振动台控制方法
徐显桩 ， 沈如涛 ， 关广丰 ， 熊 伟 ， 王海涛
( 大连海事大学交通运输装备与海洋工程学院， 辽 宁 大 连 116000)
六个自由度PPT课件
六点定则
要确定其空间位置，就需要限制其 6 个自由度
将 6 个支承抽象
Z
为6个“点”，合
理布置六个相应的
支承点，限制工件
的六个自由度的方
法，称为六点定则。
Y
X
工件的六点定位 (a)长方形工件 (b) 盘类工件 (c) 轴类工件
由图可知，工件形状不同，定位表面不同，定 位点的布置情况会各不相同。
注意： 工序要求不同，需要限制的自由度也不同。例如： 在相同的工序要求条件下，工件的结构特点不 同，需要限制的自由度也不同。例如： 加工时消除工件自由度，是指工件在机床或夹 具上是否有了确定的位置，而不是在外力作用下 会不会动的概念。
Z
Y X
B
B
a）
b）
欠定位示例
四、过定位：
定位时工件的同一个自由度被几个定位支 承点重复限制的现象。
X
Z
Y a）
X
Z
Y a1）
X
Z
Y a2）
X
Z
Y a3）
图2-23a 过定位示例分析
过定位分析（桌子与三角架）
过定位分析
• P46页25题
作业
Z
Y X
工件以平面3点定位
不同加工要求工件简图
a)
Z
X d）
b)
Z
c)ZYYX NhomakorabeaX
e）
Y f）
定位类型
一、完成定位：工件的六个自由度全部被限 制而在空间占有完全确定的唯一位置。
• 二、不完全定位：根据加工要求，仅限制 工件部分自由度的定位。
三、欠定位：
工件实际定位所限制的自由度数目少于 按其加工要求限制的自由度数目。
六自由度运动方程计算
C23( C4C5C6 − S 4 S 6 ) − S 23S 5C6 = S 23 (C4 C5C6 − S 4 S 6 ) + C23S 5C6 S 4C5C6 + C4 S 6 0
0
T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6
C1[ C23 (C 4C5 C6 − S4 S6 ) − S 23S5C 6 ] + S1( S 4C5 C6 + C4 S6 ) C1 [ −C23 ( C4C 5S 6 + S 4C6 ) + S23S 5S6 ] − S1 ( S4 C5 S6 − C 4C 6 ) C1 (C 23C 4 S5 + S23C 5 ) + S1S 4 S5 C1 ( l2C 2 + S 23d4 ) S1[ C23 ( C4C 5C6 − S4 S6 ) − S23S5 C6 ] − C1( S 4C5 C6 + C 4 S6 ) S1 [ −C 23( C4 C5 S6 + S4C 6 ) + S 23S5S 6 ] + C1 ( S4 C5 S6 − C 4C 6 ) S1 ( C23C4 S5 + S23C5 ) − C1S 4S 5 S1( l2 C2 + S23d 4 ) = S23 ( C4C 5C6 − S4 S6 ) + C23S5C 6 S23C4 S5 − C23C5 l2 S2 − C 23d4 − S23 (C 4C 5S 6 + S 4C6 ) − C 23S5 S6 0 0 0 1
n x n 0 由正运动学方程 T6 = T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 = y nz 0
2
6自由度液压振动台伺服控制策略
摘
要： 为提 高 ６自由度 液压 振 动 台的控 制精 度 ， 细分析 振 动 台 系统 的伺 服控 制原 理 并 给 出具 体 的 分解 矩 阵 实现 振 动 台的 自由度 独 立控 制 。采 用三 状 态控 制 器提 高振 动 台系统加 速度 响
应频宽， 增强系统稳定性 ， 并给 出了控制器参数的计算公式。 采用压力镇定控制器削弱 系统 中各激振器间的 内力
液 压 与 气 动
２０ ０ ８年第 １ 期 ０
由于Ⅳ 乍 阵 ， 方 因而 自由度 分 解矩 阵可 以有 多 种
振动台伺服控制系统 的主要作用是将对 台面的
２０ ０ ８年第 １ ０期
液压 与 气 动
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６自由度 液压振 动 台伺服控 制策略
关广 丰 ’熊 ， 伟 ’王海 涛 ’ ， ，韩俊 伟 。
Ｓ ｒ ｏＣｏ ｔ ｏ ｔ ａ ｅ ｙｏ ｄｒ ｕ ｉ ａ ｌ ｉ ｅ 一 ｅ ｖ ｎ ｒ ｌ ｒ ｔ ｇ ｆ Ｓ Ｈｙ ａ ｌｃ ｌ ｙＤｒ ｖ ｎ ６ ＤＯＦ Ｖｉ ｒ ｔｏ ｂ ｅ ｂ ａ ｉ ｎＴａ ｌ
１ —２１ ８ ．
种 与硬件设 备通 讯 的新工具 箱 ［＿ 油仪 器 ，０ １ １ Ｊ石 】 ２ ０ ，５
（）５ － ８ １：６ ５ ． 【 ６】 赵 祚 喜 ， 锡 文 ， 瑞 卿 ． 于 Ｍａａ 罗 马 基 ｔｂ的 计 算 机 数 据 采 集 ｌ
系统设计ｌ ． Ｊ 农业机械学报 ， ０ ３ ３ （ ）１６ １ ８ １ ２ ０ ，４ ２ ：４ — ４ ．
成 创 新 ， 破 国外 的垄 断 ， 打 自主研 制 多 轴 振 动 试 验 系 统， 提高 自身 的技 术水 平是 非 常必要 的 。
液 压 振 动 台 易 于 实 现低 频 、 位 移 、 推 力 振 动 大 大
实验指导书(六自由度)
实验一：6SPT-1六自由度液压伺服平台综合实验、实验目的：1、掌握电液位置伺服控制系统的基本原理；2、掌握六自由度平台的结构解算的概念及其软件实现；3、掌握VB6.0软件与下位机PAC通过以太网通信的方法；4、掌握6SPT-1六自由度液压伺服平台复现指令信号的实施方法。
、预备知识：1、熟练掌握PLC的梯形图语言（LD）编程和结构化文本语言（ST）编程；2、熟练掌握VB6.0编程，能使用VB6.0实现以太网通信；3、有一定的矩阵计算能力。
二、试验原理：1、电液位置伺服控制系统的基本原理电液位置伺服控制系统以液体作为动力传输和控制介质，利用电信号进行控制输入和反馈。
只要输入某一规律的输入信号，执行元件就能启动、快速并准确地复现输入量的变化规律。
控制系统结构图如图3.1所示:图3.1电液位置伺服控制系统结构图2、六自由度平台逆解算法图3.2 空间机构位置关系示意图六自由度平台又称为Stewart平台，其结构如图3.2所示，Stewart平台由上、下两个平台、六个驱动关节和连接球铰组成，上平台为运动平台，下平台为基座，上、下平台的六个铰点分别组成一个六边形，连接6个液压缸作为驱动关节，每个液压缸两端各连接一个球铰。
六个驱动关节的伸缩运动是独立的由液压比例压力阀控制各液压缸作伸缩运动，从而改变各个驱动缸的长度，使动平台在空间的位置和姿态发生变化。
因此该平台是通过六个驱动杆的协调动作来实现三个线性移动及三个转动共六个自由度的运动。
S tewart平台机构的空间位置关系是指运动平台的六个自由度与六个驱动杆长度的关系，是研究该并联机构最基本的任务，也是机构速度、加速度、误差分析、工作空间分析、动力分析等的基础。
对于6-SPS平台机构，其特点是动静平台铰点共面，考虑到工作空间的对称性要求，将平台的6个铰点分成3组，三组铰点沿圆周120。
均布，动、静平台的相邻两边到中心的夹角分别为30。
和90° o为求解六自由度平台的空间位置关系，首先在静、动平台上分别建立静、动坐标系。
六自由度汽车12模型分层建模与振动控制研究
六自由度汽车1/2模型分层建模与振动控制研究吴龙（三明学院物理与机电工程系，365004）摘要：本文针对六自由度半车悬架结构特点提出了一种并行振动控制方法。
在对簧载质量进行受力分析的基础上，推导得到前、后两个四分之一悬架间的耦合定量关系，建立分层模型，并以此为基础构建分层振动控制算法。
中央控制层以悬架质心处的垂直、俯仰角加速度为控制目标，前、后两个四分之一悬架构成的底层分别结合鲁棒（H∝）和线性二次高斯型（LQG）控制策略并接受中央控制层的协调指令。
MATLAB的仿真计算表明：与传统控制相比，控制量的计算时间大幅缩短，因而可以针对路面激励实施详尽的控制，达到改善汽车行驶平顺性的目的。
关键词：半车悬架；六自由度；分层建模；振动控制；仿真Research on Hierarchical Modeling and Its Vibration Control Application of a Half VehicleSuspension with Six-Degree FreedomsLong Wu(Department of Physics and Electromechanical Engineering, Sanming University, 25 Jingdong Road,Sanming, 365004, Fujian Province, PR China)ABSTRACT In this paper, a parallel control method based on structure characteristic of a half vehicle suspension with six degree freedoms is presented. Based on force analysis of the sprung mass, the coupling quantitative relation of the front and rear quarter suspensions is deduced and a hierarchical model is founded. Then a hierarchical vibration control algorithm is constructed. The vertical and pitch accelerations of the suspension center are treated as central control objects. The H infinite and Linear Quadric Gaussian control strategy is respectively adopted by two local controls formed by the front and rear quarter suspensions and harmonized by central control. The simulation results under MATLAB environment show that the computation time of control procedure is shortened compared to traditonal model. Thus exhaustive control could be realized according to road excitation so as to improve ride quality.KEY WORDS: Half vehicle suspension, six degree freedoms, hierarchical model, vibration control, simulation1.引言乘坐舒适性和行驶平稳性是衡量汽车悬架性能的重要指标。
六自由度外弹道方程组的快速数值方法
六自由度外弹道方程组的快速数值方法
快速数值方法用来解决涉及六自由度外弹道方程组的问题。
这类方法可以用来研究具有三轴姿态控制的活动目标外弹道的行为。
在数值计算中，可以将外弹道方程组分解为六个单独的方程，也可以将这六个方程组合在一起，形成较复杂的方程组。
理论上，这六个方程可以采用常规的求解方法，但这样做效率较低，浪费时间。
快速数值方法通过算法和数值技术，改进了通常求解六自由度外弹道方程组所采用的方法，降低了计算量，提高了计算效率，降低了计算花费。
它需要用户提供有关各种参数的输入，包括弹头尺寸、伞面面积、空气密度、姿态控制模式及其模型等。
快速数值方法主要有两种：一种是“飞行物理法”，另一种是“梯度法”。
实际上，这两种方法都基于受外力控制下体系状态方程。
在快速数值方法中，采用数值分析技术，将六自由度外弹道方程组简化，以降低计算量，提高计算效率。
物理飞行法将体系状态的一个局部区域切割成若干小区域，只需求解小区域内的体系状态方程。
由梯度法变化的步骤，只需求解一小部分状态方程，从而提高计算效率。
然后，快速数值方法使用控制坐标系下的体系状态方程，设定三轴控制信号，然后根据设定的值进行计算。
以自由度外弹道方程组为例，有六个未知量，即弹道姿态控制发动机的传动比和控制信号。
但实际上，必须提供三轴控制信号进行六自由度外弹道的计算，这是快速数值方法的核心技术。
总而言之，快速数值方法是一种用于求解六自由度外弹道方程组的技术，可以非常有效地解决复杂的气动力学问题。
它不仅可以减少计算量，提高计算效率，而且可以减少计算花费。
从而获得高精度的计算结果。
人椅系统离机过程六自由度计算资料
《飞行器救生及生命保障技术》人椅系统离机过程六自由度计算一、已知参数，计算结束状态人-椅系统质量 :m=210kg; 222人-椅系统气动力系数：Cx2=0.52915; Cy2=-1.05665; Cz2=0.00091;人-椅系统气动力矩系数：mx2=0.01246; my2=0.09410; mz2=0.94347;人-椅系统转动惯量:Jx2=34.4 kg·㎡; Jy2=44.5 kg·㎡; Jz2=21.1 kg·㎡; 人-椅系统转动惯量积: Jx2y2=0 kg·㎡;人-椅系统正面投影面积: A=0.58 ㎡;大气密度: ρ=1.225kg/m3;稳定伞阻力特：（CA）ws=0.07 ㎡ ;0.065火箭推力：F=20000 N; 25000人椅系统重心位置：x=0.24 m; y=0.357 m;人椅系统参考长度：L=1.115 m;火箭安装偏心距：ef=-0.02 m; 0.02火箭包安装角：βt=19.5° ;人椅系统迎角：α=-80°;人椅系统侧滑角：β=0°;二、源程序function dy=liuziyou(t,y) %人椅系统离机过程六自由度计算程序dy=zeros(12,1);F= (0<=t && t<=0.3455)*20000 + (t>0.3455 && t<=2.0)*0;%F=20000;bt=19.5/180*pi;m=210.0;ef=-0.02;Aw=1.0;Cw=0.07;xs=Aw*Cw;g=9.8;G=m*g;L=1.115;Lp=0.7*L;x0=0.24;az=asin(x0/Lp);Jx2=34.4;Jy2=44.5;Jz2=21.1;Jx2y2=-8.3;A=0.58;rf=atan(-y(2)/y(1));Cz2=5.6524*rf.^19+3.5158*rf.^18-46.6435*rf.^17-28.6264*rf.^16+152.3251*rf.^15+91.52 26*rf.^14-250.0942*rf.^13-144.978*rf.^12+214.0682*rf.^11+116.0831*rf.^10-84.6499*rf .^9-39.2751*rf.^8+4.6120*rf.^7-0.6072*rf.^6+6.0017*rf.^5+2.6197*rf.^4-1.3015*rf.^3-0.2439*rf.^2+0.122*rf+0.0072;Cy2= 0.021*rf.^6 - 0.028*rf.^5 - 0.114*rf.^4 - 0.058*rf.^3 + 0.284*rf.^2 + 0.927*rf- 0.347;Cx2 = -0.011*rf.^6 + 0.054*rf.^5 + 0.071*rf.^4 - 0.078*rf.^3 - 0.559*rf.^2 - 0.271*rf. + 1.157;mz2=0.010*rf.^6 + 0.041*rf.^5 - 0.113*rf.^4 - 0.012*rf.^3 + 0.150*rf.^2 - 0.669*rf. + 0.253;mx2=15.3478*rf.^19+1.5623*rf.^18-132.1793*rf.^17-12.9746*rf.^16+460.1213*rf.^15+42. 8189*rf.^14-835.8566*rf.^13-71.6826*rf.^12+853.5107*rf.^11+64.0635*rf.^10-490.6995* rf.^9-28.9383*rf.^8+149.4458*rf.^7+5.1056*rf.^6-20.2477*rf.^5+0.106*rf.^4+0.6304*rf .^3-0.0471*rf.^2-0.0016*rf-0.0056;my2=0.0044*rf.^6 - 0.0059*rf.^5 - 0.026*rf.^4 + 0.034*rf.^3 + 0.045*rf.^2 - 0.086*rf+ 0.015;vx=y(1)*cos(y(7))*cos(y(8))+y(2)*(sin(y(8))*sin(y(9))-cos(y(8))*sin(y(7))*cos(y(9)) )+y(3)*(cos(y(9))*sin(y(8))+cos(y(8))*sin(y(7))*sin(y(9)));vy=y(1)*sin(y(7))+y(2)*cos(y(7))*cos(y(9))-y(3)*sin(y(9))*cos(y(7));vz=-y(1)*cos(y(7))*sin(y(8))+y(2)*(cos(y(8))*sin(y(9))+sin(y(8))*sin(y(7))*cos(y(9) ))+y(3)*(cos(y(9))*cos(y(8))-sin(y(8))*sin(y(7))*sin(y(9)));v=sqrt(vx^2+vy^2+vz^2);vp=sqrt((y(1)-Lp*y(6)*cos(az))^2+(y(2)-Lp*y(6)*sin(az))^2+(y(3)+Lp*y(4)*cos(az)+Lp *y(5)*sin(az))^2); %稳定减速伞接头处的合速度%人-椅系统气动力在体轴O2x2、O2y2、O2z2上的分量：Q2=-Cx2*A*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;P2=Cy2*A*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;R2=Cz2*A*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;%人-椅系统绕体轴O2x2、O2y2、O2z2的气动力矩：Mx2=mx2*A*L*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;My2=my2*A*L*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;Mz2=mz2*A*L*0.5*(1.225 *((1-y(11)/44300.0).256))*v^2;%自由飞阶段的运动方程组：dy(1) =(Q2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(1)-Lp*y(6)*cos(az))-G*sin(y(7))-F*sin(bt))/m+y( 2)*y(6)-y(3)*y(5);dy(2)=(P2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(2)-Lp*y(6)*sin(az))-G*cos(y (7))*cos(y(9))+F*cos(bt))/m+y(3)*y(4)-y(1)*y(6);dy(3)=(R2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(3)+Lp*y(4)*cos(az)+Lp*y(5)* sin(az))+G*cos(y(7))*sin(y(9)))/m+y(1)*y(5)-y(2)*y(4);dy(4)=(((Mx2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(3)+Lp*y(4)*cos(az)+Lp*y( 5)*sin(az))*Lp*cos(az))*Jy2+(My2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(3)+L p*y(4)*cos(az)+Lp*y(5)*sin(az))*Lp*sin(az))*Jx2y2)-...Jx2y2*(Jx2-Jz2)*y(5)*y(6)-Jy2 *(Jz2-Jy2)*y(5)*y(6)-Jx2y2*(Jy2-Jx2y2)*y(4)*y(6))/(Jx2*Jy2-(Jx2y2)^2);dy(5)=(((Mx2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(3)+Lp*y(4)*cos(az)+Lp*y( 5)*sin(az))*Lp*cos(az))*Jx2y2+(My2-0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*(y(3) +Lp*y(4)*cos(az)+Lp*y(5)*sin(az))*Lp*sin(az))*Jx2)-Jx2y2*(Jx2y2-Jx2)*y(4)*y(6)-Jx2y 2*(Jz2-Jy2)*y(5)*y(6)-Jx2*(Jx2-Jz2)*y(5)*y(6))/(Jx2*Jy2-(Jx2y2)^2);dy(6)=((Mz2+0.5*(1.225*((1-y(11)/44300.0).256))*xs*vp*((y(1)-Lp*y(6)*cos(az))*Lp*c os(az)+(y(2)-Lp*y(6)*sin(az))*Lp*sin(az))+F*ef)-Jx2y2*((y(5))^2-(y(4))^2)-(Jy2-Jx2) *y(5)*y(4))/Jz2;dy(7) =y(5)*sin(y(9))+y(6)*cos(y(9));dy(8) =(1/cos(y(7)))*(y(5)*cos(y(9))-y(6)*sin(y(9)));dy(9) =y(4)-tan(y(7))*(y(5)*cos(y(9))-y(6)*sin(y(9)));dy(10)=vx;dy(11)=vy;dy(12)=vz;%输入数据：[t,y]=ode45('liuziyou',[0,3],[250;15;0; 0;0;0; pi/10;0;0;0;1000;0];rf.=atan(-y(:,2)./y(:,1));vx=y(:,1).*cos(y(:,7)).*cos(y(:,8))+y(:,2).*(sin(y(:,8)).*sin(y(:,9))-cos(y(:,8)).* sin(y(:,7)).*cos(y(:,9)))+y(:,3).*(cos(y(:,9)).*sin(y(:,8))+cos(y(:,8)).*sin(y(:,7) ).*sin(y(:,9)));vy=y(:,1).*sin(y(:,7))+y(:,2).*cos(y(:,7)).*cos(y(:,9))-y(:,3).*sin(y(:,9)).*cos(y( :,7));vz=-y(:,1).*cos(y(:,7)).*sin(y(:,8))+y(:,2).*(cos(y(:,8)).*sin(y(:,9))+sin(y(:,8)). *sin(y(:,7)).*cos(y(:,9)))+y(:,3).*(cos(y(:,9)).*cos(y(:,8))-sin(y(:,8)).*sin(y(:,7 )).*sin(y(:,9)));v=sqrt(vx.^2+vy.^2+vz.^2);Cz2=5.6524*rf.^19+3.5158*rf.^18-46.6435*rf.^17-28.6264*rf.^16+152.3251*rf.^15+91.5226*rf.^14-250.0942*rf.^13-144.978*rf.^12+214.0682*rf.^11+116.0831*rf.^10-84.6499*rf .^9-39.2751*rf.^8+4.6120*rf.^7-0.6072*rf.^6+6.0017*rf.^5+2.6197*rf.^4-1.3015*rf.^3-0.2439*rf.^2+0.122*rf+0.0072;Cy2= 0.021*rf.^6 - 0.028*rf.^5 - 0.114*rf.^4 - 0.058*rf.^3 + 0.284*rf.^2 + 0.927*rf- 0.347;Cx2 = -0.011*rf.^6 + 0.054*rf.^5 + 0.071*rf.^4 - 0.078*rf.^3 - 0.559*rf.^2 - 0.271*rf+ 1.157;mz2=0.010*rf.^6 + 0.041*rf.^5 - 0.113*rf.^4 - 0.012*rf.^3 + 0.150*rf.^2 - 0.669*rf + 0.253;mx2=15.3478*rf.^19+1.5623*rf.^18-132.1793*rf.^17-12.9746*rf.^16+460.1213*rf.^15+42. 8189*rf.^14-835.8566*rf.^13-71.6826*rf.^12+853.5107*rf.^11+64.0635*rf.^10-490.6995* rf.^9-28.9383*rf.^8+149.4458*rf.^7+5.1056*rf.^6-20.2477*rf.^5+0.106*rf.^4+0.6304*rf .^3-0.0471*rf.^2-0.0016*rf-0.0056;my2=0.0044*rf.^6 - 0.0059*rf.^5 - 0.026*rf.^4 + 0.034*rf.^3 + 0.045*rf.^2 - 0.086*rf+ 0.015;%绘制图形figure; plot(t,v); title('速度随时间变化曲线');xlabel('t/s'); ylabel('v/(m/s)');figure; plot(t,y(:,7)); title('姿态角随时间变化曲线');xlabel('t/s'); ylabel('θy');figure; plot(t,y(:,8)); title('偏航角随时间变化曲线');xlabel('t/s'); ylabel('φy');figure; plot(t,y(:,9)); title('滚转角随时间变化曲线');xlabel('t/s'); ylabel('γy');figure; plot(t,y(:,10)); title('x方向轨迹');xlabel('t/s'); ylabel('x/m');figure; plot(t,y(:,11)); title('y方向轨迹');xlabel('t/s'); ylabel('y/m');figure; plot(t,y(:,12)); title('z方向轨迹');xlabel('t/s'); ylabel('z/m');figure; plot(y(:,10),y(:,11)); title('平面内的轨迹');xlabel('x/m'); ylabel('y/m');figure; plot(t,vx); title('地面坐标下的x轴方向速度');xlabel('t/m'); ylabel('vx/(m/s)');figure; plot(t,vy); title('地面坐标下的y轴方向速度');xlabel('t/m'); ylabel('vy/(m/s)');figure; plot(t,vz); title('地面坐标下的z轴方向速度');xlabel('t/m'); ylabel('vz/(m/s)');三、输出图形四、数据五、结果分析1.人-椅系统气动力在体轴坐标系上的分量为Q2=0.5×(Cx2)×A×ρ×v2，P2=0.5×(Cy2)×A×ρ×v2，R2=0.5×(Cz2)×A×ρ×v2，因为人-椅系统的正面投影面积A和大气密度ρ一定，所以由公式可看出，气动力大小只与气动系数和速度v有关。