乘法公式1-PPT课件
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七下9.4.1乘法公式 (1) 演示文稿
b
右边是 : 两数的平方和 加上(或减去)这两数乘积的两倍.
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(或差) 的平 的公式 a 方 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (或减去)这两数乘积的两倍 2 . (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b
( a b) 2
(a+b)2=a2+2ab+b2
上面的等式是利用面积的不同表示形式得 到的，你还有其他方法吗？
推证
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+ b2
一般的，对于任意的a ,b由多项式乘法法则同 样可以得到完全平方公式。
例1 计算：( a – b )
(2xy+ 5 x )2
纠 错 练 习
下 面的计算是否正确？如有错误，请改正： (1) (x+y)2＝x2+y2; (2) (-m+n)2＝-m2 +n2； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 少了第一数与第二数乘积的2倍; 应改为: (x+y)2＝ x2+2xy+y2;
(2) 第一项平方时未加括号；（应该是（－m)2 ) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (-m+n)2＝ (-m)2+2•(-m)n +n2; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
右边是 : 两数的平方和 加上(或减去)这两数乘积的两倍.
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(或差) 的平 的公式 a 方 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (或减去)这两数乘积的两倍 2 . (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b
( a b) 2
(a+b)2=a2+2ab+b2
上面的等式是利用面积的不同表示形式得 到的，你还有其他方法吗？
推证
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+ b2
一般的，对于任意的a ,b由多项式乘法法则同 样可以得到完全平方公式。
例1 计算：( a – b )
(2xy+ 5 x )2
纠 错 练 习
下 面的计算是否正确？如有错误，请改正： (1) (x+y)2＝x2+y2; (2) (-m+n)2＝-m2 +n2； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 少了第一数与第二数乘积的2倍; 应改为: (x+y)2＝ x2+2xy+y2;
(2) 第一项平方时未加括号；（应该是（－m)2 ) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (-m+n)2＝ (-m)2+2•(-m)n +n2; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
乘法公式ppt
乘法公式
一、学习目标
知识与技能
1.经历探索乘法公式的过程，并能运用公式 进行简单计算；2.能用几何图形解释乘法公式
过程与方法
经历探索乘法公式的过程，培养学生观察， 归纳，概括能力，培养符号感和推理能力
情感态度价值观
在灵活应用公式的过程中激发学习兴趣，培 养探索精神
学习重点： 公式的探究 公式的应用
特权福利
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一、学习目标
知识与技能
1.经历探索乘法公式的过程，并能运用公式 进行简单计算；2.能用几何图形解释乘法公式
过程与方法
经历探索乘法公式的过程，培养学生观察， 归纳，概括能力，培养符号感和推理能力
情感态度价值观
在灵活应用公式的过程中激发学习兴趣，培 养探索精神
学习重点： 公式的探究 公式的应用
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《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法公式 课件(湘教版八年级上)
例 题
(1) 299×301；
(2)(x+1) (x-1) (x2+1) (x4+1) (x8+1) ．
答案: （1） 89999；
（2） x16-1
例：街心花园有一块边长为a米的正方形草坪， 经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向 要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是 多少？
巩固提高
(1) 498×502；
B、(a2 +1)(a2－1) = a4 C、(－a+a2)(-a-a2) =a2-a4 D、(a3 –7) (a3+7) = a6+49
公园奇遇 公元2000年5月1日，是我国新规定的第一长假的第一天， 一大早，不少游客便携老扶幼来到公园，打太极拳的打太 极拳，跳舞的跳舞，可热闹啦。 这时，有两位看起长年龄已经不小但仍然精神抖擞的白发 老者，正在缓慢地练着太极拳，不一会两位老人坐下来稍 事休息，两位老人便互问姓名，通报年龄。 “啊呀！我俩年龄的平方差是195呀！” 语音未落，一双路过的中年夫妇听见了，便嘻嘻笑道： “真巧！我俩年龄的平方差也是195。” 旁边两位青年人更是笑得前仰后合：“哈哈，哪有这样的 巧事，我们两个年龄的平方差也是195，看来，我们俩也 会像你们两位老人家这样高寿的啦！” 这是怎么一回事呢？
(2) (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) +1
答案：（1） 249996； （ 2）
16 2
达 标 1、计算:(a+1)(a-1) (a2+1) 测 =（ D ） 试
A、 a4+a2+1 B、 a4+1 C、a4+a +1 D、a4-1
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
乘法公式ppt课件
感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《乘法公式(第1课时)》示范教学课件
＝(80－__)(80＋__)
＝802－(__)2
＝135；
＝6 384．
2
2
3
2
3
3
4
4
4
你能口算出18×22的值吗？
18×22＝396．
利用平方差公式，可以使一些计算变得简单！
例1 计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．
（2）(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2．
．
你能对发现的规律进行推导吗？
所以，对于具有与此式相同形式的多项式相乘，我们可以 直接写出运算结果．
．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
．
两个数的和
两个数的差
另一个数的平方
一个数的平方
×
＝
－
．
①
②
a
b
a－b
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？
79×81＝_____；80×80＝_____．
63
64பைடு நூலகம்
143
144
6 399
6 400
7×9
＝(8－1)(8＋1)
＝82－12
＝64－1
11×13
＝(12－1)(12＋1)
＝122－12
＝144－1
＝63；
79×81
＝(80－1)(80＋1)
＝802－12
＝6 400－1
＝143；
＝6 399．
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．
②
S①＋②＝a2－b2；
S①＋②＝(a＋b)(a－b)；
＝802－(__)2
＝135；
＝6 384．
2
2
3
2
3
3
4
4
4
你能口算出18×22的值吗？
18×22＝396．
利用平方差公式，可以使一些计算变得简单！
例1 计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．
（2）(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2．
．
你能对发现的规律进行推导吗？
所以，对于具有与此式相同形式的多项式相乘，我们可以 直接写出运算结果．
．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
．
两个数的和
两个数的差
另一个数的平方
一个数的平方
×
＝
－
．
①
②
a
b
a－b
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？
79×81＝_____；80×80＝_____．
63
64பைடு நூலகம்
143
144
6 399
6 400
7×9
＝(8－1)(8＋1)
＝82－12
＝64－1
11×13
＝(12－1)(12＋1)
＝122－12
＝144－1
＝63；
79×81
＝(80－1)(80＋1)
＝802－12
＝6 400－1
＝143；
＝6 399．
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．
②
S①＋②＝a2－b2；
S①＋②＝(a＋b)(a－b)；
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
人教版八年级上册1.乘法公式课件
14. ［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试 判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算： （1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试 判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算： （1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
【课件·5】乘法公式
b + a = b2 + a 2 (4) a b ab ab a 2 + b2 = ab = 19 3
例2：利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a2－b2，計算 (2-1)(2+1)(22+1)(24+1) = 2n－1，則 n=?
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) = (22－1)(22+1)(24+1) = (24－1)(24+1) = 28－1 = 2n－1 n=8
題型5：完全平方公式的求值
(a + b) = ( a − b) + 4ab (a − b) 2 = (a + b) 2 − 4ab
2 2
－
－
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 …. 2 2 2 (a − b) = a − 2ab + b …. 2 2 得 ( a + b) − ( a − b) = 4ab 2 2 即 ( a + b) = ( a − b) + 4ab 2 2 得 ( a − b) − ( a + b) = −4ab 2 2 即 ( a − b) = ( a + b) − 4ab
(4) 542 － 54×8 + 16 = 542 － 2×54×4 + 42 = ( 54－4 )2 = 502 = 2500
例2：利用平方差公式計算 (1) 832 － 172 (3) (27 3 ) 2 − (12 1 ) 2 4 4
(2) 1272 － 272 (4) (79.8)2 － (20.2)2
2
2
2
乘法公式
乘法公式
(1) 乘法分配律 (2) 和的平方公式 (3) 差的平方公式 (4) 平方差公式
(1) 乘法分配律 a ac ad
b bc c bd d
由面积的计算可知 : (a ＋ b)(c ＋ d) ＝ac ＋ad ＋bc ＋bd
从分配律的角度，对于任何数a 、b 、c 、d
(a ＋ b)(c ＋ d) ＝ a(c＋d) ＋ b(c＋d) ＝ ac ＋ad ＋ bc ＋bd
例题：利用分配律计算下列各值
(1) 101×201＝(100＋1)(200＋1) ＝ 100×200＋100×1＋1×200＋1×1 ＝ 20000＋100＋200＋1 ＝ 20301
(2) 501×99＝ (500＋1)(100－1) ＝500×100－500×1＋1×100－1×1 ＝ 50000－500＋100－1 ＝49599
对于任意数 a 、b ，都可以由分配律得到： ＝
【差的平方公式】
例题：利用差的平方公式计算下列各值
(4) 平方差公式
a
b
a －b
b
a －b
b
经过移动后，蓝色面积可以看成大正方形面积 减去小正方形面积
对于任意数 a 、b ，都可以由分配律得到： 【平方差公式】
例题：利用平方差公式计算下列各值
同样地: (a ＋b)(c －d) ＝ a(c －d) ＋b(c － d) ＝ac －ad ＋bc －bd (a －b)(c ＋d) ＝ a(c ＋d) －b(c ＋ d) ＝ac ＋ad －bc －bd (a －b)(c －d) ＝ a(c －d) －b(c － d) ＝ac －ad －bc ＋bd
(2) 和的平方公式
a
b
a
ab a
(1) 乘法分配律 (2) 和的平方公式 (3) 差的平方公式 (4) 平方差公式
(1) 乘法分配律 a ac ad
b bc c bd d
由面积的计算可知 : (a ＋ b)(c ＋ d) ＝ac ＋ad ＋bc ＋bd
从分配律的角度，对于任何数a 、b 、c 、d
(a ＋ b)(c ＋ d) ＝ a(c＋d) ＋ b(c＋d) ＝ ac ＋ad ＋ bc ＋bd
例题：利用分配律计算下列各值
(1) 101×201＝(100＋1)(200＋1) ＝ 100×200＋100×1＋1×200＋1×1 ＝ 20000＋100＋200＋1 ＝ 20301
(2) 501×99＝ (500＋1)(100－1) ＝500×100－500×1＋1×100－1×1 ＝ 50000－500＋100－1 ＝49599
对于任意数 a 、b ，都可以由分配律得到： ＝
【差的平方公式】
例题：利用差的平方公式计算下列各值
(4) 平方差公式
a
b
a －b
b
a －b
b
经过移动后，蓝色面积可以看成大正方形面积 减去小正方形面积
对于任意数 a 、b ，都可以由分配律得到： 【平方差公式】
例题：利用平方差公式计算下列各值
同样地: (a ＋b)(c －d) ＝ a(c －d) ＋b(c － d) ＝ac －ad ＋bc －bd (a －b)(c ＋d) ＝ a(c ＋d) －b(c ＋ d) ＝ac ＋ad －bc －bd (a －b)(c －d) ＝ a(c －d) －b(c － d) ＝ac －ad －bc ＋bd
(2) 和的平方公式
a
b
a
ab a
【课件·1】乘法公式1
(1) (x-y)(y+x) = x2-y2 （ Y ） (2) (-x+y)(x+y) = y2-x2 （ Y ）
Notice： =x2-y2 (4) (x-y)(-x-y)=(-y)2-x2 （ Y ） 要利用平方差公式解题， =y2-x2 必须找到相同的项和符 号相反的项。 (5) (-x+y)(x-y) （ N）
Formula for the difference of squares
Example 1 Calculate (1) (5x+y)(5x-y) (2) (m+2n)(2n-m) 解:(1) 原式=(5x)2-y2
2
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
=25x2-y2 (2) 原式=(2n+m)(2n-m) =(2n)2-m2 =4n2-m2
2) 右边是相同“项”的平方减相反“项”的平方。
2、应用平方差公式的注意事项
(1)公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式；
(2) 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； (3) 还需注意最后的结果必须最简.
V
Test
Group A
1.Calculate：
(1)
( x 2 y)( x 2 y)
Notice: 公式中的字母的意义很广泛, 可以代表常数, 单项式或多项式 。
等式左边是两个数的和 乘以这两个数的差. 等式右边是这两个数的 平方差.
Training Excises :
在下列多项式乘法中，能用平方差 公式计算的请填Y，不能用的请填N:
请同学们进一步总结平方差公式 左右两边的特征： 左边是 两个二项式相乘，其中一项完 全相同，另一项符号相反； 右边是 相同“项”的平方减相反 “项”的平方。
乘法公式的综合应用课件
乘法公式的综合应用课件
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
• 乘法公式基础 • 乘法公式在数学中的应用 • 乘法公式在实际生活中的应用 • 乘法公式的扩展应用 • 乘法公式的注意事项与陷阱
01
乘法公式基础
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数的乘积不改变，只改变它们的排列顺 序。
详细描述
乘法交换律是基本的数学定理之一，表示乘法满足交换律， 即无论两个数的排列顺序如何，它们的乘积都是相同的。例 如，a × b = b × a。
概率问题
概率的基本性质
在概率论中，乘法公式可以用来计算两个事件同时发生的概率。例如，A和B同时发生的概率是$P(A cap B) = P(A) times P(B | A)$。
贝叶斯定理
在贝叶斯定理中，乘法公式是一个重要的工具，它可以用来计算条件概率。例如，在给定事件A发生的条件下， 事件B发生的概率是$P(B | A) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$。
矩阵乘法的本定义
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵
相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的规则
矩阵乘法需要满足结合律、交换律和分配律，并且要求第一个矩阵的列
数等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵乘法的计算方法
矩阵乘法需要按照一定的顺序逐步计算，首先计算前两行第一列的元素
，然后计算前两行第二列的元素，以此类推，直到得到整个结果矩阵。
乘法公式在资源分配中也有着重要的应用， 它可以用来计算每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
详细描述
在资源分配中，需要将有限的资源合理地分 配给各个项目或部门。利用乘法公式，可以 更准确地计算出每个项目或部门所需的资源 量，从而实现资源的合理分配。
华师大版八年级数学上册《乘法公式1》课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
探究新知
活动1 知识准备 1．计算(3x＋9)(2x－5)等于( D) A．5x2＋3x－45 B．6x2－3x＋45 C．5x2＋33x＋45 D．6x2＋3x－45 2．计算：(3x－1)(2x＋1)＝__ 6x2＋x－1
__．
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ a2－b2 __． 几何背景图：
图 12－3－1
12.3.1 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
12.3.1 两数和乘以这两数的差
[解析] 解题前应该先从整体上观察是否符合公式的结 构特征，特别是符号不要出错，不可盲目套用．
[归纳总结] 结构特征：左边是“两数的和”乘以“这两 数的差”，即左边是两个二项式的积，这两个二项式有一项 完全相同，另一项互为相反数；右边是“这两数的平方差”， 即右边也是一个二项式，这个二项式是平方差的形式，并且 是左边的相．同．项．的平方减去互．为．相．反．数．项．的平方．
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时18分22.4.1218:18April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时18分13秒18:18:1312 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
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12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3.1 两数和乘以这两数的差
探究新知
活动1 知识准备 1．计算(3x＋9)(2x－5)等于( D) A．5x2＋3x－45 B．6x2－3x＋45 C．5x2＋33x＋45 D．6x2＋3x－45 2．计算：(3x－1)(2x＋1)＝__ 6x2＋x－1
__．
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ a2－b2 __． 几何背景图：
图 12－3－1
12.3.1 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
12.3.1 两数和乘以这两数的差
[解析] 解题前应该先从整体上观察是否符合公式的结 构特征，特别是符号不要出错，不可盲目套用．
[归纳总结] 结构特征：左边是“两数的和”乘以“这两 数的差”，即左边是两个二项式的积，这两个二项式有一项 完全相同，另一项互为相反数；右边是“这两数的平方差”， 即右边也是一个二项式，这个二项式是平方差的形式，并且 是左边的相．同．项．的平方减去互．为．相．反．数．项．的平方．
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时18分22.4.1218:18April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时18分13秒18:18:1312 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
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平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一个单 项式或多项式。
-
12
-
13
1、[x+(y+1)] [x-(y+1)] 2、(a+b+c) (a+b-c) 3、(a+b+ (a-b-c)
4、(x+3) (x-3) (x2+9) (x4+81)
-
14
谢 谢!
-
15
-
9
能力训练
给出下列算式:
32－12=8 =8×1； 52－32=16=8×2； 72－52=24=8×3； 92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2）用含n的式子表示出来（2n+1)2－ (2n－1)2=8n （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 8016
(2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1
-
2
计算
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差
想想看除了用多项式乘以多项式的
一般方法证明此公式，你还有其他
方法吗？
-
3
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
此时n = 1002 .
提示:根据2005=2n+1或2003=-2n-1求n
10
▪ 200004×199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984
-
11
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差。
你能用简单方法计算下列问题吗？
(1)、1002×998 (2)、 200004×199996
《乘法公式──平方差公式》
-
1
观察下列多项式，并进行计算，你 能发现什么规律？
(x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4
-
7
试一试：
( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2)
a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4
-
8
逆向思维训练：
1、（n+m )( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
(1)(x+2)(x-2)= x2-2 x2-4
(2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4 4-9a2
-
6
快乐学习2：
计算
102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996
(y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
a
a
a-b a-b
b a-b b
a
-
b
4
快乐学习1：
运用平方差公式计算
( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2
-
5
下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？
-
12
-
13
1、[x+(y+1)] [x-(y+1)] 2、(a+b+c) (a+b-c) 3、(a+b+ (a-b-c)
4、(x+3) (x-3) (x2+9) (x4+81)
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谢 谢!
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15
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9
能力训练
给出下列算式:
32－12=8 =8×1； 52－32=16=8×2； 72－52=24=8×3； 92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2）用含n的式子表示出来（2n+1)2－ (2n－1)2=8n （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 8016
(2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1
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2
计算
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差
想想看除了用多项式乘以多项式的
一般方法证明此公式，你还有其他
方法吗？
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3
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
此时n = 1002 .
提示:根据2005=2n+1或2003=-2n-1求n
10
▪ 200004×199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984
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(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差。
你能用简单方法计算下列问题吗？
(1)、1002×998 (2)、 200004×199996
《乘法公式──平方差公式》
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1
观察下列多项式，并进行计算，你 能发现什么规律？
(x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4
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试一试：
( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2)
a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4
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8
逆向思维训练：
1、（n+m )( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
(1)(x+2)(x-2)= x2-2 x2-4
(2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4 4-9a2
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6
快乐学习2：
计算
102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996
(y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
a
a
a-b a-b
b a-b b
a
-
b
4
快乐学习1：
运用平方差公式计算
( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2
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5
下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？