复数讲义 教师版
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
北师大版必修第二册5-1-1复数的概念课件(32张)
2x－1＋i＝y－3－yi
①
2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i②
有实数解，则实数 a，b 的值分别为__1_,_2____．
解析：(1)因为 m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相 等的充要条件得2mm2－＋27＝＝4mm2－ ＋83， ， 解得 m＝5.
[正解] 设方程一实根为 a，则有 a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0， 由复数相等的定义可得a22a＋＋kka＝＋02，＝0， 解得 k＝±2 2， 因此当 k＝±2 2时，原方程至少有一个实根. [防范措施] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用 Δ≥0，而应设出 实根代入，然后利用复数相 等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[自主记]
[解析] 因为 a，m∈R，所以由 a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a22a＋＋amm＝＋02，＝0，
解得am＝＝－2，2 2
或am＝＝－2
2， 2，
所以 a＝± 2.
(2)[解] 设方程的实数根为 x＝m，
则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
当 b≠0 时，x0＝－db存在，则 abd＝d2＋b2c. 综上可知，当 b＝d＝0，且 Δ＝a2－4c≥0 或 b≠0，且 abd＝d2＋b2c 时，方程 x2＋(a ＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．
m2－m－6＝0， ③当m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
即mm＝≠－－23或，m＝3， m≠5且m≠－3，
即 m＝－2 或 m＝3 时，z 是纯虚数．
研习 2 复数相等的充要条件 [典例 2] (1)已知 a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数 a＝___±___2__. (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
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复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
5.1.1复数的概念课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
求实数m的值，使复数 1 m－2i为虚数.
m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
04 探索新知
思考2：对于两个复数 a+bi 和 c+di (a,b,c,d∈R)，满足什么条件
这两个复数会相等呢？
提示：对于一元二项式，若 a bx 1 2x对任意 x 都成立，则 a 1 ，b 2 .
x 2 3y 2x y 1
解得xy
1 1.
a+bi=c+di a=c且b=d.
05 巩固练习
练习: 已知（m2 7m 10） m2 5m 14 i 0,求实数m的值.
解： 由复数相等的定义，得
m2 7m 10 0 m2 5m 14 0
m 2
06 学以致用
小组命题 PK 赛
（5）0 0 0i
z=a+bi 实部a
虚部b
11i
1
1
3 1i
-3
1
虚数
0 3 i 2
7 0i 0 0i
0 纯虚数 3
2
-7
0
0
0
实数
z=a+bi (a,b∈R)
实部
虚部
纯虚数：a=0,且b≠0
04 探索新知
2. 复数的分类
根据复数中a，b 的取值不同，复数可
以有以下分类：
复数 z=a +bi
09
谢 谢！ 祝你有所收获
纯虚数
2 2i
答案：鸭（压）舌（蛇）帽
实数
虚数
指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
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高中数学复数讲义.教师版
知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
数学基础讲义-第九章复数
第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。
根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。
复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。
高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。
一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。
1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。
对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。
若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。
若240b ac，则方程有没有实根。
为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。
现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。
为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。
其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。
任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。
若将“1”看作“实数单位”，即：1 。
“实数单位”“1”1 。
可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。
复数的概念教案
复数的概念教案教案：复数的概念学习目标：1. 理解复数的概念及其特点；2. 能够正确使用复数形式描述多个事物。
教学步骤：步骤一：导入新知1. 引入新知识：“你知道什么是复数吗？请举一个例子。
”2. 让学生分享自己的观点，并根据学生的回答引入复数的定义：“复数是指表示多个事物或对象的形式。
”3. 给出一个例子，如“apple”，并解释单数和复数形式的差异：“当我们只有一个苹果时，我们称之为‘apple'，但是当我们有两个或更多的苹果时，我们称之为‘apples'。
”步骤二：解释复数的构成规则1. 引导学生观察和总结复数的构成规则。
2. 解释基本规则：a. 大多数名词的复数形式是在末尾加上“s”：apple - apples；dog - dogs。
b. 以“s”结尾的名词，复数形式是在末尾加上“es”：box - boxes；bus - buses。
c. 以“y”结尾的名词，复数形式将“y”变为“i”，并加上“es”：baby - babies；party - parties。
d. 某些名词的复数形式不规则，需要特殊记忆：woman -women；man - men。
步骤三：巩固和练习1. 提供一些名词的复数形式，并让学生尝试写出其对应的单数形式。
2. 给出一些句子，让学生根据句意填写合适的复数形式。
步骤四：总结和反馈1. 提醒学生记住复数形式的构成规则，以便在写作和口语表达中正确使用。
2. 鼓励学生在日常生活中观察和使用复数形式，以加深对复数概念的理解。
扩展活动：1. 学生可参与小组活动，以讨论和分享有关复数的陈述或问题。
2. 学生可以参与一些角色扮演活动，使用复数形式来描述人物和对象的情况。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和回答问题的情况。
2. 教师收集学生写的句子和填写复数形式的练习，并对其准确性进行评估。
注意事项：1. 在教学过程中，可使用图片或实际物体来帮助学生理解复数概念。
2.1复数的运算讲义
复数的运算讲义知识要点：一、复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 二、复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 三、复数的加法运算满足交换律、结合律:z 1+z 2=z 2+z 1. (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 四、乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 五、乘法运算律：1、z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ；2、z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3；3、z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 六、复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bia ++七、除法运算规则：设复数a+bi(a ，b ∈R )，除以c+di(c ，d ∈R )，其商为x+yi(x ，y ∈R )， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di cd ++-+⋅-+-==++-+222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a+bi)÷(c+di)=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 八、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 九、复数与平面向量的联系1．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b)，2OZ =(c ，d)以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b)+(c ，d)=(a+c ，b+d)＝(a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a －c)+(b －d)i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c)+(b －d)i 21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.题型讲解：例1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2 计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 例3 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例4 计算(12)(34i i +÷-解：(12)(34)i i +÷-1234i i +=-22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 例5 i43+解：ii i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525i i ii ++--===-例6 已知z 是虚数，且z+z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 证明：设z=a+bi(a 、b ∈R 且b ≠0)，于是 z+z 1=a+bi+bia +1=a+bi+ib a bb b a a a b a bi a )(222222+-+++=+-. ∵z+z1∈R ，∴b －22b a b +=0. ∵b ≠0，∴a 2+b 2=1.∴22)1(])1][()1[()1()1(11ba bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+-.11212012])1()1[(12222i a b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-= ∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴i a b1+例7 已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z 2－z 1=(1+2i)－(2+i)=－1+i ，∵z 的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0， ∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是z B －z A. ，而所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向 例8 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x+yi(x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x+yi)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)i; -==(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.∵=，即(x －1)+(y －2)i=1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i.随堂演练：1.已知复数z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2－z 1在复平面内所表示的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（ ）A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i,其重心G 所对应的复数为1+i,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为（ ） A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i,5+2i,则由A 、B 、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数 6.设z=3+i,则z1等于（ ） A.3+i B.3－i C.101103+i D.i 101103+ 7.aib bia aib bi a +-+-+的值是（ ） A.0 B.i C.－iD.18.已知z 1=2－i,z 2=1+3i,则复数521z z i +的虚部为（ ） A.1B.－1C.iD.－i9.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____. 10.计算：(2x+3yi)－(3x －2yi)+(y －2xi)－3xi=________(x 、y ∈R ).11.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x=___________,y=___________. 12.已知复数z 1=a 2－3+(a+5)i,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i(a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值.13．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A 9.－22i 10.(y －x)+5(y －x)i11.53 , －5912、解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a+5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a=－1.13、解：设D （x,y), 则-=对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i ∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x∴D 点对应的复数为2－i。
【复数】精品讲义教师版
题型一 复数的概念1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.1．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a ＝________.答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1. 2．(2012·北京)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.3、若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 答案 A4、设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i .则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2＝2.答案 (2)25．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i. 答案：D6．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.答案：A7、复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.8．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C9．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A.答案：A10．（2011山东，5分）复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝2－i 2＋i＝(2－i )(2－i )5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D11．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i 3＋i对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3) D ．(3，－1)解析：由10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)． 答案：A12．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限．13.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A (x ，y )表示复数z ＝x ＋y i ，则z 的共轭复数z ＝x －y i 对应的点为B (x ，－y )，选B.答案：B题型二 复数的有关运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．(2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6i i等于( ) A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i答案 D解析 5－6i i ＝(5－6i )i i 2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D. 2.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i 解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 答案：B3. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i＝2(1－i )2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋(－1)2＝ 2. 答案：C4．（2013山东，5分）复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝(2－i )2i ＝(－i )×(3－4i )1＝－4－3i ，|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5.答案：C5．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i 2＝5＋5i.答案：C6．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i (－1－i )(－1＋i )＝－12－12i ，所以|z |＝22. 答案：B7．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4i i＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i. 答案：D9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋3iD ．1－2i解析：设z ＝a ＋b i ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋a i ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1.答案：B10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( )A ．3＋4iB ．5＋4iC ．3＋2iD ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i解析：3＋i 1－i＝(3＋i )(1＋i )2＝1＋2i. 答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i 1－2i＝( ) A ．2－i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C13．(2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i. 14．(2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i 答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i－1＝－1－i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i. 15．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5 B. 2 C. 3 D ．1 解析 由a 1－i＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ， 所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)16．(2012·上海)计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)． 答案 1－2i解析 3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i 2＝1－2i. 17．(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i 1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 答案 8解析 ∵11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.18．（2012湖北，5分）若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：319．已知复数z 满足1＋2i z＝1－2i ，则复数z ＝____________. 答案 －35＋45i 解析 z ＝1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 20．(2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.21．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.22．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力．复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3. 答案：D23．（2013广东，5分）若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋x i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.。
新教材北师大版第5章1.1复数的概念课件(35张)
[解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
1．例3的条件不变，当m为何值时，z为实数？ [解] 当mm＋ 2－32≠m0－，15＝0， 即m＝5时，z是实数．
2．例3的条件不变，当m为何值时，z>0.
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与 虚部相等列方程组求解. 2根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用 方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 3如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大 小的.
2．复数的分类
根据复数中 a，b 的取值不同，复数可有以下的分类：实数 b＝0
复数 a＋bi(a，b∈R)虚数 b≠0
纯虚数 a＝0 ， 非纯虚数 a≠0 .
3．复数集 全体复数 构成的集合称为复数集，记作 C．显然 R C． 4．复数相等 两个复数 a＋bi 与 c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实 部相等且虚部相等，即 a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c且b＝d 时成 立．
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1
的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是________．
(1)B (2)± 2 5 [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不 成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1 ＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实 部是0，③为真命题．故选B．
复数讲义(绝对经典)
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
《复数的除法》 讲义
《复数的除法》讲义一、复数的基本概念在进入复数除法的学习之前，我们先来回顾一下复数的基本概念。
复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
例如，3 ＋ 2i 就是一个复数，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的四则运算1、加法：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i2、减法：（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i三、复数除法的引入当我们需要计算两个复数的商时，就涉及到复数的除法运算。
例如，计算（3 ＋ 2i) ÷（1 ＋ i) 。
四、复数除法的运算方法为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
具体步骤如下：将分母乘以其共轭复数，同时分子也乘以分母的共轭复数。
共轭复数的定义：对于复数 a ＋ bi ，其共轭复数为 a bi 。
例如，对于 1 ＋ i ，其共轭复数为 1 i 。
回到刚才的例子（3 ＋ 2i) ÷（1 ＋ i) ：分子分母同时乘以 1 i ：＼＼begin{align}＼frac{（3 ＋ 2i)（1 i)｝｛（1 ＋ i)（1 i)｝＆＝＼frac{3 3i ＋ 2i 2i²}｛1 i²}＼＼＆＝＼frac{3 i 2(－1)｝｛1 （－1)｝＼＼＆＝＼frac{3 i ＋ 2}｛2}＼＼＆＝＼frac{5 i}｛2}＼＼＆＝＼frac{5}｛2} ＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼一般地，对于复数 z₁＝ a ＋ bi ， z₂＝ c ＋ di （c ＋di ≠ 0 ），其除法运算为：＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi²}｛c²（di)²}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c²＋ d²} ＋＼frac{bc ad}｛c²＋ d²}i＼end{align}＼五、复数除法的应用复数除法在许多领域都有应用，比如在电气工程中，用于分析交流电路；在信号处理中，处理复杂的信号等。
数学北师大版必修第二册5.1..1复数的概念课件
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1下列命题中,正确的是( ) A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b,则a+i>b+i 解析由复数的定义知A正确;当a∈R,且b=0时a+bi(b∈R)表示实数, 故B错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C错误;a+i 与b+i不能比较大小,故D错误. 答案A
激趣诱思
知识点拨
微练习
若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是( )
A.1,1
B.-1,1
C.1,0
D.1,-1
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
对复数相关概念的理解
例1(多选)下列命题中,错误的是( )
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n
答案A
激趣诱思
知识点拨
三、复数相等的充要条件 两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚 部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d. 名师点析两个复数不一定能比较大小 1.若两个复数全是实数,则可以比较大小;反之,若两个复数能够比 较大小,说明这两个复数都是实数. 2.当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相 等还是不相等. 3.根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个 不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
数z一定不是纯虚数.
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一、知识要点【复数基本概念及运算性质】1.虚数单位i : 它的平方等于-1，即 21i =-2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数7．复数z 1与z 2的和与差的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 8. 复数的加法运算满足交换律与结合律9．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数.10.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.11.除法运算规则： (a +bi )÷(c +di )=2222dc adbc d c bd ac +-+++ i .（分母实数化） 12. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量13．复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
||z z ==2222,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭ 15.复数的代数式运算技巧：（1）常用公式：①i i 2)1(2=+ ②i i 2)1(2-=- ③i i i =-+11 ④i i i-=+-11（2）“1”的立方根i2321±-=ω的性质：①13=ω ②ωω=2 ③012=++ωω ④11-=+ωω ⑤ωω=1【实系数一元二次方程的根问题】已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，则： 1）当042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根 21,x x 。
2）当042<-=∆ac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =。
此时有 acx x x x ===212221且a i b x 22,1∆-±-=。
两种题型：1. 已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x -的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112-=-+=-(2)当042<-=∆ac b 时， ab ac x x x x x x 2212211244)(-=-+=-2. 已知21,x x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x +的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则 a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac ，则 a ac b x x x x x x x x 44)(2212212112-=-+=-=+（2）当042<-=∆ac b 时，a c x x x x x 22221112=⋅==+二、专题训练【真题演练】（06高考）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．（07高考）已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为 A 、4,5p q =-= B 、4,5p q == C 、4,5p q ==- D 、4,5p q =-=- 【答案】A（04高考）已知复数1z 满足1(1)15i z i +=-+,22z a i =--, 其中i 为虚数单位,a R ∈, 若121z z z -<,求a 的取值范围. 【解】由题意得 z 1=ii++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13. 4)4(2+-a <13,得2870a a -+<,17a <<.（05高考）证明：在复数范围内，方程iiz i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解. [证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x)(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.【强化训练】1．（1）计算：19961232132⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-i i i答案：i +-1（2）设复数z 满足关系i z z +=+2||，求z ；解：设z=a+bi （a,b 为实数），由已知可得i b a bi a +=+++222由复数相等可得：⎪⎩⎪⎨⎧==++1222b b a a ，解得1,43==b a ，所以i z +=43设z=a+bi-x+yi （a,b 为实数）复数问题实数化。
（3）若C x ∈，解方程x i x -+=31|| 解：设x=a+bi (a,b ∈R)代入条件得:i b a b a )3(122-+-=+,由复数相等的定义可得：⎩⎨⎧=--=+03122b ab a ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i 。
2.(1)复数z 满足1||||22=--+i z i z ，则z 对应的点在复平面内表示的图形为（A ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线解：令z=x+yi （x ，y∈R），则x 2+(y+1)2－[x 2+(y －1)2]=1，∴y=1/4。
故选A 。
（2）设复数z 满足：3|33|=-+i z ，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z ∈C ，|z －2|=1且复数z －2对应的点落在直线y=x 上，求z 。
解：设z －2=a+ai ，∵|z －2|=1，∴22±=a ， ∴i z 22222++=或i z 22222--=。
3. 设,C z ∈且1-z z是纯虚数，求||i z +的最大值。
解：令z=x+yi （x ，y∈R），则1-z z 222222)1()1(yx yy x x y x +--+--+=，∵1-z z 是纯虚数， ∴⎩⎨⎧≠=-+0022y x y x ，即)0(41)21(22≠=+-y y x ，由数形结合可知本题是求圆)0(41)21(22≠=+-y y x 上的点到A(0,－1)的最大距离。
∴||i z +max =|PA|=215+。
一、（1）复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11ii i i i =+=-+-，选C ．（2）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；（3）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0解析：（1）,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D ； （4）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-m n n 101， ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
（5）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
解析：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i i +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4。