转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量与刚体定轴转动定律
先阐明几个概念：
刚体：简单的说，即形变可以忽略的物体。

作为理想的物理模型，刚体的特征是有质量、大小和形状，而在处理时我们往往不考虑其形变（但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况）。

力矩：和力类似，并不好直接定义，可以简单的认为是力乘以力臂或者M F r =⨯（关于叉乘，请自行百度）。

转动惯量：度量转动时惯性的量。

详见后文。

下面是准备工作：
定理：无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证：
①考虑两个质点的系统：
如图，
由牛顿第三定律，
120F F +=，
且1221()F F r r -
而，合力矩=1221121()0F r F r F r r ⨯+⨯=⨯-= 成立。

②假设，含k 个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含（k+1）个质点的无外力系统，
分为两组，一组含k 个质点，另一组则为第（k+1）个质点。

含k 个质点的一组，其内力的合力矩为
而该组任一质点与第（k+1）个质点的相互作用合力矩也为
0 故含（k+1）个质点的无外力系统其内力的合力矩为
0 因而，无外力系统内各质点相互作用的合力矩为
0 推论：对系统施加M 的外力矩，有i M M =∑ （i M 为系统内第i 个质点所受力矩。

） 证：
将施加外力的质点纳入系统，由上， 则有，0i M M -+=∑ 故，i M M =∑
刚体定轴转动定律：M I β=
（M 为合外力矩，β为角加速度，I 为转动惯量（见下）。

） ①考虑只有一个质点，
由牛顿第二定律：
()r F ma m a a θ==+
（其中，,r
a r a r θ⊥）
则
2
()()[()()]r F r m a a ma m r r
m r r r r mr θθββββ
⨯=+==⨯⨯=-= 『1』
②考虑多个质点时， 对于系统中第i 个质点，
2i i i i F r m r β⨯=
（同一刚体角加速度相同）
有2i i i i i M M F r m r β==⨯=∑∑∑ ③对于连续物体， 则，222i i D
V
m r r dm r dV δρ==∑⎰⎰⎰⎰
(式中dm 表示刚体的某个质元的质量，r 表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，积分遍及整个刚体。

) 式2i i M m r β=∑ 与牛顿第二定律相似，我们称之为刚体定轴转动定律，并视2i i m r ∑为刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持
记作I （或J ）。

下面是一些关于转动惯量的辅助定理： 平行轴定理：2c I I md =+
（m 为刚体质量，绕通过质心的转轴转动的转动惯量为c I ，I 为绕与该通过质心的转轴距离为d 的转轴转动的转动惯量。

）
『2』 证：
以质心C 为原点，则有0i i m r =∑ （i r 表示i m 到z 轴的垂直距离） 有2c i i I m r =∑
若转轴位于z ’处（方向向量为s r ）
则s
r d =
2
2
2
2()2i i s i i s i i s i
c I m r r m r r m r r m
I md =-=++=+∑∑∑∑
垂直轴定理1：z x y I I I =+
（一平面刚体薄板，绕垂直该平面的轴转动的转动惯量z I ，等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两相互正交的轴转动的转动惯量之和。

） 证：
注意“薄板”，22,x i i y i i I m y I m x ==∑∑
而，22222()z i i i i i i i i i x y I mr m x y m y m x I I ==+=+=+∑∑∑∑
垂直轴定理2：22x y z D
I I I r dm ++=⎰
（绕交于同一点O 且两两垂直的轴x ，y ，z 的转动惯量分别为,,x y z I I I ，r 为质元dm 到O 的距离。

） 证：
2222222222
(),(),()2()2x y z D
D
D
x y z D
D
I y z dm I x z dm I x y dm
I I I x y z dm r dm
=+=+=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰
伸展定则：
（将物体的任意一点沿转轴方向平移任意大小，该物体绕该轴的转动惯量不变。

） 证： 显然。

应用这些定理，可以简化处理一些问题：
例一：求质量为m ，长为L 的均质细棒绕其端轴转动的转动惯量。

解：
由已知量和量纲知2I kmL = ∵均质 ∴质心C 在棒的中点
又∵绕质心轴转动惯量可视为两段L/2长的细棒绕端轴的转动惯量，即22()22
c m L I k =⋅
由平行轴定理，2()2
c L I m I +=
解得k=1/3 故213
I mL =
例二：求质量为m ，长为a ，宽为b 的均质矩形薄板绕边轴、绕中轴、绕过中心的垂直轴转动的转动惯量。

解： 对边轴：
由伸展定则及例一，绕长轴的转动惯量213
a I m
b = ，
同理，绕短轴，213
b I ma =
对中轴：
由平行轴定理，绕平行于长边的轴，221
()212
x a b I I m mb =-=
同理，21
12
y I ma =
绕过中心的垂直轴： 由垂直轴定理1，221
()12
z x y I I I m a b =+=
+
例三：求质量为m ，半径为R 的均质实心球体绕过球心的轴转动的转动惯量。

解：
由对称性及垂直轴定理2，
2
2
2
5
2
2
86322455
2
5
R D
I r dm r r dr R mR I mR ππρρ∴====⇒=⎰⎰
后记：
我写这篇文章主要是因为在百度上找不到“刚体定轴转动定律”的证明，就在这里给各位读者一个方便。

更加深入的讨论请寻找一些刚体动力学的教材或资料。

这似乎是一个实验定律，但也应能用牛顿定律得出。

文中的证明方法是本人原创（但不一定是独创）。

本人能力有限，如有错误或纰漏，欢迎各位指正。

参考资料：
『1』二重向量积Vector Triple Product https:///wiki/Triple_product#Vector_tri
ple_product
『2』图片来自wikipedia：https:///wiki/Parallel_axis_theorem。