3.1.2空间向量共面定理

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高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理4121数学

A1
B1
C1
长方体AC1中，
AB, AD, AC在同一
D
A
平面内
C
A1B1 A B
B
A1D1 A D
此时我们称 A1B1,A1D 1,AC是共面向量.
12/12/2021
第八页，共二十三页。
追踪(zhuīzōng)训练1(P86
1)
D
M N
A B
如图，在四面体PABC中，点M，N分别(fēnbié)为PA，PB 的中点，问：
p
p 与 a， b共面
pxayb
a
α
b Ma
xa
p
A
yb
P
平面向量基 (xià nglià ng)
本定理
(
） 12/12/202x1iàn)
a , b 不共线(ɡònɡ
第十一页，共二十三页。
互动探 (hù dònɡ)
究
b
p
pxayb
p与a， b共面
a
α
b Ma
xa
A
yb
C M N 和 B C ，A C
是否共面？
12/12/2021
第九页，共二十三页。
由此及彼(yóu cǐ
jí bǐ)
问题1：空间任意一个向量 p 与两个不共线向量 a , b 共面时，它们之
间存在怎样的关系呢？
b
p
a
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第十页，共二十三页。
互动探 (hù dònɡ)
究
b
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第二十页，共二十三页。
柳暗花明(liǔ àn huā
míng)
平面向量基本定理：

3.1.2空间向量基本定理【2014年】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM xOA ＋ 1 OB ＋ 1 OC ,则x的值为： D
C OG 1 a b 1 c 2 2
4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M 和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使 MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

解：在△OMG中，
O
M A
G
OG OM MG
1 2 OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
间的一个基底.如： a , b, c

看书P84
空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理）如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p xe1 ye2 ze3
证明:（1）先证存在性
设e1， e2， e3是三个不共面的向量过，空间一点 O作OA e1， OB e2， OC e3， OP p， P 过点P作直线PP’∥OC，交平面 C OAB于点P’； O B B’ 在平面OAB内，过点P’作直线 A P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别 A’ P’ 交直线OA，OB于点A’，B’. 存在实数则(x,y,z),使 OA, xOA xe1 OB , yOB ye2 OC , zOC ze3 p xe1 ye2 ze3

高中数学人教B版选修2-1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教B版选修2－1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
通过本节学习理解向量共线的条件,共面向量定理和空间向量基本定理.
能够判定空间向量是否共面.
了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
2.过程与方法
通过对空间向量基本定理的学习,让学生体验数学定理的产生、形成过程,体验定理所蕴含的数学思想.
3.情感态度与价值观
事物之间可以相互转化,渗透由特殊到一般的思想,通过对空间向量基本定理的运用,增强学生的应用意识.
2学情分析
立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上,发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

立体几何是中学数学的一个难点,学生普遍反映“几何比代数难学”。

但很多学好这部分的同学,又觉得这部分很简单。

立体几何中抓住向量这个重要工具
如点到直线的距离,抓住直线的方向向量;找二面角的平面角而不是二面角,二面角的平面角等于二面角的大小.具体你可以,比如先求平面的法向量,那么两个平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。

求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。

对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。

不断总结,才能不断高。

3重点难点
重点:共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理.
难点:空间向量分解定理.。

3.1.2共线与共面

对空间任意一点O，存在实数对x、y，z，使
OP xOA yOB zOC （其中x+y+z=1）
作业：教辅第23页~第26页,活页课时作业十一
教材31页练习:
1. 空间四边形ABCD中,连结AC、BD， M、G分别是BC、CD边的中点,化简：
A
（） AB BC CD AD 1
A1
A2
A3 An
An1
A4
4. 平行六面体：平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量 a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体.
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1
B1
C1
D
B
C
C
AB AD AA1 AC1
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱.
于是点 P在平面MAB内，向量p // 平面MAB .
即向量 p 与 a 、共面 . b
(3)共面向量定理: 如果两个向量a、b 不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使 B b p A A'
P
M
a
p = xa + yb.
ห้องสมุดไป่ตู้.O
推论:空间一点P 位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 即 OP (1 x y )OM xOA yOB （平面MAB的向量表达式）
证明：( 2) EF OF OE
k (OB OA)
k AB

课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）

∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D，则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．

3.1.2空间向量

A
O
a
l
BP
注:非零向量 a 叫做方向向量. 直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ∈ R ,使 AP = t a . ∴ 点 P 在直线 l 上唯一实数 t ∈ R, 使 AP = t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP = OP OA , 则点 P 在直线 l 上唯一实数 t ∈ R, 使 OP = OA + t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB = a
一平面内的任一向量 a , 存在唯一的一对实数 t1 , t 2 使
a = t1 e1 + t 2 e2 .
a
e2
M
C
e2
e1
O
a
N
e1
进行分解, 对向量 a 进行分解, OC = OM + ON = t 1 e 1 + t 2 e 2
12
类似地, 空间向量基本定理向量基本定理: 类似地,有空间向量基本定理:
∴ OP OA = y (OB OA) + z (OC OA) ∴ AP = y AB + z AC B C 共面. ∴点 P 与 A , , 共面
10
试证明:对于不共线的三点 B C 试证明:对于不共线的三点 A, , 和平面 ABC 外的一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP = xOA+ yOB + zOC ,则充要条件是点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x + y + z = 1 . 证明: 证明:⑴充分性
上一节,我们发现: 上一节,我们发现: 1.空间一空间一点 1.空间一点 P 在直线 AB 上的充要条件是 ________________________________. 唯一实数 t ∈ R, 使 AP = t AB

第3章 3.1.2 共面向量定理

→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一向量共面的判定例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三空间四点共面的条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.

3.1.2空间向量的共线与共面

例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数使

3.1.2空间向量的基本定理

O
由①知
E G kA C
A
H
D
C
E G // A C E F // A B
B
G
由面面平行判定定理的推论得：
面 E G // 面 A C
E
F
16
课外思考题: 如图 , 已知空间四边形 ABCD 中 , 向量 AB a , AC b , AD c ,若 M 为 BC 的中点, G 为
(D)
1
3
18
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是：C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
规定: o
与任一向量 a
是共线向量.
≠0
），
7
思考
:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a
的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A

l
注:非零向量 a
a
BP
叫做直线 l 的方向向量.
O ⑴∵ A P // a ,∴存在唯一实数 t R
p
P
B
12
思考 1:如图,平面
b 的非零向量 a 、
为经过已知点 A 且平行两不共线
p
的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
C b A a
呢?
P

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：、、可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内．问题2：，，三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC1A1内．问题3：、、三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51][例1] 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋； ③若＝12(＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面．⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5，∴r ＝3p －5q .∴p 、q 、r 共面.[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：与、共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用、线性表示出即可． [精解详析] ∵＝＋＋＝＋＋13＋23＝(＋13)＋(＋23)＝＋＋＋＝＋， ∴与、共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量＝x ＋y 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表示.3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量，，是共面向量．证明：法一：＝＋＋＝12－＋12 ＝12(＋－＝12－. 由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．法二：连接A1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴，，都与平面A 1BD 平行． ∴，，是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足＝k ，＝k (0≤k ≤1)．求证：与向量，共面．证明：如图，在封闭四边形MABN 中，＝＋＋.① 在封闭四边形MC 1CN 中，＝＋＋② ∵＝k ， ∴＝k (＋)∴(1－k )＝k ，即(1－k )＋k ＝0，同理(1－k )＋k ＝0.①×(1－k )＋②×k 得＝(1－k )＋k ， ∵＝－，∴＝(1－k )－k ，故向量与向量，共面.[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使＝x ＋y 即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量与向量、共面即可． [精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：＝＋＝＋12(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设＝a ，＝b ，＝c ，则＝－＝c －a .＝＋＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ，＝＋＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使＝x ＋y .即c －a ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b －12c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－x 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y2c . ∵a ，b ，c 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴＝－.∴、、是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使＝x ＋y .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有＝x ＋y ＋z ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设＝a ，＝b ，＝c ，则＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以＝12＝12(b －a )．因为D 1D 綊C 1C ，所以＝c ，＝＋＝12(b －a )＋c .＝－12(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，使＝x ＋y ，所以c －a ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(b －a )＋c －y ·12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋x c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线，所以x ＝1，12(x ＋y )＝1，且x －y 2＝0，即x ＝1，y ＝1.所以＝＋，所以，，是共面向量，又因为不在，所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有＝23，＝23，＝23，＝23. ∵MNQR 为平行四边形， ∴＝－＝23－23＝23＝23(＋)＝23(－)＋23(－) ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫32 PF －32 PF ＋23⎝⎛⎭⎪⎫32 PH －32 PF＝＋.∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0.若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使＝x ＋y .[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量＝15＋23＋λ确定的点P与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面， ∴＝α＋β， ∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β ＝(1－α－β)＋α＋β， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若＝x ＋y ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.解析：＝－＝＋－(＋)＝＋23－－13＝－＋13∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，＝i －2j ＋2k ，＝2i ＋j －3k ，＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量、、共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a ＋b ＋c ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，＝13＋13＋13，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：＝－＝－23＋13＋13＝13(－)＋13(－)＝13(＋)．令BC 中点为D ，则＝23，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足＝13＋13＋13.判断，，三个向量是否共面．解：(1)由已知得＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－， ∴，，共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，x ＋3y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝7，z ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面．法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以＝12(＋)＝12(＋＋＋＋)＝12(2＋＋＋)．因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ，所以2＋＝0，所以＝12(＋)＝12＋12.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．由于FH 不在平面EDB 内，所以FH ∥平面EDB。

3.1.2共线与共面用)

浙江省玉环县楚门中学吕联华
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量 a , b ( b o ), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB( x y 1)
中点公式：
1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2
A
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A D B C A1 D1 B1 C1
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA－MB
求证：
OA

OB

OC

OD
k,
D
B H F
C
G
A ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
E
例5 (课本例)已知

《3.1.2 共面向量定理》教案

《3.1.2 共面向量定理》教案教学目标1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;2. 理解共线向量定理和共面向量定理3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.教学重难点掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;教学过程一､课前准备1:什么叫空间向量共线?空间两个向量,a b, 若b是非零向量,则a与b平行的充要条件是2:直线AB,点O是直线AB外一点,若1233OP OA OB=+,试判断A,B,P三点是否共线?二､新课导学※探究指引探究任务一:空间向量的共面新知:如何理解共面向量?问题:空间任意两个向量不共线的两个向量,a b有怎样的位置关系?空间三个向量又有怎样的位置关系?2. 空间共面向量定理:定理:对空间两个不共线向量,a b,向量p与向量,a b共面的充要条件是存在, 使得.试试:若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式111236OP OA OB OC=++,则点P与A,B,C共面吗?反思:若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面,则x y z++=.※动手试试下列等式中,使M,A,B,C四点共面的个数是①;OM OA OB OC=--②111;532 OM OA OB OC =++③0;MA MB MC++=④0OM OA OB OC+++=. ※典型例题例1已知矩形ABCD 和ADEF 所在的平面互相垂直,点M ､N 分别在BD,AE 上, 且分别是距B 点､A 点较近的三等分点,求证:MN//平面CDE例2 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G ,H,并且使,OE OF OG OH k OA OB OC OD==== 求证:E,F,G,H 四点共面.巩固练习已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点,求证:E,F,G,H 四点共面.AB DE FMN A BC D F EGH三､总结提升※学习小结共面向量定理。

3.1.2共线向量与共面向量

OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线其中 x y 1
3：直线的方向向量定义：与直线L平行的非零向量叫做直线L的方向向量 L 显然：一条直线的方向向量不是唯一的有了直线的方向向量这一概念立体几何中很多问题就可以用向量的知识和方法解决，如证空间中的两直线平行，只需证它们的方向向量平行就可以了，计算两异面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。

3.1《空间向量及其运算--共线共面》教案2(新人教选修2-1)

3.1.2空间向量及其运算(二)教学目的：⒈了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．授课类型：新授课. 课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b=+=+u u u r u u u r u u u r vr ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABC D 平移向量a ρ到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABC D －D C B A ''''.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱. 4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．CBAOb b b aaaC'B'A'D'DABC向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ρ＝λa ρ.这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a ρ的非零要求．二、讲解新课： 1.共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a ρ平行于b ρ记作b a ρϖ//．和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 2．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ的充要条件是存在实数λ，使aρ＝λb ρ.推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a ρ的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+u u u r u u u r a ρ．其中向量a ρ叫做直线l 的方向向量.由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可．推论证明如下：∵ l //a ρ∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =u u u r a ρ．(*)又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r， ∴ OP OA t -=u u u r u u u r a ρOP OA t =+u u u r u u u r a ρ．①若在l 上取AB =u u u r a ρ，则有OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r．(**) 又∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r∴()OP OA t OB OA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r (1)t OA tOB =-+u u u r u u u r．②当21=t 时，1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ．③。

19-20版第3章 3.1 3.1.2 空间向量的基本定理

3．1.2 空间向量的基本定理学习目标核心素养1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点)3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.1.通过共线、共面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2.借助空间向量分解定理及任一空间向量可用一组基向量线性表示提升数学运算素养.1．共线向量定理与共面向量定理 (1)共线向量定理两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝xb . (2)向量共面的条件①向量a 平行于平面α的定义已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α.②共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量． ③共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb .2．空间向量分解定理 (1)空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.(2)基底如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量[答案] A2．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[只有②为真命题．]3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．x＝y＝z＝0[若x≠0，则a＝－yx b＋zx c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y ＝z＝0.]向量共线问题【例1】如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．判定两向量共线就是寻找x 使a ＝xb (b ≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a ＝xb ，从而得a ∥b .1．如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形． [证明] ∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.共面向量定理及应用试证：EF →与BC →、AD →共面．[解] 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，则EF →＝EA →＋AD →＋DF →， EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →， DF →＝－CF →，②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →.所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.2．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] ∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心， ∴M ，N ，Q ，R 为所在边的中点，顺次连接M ，N ，Q ，R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. ∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PF →－32PE →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PH →－32PE →＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E ，F ，G ，H 四点共面.基底的判断及应用1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ [提示] 不唯一，不共面． 2．怎样理解空间向量基本定理？[提示] (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．(3)拓展：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面．【例3】 (1)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．(2)如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.[思路探究] (1)判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示出来．[解] (1)假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面．则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎨⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． (2)AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BB ′→＋BC →)＝AB →＋12BB ′→＋12(AC →－AB →)＝b ＋12a ＋12(c －b )＝b ＋12a ＋12c －12b＝12a ＋12b ＋12c . AN →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′N → ＝AA ′→＋A ′B ′→＋12B ′C ′→＝a ＋b ＋12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a ＋b ＋12(c －b )＝a ＋12b ＋12c .1．(变换条件)若把本例3(2)中的AA ′→＝a 改为AC ′→＝a ，其他条件不变，则结果又是什么？[解] AM →＝AB →＋BM → ＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(AC ′→－AB →)＝b ＋12(a －b )＝12a ＋12b . AN →＝AC ′→＋C ′N → ＝AC ′→＋12C ′B ′→＝AC ′→－12B ′C ′→＝AC ′→－12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a －12(c －b )＝a ＋12b －12c .2.(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P 在线段AA ′上，且AP ＝2PA ′”，试用基底{a ，b ，c }表示向量MP →.[解] MP →＝MC ′→＋C ′A ′→＋A ′P → ＝12BC ′→－A ′C ′→－13AA ′→ ＝12(BB ′→＋BC →)－AC →－13AA ′→ ＝12[AA ′→＋(AC →－AB →)]－AC →－13AA ′→ ＝12(a ＋c －b )－c －13a ＝16a －12b －12c .用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．1．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A ，B ，M ，N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ， ∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ≠kc ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．]2．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →.] 4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．13 [因为点M 在平面ABC 中，即M ，A ，B ，C 四点共面，所以x ＋13＋13＝1，即x ＝13.]课时分层作业(十九) 空间向量的基本定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中正确的个数是 ( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p 存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .④若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 B [①中当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面．]2．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定 C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面，∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C.] 3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .所以应选B.] 4．设O -ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 A [连接AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点， AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)． ∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，∴OG ＝34OG 1，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.] 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] A 二、填空题6．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB →与CD →是共线向量； ②若A ，B ，C ，D 不在一直线上，则AB →与CD →不是共线向量；③若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ④若向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上． ①④ [①为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量AB →，CD →的方向相同或相反，因此AB →与CD →是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB →，CD →的方向不确定，不能判断AB →与CD →是否为共线向量；③为假命题，因为AB →，CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为AB →，AC →两个向量所在的直线有公共点A ，且AB →与AC →是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故填①④.]7．已知空间的一个基阿底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]8．如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1 [DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1.]三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎨⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 10．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.[解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . [能力提升练]1.如图，空间四边形ABCD 中，点G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，则AG →＋13BE →＋12CA →的化简结果为( )A.AF →B.AH →C.AE →D.CF →A [∵G 是△BCD 的重心， ∴|GE →|＝13|BE →|，∴GE →＝13BE →.又EF →＝12CA →，∴AG →＋13BE →＝AG →＋GE →＝AE →，AE →＋EF →＝AF →，从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.设AB →＝a ，AD→＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →为________．－13a ＋13b ＋13c [如图所示，连接AN ，则MN →＝AN →－AM → ＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .]。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理1121数学

O P xO A yO B zO （ C其 x中 yz， 1)
第十页，共十三页。
应用1.已知点M在平面ABC内，并且(bìngqiě)对空间任
意一点O， OMxOA＋ 1 3OB＋ 1 3O ,C 则x的值为：
应用2.已知A、B、C三点不共线(ɡònɡ xiàn)，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
注:
1.
2.
若由向ap ,量b 不x共aa , 线by 线((ɡb òn性ɡ xi表àna);示,不Abb;共Ca 线B (ɡònɡ
p
P
xiàn)),则称向量 p
3. 与平面向量基本定理形式同，实质也同。
第七页，共十三页。
例1 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于
AD，点M,N分别在对角线BD,AE上，且
( 1 )O P 2 O A 1 O B 2 O C;
5
5
5
( 2 ) O P 2 O A 2 O B O C ；
第十一页，共十三页。
小结(xiǎojié)
本节课的收获(shōuhuò)：
1.共面向量的定义(dìngyì)； 2.共面向量定理；
3.判断、证明线面平行；
4.理解空间四点共面证明方法.
第十二页，共十三页。
内容总结 (nèiróng)
3.1.2共面向量定理。这一平面(píngmiàn)内的任一向量，有且只有一对。共面向量:能平移到同一平面(píngmiàn)内的向量,叫做共面向量.。例1 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面(píngmiàn)相交于AD，
No 点M,N分别在对角线BD,AE上，且。的三点P ,A,B是否共线。例2 设空间任意一点O和不共线三点A、B、

3.1.2(2)共面向量定理

b
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
C 在平面内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面上是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
∵ OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
7
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
3
共面向量定理的剖析
如果两个向量
a，b 不共线,
存在唯一的一对实数x， y，使 c＝xa＋yb
★ 向量c与向量a，b共面
★ c ＝xa ＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
4
思考 1:如图,平面为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
9
例2 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）
D
O
EG OG OE kOC kOA
C 在平面内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面上是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③

高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.2 共面向量定理课件

[预习导引]
1.共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 2.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量 p 可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
3.1.2 共面向量定理
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3.空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x、y、z 使得O→A＝xO→B＋yO→C＋zO→D，且 x、y、z 满足 x ＋y＋z＝1，则 A、B、C、D共面 .
又MN不在平面ABB1A1内，∴MN∥平面ABB1A1.
3.1.2 共面向量定理
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要点三向量共线、共面的综合应用例3 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA， PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB， △PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G， H四点共面.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.
3.1.2 共面向量定理
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规律方法在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过程和证明步骤.
3.1.2 共面向量定理