高二月考 12.20
湖北省武昌2023-2024学年高二12月月考数学试题含答案
湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷(答案在最后)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =,其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选:C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,4512a a =,则94S S =()A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯,进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =,∴()4412a a d =+,解得:4a d =,52a d =.∴4132a a d d =-=-,∴14a a d +=-.∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯.故选:D .3.设椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ,12||F F =P 是C 上一点,若12PF PF a -=,且121sin 3PF F ∠=,则椭圆C 的方程为()A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =,由椭圆的定义得到122PF PF a +=,结合12PF PF a -=,求得123,22aPF PF a ==,然后在12PF F △中,由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =,P 是C 上一点,由椭圆的定义得:122PF PF a +=,又12PF PF a -=,所以123,22aPF PF a ==,又121sin 3PF F ∠=,则12cos 3PF F ∠=,所以在12PF F △中,由余弦定理得:2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠,即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得:2440a a -+=,解得2a =,则2222b a c =-=,所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选:D4.已知O 为坐标原点,F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点,过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P,线段PF 上存在不同的两点A,B 满足FA BP =,且OA OB =,则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F ',连接PF ',取AB 的中点M ,可得M 为FP 的中点,运用中位线定理和双曲线的定义,结合离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的右焦点为'F ,连接'F ,取AB 的中点M ,由|FA |=|BP |,可得M 为FP 的中点,|OA |=|OB |,可得OM ⊥AB ,由∠PFO =30°,可得'2PF OM c ==,即有230PF ccos ︒==,﹣c =2a ,即有ec a ===1,故选D .【点睛】本题考查双曲线的定义和性质,主要是离心率的求法,注意运用三角形的中位线定理和勾股定理,考查运算能力,属于中档题.5.对于集合,A B ,定义{A B x x A -=∈,且}x B ∉.若{|21,N}A x x k k ==+∈,{|31,N}B x x k k ==+∈,将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ,则730a a +=()A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项,找出集合A B -中元素的特征,进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ,所以{}3,5,9,11,15,A B -= ,所以721a =.A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数,其前45项包含了15个这样的数,所以3089a =.则730110a a +=,故选:C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交C 于P ,Q 两点,PH l ⊥于H ,若HF PF =,O 为坐标原点,则PFH △与OFQ 的面积之比为()A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件,求出直线PQ 的方程,与抛物线方程联立求出PF ,QF 的长即可求解作答.【详解】依题意,由PH l ⊥于H ,得||P H H P F F ==,即PFH △是正三角形,60PFx FPH ∠=∠= ,而(2,0)F ,则直线PQ 的方程为2)y x =-,由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消去y 并整理,得2320120x x -+=,令1122(,),(,)P x y Q x y ,解得1226,3x x ==,又准线:2l x =-,因此128||28,||23PF x QF x =+==+=,所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选:C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知数列{}n a 满足:22ππcos sin 33n n n a =-,记()31n n b n a =-,n *∈N ,则数列{}n b 的前60项和是()A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列,采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ,()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭,∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列,又12π1cos32a ==-,24π1cos 32a ==-,3cos 2π1a ==,{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选:C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点,则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上,由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时,由题意知:0,0m n ><,椭圆221:113x y C m n+=+-中,22111,3a m b n =+=-,则2221112c a b m n =-=+-;双曲线222:1x y C m n-=-中,2222,a m b n ==-,则222222c a b m n =+=-;由题意,2m n m n +-=-,解得1n =,这与0n <矛盾;当焦点在y 轴上时,由题意知10,03m n -<<<<,椭圆221:131y x C n m +=-+中,22113,1a n b m =-=+,则2221112c a b m n =-=--+;双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-,2222,a n b m ==-,则222222c a b n m =+=-;由题意,2m n n m --+=-,解得1n =,双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<,所以11m ->1>,即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ,故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1263a a S +=,则()A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=,用基本量表示得160a d +=,然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯,化简整理得160a d +=,所以70a =,选项A 正确;261266a a a d d +=+=-,817a a d d =+=,由于0d ≠,所以268a a a +≠,故选项B 不正确;113137131302a S a a +=⨯==,故选项C 正确;1666212a a S d +=⨯=-,1888202a aS d +=⨯=,由于0d ≠,所以68S S ≠,故D 不正确.故选:AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-(R k ∈),则下列说法正确的是()A.当06k <<时,曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数,使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ,使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ;根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ;根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围,再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上,由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ;根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围,再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ,进而可得正确选项.【详解】对于A ,当3k =时,曲线C 为223x y +=,曲线C 表示圆,故选项A 不正确;对于B ,曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线,则060k k <⎧⎨->⎩,可得0k <,若0k <,则060k k <⎧⎨->⎩,曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线,所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件,故选项B 正确;对于C ,假设存在实数k ,使得曲线C的离心率为2,曲线C 表示椭圆,则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩,可得:(0,3)(3,6)k ∈⋃,若椭圆焦点在x 轴上,由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩,可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭,可得4k =符合题意,若椭圆焦点在y 轴上,由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩,可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭,可得2k =符合题意,所以存在2k =或4,使得曲线C的离心率为2,故选项C 正确;对于D ,假设存在实数k ,使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线,此时有(6)0k k ⋅-<,得0k <或6k >,当0k <时,6k k -=-,无解;当6k >时,(6)k k =--,无解,所以满足题意的实数k 不存在,故选项D 不正确.故选:BC.11.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有()A.若100S =,则50a >,60a <;B.若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C.若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D.若89S S <,则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案.【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <,所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=,根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <,所以50a >,60a <,故A 正确;对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >,所以890,0a a ><,所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===,所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确;对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >,116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <,所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >,所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确,故选:ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ,准线l 交x 轴于点D ,直线m 过D 且交C 于不同的A ,B 两点,B 在线段AD 上,点P 为A 在l 上的射影.线段PF 交y 轴于点E ,下列命题正确的是()A .对于任意直线m ,均有AE ⊥PFB.不存在直线m ,满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ,直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ,使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断;B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标,再说明,,D B A 三点共线,即存在直线m 即可;C 选项设()11,A x y ,表示出直线AE ,联立抛物线,利用Δ0=即可判断;D 选项设出直线m ,联立抛物线得到121=x x ,通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项,如图1,由抛物线知O 为DF 的中点,l y ∥轴,所以E 为线段PF 的中点,由抛物线的定义知AP AF =,所以AE PF ⊥,所以A正确;B 选项,如图2,设()11,A x y ,()22,B x y ,12x x >,(1,0)F ,1(1,)P y -,E 为线段PF 的中点,则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ,由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解得213x =,123y y =,又2211224,4y x y x ==,故13B ⎛ ⎝,(3,A ,又(1,0)D -,可得233312DA k ==+,31213DB k==+,故存在直线m ,满足2BF EB =uu u r uu r ,选项B 不正确.C 选项,由题意知,E 为线段PF 的中点,从而设()11,A x y ,则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线AE 的方程:()1112y y x x x =+,与抛物线方程24y x =联立可得:211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由2114y x =代入左式整理得:22311120y y y y y -+=,所以43111440y y y ∆=-=,所以直线AE 与抛物线相切,所以选项C 正确.D 选项,如图3,设直线m 的方程()()10y k x k =+≠,()11,A x y ,()22,B x y ,12x x >,由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩,得()2222240k x k x k +-+=.当()224224416160k k k ∆=--=->,即11k -<<且0k ≠时,由韦达定理,得212242k x x k-+=,121=x x .因为11AF x =+,21BF x =+,所以12224AF BF x x +=++≥=,又12x x ≠,2DF =,所以2AF BF DF +>成立,故D 不正确.故选:AC .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题,提出:一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共2升,下面3节的容积共3升,则第5节的容积为______升.【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ,可得{}n a 为等差数列,根据42S =,7893a a a ++=,可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ,可得{}n a 为等差数列,则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩,解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故()13111n n a a n d +=+-=,518411a a d =+=,故答案为:811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>,的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数,则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率,得到双曲线的离心率,求出双曲线渐近线,由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==,所以2c '==,即椭圆的焦点为(20)±,,所以12c e a ''==',由题意知双曲线的离心率12c e a e ====',所以223b a=,故双曲线的渐近线方程为y =,不妨取椭圆左焦点(2,0)-,则由点到直线距离可得232d ==,,15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过F 的直线交抛物线于,A B 两点(A 在x 轴上方),延长BO 交抛物线的准线于点C ,若||3||,||3AF BF AC ==,则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质,即可求得直线AB 的斜率,求得直线AB 的方程,代入抛物线方程,求得直线OB 的方程,即可求得C 点坐标,即可求得p 的值,求得抛物线方程.【详解】由题意得:,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,当直线AB 的斜率不存在时,AF BF =,因为3AF BF =,所以直线AB 的斜率存在,因为A 在x 轴上方,所以直线AB 的斜率大于0,设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,0k >,与抛物线方程联立可得:()22222204k p k x k p p x -++=,()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立,设()()1122,,,A x y B x y ,则1222p x x p k +=+,2124p x x =,由抛物线定义可知:12,22p p AF x BF x =+=+,因为3AF BF =,所以123322p px x +=+,即123x x p =+,将123x x p =+代入1222p x x p k +=+,2124p x x =中,222p x k =,()22243p x x p =+,所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝,解得:23k =,因为0k >,所以k =则2123,362p x x x p p ==+=,12,3y y p ∴==-,所以36OB pk p -==-,所以直线OB方程为y =-,当2px =-时,C y =,1C y y ∴=,∴直线AC 与x 轴平行,3322p AC p ∴=+=,∴32p =,23y x ∴=.故答案为:23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程:22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数,且m n <时,存在两条曲线m C 、n C ,其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥,写出满足题意的所有有序实数对(,)m n :_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩,26m n =⎧⎨=⎩,35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义,易得到1C ,2C ,3C 是椭圆,5C ,6C ,7C ,8C 是双曲线,从而根据题意可得{1m ∈,2,3},{5n ∈,6,7,8},再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=,从而得到答案.【详解】由题意得1C ,2C ,3C 是椭圆,5C ,6C ,7C ,8C 是双曲线,结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点,从而m n <时,存在两条曲线m C 、n C 有交点P ,必然有{1m ∈,2,3},{5n ∈,6,7,8},设11||PF d =,22||PF d =,则由椭圆与双曲线的定义可得,12d d +=,12||d d -=,且12PF PF ⊥,12F F =,故221220d d +=,即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩,所以存在两条曲线m C 、n C ,且17m n =⎧⎨=⎩,26m n =⎧⎨=⎩,35m n =⎧⎨=⎩.故答案为:17m n =⎧⎨=⎩,26m n =⎧⎨=⎩,35m n =⎧⎨=⎩.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中,131a =,12n n a a +=-,(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】(1)332n a n =-,232n S n n=-(2)221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】(1)根据条件可得数列是等差数列,利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案;(2)先找出数列正负的分界线,分类讨论,去掉绝对值,把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-,即12n n a a +-=-,所以数列{}n a 是等差数列,所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-,231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤,12n n T a a a =+++ ;当16n ≤时,2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ;当16n >时,()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得,221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ,圆C :226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为,求直线l 的方程;(2)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ,B 两点,过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ,这样的实数a 是否存在,若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)3460x y +-=或2x =(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)设出直线方程,求出圆心到直线的距离,由勾股定理得弦长求得参数,注意考虑直线斜率不存在的情形;(2)过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ,则圆心在直线2l 上,由此可得直线2l 的斜率,然后由垂直求得a ,由直线与圆相交求得a 的范围,比较可得.【小问1详解】∵点()2,0P ,直线l 过点P ,∴设直线l 的斜率为k (k 存在),则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-,半径3r =,由弦长为,故弦心距1d =1=,解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--,即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时,l 的方程为2x =,经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=,即1y ax =+.代入圆C 的方程,消去y ,整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ,B 两点,故()()223613610a a ∆=--+>,即720a ->,解得0a <.设符合条件的实数a 存在,由于2l 垂直平分弦AB ,故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-,而1AB PC k a k ==-,所以12a =.由于()1,02∉-∞,故不存在实数a ,使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+(,p r 为常数),其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)若1,0p r ==,求证:{}n a 是等差数列;(2)若11,23p a ==,求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析;(2)2n a n n =+.【解析】【分析】(1)把1,0p r ==代入,结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.(2)把13p =代入,结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系,再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时,n n S na =,当2n ≥时,()111n n S n a --=-,两式相减,得1(1)n n n a na n a -=--,整理得10n n a a --=,所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时,1()3n n S n r a =+,令1n =,而12a =,得113r +=,解得23r =,于是12()33n n S n a =+,当2n ≥时,1111()33n n S n a --=+,两式相减,得111()312(333n n n a n n a a -+=-+,整理得1(1)(1)n n n a n a --=+,即111n n a an n -=+-,因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-,数列{}(1)n a n n+是常数列,从而11(1)21n a a n n ==+⨯,2n a n n =+,显然12a =满足上式,所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C :22x a-y 2=1(a >0)与直线l :x +y =1相交于两个不同的点A ,B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(2)设直线l 与y 轴的交点为P ,且512PA PB =,求a 的值.【答案】(1)e >62且e ;(2)a =1713.【解析】【分析】(1)由直线与双曲线联立得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0,结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩,,从而可得离心率范围;(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由512PA PB = 可得x 1=512x 2,由根与系数的关系可得-2221a a-=28960,从而得解.【详解】(1)将y =-x +1代入双曲线22x a -y 2=1中,得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩,解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e=a =,∴e>2且e.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).有P (0,1).∵512PA PB = ,∴(x 1,y 1-1)=512(x 2,y 2-1).由此得x 1=512x 2.由于x 1,x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,因此由根与系数的关系,得1712x 2=-2221a a -,51222x =-2221a a-.消去x 2,得-2221a a -=28960.由a >0,得a =1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化,直线与双曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,属于中档题.21.如图,已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切,点F 关于圆心M 的对称点为F ',点F '的轨迹为H.(1)求曲线H 的方程;(2)一条直线AB 经过点F ,且交曲线H 于A 、B 两点,点C 为直线1x =-上的动点.①求证:ACB ∠不可能是钝角;②是否存在这样的点C ,使得ABC 是正三角形?若存在,求点C 的坐标;否则,说明理由.【答案】(1)24y x =;(2)①证明见解析;②存在,且(1,C -±.【解析】【分析】(1)设(),F x y ',则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,圆M 的直径为FF '=,利用动圆M 与y轴相切,即可求得曲线C 的方程;(2)①设直线AB 的方程为1x my =+,点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -,联立直线AB 的方程与抛物线方程,进而利用韦达定理结合向量的数量积运算,得到0CA CB ⋅≥恒成立,可得结论;②由①知()221,2N m m +,根据CN 与AB 垂直,斜率积为1-,可得324n m m =+,再由CN =,求出m 值.【小问1详解】设(),F x y ',因为点()1,0F 在圆M 上,且点F '关于圆心M 的对称点为F ,则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切,则11122FF x '=+,1x =+,化简得24y x =,所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合,则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点,不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+,设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,可得2440y my --=,216160m ∆=+>,由韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ,同理可得()222,CB my y n =+- ,所以,()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥,故ACB ∠不可能为钝角;②假设存在这样的点C 满足条件,因为()21212242x x m y y m +=++=+,则线段AB 的中点为()221,2N m m +,若0m =,则AB x ⊥轴,此时,直线AB 的方程为1x =,联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩,则AB 4=,此时,NC 位于x 轴上,则122NC AB ==,所以,ABC 为直角三角形,不合乎题意,所以,0m ≠,则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+,可得324n m m =+,则()31,24C m m -+,则(221CN m =+,而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+,由CN =,可得(())2223214112m m m +=+=+,解得m =,所以,存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛:求动点的轨迹方程有如下几种方法:(1)直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程;(2)定义法:如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程;(3)相关点法:用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ,然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程,整理化简可得出动点Q 的轨迹方程;(4)参数法:当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程,即为动点的轨迹方程;(5)交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程.(5)交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0,离心率2e =.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足PF QF ⊥,C 为PQ 的中点,线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点.(ⅰ)求证:A 为BC 的中点;(ⅱ)若35ABO BCF S S =△△(S 为三角形的面积),求直线PQ 的方程.【答案】(Ⅰ)2212x y +=;(Ⅱ)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)3y x =-+.【解析】【分析】(Ⅰ)由已知得1c =,再由e 的值,求a ,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)(ⅰ)设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>,与椭圆方程联立,设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,得出12,x x 的坐标关系,求出点C 坐标,得到PQ 垂直平分线AB 方程,求出点,A B 坐标,即可证明结论;(ⅱ)由35ABO BCF S S =△△结合(ⅰ)的结论,求出点A 的坐标,再由PF QF ⊥,得到,m k 关系,代入A 点坐标,求出,m k 的值即可.【详解】(Ⅰ) 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0,1c ∴=,又离心率,12c e a b a ==∴==,∴椭圆的方程为2212x y +=;(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>,联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y ,得222(21)4220k x kmx m +++-=,222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>,设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++,设PQ 中点00(,)C x y ,则12022221x x km x k +==-+,00221m y kx m k =+=+,即C 点坐标为222(,2121km m k k -++),线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++,令0y =,得2(,0)21km A k -+,令0x =,得2(0,21m B k -+,,22B c B c A A x x y y x y ++== ,A ∴为BC 中点;(ⅱ)由(ⅰ)得A 为BC 中点,()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-,1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+,整理得23140m km -+=,即2134m k m -=,又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ,整理得4261730m m --=,解得23m =或216m =-(舍去),0,3m m k >∴==- ,此时0∆>,∴直线PQ 方程为3y x =-+。
吉林省长春2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷(答案在最后)出题人:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.考试结束后,将答题卡交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I 卷(选择题)一、单选题(本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.下列函数中,与函数1y x =-相同的是()A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A ,B ,C 三所中学抽取60名教师进行调查,已知A ,B ,C 三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C 学校中应抽取的人数为()A.10B.12C.18D.243.已知函数()2xf x x =+,()f x 一定有零点的区间为()A.()23,B.()12,C.()10-,D.()32--,4.已知0.5log 0.4a =,0.60.4b =,0.50.4c =,则()A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=,,动圆P 与圆12C C ,都外切,则动圆圆心P 的轨迹方程为()A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点,()0A ,4,()11B -,,则MA MB +的最小值为()A.B.3C.8D.57.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线2a x c=上一点,若21F PF 是底角为30 的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为()A.12B.2C.34D.458.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点,M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.设m ,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,//n α,则//m nB.若m α⊥,n α⊥,则//m nC.若//m α,m β⊂,则//αβD.若m α⊥,n β⊥,m n ⊥,则αβ⊥10.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,点()00,M xy 在抛物线C 上,若4MF =,则()A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,111.已知曲线22:1C mx ny +=.()A.若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若m =n >0,则C 是C.若mn <0,则C是双曲线,其渐近线方程为y =D.若m =0,n >0,则C 是两条直线12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,长轴长为4,点P 在椭圆C 外,点Q 在椭圆C 上,则()A.椭圆C 的离心率的取值范围是20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时,1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tan 2α=,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.14.已知向量a ,b 满足1a b == ,π,3a b = ,则2a b -= ______.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________.16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若点F 是AC 的中点,且4AF =,则线段AB 的长为_____________四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)以直线y =为渐近线,焦点是(4,0)-,(4,0)的双曲线;(2)离心率为35,短轴长为8的椭圆.18.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E F 、分别是AC PB 、的中点.(1)求证://EF 平面PCD ;(2)求证:平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()34f x x x=+-.(1)求函数()f x 在R 上的解析式;(2)用单调性定义证明函数()f x 在区间)3,+∞上是增函数.20.已知双曲线22:12x C y -=.(1)求与双曲线C 有共同的渐近线,且过点(2,2)-的双曲线的标准方程;(2)若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点,且A 、B 的中点坐标为(1,1),求直线l 的斜率.21.已知函数()3)2sin cos 3f x x x x π=--.(1)求()f x 的最小正周期、最大值、最小值;(2)求函数的单调区间;22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ,且122B B =,过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当k =2时,求△OMN 的面积;(3)求证:直线1B M与直线2B N的交点T 恒在一条定直线上.长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.考试结束后,将答题卡交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I 卷(选择题)一、单选题(本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.下列函数中,与函数1y x =-相同的是()A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即判断这两个函数为相同函数.【详解】解:对于A ,1y x ===-,与函数1y x =-的对应关系不相同,故不是相同函数;对于B ,函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-,函数1y x =-的定义域为R ,两函数的定义域不相同,故两函数不是相同函数;对于C ,两函数的定义域都是R ,且对应关系相同,故两函数为相同函数;对于D ,1y x ==--,与函数1y x =-的对应关系不相同,故不是相同函数.故选:C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A ,B ,C 三所中学抽取60名教师进行调查,已知A ,B ,C 三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C 学校中应抽取的人数为()A.10B.12C.18D.24【答案】A 【解析】【分析】按照分层抽样原则,每部分抽取的概率相等,按比例分配给每部分,即可求解.【详解】A ,B ,C 三所学校教师总和为540,从中抽取60人,则从C 学校中应抽取的人数为609010540⨯=人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法,按比例分配是解题的关键,属于基础题.3.已知函数()2xf x x =+,()f x 一定有零点的区间为()A.()23,B.()12,C.()10-, D.()32--,【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知函数()2xf x x =+在R 上单调递增,因为()()002110,1f f =->=<-,所以在区间()10-,上()f x 一定有零点.故选:C4.已知0.5log 0.4a =,0.60.4b =,0.50.4c =,则()A.a b c << B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】因为0.50.5log 0.4log 0.51a =>=,0.60.500.40.40.41b c =<=<=,所以b c a <<,故选:C.5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=,,动圆P 与圆12C C ,都外切,则动圆圆心P 的轨迹方程为()A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<【答案】A 【解析】【分析】由图结合两圆相外切性质可得122PC PC -=,后由双曲线定义可得答案.【详解】由题可得圆1C 圆心()2,0-,半径为52;圆2C 圆心()2,0,半径为12由图设动圆P 与圆1C ,圆2C 外切切点分别为A ,B .则1,,C A P 共线,2,,C B P 共线.则()1212PC PC PA AC PB BC -=+-+,注意到PA PB =,则12122PC PC AC BC -=-=,又1242C C =>,则点P 轨迹为以12C C ,为焦点双曲线的右支.设双曲线方程为:()222210x y x a b-=>,由题可得222123a c b c a ==⇒=-=,.故相应轨迹方程为:221(0)3y x x -=>.故选:A6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点,()0A ,4,()11B -,,则MA MB +的最小值为()A. B.3 C.8 D.5【答案】D 【解析】【分析】作MC l ⊥,利用定义将MA MB +转化为MC MB +,然后结合图形可得.【详解】易知,抛物线216x y =的焦点为()0A ,4,准线为:4l y =-,作MC l ⊥,垂足为C ,由抛物线定义可知,MA MB MC MB +=+,则由图可知,MC MB +的最小值为点B 到准线l 的距离,即()145--=.故选:D7.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线2a x c=上一点,若21F PF 是底角为30 的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为()A.12B.2C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ,推导出222PF F M =,可得出关于a 、c 的等式,由此可解得该椭圆的离心率.【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ,21F PF △是底角为30 的等腰三角形,260PF M ∠= ,2122PF F F c ==,在2Rt PF M 中,290PMF ∠= ,230MPF ∠=,222PF F M ∴=,P 为直线2a x c =上一点,222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,即222a c =,2c e a ∴==.故选:B .【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:(1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得a 、c 的值,根据离心率的定义求解离心率e 的值;(2)齐次式法:由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程,然后转化为关于e 的方程求解;(3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.8.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点,M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】可得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5,0),2F (5,0),由已知可得当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大,可得答案.【详解】解:易得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5,0),2F (5,0),且这两点刚好为两圆的圆心,由题意可得,当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大,此时PM PN -=21(2)(1)PF PF +--=6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用,判断P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.设m ,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,//n α,则//m nB.若m α⊥,n α⊥,则//m nC.若//m α,m β⊂,则//αβD.若m α⊥,n β⊥,m n ⊥,则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系,逐一分析各选项即可得答案.【详解】解:对A :若//m α,//n α,则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面,故选项A 错误;对B :若m α⊥,n α⊥,则//m n ,故选项B 正确;对C :若//m α,m β⊂,则//αβ或α与β相交,故选项C 正确;对D :若m α⊥,n β⊥,m n ⊥,则αβ⊥,故选项D 正确.故选:BD.10.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,点()00,M xy 在抛物线C 上,若4MF =,则()A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线C :24y x =,可得()1,0F ,故D 错误;由抛物线的定义可得014MF x =+=,所以03x =,故A 正确;因为点()00,Mxy 在抛物线C 上,所以204312y =⨯=,所以0y =±,故B 错误;则OM ===C 正确.故选:AC.11.已知曲线22:1C mx ny +=.()A.若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若m =n >0,则C是圆,其半径为C.若mn <0,则C是双曲线,其渐近线方程为y =D.若m =0,n >0,则C 是两条直线【答案】ACD 【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解,0m n >>时表示椭圆,0m n =>时表示圆,0mn <时表示双曲线,0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,因为0m n >>,所以11m n<,即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确;对于B ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=,此时曲线C 表示圆心在原点,半径为nn的圆,故B 不正确;对于C ,若0mn <,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,此时曲线C 表示双曲线,由220mx ny +=可得y =,故C 正确;对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n=,y n=±,此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;故选:ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,长轴长为4,点P 在椭圆C 外,点Q 在椭圆C 上,则()A.椭圆C的离心率的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时,1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】根据点)P在椭圆C 外,即可求出b 的取值范围,即可求出离心率的取值范围,从而判断A ,根据离心率求出c ,则[]1,QF a c a c ∈-+,即可判断B ,设上顶点A ,得到120AF AF <,即可判断C ,利用基本不等式判断D.【详解】解:由题意得2a =,又点)P在椭圆C 外,则22114b+>,解得b <所以椭圆C的离心率22c e a==>,即椭圆C的离心率的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,故A 不正确;当2e =时,c =1b ==,所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+,即22⎡+⎣,故B 正确;设椭圆的上顶点为()0,A b ,()1,0F c -,()2,0F c ,由于222212·20AF AF b c b a =-=-<,所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=,故C 正确;()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭,当且仅当122QF QF ==时,等号成立,又124QF QF +=,所以12111QF QF +≥,故D 正确.故选:BCD第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tan 2α=,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵tan 2α=,∴tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅,故答案为:-3.14.已知向量a ,b 满足1a b == ,π,3a b = ,则2a b -= ______.【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出2211,2a b a b ==⋅= ,再由公式2a b -=即可得解.【详解】由题意22222211,11a a b b ====== ,π1cos ,11cos 32a b a b a b ⋅==⨯⨯=,所以2a b -====.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为),代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为),所以右焦点到直线y =的距离是32d ==.故答案为:3216.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若点F 是AC 的中点,且4AF =,则线段AB 的长为_____________【答案】163【解析】【详解】设过抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF 的直线交抛物线于点1122(,),(,)A x y B x y ,交其准线:2p l x =-于3(,)2p C y -,因为F 是AC 的中点,且4AF =,所以1122242pp x p x ⎧-+=⨯⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得123p x =⎧⎨=⎩,即(1,0),(3,F A ,则AF的方程为1)y x =-,联立241)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,得231030x x -+=,解得213x =,所以1164133AB AF BF =+=++=.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)以直线y =为渐近线,焦点是(4,0)-,(4,0)的双曲线;(2)离心率为35,短轴长为8的椭圆.【答案】(1)221412x y -=;(2)2212516x y +=或2212516y x +=.【解析】【分析】(1)由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >,0b >),根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a ,b 即可;(2)分椭圆的焦点在x 轴时和y 轴时讨论求解即可.【详解】解:(1)由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >,0b >),由焦点可得4c =,双曲线的渐近线方程为y =,可得ba=,又222+=a b c ,解得2a =,b =,所以双曲线的方程为221412x y -=.(2)当焦点在x 轴时,设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b >>,由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得5a =,4b =,所以椭圆方程为2212516x y +=;当焦点在y 轴时,设椭圆方程为22221y xa b+=(0)a b >>,由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得5a =,4b =,所以椭圆方程为2212516y x +=;所以综上可得椭圆方程为2212516x y +=或2212516y x +=.18.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E F 、分别是AC PB 、的中点.(1)求证://EF 平面PCD ;(2)求证:平面PBD ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接BD ,根据线面平行的判定定理只需证明EF ∥PD 即可;(2)利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥面PAC ,再利用面面垂直的判定定理即证.【小问1详解】如图,连结BD ,则E 是BD 的中点,又F 是PB 的中点,∴//EF PD ,又∵EF ⊄平面PCD ,PD ⊂面PCD ,∴//EF 平面PCD ;【小问2详解】∵底面ABCD 是正方形,∴BD AC ⊥,∵PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PA BD ⊥,又PA AC A = ,∴BD ⊥面PAC ,又BD ⊂平面PBD ,故平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()34f x x x=+-.(1)求函数()f x 在R 上的解析式;(2)用单调性定义证明函数()f x在区间)+∞上是增函数.【答案】(1)()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)设0x <时,则0x ->,根据已知解析式和奇偶性可得0x <时的解析式,再由奇函数性质可知()00f =,然后可得在R 上的解析式;(2)根据定义法证明单调性的步骤:取值,作差,变形,定号,下结论可证.【小问1详解】设0x <时,则0x ->,所以()34f x x x-=---,因为()f x 为奇函数,所以()()34f x f x x x=--=++,又()00f =,所以函数()f x 在R 上的解析式为()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩.【小问2详解】)12,x x ∞∀∈+,且12x x <,则()()()211212*********44x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪⎝⎭()()1212123x x x x x x --=,因为21x x >>1212120,0,30x x x x x x -->,故()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数()f x在)+∞上单调递增.20.已知双曲线22:12x C y -=.(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且过点(的双曲线的标准方程;(2)若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点,且A 、B 的中点坐标为(1,1),求直线l 的斜率.【答案】(1)2212x y -=;(2)12.【解析】【分析】(1)设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠,代入点坐标,求得k ,即可得答案;(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,利用点差法,代入A 、B 的中点坐标为(1,1),即可求得斜率.【详解】(1)因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线,所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠,代入(,得1k =-,所以所求双曲线方程为2212x y -=;(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为A 、B 在双曲线上,所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,(1)-(2)得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+,因为A 、B 的中点坐标为(1,1),即12122,2x x y y +=+=,所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.21.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--.(1)求()f x 的最小正周期、最大值、最小值;(2)求函数的单调区间;【答案】(1)T π=,最大值1,最小值-1;(2)在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增;()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减;【解析】【分析】(1)利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式,进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值;(2)利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可.【详解】(1)())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+,∴2||T ππω==,且最大值、最小值分别为1,-1;(2)由题意,当222232k x k πππππ-≤+≤+时,()f x 单调递增,∴51212k x k ππππ-≤≤+,Z k ∈,()f x 单调递增;当3222232k x k πππππ+≤+≤+时,()f x 单调递减,∴71212k x k ππππ+≤≤+,Z k ∈,()f x 单调递减;综上,当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,()f x 单调递增;()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,()f x 单调递减;【点睛】关键点点睛:应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值;根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ,且122B B =,过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当k =2时,求△OMN 的面积;(3)求证:直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1)2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由122B B =可得1b =,结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==,进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立,设()()1122,,,M x y N x y ,结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=,即可求出MN ,由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ,从而可求出三角形的面积.(3)设()()1122,,,M x y N x y ,联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++,设(),T m n ,由1,,B T M 在同一条直线上,得113n k m x +=+,同理211n k m x -=+,从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=,即可证明交点在定直线上.【详解】解:(1)因为122B B =,所以22b =,即1b =,因为离心率为2,则22c a =,设c =,则2,0a k k =>,又222c a b =-,即22241k k =-,解得2k =或2-(舍去),所以1,c a ==,所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ,由直线的点斜式方程可知,直线l 的方程为22y x -=,即22y x =+,与椭圆方程联立,222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得291660x x ++=,则1212162,93x x x x +=-=,所以MN ==1029,原点到l的距离d ==,则OMN的面积112299S d MN ===.(3)由题意知,直线l 的方程为2y kx -=,即2y kx =+,设()()1122,,,M x y N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则12122286,2121k x x x x k k +=-=++,因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210k k ∆=-+>,则232k >,设(),T m n ,因为1,,B T M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+,因为2,,B T N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+,所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点(),T m n ,由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+,两式进行整理后可求出12n =,即可证明交点在定直线上.。
浙江省宁波市2023学年高二上学期12月月考物理试题含答案
2023学年第一学期镇海12月月考高二年级物理试题(答案在最后)考生须知:1.本试题满分100分,考试时间90分钟。
2.考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上。
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内,答案写在本试题卷上的无效。
选择题部分一、选择题Ⅰ(本大题共13小题,每小题3分,共39分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分,请将你认为正确的答案填涂在答题卡相应位置)1.如图所示是我国自主研发的全自动无人值守望远镜,它安装在位于南极大陆的昆仑站,电力供应仅为1×103W 。
若用国际单位制基本单位的符号来表示W ,正确的是()A.N ・sB.N ・m/sC.kg ・m/sD.kg ・m 2/s 3【答案】D【解析】【详解】A .N 不是国际单位制基本单位,根据冲量的定义I Ft =可知,N s ⋅是冲量的的单位,A 错误;B .根据功率的计算公式P Fv =可知功率的单位可以表示为N m/s ⋅,但N 不是国际单位制基本单位,B 错误;C .根据动量的定义p mv =可知,kg m/s ⋅是动量的单位,C 错误;D .根据P Fv =可知功率的单位可以表示为N m/s ⋅,结合F ma =可知2N kg m/s =⋅,则功率得单位23W N m/s kg m /s =⋅=⋅,D 正确。
故选D 。
2.2022年6月5日10时44分,搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F 遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射,6月5日17时42分,神舟十四号飞船与空间站径向端口成功对接,将陈冬、刘洋、蔡旭哲3位航天员送入空间站天和核心舱。
下列说法正确的是()A.10时44分是指时间间隔B.神舟十四号载人飞船刚开始加速飞离地球的过程中,宇航员处于超重状态C.研究神舟十四号与天和核心舱对接的技术细节时,可以将飞船看成质点D.航天员在空间站中绕地球运动时的惯性比在地面时的惯性大【答案】B【解析】【详解】A.10时44分是指时刻,A错误;B.神舟十四号载人飞船刚开始加速飞离地球的过程中,加速度向上,支持力大于重力,宇航员处于超重状态,B正确;C.研究神舟十四号与天和核心舱对接的技术细节时,大小不能忽略,不能将飞船看成质点,C错误;D.航天员的质量不变,故在空间站中绕地球运动时的惯性与在地面时的惯性一样大,D错误。
山东省泰安市2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含解析
泰安高二上学期12月月考数学试题(答案在最后)时间:120分钟满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()2,1,2a =-,()4,2,b x =-满足a b ⊥,则实数x 的值是()A.5- B.4- C.4D.52.在等差数列中{}n a 中,22a =,4512a a +=,则7a =()A.5B.8C.10D.143.双曲线221y a x -=的离心率为2,则其渐近线方程是()A.2y x=± B.12y x =± C.y = D.22y x =±4.设22293n a n n =-++,则数列{}n a 的最大项是()A.107B.108C.8658D.1095.已知空间中三点()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----,则点C 到直线AB 的距离为()A.63 B.2C.D.6.首项为12-的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是()A.83d >B.3d < C.833d ≤< D.4332d <≤7.以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点,若MNF 为正三角形,则抛物线C 的标准方程为A.2y = B.2y =C.2x =D.2x =8.已知数列{}n a ,{}n b 满足*23,n n a b n N =+∈,若{}n b 的前n 项和为()3312nnS=-,且()3633n n a b n λλ>+-+对一切*n ∈N 恒成立,则实数λ的取值范围是()A.232λ>-B.12λ>C.3154λ>D.1318λ>二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1,A B C O -是坐标原点,则()A.AB =B.AB AC⊥ C.点C 关于平面Oxz 对称的点为()1,-3,1 D.AB 与BC夹角的余弦值是551110.下列四个命题正确的是()A.直线230x y -+=的一个方向向量是()1,2-B.设直线0Ax By C ++=过点()00,P x y ,则这条直线的方程可以写成()()000A x x B y y -+-=C.直线cos sin 2x y αα+=与圆22:5O x y +=相交D.圆221:1O x y +=与圆222:(3)(4)16O x y -+-=恰有三条公切线11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点F 的直线交C 于两点()()1122,,,M x y N x y ,点M 在准线l 上的射影为A ,则()A.若126x x +=,则8MN =B.若点P 的坐标为()2,1,则MP MF +的最小值为4C.111MF NF+=D.若直线过点()0,1且与抛物线C 有且仅有一个公共点,则满足条件的直线有2条12.已知公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,且100S >,110S <,则下列结论正确的为()A.{}n a 为递增数列B.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C.当n S 取得最大值时,6n = D.当21a =时,d 的取值范围为21,74⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点P(x,y)在圆x 2+y 2=1的最大值为______14.直线1y x =-被双曲线2221x y -=所截得的弦的中点坐标是______.15.如图正方形BCDE 的边长为a ,已知AB =,将直角ABE 沿BE 边折起,A 点在面BCDE 上的射影为D 点,则翻折后的几何体中有如下描述:(1)AB 与DE 所成角的正切值是;(2)B ACE V -的体积是316a ;(3)//AB CD ;(4)平面EAB ⊥平面ADE ;(5)直线BA 与平面ADE 所成角的正弦值为3.其中正确的叙述有______(写出所有正确结论的编号).16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与C 的右支交于A ,B 两点,若1221F AF AF F ∠=∠,222F B F A =,则C 的离心率为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中,(1)已知610a =,55S =,求d 与1a ;(2)已知24485a a +=,求5S .18.已知圆C 的圆心为(1,4)C -,且与x 轴相切.(1)求C 的方程;(2)设直线:0l x y m ++=与C 交于A ,B 两点,120ACB ∠=︒,求m 的值.19.(1)已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =.①证明:数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;②求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 满足121n n b b n +=++,11b =,求数列{}n b 的通项公式.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ,O 为坐标原点,A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA 、OB 的斜率之积为12-,求证:直线AB 过x 轴上一定点.21.如图,在三棱锥-P ABC 中,侧面PAC 是等边三角形,,AB BC PB PC ⊥=.(1)证明:平面PAC ⊥平面ABC ;(2)若24AC AB ==,则在棱PA 上是否存在动点M ,使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60 ?若存在,试确定点M 的位置;若不存在,说明理由.22.如图,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点分别为())12,,F F A 为椭圆C 上一点,12F AF(1)求椭圆C 的方程;(2)若B D 、分别为椭圆C 的上、下顶点,不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P Q 、(P 在上方,Q 在下方,且均不与,B D 点重合)两点,直线,PB QD 的斜率分别为12,k k ,且213k k =-,求PBQ 面积的最大值.泰安高二上学期12月月考数学试题时间:120分钟满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()2,1,2a =-,()4,2,b x =-满足a b ⊥,则实数x 的值是()A.5- B.4- C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出0a b ⋅=,结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】由已知条件得出()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=,解得5x =.故选:D.2.在等差数列中{}n a 中,22a =,4512a a +=,则7a =()A.5B.8C.10D.14【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件利用等差数列性质计算即可得解.【详解】在等差数列中{}n a 中,22a =,则274512a a a a +=+=,于是得721210a a =-=,所以710a =.故选:C3.双曲线221y a x -=的离心率为62,则其渐近线方程是()A.2y x =±B.12y x =± C.y = D.2y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据离心率2e =结合221y ax -=即可求解.【详解】由题意知离心率2e =,且双曲线221y ax -=,所以122c =⨯=,21112c a =-=,所以双曲线为22112x y -=,所以渐近线方程为y =,故C 正确.故选:C.4.设22293n a n n =-++,则数列{}n a 的最大项是()A.107B.108C.8658D.109【答案】B 【解析】【分析】利用二次函数性质求解.【详解】22293n a n n =-++2298652(48n =--+,∵N*n ∈,∴7n =时,2max ()272973108n a =-⨯+⨯+=.故选:B.【点睛】本题考查数列中的项的最值.数列作为特殊的函数,可以利用函数性质求最值,只是要注意作为函数其自变量取值是正整数.5.已知空间中三点()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----,则点C 到直线AB 的距离为()A.63B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.【详解】因为()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----,所以()()0,1,2,1,1,1AC AB =-=-,则点C 到直线AB==.故选:C .6.首项为12-的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是()A.83d >B.3d < C.833d ≤< D.4332d <≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析90a ≤,100a >,从而求解.【详解】设等差数列首项为112a =-,公差为d ,由从第10项起开始为正数,所以91000a a ≤⎧⎨>⎩,即12801290d d -+≤⎧⎨-+>⎩,解得4332d <≤,故D 正确.故选:D.7.以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点,若MNF 为正三角形,则抛物线C 的标准方程为A.2y =B.2y =C.2x =D.2x =【答案】C 【解析】【详解】由题意,以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线y =2p-代入双曲线222x y -=,可得x =,∵△MNF 为正三角形,∴32p =⨯∵p >0,∴p =,∴抛物线C的方程为2x =,故选C.8.已知数列{}n a ,{}n b 满足*23,n n a b n N =+∈,若{}n b 的前n 项和为()3312nnS=-,且()3633n n a b n λλ>+-+对一切*n ∈N 恒成立,则实数λ的取值范围是()A.232λ>- B.12λ>C.3154λ>D.1318λ>【答案】D 【解析】【分析】由1(2)n n n b S S n -=-≥求得n b ,即得n a ,把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项.【详解】由题意113b S ==,2n ≥时,1133(31)(31)322n n n n n n b S S --=-=---=,综上3nn b =,233nn a =⨯+,题设不等式为(233)336(3)3n n n λλ⨯+>+-+,整理得118(3)23nn λ->+,记118(3)23n n n c -=+,则111118(3)118(2)18(27)23233n n n n n n n c c n +++---=+--=-,当712n ≤<时,10n n c c +-<,1n n c c +<,4n ≥时,10n n c c +->,1n n c c +>,所以4c 是{}n c 中的最大值,41318c =,所以1318λ>.故选:D .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1,A B C O -是坐标原点,则()A.AB =B.AB AC⊥C.点C 关于平面Oxz 对称的点为()1,-3,1D.AB 与BC夹角的余弦值是11【答案】AB 【解析】【分析】利用空间向量的求模公式,数量积公式及点的对称性即可判定.【详解】由题意可得:()2,1,0AB =,()1,2,1AC =- ,()3,1,1BC =-所以AB == A 正确;()2112010AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯= ,即AB AC ⊥,故B 正确;点C 关于平面Oxz 对称的点为()-1,-3,1,故C错误;cos 11AB BC AB,BC AB BC×==-×u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,故D 错误.故选:AB10.下列四个命题正确的是()A.直线230x y -+=的一个方向向量是()1,2-B.设直线0Ax By C ++=过点()00,P x y ,则这条直线的方程可以写成()()000A x x B y y -+-=C.直线cos sin 2x y αα+=与圆22:5O x y +=相交D.圆221:1O x y +=与圆222:(3)(4)16O x y -+-=恰有三条公切线【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线的方向向量、直线方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A 选项,直线230x y -+=的斜率是12,所以一个方向向量是()2,1,A 选项错误.B 选项,直线0Ax By C ++=过点()00,P x y ,则00000,Ax By C C Ax By ++==--,所以直线方程可化为000Ax By Ax By +--=,即()()000A x x B y y -+-=,所以B 选项正确.C 选项,圆22:5O x y +=的圆心为()0,0()0,0到直线cos sin 2x y αα+=2=<,所以直线cos sin 2x y αα+=与圆22:5O x y +=相交,C 选项正确.D 选项,圆221:1O x y +=的圆心为()0,0,半径为1,圆222:(3)(4)16O x y -+-=的圆心为()3,4,半径为4,圆心距12514O O ==+,所以两圆外切,所以圆221:1O x y +=与圆222:(3)(4)16O x y -+-=恰有三条公切线,D 选项正确.故选:BCD11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点F 的直线交C 于两点()()1122,,,M x y N x y ,点M 在准线l 上的射影为A ,则()A.若126x x +=,则8MN =B.若点P 的坐标为()2,1,则MP MF +的最小值为4C.111MF NF+=D.若直线过点()0,1且与抛物线C 有且仅有一个公共点,则满足条件的直线有2条【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】抛物线方程为24y x =,所以24,2p p ==,焦点()1,0F ,准线方程=1x -.A 选项,若126x x +=,则12628MN x x p =++=+=,A 选项正确.B 选项,点P ()2,1在抛物线内,根据抛物线的定义可知MP MF +的最小值是P 到准线的距离,即最小值是213+=,所以B 选项错误.C 选项,设直线MN 的方程为1x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +==-,则()2221212121216242,14416y y x x m y y m x x +=++=+=⋅==,所以21221212122111144111144x x m MF NF x x x x x x m ++++=+===++++++,所以C 选项正确.D 选项,直线0x =和直线1y =都过()0,1,且与抛物线24y x =有一个公共点,当过()0,1的直线斜率存在时,设直线方程为1y kx =+,由214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()222410k x k x +-+=,由()2224416160k k k ∆=--=-+=,解得1k =,所以直线1y x =+与抛物线24y x =有一个公共点,所以满足条件的直线有3条,D 选项错误.故选:AC【点睛】思路点睛:求解直线和抛物线位置关系有关问题,可设出直线的方程,然后将直线方程和抛物线方程联立,化简后写出根与系数关系、判别式等等,再结合抛物线的定义来对问题进行求解.12.已知公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,且100S >,110S <,则下列结论正确的为()A.{}n a 为递增数列B.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C.当n S 取得最大值时,6n = D.当21a =时,d 的取值范围为21,74⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】通过等差数列前n 项和公式和下标和性质即可得到0d <,10a >,60a <,50a >,则可判断AC ,而()112n S da n n =+-则可判断B ,而通过560a a +>,60a <,则可得到关于d 的不等式组,即可判断D.【详解】对A ,10110,0S S >< ,即()1101002a a +>,()1111102a a +<,即()5650a a +>,6110a <,则60a <,而560a a >->,故650d a a =-<,故{}n a 为递减数列,故A 错误;对B ,设{}n a 的首项为1a ,则()112n n n S na d -=+,()111122n S n d a d a n n -=+=+-,故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项,公差为2d 的等差数列,故B 正确;对C ,由A 知60a <,即650S S -<,则65S S <,而50a >,即140a d +>,则140a d >->,而0d <,当n S 取得最大值时,5n =,故C 错误;对D ,当21a =时,由A 知560a a +>,60a <,即22234040a d a d a d +++>⎧⎨+<⎩,即270140d d +>⎧⎨+<⎩,解得21,74d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,故D 正确.故选:BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点P(x,y)在圆x 2+y 2=1的最大值为______【答案】【解析】【分析】表示点(,)P x y 与点(1,1)的距离,由圆的性质可求.【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0),半径为1,圆心到点(1,1)=,∴所求最大值为1+.【点睛】设圆的半径为r ,圆心到平面上一点M 的距离为d ,则圆上的点到点M 距离的最大值为d r +,最小值为d r -.14.直线1y x =-被双曲线2221x y -=所截得的弦的中点坐标是______.【答案】(1,2)--【解析】【分析】联立方程组,结合韦达定理,求得122x x +=-,进而求得弦的中点坐标.【详解】设直线1y x =-与双曲线2221x y -=的交点为1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程组22121y x x y =-⎧⎨-=⎩,整理得2220x x +-=,则Δ120=>,且122x x +=-,设弦AB 的中点为00(,)M x y ,则12012x x x +==-,代入直线方程可得02y =-,所以截得弦的中点坐标为(1,2)--.故答案为:(1,2)--.15.如图正方形BCDE 的边长为a ,已知AB =,将直角ABE 沿BE 边折起,A 点在面BCDE 上的射影为D 点,则翻折后的几何体中有如下描述:(1)AB 与DE 所成角的正切值是;(2)B ACE V -的体积是316a ;(3)//AB CD ;(4)平面EAB ⊥平面ADE ;(5)直线BA 与平面ADE 所成角的正弦值为3.其中正确的叙述有______(写出所有正确结论的编号).【答案】(1)(2)(4)(5)【解析】【分析】由//BC DE ,所以ABC ∠(或补角)为AB 与DE 所成的角,可判定(1)正确;由锥体的体积公式,结合13B ACE A BCE BCE S AD V V --==⋅ ,可判定(2)正确;由//CD BE ,结合AB 与CD 不平行,可判定(3)不正确;证得BE ⊥平面ADE ,结合面面垂直的判定定理,可判定(4)正确;由BE ⊥平面ADE ,在BAE 中,结合sin BEBAE AB∠=,可判定(5)正确.【详解】如图所示,由A 点在面BCDE 上的射影为D 点,且AB ==可得AD ⊥平面BCDE ,且,AD a AC ==,(1)中,由//BC DE ,所以ABC ∠(或补角)为AB 与DE 所成的角,因为,,AB BC a AC ===,所以222AB BC AC =+,所以BC AC ⊥,所以tan ACABC BC∠==1)正确;(2)中,由正方形BCDE 的边长为a ,AD ⊥平面BCDE ,且AD a =,所以311113326BCE B ACE A BCE V V S AD a a a a --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ,所以(2)正确;(3)中,在正方形BCDE 中,可得//CD BE ,又因为AB 与BE 相交,所以AB 与CD 不平行,所以(3)不正确;(4)中,因为AD ⊥平面BCDE ,BE ⊂平面BCDE ,所以AD BE ⊥,因为BE ED ⊥,且AD ED D = ,,AD ED ⊂平面ADE ,所以BE ⊥平面ADE ,又因为BE ⊂平面EAB ,所以平面EAB ⊥平面ADE ,所以(4)正确;(5)中,因为BE ⊥平面ADE ,所以BAE ∠为直线BA 与平面ADE 所成的角,在BAE 中,90,,BEA BE a AB ∠=== ,所以sin 3BE BAE AB ∠==,所以(5)正确.故答案为:(1)(2)(4)(5).16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与C 的右支交于A ,B 两点,若1221F AF AF F ∠=∠,222F B F A =,则C 的离心率为______.【答案】53##213【解析】【分析】设2AF 的中点为M ,连接1F M ,1BF ,由题意可得1122AF F F c ==,12F M AF ⊥,由双曲线的定义可得222F A c a =-,2MF c a =-,244BF c a =-,142BF c a =-,2121BF F MF F π∠+∠=,2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=,在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值,即可求出,a c 的关系,从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解:如图:设2AF 的中点为M ,连接1F M ,1BF,因为1221F AF AF F ∠=∠,所以1122AF F F c ==,因为M 为2AF 的中点,所以12F M AF ⊥,由122AF F A a =-,得222F A c a =-,所以2212F A M F c a ==-,在12MF F △中,22112cos 2MF c aMF F F F c-∠==,因为22244BF AF c a ==-,所以12242BF a BF c a =+=-,在12BF F △中,()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-,因为2121BF F MF F π∠+∠=,所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=,即()22412160216c a c a acc c c a -+-+=-,整理可得221616120a ac c -+=,即225830a ac c -+=,所以()()530a c a c --=,所以53a c =或a c =(舍),所以离心率53c e a ==,故答案为:53.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中,(1)已知610a =,55S =,求d 与1a ;(2)已知24485a a +=,求5S .【答案】(1)3d =,15a =-(2)24【解析】【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题意,列出方程组,即可求解;(2)根据题意,求得3245a =,结合()5153552S a a a =+=,即可求解.【小问1详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,由610a =,55S =,可得115105105a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得15,3a d =-=所以公差d 的值为3,1a 的值为5-.【小问2详解】解:由{}n a 是等差数列,因为2434825a a a +==,解得3245a =所以()5153524552425S a a a =+==⨯=,故5S 的值为24.18.已知圆C 的圆心为(1,4)C -,且与x 轴相切.(1)求C 的方程;(2)设直线:0l x y m ++=与C 交于A ,B 两点,120ACB ∠=︒,求m 的值.【答案】(1)22(1)(4)16x y ++-=(2)3m =±-【解析】【分析】(1)根据题意求出圆的半径,即可得出答案.(2)先利用余弦定理求出AB ,从而利用勾股定理可得圆心C 到直线:0l x y m ++=的距离;再根据点到直线距离公式得出圆心C 到直线:0l x y m ++=的距离,得出关于m 的方程即可求解.【小问1详解】因为圆C 的圆心为(1,4)C -,且与x 轴相切,所以圆C 的半径4r =,所以圆C 的方程为22(1)(4)16x y ++-=;【小问2详解】因为120ACB ∠=︒,4CA CB ==,所以在ACB △中,由余弦定理可得:AB ==.所以圆心C 到直线:0l x y m ++=的距离2d ===,2=,解得3m =±.19.(1)已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =.①证明:数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;②求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 满足121n n b b n +=++,11b =,求数列{}n b 的通项公式.【答案】(1)①证明见解析;②1(31)2n n a n -=-⋅(2)2n b n=【解析】【分析】(1)①证根据题意,化简得到113222n n n n a a ++=+,结合等差数列的定义,即可得证;②根据等差数列的通项公式,即可求得{}n a 的通项公式;.(2)根据题意,求得121n n b b n --=-,结合累加法,即可求得数列{}n b 的通项公式.【详解】(1)①证明:根据题意,数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,等式两边除以12n +,可得113222n n n n a a ++=+,即113222n n n n a a ++-=,故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项,32为公差的等差数列;②因为数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项,32为公差的等差数列,所以311(1)(31)222n na n n =+-=-,所以1(31)2n n a n -=-⋅.(2)由数列{}n b 满足121n n b b n +=++,可得121n n b b n +-=+,可得12(1)121(2)n n b b n n n --=-+=-≥,当2n ≥时,可得()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 2[1(21)](21)(23)312n n n n n ⨯+-=-+-+++== ,又因为11b =,适合上式,所以数列{}n b 的通项公式2n b n =.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ,O 为坐标原点,A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA 、OB 的斜率之积为12-,求证:直线AB 过x 轴上一定点.【答案】(1)24y x =;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据抛物线焦点坐标,直接求得,则抛物线方程得解;(2)设出直线AB 的方程,利用韦达定理,结合已知条件,即可求得结果.【小问1详解】根据题意,12p=,则2p =,故抛物线方程为:24y x =.【小问2详解】显然直线AB 的斜率不为零,且不过原点,故设其方程为(),0x my n n =+≠,联立抛物线方程24y x =可得:2440y my n --=,216160m n ∆=+>时,设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则12124 ,4y y m y y n +==-,()21221216y y x x n ==,由题可知,121212y y x x ⨯=-,即2412n n -=-,解得8n =,此时满足0∆>,故直线AB 恒过x 轴上的定点()8,0.21.如图,在三棱锥-P ABC 中,侧面PAC 是等边三角形,,AB BC PB PC ⊥=.(1)证明:平面PAC ⊥平面ABC ;(2)若24AC AB ==,则在棱PA 上是否存在动点M ,使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60 ?若存在,试确定点M 的位置;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明详见解析(2)存在,且M 是线段AP 上,靠近P 点的三等分点.【解析】【分析】(1)设D 是AC 的中点,通过证明PD⊥平面ABC 来证得平面PAC ⊥平面ABC .(2)建立空间直角坐标系,利用向量法,根据平面MBC 与平面ABC 的夹角求得M 点的位置.【小问1详解】设,D E 分别是,AC BC 的中点,连接,,PD DE PE ,则1//,2DE AB DE AB =,由于AB BC ⊥,所以DE BC ⊥,由于三角形PAC 是等边三角形,所以PD AC ⊥,由于PB PC =,所以PE BC ⊥,由于,,DE PE E DE PE ⋂=⊂平面PDE ,所以BC ⊥平面PDE ,由于PD ⊂平面PDE ,所以BC PD ⊥,由于,,AC BC C AC BC ⋂=⊂平面ABC ,所以PD⊥平面ABC ,由于PD ⊂平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面ABC .【小问2详解】由(1)可知平面PAC ⊥平面ABC ,以A 为空间坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,24AC AB ==,则4,30,60PA PC ACB CAB ==∠=︒∠=︒,所以)((),0,2,,0,4,0B P C ,60PAC ∠=︒,设()0,,02M t t ≤≤,平面ABC 的一个法向量是()0,0,1m =,()(),0,BC CM t ==- ,设平面MBC 的一个法向量是(),,n x y z = ,则()3040n BC y n CM t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ,故可设()3,4n t t =- ,若平面MBC 与平面ABC 的夹角为60 ,则cos 60m n m n⋅︒=⋅12=,解得43t =(负根舍去),则4430,,33M ⎛ ⎝⎭,42233=⨯,所以M 是线段AP 上,靠近P 点的三等分点.22.如图,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点分别为())123,0,3,0,F F A 为椭圆C 上一点,12F AF 3(1)求椭圆C 的方程;(2)若B D 、分别为椭圆C 的上、下顶点,不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P Q 、(P 在上方,Q 在下方,且均不与,B D 点重合)两点,直线,PB QD 的斜率分别为12,k k ,且213k k =-,求PBQ 面积的最大值.【答案】(1)2214x y +=(2)12【解析】【分析】(1)根据条件,得到关于,,a b c 的方程,即可得到结果;(2)根据题意设直线PQ 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,再由213k k =-列出方程,代入计算,即可得到结果.【小问1详解】121332F AF S b ∆=⋅=1b ∴ = ,232a b =+=,故椭圆的方程为2214x y +=;【小问2详解】依题意设直线PQ 的方程为y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y ,联立方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消元得:()222148440k x kmx m +++-=,2121222844,1414km m x x x x k k -∴ +=- = ++,()()()222222644144416140k m k m k m ∆=-+-=+->,由213k k =-得:2121113y y x x +-=-⋅,两边同除1x ,()()211221*********=34141y y y x x x y y +--=-⋅-⋅=+-,即()()12123411+0x x y y -+=;将1122,y kx m y kx m =+ =+代入上式得:()()()()()()()()()()()12121212221212222223411+341+1344141448=344141=0,1414x x y y x x kx m kx m k x x k m x x m m km k k m m k k -+=-+++=--++-+-⎛⎫--+--+ ⎪++⎝⎭整理得:220m m --=所以2m =或1m =-(舍),12112PQBS x x =⋅⋅-==214k=+21,42=≤+当72k =±时等号成立,满足条件,所以PQB △面积的最大值为12.。
2023-2024学年陕西省西安市高二上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年陕西省西安市高二上册12月月考数学试题一、单选题1.若4m = ,6n = ,m 与n 的夹角θ为45 ,则m n ⋅等于()A .12B.C.-D .12-【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得m n ⋅的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得cos 45462m n m n ⋅=⋅=⨯⨯= 故选:B.2.若tan α=3,tan β=43,则tan(α-β)等于()A .3B .-3C .13D .13-【正确答案】C【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解:tan(α-β)=tan tan 1tan tan a αββ-+=4334133-+⨯=13,故选:C.3.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=,则7a =A .5B .8C .10D .14【正确答案】B【详解】试题分析:设等差数列{}n a 的公差为d ,由题设知,12610a d +=,所以,110216a d -==所以,716268a a d =+=+=故选B.等差数列通项公式.4.对于诱导公式中的角α,下列说法正确的是()A .α一定是锐角B .02πα≤<C .α一定是正角D .α是使公式有意义的任意角【正确答案】D【分析】根据诱导公式判断即可.【详解】对于诱导公式中的角α,角α是使公式有意义的任意角.故选:D5.以下对正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是A .在[]()2π,2π2πx k k k ∈+∈Z 上的图象形状相同,只是位置不同B .介于直线1y =与直线1y =-之间C .关于x 轴对称D .与y 轴仅有一个交点【正确答案】C【详解】由正弦函数sin y x =的图象可知,它不关于x 轴对称.故选C.正弦函数图象的识别.6.如图,已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象(部分),则函数的表达式为()A .102sin 116π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x B .102sin 116π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x C .2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象,得到2A =且πT =,求得2ω=,即()2sin 2y x ϕ=+,再由π6x =时,πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,求得πZ π2,6k k ϕ=+∈,即可求解.【详解】由函数()sin y A x ωϕ=+的图象,可得max min 2,2y y ==-,所以2A =,又由2πππ2362T =-=,可得πT =,所以2π2T ω==,即()2sin 2y x ϕ=+,当π6x =时,可得π2sin 226ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,即πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,解得ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈,即πZ π2,6k k ϕ=+∈,当1k =时,可得π6ϕ=,所以π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选:C.7.下列说法正确的是()①零向量的长度为零,方向是任意的;②若,a b 是单位向量,则a b =;③若非零向量AB 与CD是共线向量,则,,,A B C D 四点共线.A .①B .②C .③D .①和③【正确答案】A【分析】根据零向量的定义、相等向量以及向量共线与点共线的关系判断各选项即可.【详解】对于①,根据零向量的定义得①正确,故①正确;对于②,,a b是单位向量,但方向可能不同,故②错误;对于③,若非零向量AB与CD 是共线向量,则可能//AB CD ,,,,A B C D 四点不一定共线,故③错误.故选:A.8.A 、B 、C 为不共线三点,则-=AB AC ()A .BCB .CBC .ABD .AC【正确答案】B【分析】根据向量减法法则直接求得即可.【详解】由向量减法法则得AB AC CB -=.故选:B.9.已知向量()3,2a = ,(),4b x = 且//a b r r,则x 的值是()A .6-B .83C .6D .83-【正确答案】C根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式,由此可解得实数x 的值.【详解】 向量()3,2a = ,(),4b x = 且//a b r r,212x ∴=,解得6x =.故选:C.本题考查平面向量共线的坐标表示,属基础题.10.数列1,2,4,8,16,32, 的一个通项公式是A .21n a n =-B .12n n a -=C .2nn a =D .12n n a +=【正确答案】B【分析】观察数列是以1为首项,2为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式即可求出答案.【详解】观察数列的前6项知,该数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以12n n a -=.故选:B .11.23702cos 10sin -=-A .12B.2C .2D.2【正确答案】C【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简即可得结果.【详解】23702cos 10sin-=-()()23cos203cos2021cos2041cos2022--==+-+-,故选C.12.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于().A .79-B .13-C .13D .79【正确答案】A根据1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,利用二倍角公式求解.【详解】因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:A二、填空题13.()cos αβ+=__________.【正确答案】cos cos sin sin αβαβ-【分析】直接根据两角和的余弦公式展开即可.【详解】()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.故cos cos sin sin αβαβ-14.sin cos cos sin αβαβ-=__________.【正确答案】()sin αβ-【分析】根据两角差的正弦公式的逆用得出结果.【详解】()sin cos cos sin sin αβαβαβ-=-.故答案为.()sin αβ-15.若tan α=cos α=__________.【正确答案】14±【分析】利用三角函数的基本关系式,联立方程组,即可求解.【详解】由tan α=sin cos αα=sin αα=,又由22sin sin cos 1αααα⎧=⎪⎨+=⎪⎩,整理得21cos 16α=,因为tan 0α=>,所以α为第一、三象限角,所以1cos 4α=±.故14±16.若(,2)a λ= ,(3,5)b =- ,且a 与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是______.【正确答案】1010,##33λ⎛⎫+∞>⎪⎝⎭【分析】由条件转化为0a b ⋅<,并且a 与b 的夹角不为180 .【详解】因为a 与b 的夹角是钝角,所以3100a b λ⋅=-+<,解得:103λ>,当//a b时,56λ=-,解得:65λ=-,所以λ的取值范围是103λ>.故10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17.三角函数相关计算:(1)sin15 ;(2)1tan151tan15-+;(3)()()()()1tan11tan21tan3...1tan44+⨯+⨯+⨯⋯⨯+【正确答案】(1)43(3)222【分析】(1)由()sin15sin 4530=-,利用两角差的正弦公式求解;(2)利用两角差的正切公式求解;(3)利用两角和的正切公式的变形公式求解.【详解】(1)解:()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin304=-=-= ;(2)原式()tan45tan15tan 4515tan301tan45tan15-==-==+ (3)设π4αβ+=,则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-,则tan tan 1tan tan αβαβ+=-,则tan tan tan tan 1αβαβ++=,所以()()1tan11tan44++,1tan1tan44tan1tan44=+++ ,112=+=,同理()()1tan21tan432++=,()()1tan221tan232++=,则原式222222=⨯⨯⋯⨯=.18.(1)求点()1,3-到直线42y x =-的距离;(2)ππππcoscos sin sin 126126-.【正确答案】(1)17;(2)2【分析】(1)应用点线距离公式求解即可;(2)逆用和角余弦公式化简求值.【详解】(1)由直线一般式为420x y --=,则点到直线的距离:d(2)πππππππcoscos sin sin cos(+cos 12612612642-===.19.如图所示,四边形OADB 是以向量,OA a OB b ==为邻边的平行四边形.又11,33==BM BC CN CD ,试用,a b表示,,OM ON MN .【正确答案】1566OM OB BM a b =+=+ ,2233ON a b =+ ,MN = 1126a b - .【分析】根据平面向量的线性运算法则求解.【详解】因为11,33==BM BC CN CD 且ABCD 是平行四边形,所以111515()666666OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=+=+ ,2222()3333ON OD OA OB a b ==+=+ ,MN ON OM =- 1126a b =- .20.已知向量()1,2a =、()0,3b =- (1)求a 与b的数量积.(2)求a 与b的夹角的余弦值.【正确答案】(1)6-(2)5-【分析】(1)根据数量积的坐标计算公式计算可得;(2)首先求出a、b ,再根据cos ,a b a b a b⋅=⋅ 计算可得.【详解】(1)因为()1,2a = ,()0,3b =- ,所以()01236a b ⋅=⨯+⨯-=-.(2)因为()1,2a =,()0,3b =- ,所以a = 3b = ,所以cos ,a b a b a b ⋅==⋅21.已知1sin cos 3αα+=,且0<α<π,求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值.【正确答案】8sin29α=-,os 2c 9α=-t 17an 2α=将条件平方可得8sin29α=-,判断sin cos 0αα<,结合角的范围可得sin cos αα-==cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=+-,可得cos 2α,进而可得tan 2α.【详解】∵1sin cos 3αα+=,∴221sin cos 2sin cos 9αααα++=,∴8sin29α=-且4sin cos 9αα=-<0.∵0<α<π,sin 0,cos 0αα><,sin cos 0αα->,∴sin cos 3αα-==,∴221cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )(3ααααααα=-=+-=⨯--,∴sin 2cos 2tan 2ααα==22.计算:(1)在ABC 中,60,4,8∠=== C AC BC ,求AB 的长;(2)在等差数列{}n a 中,34567450a a a a a ++++=,求28a a +【正确答案】(1)(2)180【分析】(1)由余弦定理直接求解;(2)利用等差数列的性质求解结果.【详解】(1)已知60,4,8∠=== C AC BC ,余弦定理:2222cos 16643248AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=+-=,则AB =(2)解法一:设{}n a 的首项和公差分别为1a 和d ,则345671520450++++=+=a a a a a a d ,()2811222852045018055a a a d a d +=+=+=⨯=.解法二:由等差数列的性质:37268452a a a a a a a +===++,()28374652245018055a a a a a a a ∴+=++++=⨯=.23.已知向量a 、b 满足6a = 、4b = ,且a 与b 的夹角为60 ,求a b + 和2a b - .【正确答案】a b +=2a b -=【分析】首先根据数量积的定义求出a b ⋅,再根据a b + 、2a b -=数量积的运算律计算可得.【详解】 6a =、4b =,且a与b的夹角为60 ,cos 6012a b a b ∴⋅=⋅︒=,2a b ∴+=22a b -=24.在等比数列{}n a 中,已知:12a =,326S =,求q 与3a .【正确答案】答案见解析【分析】依题意可得()2123311S a a a a q q =+=+++,即可求出q ,从而求出3a .【详解】因为12a =,326S =,所以()()212233112126S a q q q q a a a ++++++====,解得3q =或4q =-,当3q =时23118a a q ==;当4q =-时,23132a q a ==.25.已知()()1,1,0,2==-a b 当k 为何值时,(1)ka b - 与a b +共线;(2)3a kb -与a b + 的夹角为90︒【正确答案】(1)1-(2)0【分析】(1)利用条件求出ka b - 与a b +,再利用向量共线的坐标运算即可求出结果;(2)先求出3a kb -,再利用向量垂直的坐标运算即可求出结果;【详解】(1)因为()()1,1,0,2==- a b ,所以()()()1,10,21,1+=+-=-a b ,()()()1,10,2,2ka b k k k -=--=+,由ka b - 与a b +共线,则()20k k +--=,所以1k =-.(2)因为()1,1a b +=- ,3(3,3)(0,2)(3,32)a kb k k -=--=+,因为3a kb -与a b + 的夹角为90︒,所以0(3)()a k b a b -⋅+= ,得到3(32)0k -+=,所以0k =.26.已知函数()ππsin sin cos (R,66f x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是常数).(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)若,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最大值为1,求a 的值.【正确答案】(1)2π(2)1-【分析】(1)利用三角恒等变换的公式,化简得到()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,结合周期的计算公式,即可求解;(2)由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得到ππ2,π633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,结合三角函数的性质,求得()f x 最大值为2a +,即可求解.【详解】(1)解:由函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin π6x x a x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期为2πT =.(2)解:由(1)知()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,可得ππ2,π633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,当ππ62x +=时,即π3x =时,函数()f x 取得最大值,最大值为2a +,令21a +=,解得1a =-,即实数a 的值为1-.。
高二年级语文12月月考试题.doc
高二年级语文12月月考试题友情提醒:1.本试卷分试题卷和答题卷,满分150分,考试时间150分钟。
2.答题前,在答题卷密封区内填写自己的考号、班级和姓名。
3.所有答案必须用钢笔或圆珠笔写在答题卷答题区域内,写在试题卷上无效。
4.考试结束,只交答题卷。
第Ⅰ卷(选择题共36分)一、(15分,每小题3分)1.下列各组词语中,加点字的读音全都正确的一项是()A.抹.杀(mā)尸骸.(hài)否.极泰来(pǐ)长途跋.涉(bá)B.呕哑.(yǎ)喋.血(dié)长歌当.哭(dàng)汝识.之乎(shí)C.创.伤(chuàng)歆.羡(yīn)殒.身不恤(yǔn)桴.止响腾(fú)D.蹊.跷(qī)自诩.(xǔ)窗明几.净(jī)盛.以锦囊(chéng)2.下列各组词语中,没有错别字的一项是()A.三顾矛庐寥落落寞和蔼可亲B.舞榭歌台屠戮糟践催眉折腰C.风餐露宿颓废喧哗云云众生D.冥顽不灵筹划分量忧患备尝3.下列各句中,加点的词语使用恰当的一项是()A.在网吧迷上网络游戏后,吴晓便把“作业”二字抛在了脑后,掉书袋...、抄作业的现象时有发生,学习明显退步。
B.如果日本政府将中国的严正声明和强烈抗议置之度外....,一意孤行,必将自食其果。
C.美国态度或明或暗地反对解除对华武器禁售令,其中重要原因之一是要阻隔..大陆与台湾统一。
D.作为一名公安局长,任长霞并不掩饰她爱动感情的一面。
泪为民而流,情感出于至诚..,可歌可泣;情为民所系,长霞堪称楷模,精神永存。
4.下列各句中,没有语病的一项是()A.媒体认为:有NBA打球经历的王治郅的回归,将成为姚明的最佳搭档,他们二人将联手在今年的世锦赛和2008年的奥运会上给中国球迷带来惊喜。
B.原央视名嘴黄健翔在意澳之战的激烈评论引发了极大争议,这个事件影响到人们对足球评论员公正性的重视,“我们需要怎样的足球评论员”成为世界杯期间各国球迷最喜欢谈论的话题。
高二上学期12月月考试卷试题
2021年秋季高二年级12月月考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写;出题人:令狐学复;欧阳化语;令狐理总。
语文试题一、现代文阅读(36分)(一)阐述类文本阅读(此题一共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1~3题。
毫无疑问,反映现实生活应当是现实主义的首要任务。
只有直面现实生活,真实反映生活现实和强力介入生活理论,才能更充分地表达现实主义精神。
其次,从反映生活的内容来看,不能只是满足于描写庸常化的生活,而应该反映现实生活中那些更为人们普遍关注的现象,包括社会变革开展中的各种矛盾和现实问题,让人们更深入地认识和理解现实。
这就需要如鲁迅所说的那样,敢于直面和正视现实。
再次,反映生活必然要求真实性。
历来的现实主义理论,无不把真实性视为现实主义文学最根本的特性。
然而问题在于,什么是现实主义文学的真实性?无论是巴尔扎克还是恩格斯。
都不约而同地强调了细节描写的真实性。
但仅限于此显然不够,恩格斯还特别强调真实地描写现实关系,真实地再现典型环境中的典型人物,真实地把握和描写推动现实生活开展的历史潮流。
现实主义并非自然主义式的照搬生活真实,而是要求高于生活真实到达典型化的高度,这本来也是人们所熟知的常识。
然而以往对于文学典型的理解似乎存在偏向,有一,典型理论将其解释为个性与一共性统一,同时又把“一共性〞解释为某一类人物的一共同特征,比方从几十个乃至几百个同类人物身上,把他们最有代表性的特点、习惯等等抽取出来,综合在一个人物身上创造出典型,不过这种理解过于简单化了。
现实主义文学的典型化,更重要的还在于,并不仅限于按照生活真实进展综合创造,而是要用深入的思想洞察现实,用高于现实的审美理想烛照现实,创造具有典型意义的人物形象。
所谓创造典型人物,无论正面、反面还是多面性的复杂人物,都不只在于刻画其鲜明独特的性格,更需要穿透人物的精神灵魂,在艺术审美理想的烛照下,把人物真假善恶美丑的本来面目及其复杂性深入提醒出来,这样才真正具有典型意义。
浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月月考化学试题含答案
浙江强基联盟2023学年第一学期高二12月联考化学试题(答案在最后)可能用到的相对原子质量:H-1C-12O-16Na-23S-32Cl-35.5Ca-40Fe-56Cd-112Ba-137选择题部分一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。
每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.下列物质中,属于弱电解质的是A.次氯酸B.氨水C.氧化钠D.乙酸乙酯【答案】A【解析】【详解】A.次氯酸是弱酸,属于弱电解质,A符合题意;B.氨水是混合物,不是化合物,因此不属于电解质,B不符合题意;C.氧化钠是离子化合物,属于强电解质,C不符合题意;D.乙酸乙酯属于非电解质,D不符合题意;故选:A。
2.下列做法不属于...调控化学反应速率的是A.将食物储存在冰箱中B.制氢气时用粗锌而不用纯锌C.合成氨工业中适当增大压强D.贮存液溴时,在液溴上面加少量的水【答案】D【解析】【详解】A.食物放冰箱冷藏存放,温度较低,反应速率减慢,属于调控化学反应速率,故A正确;B.制氢气时用粗锌而不用纯锌,粗锌构成原电池,反应速率加快,属于调控化学反应速率,故B正确;C.合成氨工业中适当增大压强,反应物浓度增大,反应速率加快,属于调控化学反应速率,故C正确;D.贮存液溴时,在液溴上面加少量的水,防止液溴的挥发,不属于调控化学反应速率,故D错误;本题选D。
3.下列实验装置不能..达到对应实验目的的是A .测定中和热B .比较Mg 、Al 金属性C .探究析氢腐蚀D .证明32NH H O ⋅为弱碱A.AB.BC.CD.D【答案】B 【解析】【详解】A .图中保温完好,温度计测定溶液温度,可以测定中和热,A 正确;B .可以通过金属与酸的反应比较金属活动性,该原电池用氢氧化钠溶液,镁不和氢氧化钠反应,铝是两性金属可以和氢氧化钠反应,不能比较两种金属的金属性强弱,B 错误;C .雨水显酸性,铁发生析氢腐蚀,导管中红墨水的高度下降,C 正确;D .氯化铵为强酸弱碱盐,水解显酸性,测定其溶液pH ,可以证明一水合氨为弱碱,D 正确;本题选B 。
高二数学12月月考试题 理 试题_1(共10页)
2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理一.选择题〔每一小题5分,一共60分〕1.如图是根据x,y的观测数据〔x i,y i〕〔i=1,2,…,10〕得到的点图,由这些点图可以判断变量x,y具有线性相关关系的图〔〕A.①②B.①④C.②③D.③④2.命题“∀x∈R,x2﹣2x+4<0〞的否认为〔〕A.∀x∈R,x2﹣2x+4≥0B.∃x0∈R,x02﹣2x0+4≥0C.∀x∉R,x02﹣2x0+4≥0D.∃x0∉R,x02﹣2x0+4≥03.顶点在原点,焦点是〔0,3〕的抛物线的方程是〔〕A.y2=12x B.x2=12y C.D.4.为了理解某次数学竞赛中1000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,那么每名学生成绩人样的时机是〔〕A.B.C.D.5.阅读程序框图,假如输出的函数值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是〔〕A.〔﹣∞,﹣2] B.[﹣2,﹣1]C.[﹣1,2] D.[2,+∞〕6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,那么(nà me)恰好选中2名女生的概率为〔〕A.B.C.D.7.假设直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+〔a﹣1〕y+5=0垂直,那么实数a的值是〔〕A.B.1 C.D.28.如图,矩形长为8,宽为3,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96颗,以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为〔〕9.两平行直线2x+y﹣1=0与2x+y+3=0间的间隔为〔〕A.B.C.D.10.圆与圆的位置关系是〔〕A.外离B.相交C.外切D.内切11.三棱锥A﹣BCD中,,假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上,那么此球的体积为〔〕A.B.24πC.D.6π12.直线经过椭圆的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于C点,假设,那么该椭圆的离心率是〔〕A.B.C.D.二.填空题〔每一小题5分,一共20分〕13.圆与圆.求两圆公一共弦所在直线的方程.14.如图,矩形O'A'B'C'是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图,其中(qízhōng)O'A'=6,C'D'=2,那么原图形面积是.15.如下图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,那么以下结论中正确的选项是.①EF∥平面ABCD;②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF;④三棱锥E﹣ABF的体积为定值;16.如图,己知椭圆C:+=1〔a>b>0〕的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,P是椭圆C上一点〔不在坐标轴上〕,Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点,假设|QF2|=2|OQ|,那么椭圆离心率的范围是.三.解答题〔一共6小题,一共70分〕17.(本小题满分是10分〕命题P:关于x的方程x2+〔m﹣3〕x+m=0的一个根大于1,另一个根小于1.命题q:∃x∈〔﹣1,1〕,使x2﹣x﹣m=0成立,命题s:方程的图象是焦点在x轴上的椭圆〔1〕假设命题s为真,务实数m的取值范围;〔2〕假设p∨q为真,¬q为真,务实数m的取值范围.18.〔本小题满分是12分〕某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛,抽取了近期两人5次数学考试的成绩,统计结果如表:第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩〔分〕80 85 71 92 87乙的成绩〔分〕90 76 75 92 82〔1〕假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛,你认为(rènwéi)选谁适宜?请说明理由.〔2〕假设数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:方案一:每人从5道备选题中任意抽出1道,假设答对,那么可参加复赛,否那么被淘汰.方案二:每人从5道备选题中任意抽出3道,假设至少答对其中2道,那么可参加复赛,否那么被润汰.学生甲、乙都只会5道备选题中的3道,那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大?并说明理由.19.〔本小题满分是12分〕如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,PA=2,∠ABC=60°,E是BC中点,假设H为PD上的点,AH=.〔1〕求证:EH∥平面PAB;〔2〕求三棱锥P﹣ABH的体积.20.〔本小题满分是12分〕1.点A〔1,1〕,B〔﹣1,3〕.〔1〕求以AB为直径的圆C的方程;〔2〕假设直线x﹣my+1=0被圆C截得的弦长为,求m值.21.〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图,ABCD为矩形,点A、E、B、F一共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°.〔1〕假设平面ABCD⊥平面AEBF,证明平面BCF⊥平面ADF;〔2〕问在线段EC上是否存在一点G,使得BG∥平面CDF,假设存在,求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比.22.〔本小题满分是12分〕椭圆C:=1〔a>b>0〕,长半轴长与短半轴长的差为,离心率为.〔1〕求椭圆C的HY方程;〔2〕假设在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点,且为定值,求点M的坐标.数学〔理〕试卷答案1-6:B B B A B C 7-12:A C D B C A11、解:三棱锥A﹣BCD中,,∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成(gòuchéng)〔如图〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么a2+b2=5,b2+c2=4,a2+c2=3,那么该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R==.V==.选:C.12、解:由,取y=0,得x=﹣,取x=0,得y=1,∴F〔,0〕,C〔0,1〕,设A〔x0,y0〕,那么,,由,得,∴,即,即A 〔〕.把A的坐标代入椭圆,可得,即.又b2=a2﹣3,解得,又c2=3,∴,∴e=.应选:A.13、x﹣y﹣1=0 14、24.15、解:①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,B1D1∥BD,且BD⊂平面ABCD,B1D1∉平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,故①正确;②点A到EF的间隔大于BB1,∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等,故②错;③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC⊥BD,BB1⊥AC,∴AC⊥面BB1D1D,又面BB1D1D与面BEF是同一面,AC⊂面ACF,∴平面ACF⊥平面BEF,故③正确;④△BEF 中,EF=,EF边上的高BB1=1,∴△BEF的面积为定值,∵AC⊥面BDD1B1,∴AO⊥面BDD1B1,∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高,∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值,故④正确;答案为:①③④.16、解:∵|QF2|=2|OQ|,∴|QF2|=,|QF1|=,∵PQ是∠F1PF2的角平分线,∴,那么(nà me)|PF1|=2|PF2|,由|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a,得|PF2|=,由a﹣c,可得e=>,由0<e<1,∴椭圆离心率的范围是〔,1〕.17、解:〔1〕命题s为真时,即命题s:方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真;∴4﹣m>m>0,∴0<m<2;故命题s为真时,实数m的取值范围为:〔0,2〕;(2)当命题p为真时,f〔x〕=x2+〔m﹣3〕x+m满足f〔1〕<0,即2m﹣2<0,所以m<1.命题q为真时,方程m=x2﹣x在〔﹣1,1〕有解,当x∈〔﹣1,1〕时,x2﹣x∈[,2〕,那么m∈[,2〕,由于p∨q为真,¬q为真;所以q为假,p为真;那么,得;∴m<;故p∨q为真,¬q为真时,实数m的取值范围为〔﹣∞,〕.18、解:〔1〕解法一:甲的平均成绩为,乙的平均成绩为,甲的成绩方差,乙的成绩方差为,由于,,乙的成绩较稳定,派乙参赛比拟适宜,乙适宜.解法二:派甲参赛比拟适宜,理由如下:从统计的角度看,甲获得85以上〔含85分〕的概率,乙获得8〔5分〕以上〔含85分〕的概率.因P1>P2派甲参赛比拟适宜,〔2〕5道备选题中学生乙会的3道分别记为a,b,c,不会的2道分别记为E,F.方案一:学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有:a,b,c,E,F一共5种,抽中会的备选题的结果有a,b,c,一共3种.所以学生乙可参加复赛的概率.方案二:学生甲从5道备选题中任意(rènyì)抽出3道的结果有:〔a,b,c〕,〔a,b,E〕,〔a,b,F〕,〔a,c,E〕,〔a,c,F〕,〔a,E,F〕,〔b,c,E〕,〔b,c,F〕,〔b,E,F〕,〔c,E,F〕,一共10种,抽中至少2道会的备选题的结果有:〔a,b,c〕,〔a,b,E〕,〔a,b,F〕,〔a,c,E〕,〔a,c,F〕,〔b,c,E〕,〔b,c,F〕一共7种,所以学生乙可参加复赛的概率因为P1<P2,所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.19、解:〔1〕证明:∵PA=AD=2,AH=,∴H为PD的中点,取PA的中点M,连结HM,MB,那么HM AD,BD,∴HM BD,∴四边形DHMB是平行四边形,∴EH∥BM,又EH⊄平面PAB,BM⊂平面PAB,∴EH∥平面PAB.(3)解:由〔1〕可知,EH∥平面PAB,(4)∴三棱锥P﹣ABH的体积:V P﹣ABH=V H﹣PAB=V E﹣PAB=V P﹣ABE===.∴三棱锥P﹣ABH的体积为.20、解:〔1〕根据题意,点A〔1,1〕,B〔﹣1,3〕,那么线段AB的中点为〔0,2〕,即C的坐标为〔0,2〕;圆C是以线段AB为直径的圆,那么其半径r=|AB|==,圆C的方程为x2+〔y﹣2〕2=2,〔2〕根据题意,假设直线x﹣my+1=0被圆C截得的弦长为,那么(nà me)点C到直线x﹣my+1=0的间隔d==,又由d=,那么有=,变形可得:7m2﹣8m+1=0,解可得m=1或者.21、解:〔1〕证明:∵ABCD为矩形,∴BC⊥AB,又∵平面ABCD⊥平面AEBF,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AEBF=AB,∴BC⊥平面AEBF,又∵AF⊂平面AEBF,∴BC⊥AF.∵∠AFB=90°,即AF⊥BF,且BC、BF⊂平面BCF,BC∩BF=B,∴AF⊥平面BCF.又∵AF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面BCF.〔2〕解:∵BC∥AD,AD⊂平面ADF,∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,∴∠FAB=∠ABE=45°,∴AF∥BE,又AF⊂平面ADF,∴BE∥平面ADF,∵BC∩BE=B,∴平面BCE∥平面ADF.延长EB到点H,使得BH=AF,又BC AD,连CH、HF,由题意能证明ABHF是平行四边形,∴HF AB CD,∴HFDC是平行四边形,∴CH∥DF.过点B作CH的平行线,交EC于点G,即BG∥CH∥DF,〔DF⊂平面CDF〕∴BG∥平面CDF,即此点G为所求的G点.又BE==2AF=2BH,∴EG=,又S△ABE=2S△AEF,V G﹣ABE=====,故=.22、解:〔1〕由题意可得:a﹣b=,=,a2=b2+c2.联立解得:a=2,c=1,b =∴椭圆C的HY方程为:+=1.〔2〕设M〔t,0〕,P〔x1,y1〕,Q〔x2,y2〕.①当直线(zhíxiàn)l的斜率不为0时,设直线l的方程为:x=my+t.联立,化为:〔3m2+4〕y2+6mty+3t2﹣12=0.△=48〔3m2﹣t2+4〕>0.∴y1+y2=﹣,y1y2=.|PM|2=+=〔1+m2〕,同理可得:|PQ|2=〔1+m2〕.∴===•=.∵为定值,∴必然有3t2+12=16﹣4t2,解得t=.此时=为定值,M〔,0〕.②当直线l的斜率为0时,设P〔2,0〕,Q〔﹣2,0〕.|PM|=|t+2|,|QM|=|2﹣t|.此时=+=,把t2=代入可得:=为定值.综上①②可得:=为定值,M〔,0〕.内容总结(1)2021-2021学年高二数学12月月考试题理一.选择题〔每一小题5分,一共60分〕1.如图是根据x,y的观测数据〔xi,yi〕〔i=1,2,。
四川省成都市2023_2024学年高二数学上学期12月月考试题含解析
2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题(测试时间120分钟,满分150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线30y -+=的倾斜角为()A.30B.60C.120D.1502.已知)1,2n x =,(2n =--分别是平面,αβ的法向量,若//αβ,则x =()A.7- B.1- C.1 D.73.在一个实验中,某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为()A .0.25B.0.4C.0.6D.0.754.方程12=,化简的结果是()A.221364x y += B.2213632x y += C.2213616x y += D.2213616y x +=5.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径6AB =,深度2MO =,信号处理中心F 位于焦点处,以顶点O 为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ,若P 是该拋物线上一点,点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭,则PF PQ +的最小值为()A.4B.3C.2D.16.已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点,PA ⊥平面ABCD ,点,M N 满足12PM PC =,23PN PD = .若MN x AB y AD z AP =++,则x y z ++=()A.1-B.1C.12- D.127.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线,垂足为A (第一象限),并与双曲线C 交于点B ,若FB BA =,则l 的斜率为()A.2B.1C.12D.74-8.已知ABC 的三个顶点都在椭圆Γ:22221x y a b+=(0a b >>)上,其中A 为左顶点,B 为上顶点,若以B 为顶角的等腰三角形ABC 恰好有3个,则Γ的离心率的取值范围为()A.6,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.数据22,24,32,33,35,28,56,x 的第65百分位数为35,则x 的取值可以是()A.20B.35C.42D.5310.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ,B ,其中()18n Ω=,()9n A =,()6n B =,()12n A B ⋃=则()A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立D.()16P AB =11.已知1F ,2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上第一象限内一点,且12π3F PF ∠=,12F F =,1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上,则()A.C 的实轴长为2B.C 的离心率为C.12F PF △的面积为D.12F PF ∠10y --=12.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为1CC 的中点,点P 为正方形1111D C B A 上的动点,则()A.满足MP //平面1BDA 的点PB.满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为223C.存在点P ,使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足5PA PM +=三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.对任意实数m ,圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点,则定点坐标为__.14.已知向量()2,3,1a =- ,()4,,2b t =- ,若a 与b的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为______.15.已知椭圆2212516x y +=的左焦点为1F ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点,若点M 是线段1PF 的中点,则1MOF ∆的周长为______.16.过点()1,M m -作抛物线()2:2,0C y px p =>的两条切线,切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ,又直线AB 经过抛物线C 的焦点F ,那么12MA MBy y k k =______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数、将数据分成7组:[)20,30,[)30,40,…,[]80,90,并整理得到如图的频率分布直方图.(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数;(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考.18.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-++=相交于,A B 两点,求:(1)线段AB 的长;(2)两圆有公切线方程.19.如图,多面体ABCDEF 中,面ABCD 为正方形,DE ⊥平面,ABCD CF //DE ,且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点,H 为棱DE 上的动点.(1)证明:当H 为棱DE 的中点时,GH //平面ABE ;(2)是否存在点H ,使得GH AC ⊥;若存在,求:DH DE 的值;若不存在,请说明理由.20.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为23,乙胜丙的概率为12,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.21.已知抛物线()2:20C x py p =>上第一象限的一点(),1P x 到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和P 点坐标;(2)过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交抛物线C 于A 、B ,若APB ∠的角平分线与y 轴垂直,求弦AB 的长.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左,右焦点分别为12,F F ,且12,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点23,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上,过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线,AB CD 分别交椭圆E 于,,,A B C D ,且,M N 分别是弦,AB CD 的中点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线MN 过定点;(3)求2MNF 面积的最大值.成都外国语学校2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题(测试时间120分钟,满分150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线30y -+=的倾斜角为()A.30 B.60C.120D.150【答案】A 【解析】【分析】求出直线30y -+=的斜率,进而可得出该直线的倾斜角.【详解】因为直线30y -+=的斜率为33k =,因此,该直线的倾斜角为30 .故选:A.2.已知)1,2n x =,(2n =--分别是平面,αβ的法向量,若//αβ,则x =()A .7- B.1- C.1 D.7【答案】B 【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行,列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =,(2n =--分别是平面,αβ的法向量,且//αβ,所以12//n n ,即33==-=1x -故选:B3.在一个实验中,某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为()A.0.25 B.0.4C.0.6D.0.75【答案】A 【解析】【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量,结合题意,求解即可.【详解】20组数据中,都不含1,2,3,4的数据有5个,分别是:907,966,569,556,989;故三只豚鼠都没被感染的概率为:50.2520=.故选:A .4.方程12=,化简的结果是()A.221364x y += B.2213632x y += C.2213616x y += D.2213616y x +=【答案】B 【解析】【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程,即得.12+=,可得点(),M x y 到定点()12,0F ,()22,0F -的距离之和等于12,即1212124MF MF F F +=>=,所以动点(),M x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆,设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>,则212a =,2c =,所以6a =,b =,故方程为2213632x y +=.故选:B.5.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径6AB =,深度2MO =,信号处理中心F 位于焦点处,以顶点O 为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ,若P 是该拋物线上一点,点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭,则PF PQ +的最小值为()A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由已知点()2,3在抛物线上,利用待定系数法求抛物线方程,结合抛物线定义求PF PQ +的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>,因为6AB =,2MO =,所以点()2,3A 在抛物线上,所以94p =,故94p =,所以抛物线的方程为292y x =,所以抛物线的焦点F 的坐标为9,08⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线方程为98x =-,在方程292y x =中取158x =可得2135416y =>,所以点Q 在抛物线内,过点P 作PP '与准线垂直,P '为垂足,点Q 作QQ '与准线垂直,Q '为垂足,则PF PP '=,所以159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=,当且仅当直线PQ 与准线垂直时等号成立,所以PF PQ +的最小值为3,故选:B.6.已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点,PA ⊥平面ABCD ,点,M N 满足12PM PC =,23PN PD = .若MN x AB y AD z AP =++,则x y z ++=()A.1-B.1C.12- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意,由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算,即可得到结果.【详解】因为12PM PC = ,23PN PD = ,所以()()21213232MN PN PM PD PC AD AP AC AP =-=-=---()()2111132266AD AP AB AD AP AB AD AP =--+-=-+-,因为MN x AB y AD z AP =++ ,所以12x =-,16y =,16z =-,所以12x y z ++=-.故选:C7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线,垂足为A (第一象限),并与双曲线C 交于点B ,若FB BA =,则l 的斜率为()A.2 B.1C.12D.74-【答案】B 【解析】【分析】由已知FB BA =,可知BF ,再结合双曲线的定义,得1BF ,在1BFF △中用余弦定理可知1cos BFF ∠,又1cos bBFF c∠=,整理可得a b =,可得l 的斜率.【详解】由已知直线l 的方程为by x a=,即0bx ay -=,点(),0F c ,则FA b ==,因为FB BA =,所以B 为线段AF的中点,则2bBF =,设双曲线C 的左焦点为1F ,则122bBF a =+,在1BFF △中,222222111142242cos 2222b bc a BF FF BF b a BFF b BF FF c c ⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭∠===⨯⨯,又1cos b BFF c∠=,所以a b =,故l 的斜率为1,故选:B.8.已知ABC 的三个顶点都在椭圆Γ:22221x y a b+=(0a b >>)上,其中A 为左顶点,B 为上顶点,若以B 为顶角的等腰三角形ABC 恰好有3个,则Γ的离心率的取值范围为()A.6,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由题意知只需椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点,求出,a c 的关系得离心率的取值范围【详解】由题意知ABC 的第三个顶点C 在以B为圆心,以AB =为半径的圆上,要使以B 为顶角的等腰三角形恰好有3个,则需要满足椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点,由()222222221x y a b x y b a b ⎧+=⎪⎨⎪+-=+⎩得2222c y by b -=,所以0y =或322by c=-,当0y =时,椭圆与圆有两个交点,分别为左右顶点,当C 位于右顶点处满足条件;当322b y c =-时,要满足椭圆与圆有两个不同交点23,C C ,需要322b y b c =->-,即222b c <,即22222a c c -<,解得63c a >,所以,13e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故选:A【点睛】关键点点睛:要满足条件的三角形有3个,关键是将条件转化为椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点解决.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.数据22,24,32,33,35,28,56,x 的第65百分位数为35,则x 的取值可以是()A.20 B.35 C.42 D.53【答案】BCD 【解析】【分析】根据第p 百分位数的概念进行计算并判断.【详解】因为865% 5.2⨯=,所以第65百分位数是这组数据的第6个,即为35,又因为本组数据中小于35的数据已有5个,所以35x ≥,故选:BCD.10.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ,B ,其中()18n Ω=,()9n A =,()6n B =,()12n A B ⋃=则()A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立 D.()16P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得:()()()()()()11,23P A P B n A n B n n ==ΩΩ==,则()()213P B P B =-=,∵()()()()n A B n A n B n AB ⋃=+-,∴()()()()30n A B n AB n A n B +-==≠U ,即事件A 与事件B 不互斥,A 错误;可得:()()()()Ω12n A B n n A n AB ⋃=-+=,故()()()()()()()()()()1215,,1,1Ω6Ω336n A B n AB P AB P A B P AB P A B P AB P AB n n ⋃==⋃===-⋃==-=,可知B 正确,D 错误;又∵()()()P AB P A P B =,∴事件A 与事件B 相互独立,C 正确;故选:BC.11.已知1F ,2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上第一象限内一点,且12π3F PF ∠=,12F F =,1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上,则()A.C 的实轴长为2B.C 的离心率为C.12F PF △的面积为D.12F PF ∠10y --=【答案】ACD 【解析】【分析】求出双曲线的解析式,即可求出实轴长和离心率,求出焦点即可得出面积,利用倾斜角即可求出12F PF ∠的平分线所在直线的方程.【详解】由题意,在()2222:10,0x y C a b a b-=>>中,∵1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上,∴P ,2F ,Q 三点共线,且1PF PQ =,∵12π3F PF ∠=,∴11PF F Q PQ ==.设11PF F Q PQ m ===,2PF n =,根据双曲线定义可得122PF PF m n a -=-=,()122QF QF m m n a -=--=,解得4m a =,2n a =,即222PF QF a ==,∴12PQ F F ⊥.在12F PF △中,根据勾股定理可得,2216412a a =+,解得1a =,∴C 的实轴长为2,所以A 正确;又1a =,c =∴C B 不正确;12F PF △的面积为212⨯=∴C 正确;∵12PQ F F ⊥,∴)2P ,∵12π3F PF ∠=,易得12F PF ∠的平分线的倾斜角为π3,∴12F PF ∠的平分线所在直线的方程为2y x -=-10y --=,所以D 正确.故选:ACD.12.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为1CC 的中点,点P 为正方形1111D C B A 上的动点,则()A.满足MP //平面1BDA 的点PB.满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为223C.存在点P ,使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足5PA PM +=【答案】AD 【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点P 的轨迹,进而判断A ;建立空间直角坐标系,得到(2,0,0)A ,(0,2,1)M ,P 为正方形1111D C B A 上的点,可设(,,2)P x y ,且02x ≤≤,02y ≤≤,进而对BCD 各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A ,取11B C 的中点Q ,11D C 的中点N ,又点M 为1CC 的中点,由正方体的性质知1//MQ A D ,//NQ BD ,MQ NQ Q = ,1A D BD D ⋂=,所以平面//MQN 平面1BDA ,又MP ⊂平面MQN ,MP ∴∥平面1BDA ,故点P 的轨迹为线段NQ ==,故A 正确;对B ,方法一:在平面11BCC B 中过M 作ME AM ⊥,交11B C 于E ,设1C E x =,则3AM ==,ME =,AE ==由222AM ME AE +=,可解得12x =,同理,在平面11DCC D 中过M 作MF AM ⊥,交11D C 于F ,可得112C F =,因为ME MF M = ,所以AM⊥平面MEF ,因为MP AM ⊥,所以MP ⊂平面MEF ,所以点P 的轨迹为线段EF ,长度为22,故B 不正确;方法二:以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0)A ,(0,2,1)M ,设(,,2)P x y ,且02x ≤≤,02y ≤≤,(2,,2)AP x y =- ,(,2,1)MP x y =- ,(2,2,1)AM =-()22212230AM MP x y x y ⋅=-+-+=-+-= ,即32y x =+,又02x ≤≤,02y ≤≤,则点P 的轨迹为线段EF ,30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,2,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭且22EF ==,故B 错误;对于C ,方法一:取1DD 中点G ,连接,AG MG ,正方体中,易得//AB MG ,所以平面ABM 截正方体的截面为平面ABMG ,显然P ∉平面ABMG ,故不存在点P ,使得平面AMP 经过点B ,故C 错误;方法二:设(,,2)P x y ,且02x ≤≤,02y ≤≤,若平面AMP 经过点B ,则DP aDA bDB cDM =++,且1a b c ++=,又(,,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)DP x y DA DB DM ====,所以()()()(),,22,0,02,2,00,2,1x y a b c =++,即()(),,222,22,x y a b b c c =++,因此222221x a b y b c c a b c =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪++=⎩,从而2x =-,不合题意,所以不存在点P ,使得平面AMP 经过点B ,故C 错误;对于D ,方法一:延长1CC 至M ',令11C M C M '=,则MP M P '=,所以PA PM PA PM AM ''+=+≥,因为4AM '==>,所以存在点P 满足5PA PM +=,故D 正确.方法二:点M 关于平面1111D C B A 的对称点的为(0,2,3)M ',三点共线时线段和最短,故4PA PM AM =='≥>+,故存在点P 满足5PA PM +=,故D 正确.故选:AD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.对任意实数m ,圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点,则定点坐标为__.【答案】()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知得222(369)0x y x y m +--+-=,从而22203690x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩,由此能求出定点的坐标.【详解】解:2236920x y mx my m +--+-=,即222(369)0x y x y m +--+-=,令22203690x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩,解得1x =,1y =,或15x =,75y =,所以定点的坐标是()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为:()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知向量()2,3,1a =- ,()4,,2b t =- ,若a 与b的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为______.【答案】()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于·0a b <且a与b不共线.【详解】由·0a b <⇒()()2,3,1·4,,20t --<⇒8320t -+-<⇒103t <;由a b⇒42231t -==-⇒6t =-.综上:103t <且6t ≠-.故答案为:()10,66,3⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.15.已知椭圆2212516x y +=的左焦点为1F ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点,若点M 是线段1PF 的中点,则1MOF ∆的周长为______.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质,即可得到本题答案.【详解】由椭圆2212516x y +=,得5,4,3a b c ===,由题意可知如图:连结2PF ,点M 是线段1PF 的中点,可得OM 为12PF F ∆的中位线,所以212OM PF =,由椭圆的定义可知122PF PF a +=,得15MF MO a +==,所以1MOF ∆的周长为:538a c +=+=.故答案为:8【点睛】本题主要考查椭圆的定义,其中涉及到三角形中位线的应用.16.过点()1,M m -作抛物线()2:2,0C y px p =>的两条切线,切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ,又直线AB 经过抛物线C 的焦点F ,那么12MA MBy y k k =______.【答案】4【解析】【分析】由题意,利用两种方法化简所求代数式,方法一:设出过M 与抛物线的切线的点斜式方程,联立方程,由切点性质,则0∆=,可得方程2220k km p +-=,根据题意,结合韦达定理,可得2MA MB pk k ⋅=-,同样的思路,设出过焦点的直线AB ,联立方程,结合韦达定理,可得212y y p =-,故可得第一种所求代数式的表示;方法二:利用导数的几何意义,求切线斜率,可得212MA MB p k k y y ⋅=,结合方法一中212y y p =-,可得第二种所求代数式的表示;综上建立方程,求得p 的值,进而求得答案.【详解】由题意,显然过点()1,M m -作抛物线2:2C y px =的切线的斜率存在,设该斜率为k ,则该切线方程为()1y m k x -=+,即y kx k m =++,联立2=++=2y kx k m y px⎧⎨⎩,消去y 可得()2222222220k x k km p x k km m ++-+++=,由于切线与抛物线只有唯一交点,则()()22222222420k km p k k km m ∆=+--++=,整理可得2220k km p +-=,由题意,可知,MA MB k k 为方程2220k km p +-=的两个根,则2MA MB p k k ⋅=-,由题意,设直线AB 的方程为2p x ny =+,联立可得2=+2=2p x ny y px ⎧⎪⎨⎪⎩,消去x 可得2220y pny p --=,由题意可知12,y y 为该方程的两个根,则212y y p =-,故21222MA MB y y p pp k k -==⋅-,由抛物线方程()22,0y px p =>,可得函数y =与函数y =,则122y p '==与122y p '=-=不妨设()11,A x y 在第一象限,则110,0x y >>,即1y =1MA pk y ==,由设()11,A x y 在第一象限,则()12,B x y 在第四象限,即220,0x y ><,可得2y =,且2MBp k y ==,故212MA MB p k k y y ⋅=,由212y y p =-,则()212212122212MA MB y y y y y y p p k k p y y ===⋅,综上可得22p p =,解得=2p ,故124MA MBy y k k =⋅.故答案为:4.【点睛】对于抛物线的焦点弦,要熟记直线与抛物线联立,消元选择消去一次项,根据韦达定理,可得两个交点坐标与p 之间的等量关系;对于切线的斜率,利用导数的几何意义进行计算,要善于化简表达式,可用纵坐标表示,结合韦达定理,可得简化计算.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数、将数据分成7组:[)20,30,[)30,40,…,[]80,90,并整理得到如图的频率分布直方图.(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数;(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考.【答案】(1)80(2)20(3)65分【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出分数不小于60的频率,即可得到分数小于60的频率,即可估计人数;(2)由频率分布直方图求出分数在区间[)40,50内的人数,即可估计总体中分数在区间[)40,50内的人数;(3)根据百分位数计算规则计算可得.解:据频率分布直方图可知,样本中分数不小于60的频率为()0.020.040.02100.8++⨯=,所以样本中分数小于60的频率为10.80.2-=,所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为4000.280⨯=.【小问2详解】解:根据题意,样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=,分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=,所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=.【小问3详解】解:设分数的第25百分位数为x ,分数小于70的频率为()10.040.02100.4-+⨯=,分数小于60的频率为()10.020.040.02100.2-++⨯=,所以[)60,70x ∈,即()0.2600.010.25x +-⨯=,解得65x =,则本次考试的及格分数线为65分.18.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-++=相交于,A B 两点,求:(1)线段AB 的长;(2)两圆有公切线方程.【答案】(1)455(2)=2y -或43100x y +-=【解析】【分析】(1)两方程联立求出直线AB 的方程,利用垂径定理和勾股定理即可求出线段AB 的长;(2)利用图象找出一条公切线,利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.由题意,联立方程组222244240x y x y x y ⎧+=⎨+-++=⎩,两式相减得到直线AB 的方程为24y x =-,则原点O 到直线AB 的距离为220044552(1)--=+-,根据勾股定理得2245452255AB 骣琪琪琪琪ø=è=-【小问2详解】由题意及(1)得,在圆22:4240M x y x y +-++=中,()2(2)11x y -++=,∴()2,1M -,半径为21r =,在圆22:4O x y +=中,圆心()0,0O ,半径为12r =,可得直线=2y -与两圆相切,即=2y -为两圆的公切线,则=2y -关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线,由()0,0O 和()2,1M -,可得两圆心所在直线为12y x =-,即20x y +=,联立方程组220y x y =-⎧⎨+=⎩,解得4,2x y ==-,即交点坐标为()4,2-,在直线=2y -上任取一点()1,2-,设点()1,2-关于直线20x y +=对称点为(),x y ,可得21112122022y x x y ⎧+⎛⎫⋅-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+-⎪+⨯=⎪⎩,解得1,2x y =-=,即对称点的坐标为()1,2-,所求的另一条切线过点()()1,2,4,2--,可得其方程为43100x y +-=,故所求切线方程为=2y -或43100x y +-=.19.如图,多面体ABCDEF 中,面ABCD 为正方形,DE ⊥平面,ABCD CF //DE ,且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点,H 为棱DE 上的动点.(1)证明:当H 为棱DE 的中点时,GH //平面ABE ;(2)是否存在点H ,使得GH AC ⊥;若存在,求:DH DE 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)取EA 中点为M ,通过平行关系证明四边形HMBG 为平行四边形,再结合线面平行的判定定理完成证明;(2)建立合适空间直角坐标系,将垂直关系转化为向量的数量积为0,结合结果进行判断即可.【小问1详解】当H 为DE 的中点时,取EA 中点为M ,连接,MH MB ,因为,H M 分别为,ED EA 的中点,故可得MH //1,2AD MH AD =,根据已知条件可知:BG //1,2AD BG AD =,故MH //,BG MH BG =,故四边形HMBG 为平行四边形,则HG //MB ,又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ,故HG //面ABE ;【小问2详解】因为ED ⊥平面,,ABCD DA DC ⊂平面ABCD ,故,DE DA DE DC ⊥⊥,又四边形ABCD 为矩形,故DA DC ⊥,则,,DE DA DC 两两垂直,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ,设()[]0,0,,0,2H m m ∈,若GH AE ⊥,则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=,即220m +=,解得1m =-,不满足题意,故H 不存在.20.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为23,乙胜丙的概率为12,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】(1)1136(2)1954【解析】【分析】(1)设事件A 为甲胜乙,B 为甲胜丙,C 为乙胜丙,然后得出丙被淘汰可用事件C AC CAB ,根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性,即可得出答案;(2)分最终的冠军为甲,乙,丙,分别求解出概率,然后根据互斥事件的概率公式,即可得出答案.【小问1详解】记事件A 为甲胜乙,则2()3P A =,则()1()13P A P A =-=,事件B 为甲胜丙,则2()3P B =,()1()13P B P B =-=,事件C 为乙胜丙,则1()2P C =,()1()12P C P C =-=.则丙被淘汰可用事件C AC CAB 来表示,所以,前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为()()()()()()1()()P C P A P C P C P A P B P P CAC P CAB ==++1111221123223336=⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA CBAB 来表示,()()()P CABA CBAB P CABA P CBAB =+ ()()()()()()()()P C P A P B P A P C P B P A P B =+1222122282333233327=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=;若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件C A C A 来表示,()()()()()P C AC A P C P A P C P A =11111232336=⨯⨯⨯=;若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CBCB 来表示,()()()()()11111232336P C BC B P C P B P C P B ==⨯⨯⨯=.所以,只需四场比赛就决出冠军的概率为()2(()P P CA B CA P CA A C P CBCB BAB =++ 8111927363654=++=.21.已知抛物线()2:20C x py p =>上第一象限的一点(),1P x 到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和P 点坐标;(2)过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交抛物线C 于A 、B ,若APB ∠的角平分线与y 轴垂直,求弦AB 的长.【答案】(1)抛物线方程为:24x y =,P 点坐标为(2,1)(2)4【解析】【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义可求出p ,则可得抛物线方程,再将1y =代入抛物线方程可求出x ,从而可求得点P 的坐标,(2)由题意可得直线l 的斜率存在,设直线方程为()112y k x =++,()11,A x y ,()22,B x y ,将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系,再由APB ∠的角平分线与y 轴垂直,可得0PA PB k k +=,化简可求出k 的值,再利用弦长公式可求得弦AB 的长.【小问1详解】由122p+=可得:p =2,故抛物线方程为:24x y =,当y =1时,24x =,又因为x >0,所以x =2,所以P 点坐标为(2,1);【小问2详解】由题意可得直线l 的斜率存在,设直线方程为()112y k x =++,()11,A x y ,()22,B x y ,由2124y kx k x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩,得24420x kx k ---=,所以()2164420k k ∆=++>,124x x k +=,1242x x k ⋅=--,因为APB ∠的角平分线与y 轴垂直,所以0PA PB k k +=,所以121211022PA PBy y k k x x --+=+=--,即2212121144022x x x x --+=--,即1240x x ++=,所以1k =-,124x x +=-,122x x ⋅=,所以124AB x =-==.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,F F ,且12,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点23,22P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上,过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线,AB CD 分别交椭圆E 于,,,A B C D ,且,M N 分别是弦,AB CD 的中点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线MN 过定点;(3)求2MNF 面积的最大值.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析(3)19【解析】【分析】(1)根据条件列出方程组求解;(2)设直线AB 的方程为1,0x my m =+≠,根据已知条件,利用韦达定理和中点公式求得222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,2222,2112m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,然后按照其横坐标是否相等,分别研究直线MN 的方程,从而得到结论;(3)求得△MNF 2面积S 关于m 的表达式,然后利用换元思想,设()12,m t t m+=≥转化为关于t 的函数,利用函数的单调性求解得到.【小问1详解】因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23,22P ⎛ ⎝⎭,所以2213124a b+=,因为12,F F 与短轴的一个顶点Q 构成一个等腰直角三角形,所以2222,2b c a b c b ==+=,所以22131224b b+=⨯,解得222,1a b ==,所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】证明:设直线AB 的方程为()1,0x my m =+≠,则直线CD 的方程为11x y m=-+,联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得()222210m y my ++-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则1212222122m y y y y m m +=-=-++,所以()()()121212241122x x my my m y y m +=+++=++=+,由中点坐标公式得222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭,将M 的坐标中的m 用1m -代换,得CD 的中点2222,2112m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,当21m =时,MN 所在直线为23x =,当21m ≠时,()2321MN m k m =-,直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭,整理得23112m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,令312x -,可得23x =,即有0y =,所以直线MN 过定点R ,且为2,03R ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问3详解】方法一:2F MN 面积为32224222111211112232122252225M N m m m m m m S F R y y m m m m m m ++⎛⎫=⋅-=---=⋅= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭.令()211112,122122t m t t S m t t t+=≥=⋅=⋅++,由12y t t =+,2221212t y t t -'=-=,在[)2,+∞上0'>y ,∴12y t t =+递增,则在[)2,+∞上递减,所以当2t =,即1m =±时,S 取得最大值为19,则2MNF 面积的最大值为19.方法二:222212MF NF m m ===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则2MNF 面积222112142mm S MF NF m m +=⨯⨯=⎛⎫++ ⎪⎝⎭,令()12m t t m +=≥,则21124294t S t t t==≤++,当且仅当2t =,即1m =时,2MNF 面积的最大值为19.所以2MNF 面积的最大值为19.。
2024届山东省青岛市二中高二上学期12月月考试题数学及答案
青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题(数学)时间:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l :210x my ++=与直线2l:2102m x y -+=垂直,则实数m 的值为( )A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C :221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为( )A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22a =,且2a ,3a ,42a -成等差数列,则5S =( )A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上,且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是( )A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34132160a a a ++=,则1165S a -=( )A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥,12a =,则满足不等式930n a <的最大正整数n 为( )A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现,2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇,分别是梅兰竹菊松柳荷桂.“梅兰竹菊,迎八方君子;松柳荷桂,展大国风范“.团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分,象征着团结友善.花瓣型团扇,造型别致,扇作十二葵瓣形,即有12个相同形状的弧形花瓣组成,花瓣的圆心角为120︒,花瓣端点也在同一圆上,12个弧形花瓣也内切于同一个大圆,圆心记为O ,若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ,两个花瓣端点记为A 、B ,切点记为D ,则不正确的是( )A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时,存在OC BC=8. 双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ,原点O 到直线l 的距离为a ,且122F PO S a =△,则双曲线C 的离心率为( )AB.C. 2D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ,曲线:n C 2211++=n n x y a a ,则下列叙述正确的有( )A. 若n C 为圆,则1q =B. 若1q =-,则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,且满足101a <<,202320242a a +<,()()20232024110a a --<,则()A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ,有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ,且与n 互质的正整数的个数(公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数),例如:()32ϕ=,()42ϕ=,则( )A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时,()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,过F 的一条直线与C 交于A ,B 两点,若点M 在l 上运动,则( )A. 当AM AF =时,AM l⊥B. 当AM AF MF ==时,2AF BF =C. 当M A M B ⊥时,,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时,2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 在数列{}n a 中,若12a =,11n n a a n +=++,则{}n a 的通项公式为______.14. 已知圆C :()()221225x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程,音分是度量不同乐音频率比的单位,也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分,它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2,因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ,音分值为k ,音N 的频率为n ,音分值为l .若m =,则k l -=_________16. 已知1F ,2F 分别为双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点,过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点,且点A 、B 在x 轴的上方,A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c,若22AF BF =,则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ,边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=,边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.(1)求直线AC 的方程:(2)求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,490S =-,1015a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S 的最小值,并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,1323n n S n +=+-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)()()*2N 2n n n a c n -=∈,求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.(1)求抛物线C 的方程;(2)已知过点F 直线与C 交于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ,且线段AB 的中点为NAB λ,求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中,15a =,且122n n a a +=+.(1)求证:数列{}2n a -是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)设()223m b m λ=-+,12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中0λ>,若对任意*,m n ∈N ,总有73m n b c ->成立,求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ,左焦点()12,0F -,右焦点()22,0F ,左、右顶点分别为1A 、2A .的(1)求椭圆方程;(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与顶点重合),直线2A P 交y 轴于点Q ,若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍,求直线2A P 的方程;(3)如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点,是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在,求出圆1F 的半径r ;若不存在,请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题(数学)时间:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l :210x my ++=与直线2l:2102m x y -+=垂直,则实数m 的值为( )A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程,从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥,所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=,解得0m =或12m =.故选:C2. 与椭圆C :221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为( )A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程,求出c 的值即焦点坐标,然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=,则3c ==,即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -,由双曲线的定义可知12226a c F F==<==,所以3,a c b ====,所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选:C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22a =,且2a ,3a ,42a -成等差数列,则5S =( )A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列,等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比,从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,0q ≠,依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩,则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩,()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-,224222,240q q q q ⋅=+⋅--=,解得2q =,则11a =,所以()551123112S ⨯-==-.故选:D4. 求圆心在直线210x y +-=上,且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是( )A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上,联立即可得圆心坐标,进而得半径,从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上,而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦,即20x y --=,联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩,解得1,1x y==-,即圆心坐标为()1,1-,半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=,故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选:A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S,34132160a a a++=,则1165S a-=()A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d,311143422160,540a a a da d a++=+==+,()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选:A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥,12a=,则满足不等式930na<的最大正整数n为()A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a,由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意,数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥,12a=,()1121nna nna n-+=≥-,所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+,1a也符合,所以()1na n n=+,{}n a是单调递增数列,由()()()930,301310na nn n n<+-=<+,解得3130n-<<,所以n的最大值为29.故选:B7. 细心的观众发现,2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇,分别是梅兰竹菊松柳荷桂.“梅兰竹菊,迎八方君子;松柳荷桂,展大国风范“.团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分,象征着团结友善.花瓣型团扇,造型别致,扇作十二葵瓣形,即有12个相同形状的弧形花瓣组成,花瓣的圆心角为120︒,花瓣端点也在同一圆上,12个弧形花瓣也内切于同一个大圆,圆心记为O ,若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ,两个花瓣端点记为A 、B ,切点记为D ,则不正确的是( )A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时,存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ,令最外面圆半径为R ,花瓣所在圆半径为r ,对于A :因为大圆与小圆内切且切点为D ,所以切点与两个圆心共线,即,,O C D 在同一条直线上,A 正确;对于B :由两圆内切可知OC R r =-为定值,所以12个弧形的圆心在同一圆上,B 正确;对于C :因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆,所以3603012AOB ︒∠==︒,C 正确;对于D :由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△,所以130152COB ∠=⨯︒=︒,又120ACB ∠=︒,所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒,所以45OBC COB ∠=︒≠∠,所以OC BC ≠恒成立,D 错误,故选:D8. 双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ,原点O 到直线l 的距离为a ,且122F PO S a =△,则双曲线C 的离心率为( )A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△,又OA a =,所以可依次求得12,PF PF ,又2OF c =,再由平方关系可得2AF b =,又122FF c =,所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯,结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示:2OA PF ⊥,垂足为点A ,由题意OA a =,又2OF c =,所以2AF b ==,21cos b PF F c∠=,又因为原点O 是12F F 的中点,所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△,解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=,又122FF c =,所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯,整理得2234a c ab +=,又222c a b =+,所以22440a b ab +-=,即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,解得2b a =,从而所求离心率为e ==故选:D【点睛】关键点睛:本题的关键是画出图形,通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解,综合性比较强.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ,曲线:n C 2211++=n n x y a a ,则下列叙述正确的有( )A. 若n C 为圆,则1q =B. 若1q =-,则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ,若n C 为圆,则11n n a a a +==,求出q 得出结果;对于B ,n C 为等轴双曲线,求其离心率即可;对于C ,当01q <<时,曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆,求其离心率即可;对于D ,故曲线n C 为双曲线,求其渐近线方程.【详解】对于A ,首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ,曲线221:1n n n x y C a a ++=,若n C 为圆,则11n n a a a +==,所以221:0n C x y a +=>,所以1q =,即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确;对于B ,当1q =-时,11(1)n n a a -=-,所以n a 与1n a +互为相反数且不为0,故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线,故曲线n C,故B 错误;对于C ,01q <<,数列为递减数列,10n n a a +<<,所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆,.=,故C 正确;对于D ,当0q <时,n a 与1n a +异号,故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线,其渐近线为2210n n x y a a ++=,即=y ,故D 错误.故选:AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,且满足101a <<,202320242a a +<,()()20232024110a a --<,则()A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ,有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】依题意,10,0,01n a q a >><<,由于()()20232024110a a --<,所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩,则01q <<,则202212023011a qa <<⇒<矛盾,所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩,则1q >,所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>,B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩,所以n T 的最小值为2023T ,即2023n T T ≥,所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ,由于202320242a a +<,所以202320242a a +>>,所以202320241a a <⋅,所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<,由于1q >,且20232024011a a <<⎧⎨>⎩,所以当4046n ≤时,40461n T T ≤<,综上所述,使得1n T >的最小正整数n 为4047,所以D 选项正确.故选:BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ,且与n 互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:()32ϕ=,()42ϕ=,则( )A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时,()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ,且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项,()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==,A 选项正确.B 选项,()9691ϕ=≠-,B 选项错误.C 选项,由列表分析可知,对于2n ,“不超过正整数2n ,且与2n 互质的正整数”为:不超过2n的奇数,则()12222n nn ϕ-==,则()112222n n n ϕ++==,()()1222n nϕϕ+=,所以(){}2nϕ 是等比数列,所以C 选项正确.D 选项,有列表分析可知,对于3n ,“不超过正整数2n ,且与2n 互质的正整数”为:从1到3n中,除掉3的倍数,则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯,则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭,12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝,所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列,前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-,所以D 选项正确.故选:ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,过F 的一条直线与C 交于A ,B 两点,若点M 在l 上运动,则( )A. 当AM AF =时,AM l⊥B. 当AM AF MF ==时,2AF BF =C. 当M A M B ⊥时,,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时,2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项,联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ,进而可求得12AF y BFy =可判断B 项,由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项,设出点M 坐标,计算可得1MF AB k k ⨯=-,可得MF AB ⊥,运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A :如图所示,由抛物线定义可知,若AM AF =,则AM l ⊥,故选项A 正确;对于选项B :如图所示,当AM AF MF ==时,AMF 为正三角形,所以直线AB 的倾斜角为π3,设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭,由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=,12,y y ==,所以123AF yBF y ==,故选项B 错误;对于选项C :过点,A B 作直线垂直于l ,垂足分别为,A B '',作AB 的中点N ,如图所示,由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭',又因为M A M B ⊥,所以12MN AB =,由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=,所以()12MN AA BB =+'',所以M 为A B ''的中点,所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列,故选项C 正确;对于选项D :如图所示,设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线MF 的斜率为1k ,直线AB 的斜率为2k ,则00122y yk p p p ==---,由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-,由选项C 可知1202y y y +=,所以21202p pk y y y ==+,所以01201y pk k p y =-⋅=-,所以MF AB ⊥,又因M A M B ⊥,所以AM BM MF AB ⋅=⋅,且2||MF AF BF =⋅,由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅,当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 在数列{}n a 中,若12a =,11n n a a n +=++,则{}n a 的通项公式为______.【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+,利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中,12a =,11n n a a n +=++,故11n n a a n +-=+,所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ,为故答案为:222n n n a ++=14. 已知圆C :()()221225x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点,然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=,即()3420x y m x y +-++-=,由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得1x y ==,设()1,1D ,由于()()221112525++-=<,所以D 在圆C 内,圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -,半径=5r ,当CD AB ⊥时,AB 最短,CD ==,所以AB 的最小值为=.故答案为:15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程,音分是度量不同乐音频率比的单位,也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分,它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2,因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m,音分值为k,音N的频率为n,音分值为l.若m=,则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知,1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列,设第一个音频率为1a,所以(11nna a-=,故((1111,k lm a n a--==,因为m=,所以(31120022kk llmn--====,所以112003k l -=,解得400k l -=.故答案为:400.16. 已知1F ,2F 分别为双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点,过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点,且点A 、B 在x 轴的上方,A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c,若22AF BF =,则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点,先求得M 点的坐标,然后利用点差法求得b a,进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,依题意120,0y y >>,设AB 的中点为()000,,0M x y y >,由于22AF BF =,所以2⊥MF AB ,所以1212OM F F c ==,22OM c =,由于12y y +=,所以120425y y c y +==,所以035c x ==,所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上,所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭,()2,0F c ,若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意,舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭,则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,所以b a =,所以渐近线方程为y x =.故答案为:y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个,一个是22AF BF =,则2F 在线段AB 的垂直平分线上,由此可以构建中点和斜率的关系式;另一个关键点是点差法,利用点差法可以减少运算量,可以快速求得问题的答案.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ,边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=,边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.(1)求直线AC 方程:(2)求ABC 的面积.【答案】(1)60x y +-= (2)20【解析】【分析】(1)利用点斜式求得直线AC 的方程.(2)先求得,C B 两点的坐标,结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=,的直线60x y -+=的斜率为1,所以直线AC 的斜率为1-,所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=,由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩,即()4,2C .设(),B a b ,则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭,所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩,解得2026a b =⎧⎨=⎩,即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==,所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,490S =-,1015a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S 的最小值,并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】(1)535n a n =-(2)n S 的最小值为105-,对应6n =或7【解析】【分析】(1)根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差,从而求得n a .(2)利用0n a ≤,求得n S 取得最小值时对应n 的值,进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,依题意,4109015S a =-⎧⎨=⎩,114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩,解得130,5a d =-=,所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤,解得*17,≤≤∈n n N ,所以当6n =或7n =时n S 取得最小值,且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,1323n n S n +=+-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)()()*2N 2n n n a c n -=∈,求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)()*22N ,3nn a n ⋅∈=+(2)()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】(1)由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时,1n n n a S S -=-即可求解.(2)发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式,所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=,当*2,N n n ≥∈时,()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-,当1n =时,也有118322a ⨯=+=成立,综上所述,数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由(1)可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+,所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈,所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ,231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ,两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ,所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.(1)求抛物线C 的方程;(2)已知过点F 的直线与C 交于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ,且线段AB 的中点为N ,设DN AB λ=,求实数λ的取值范围.【答案】(1)24y x = (2)12λ≥【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义求得p ,进而求得抛物线的方程.(2)设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立,化简写出根与系数关系,求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ,根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==,所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ,抛物线准线为=1x -,依题意可知直线AB 与x 轴不重合,设直线AB 的方程为1x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=,216160m ∆=+>,设()()1122,,,A x y B x y ,则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+,()21212116y y x x ==,所以()221,2N m m +,由于DN 垂直平分AB ,所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=,令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+,则()31,24D m m -+,DN AB λ=,()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥,所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中,15a =,且122n n a a +=+.(1)求证:数列{}2n a -是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)设()223m b m λ=-+,12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中0λ>,若对任意*,m n ∈N ,总有的73m n b c ->成立,求λ的取值范围.【答案】(1)证明详见解析,11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭(2)7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用构造法,结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列,先求得2n a -,进而求得n a .(2)利用二次函数的性质求得m b 的最小值,利用商比较法求得n c 的最大值,从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意,15a =,且122n n a a +=+,所以1112n n a a +=+,则()11121222n n n a a a +-=-=-,所以12122n n a a +-=-,所以数列{}2n a -是首项为123a -=,公比为12的等比数列,所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭,依题意,0λ>,且对任意*,m n ∈N ,总有73m n b c ->成立,所以()()min max 73m n b c ->,()()222min ,3m m b m b λλ-+==,当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===,当2n ≥时,()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-,当2n =时,2143c c =,当3n ≥时,11n n c c -≤,所以()max 43n c λ=,则24733λλ->,解得73λ>或1λ<-(舍去),综上所述,λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”,将不等式恒成立问题,转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值,可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式,可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ,左焦点()12,0F -,右焦点()22,0F ,左、右顶点分别为1A 、2A .(1)求椭圆方程;(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与顶点重合),直线2A P 交y 轴于点Q ,若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍,求直线2A P 的方程;(3)如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点,是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在,求出圆1F 的半径r ;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22184x y +=(2)0x y +-=(3)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)根据题意求,,a b c ,进而可得方程;(2)由题意结合面积关系分析可知:22=A P PQ ,设()()0,0Q m m >,可得23m P ⎫⎪⎪⎭,代入椭圆方程运算求解即可;(3)分别设切线方程求点,M N 的坐标,进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ,结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=,解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >,由题意可得:2c b ==,则a ==,所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知:1222==-A A F ,可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ,由题意可知:2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △,可得22=A P PQ ,设()()0,0Q m m >,且()2A,则23m P ⎫⎪⎪⎭,可得28499184m +=,解得m =(0,Q ,所以直线2A P1+=,即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0,且MKN ∠不是直角,设切线1:2=+KM y k x ,联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()22111280k x k x ++=,解得0x =或121812=-+k x k ,当121812=-+k x k 时,2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ,即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ,同理可设切线2:2=+KN y k x ,可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ,则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ,不妨设MN PM ⊥,则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ,整理得21211⋅-=k k k ,设圆()()2221:20++=>F x y r r ,若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ,整理得()2224840r k k r -++-=,可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根,则121k k ⋅=,可得2111-=k ,即10k =,与题意相矛盾,所以不存在.【点睛】方法点睛:存在性问题求解的思路及策略(1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在;(2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.。
2021-2021学年高二上学期12月份月考数学试卷(理科) Word版含解析
2021-2021学年高二上学期12月份月考数学试卷(理科) Word版含解析2021-2021学年高二上学期12月份月考试卷数学(理科)一、选择题:本题包括8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意. 1.若�Vp∨q是假命题,则() A.p∧q是假命题 B.p∨q是假命题 C.p是假命题 D.�Vq是假命题2.椭圆x2+25y2=100上的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于5,那么M到另一个焦点的距离等于() A.5 B.10 C.15 D.203.抛物线y2=4ax(a<0)的焦点坐标是() A.(a,0) B.(��a,0)C.(0,a) D.(0,��a)4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A. B. C.1 D.25.已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,有下列4个命题:①若m∥n,n?α,则m∥α;②若m⊥n,m⊥α,n?α,则n∥α;③若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;④若m、n是异面直线,m?α,n?β,m∥β,则n∥α.其中正确的命题有() A.①② B.②③ C.③④ D.②④6.“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为() A.B.C.D.8.已知正方体ABCD��A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CE与D1F,CE与D1G.给出下列结论:①对于任意给定的点E,存在点F,使得D1F⊥CE;②对于任意给定的点F,存在点E,使得CE⊥D1F;③对于任意给定的点E,存在点G,使得D1G⊥CE;④对于任意给定的点G,存在点E,使得CE⊥D1G.其中正确结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:本题包括6小题,每小题6分,共36分.9.如图是古希腊数学家阿基米德墓碑上的图案,圆柱内有一个内切球,球的直径恰好等于圆柱的高,此时球与圆柱的体积之比为.10.双曲线��=1渐近线方程为.11.在三棱柱ABC��A1B1C1中,若=, =, =,则= .(用向量,,表示)12.如图,长方体ABCD��A1B1C1D1中,ABCD是边长为1的正方形,D1B与平面ABCD所成的角为45°,则棱AA1的长为,二面角B��DD1��C的大小为.13.已知命题p:?x∈R,x2+ax+1≥0,写出�Vp:;若命题p是假命题,则实数a的取值范围是. 14.在平面直角坐标系中,动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1.记动点P的轨迹为C,下列对于曲线C的描述正确的是①曲线C关于原点对称;②曲线C关于直线y=x对称;③当变量|y|逐渐增大时,曲线C无限接近直线y=x;④当变量|y|逐渐减小时,曲线C与x轴无限接近.三、解答题:本题包括5大题,共74分.15.已知圆M的圆心在直线x��2y+4=0上,且与x轴交于两点A(��5,0),B (1,0).(Ⅰ)求圆M的方程;(Ⅱ)求过点C(1,2)的圆M的切线方程.16.在斜三棱柱ABC��A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°,D为BC中点.(Ⅰ)求证:BC⊥AA1;(Ⅱ)求证:A1C∥平面AB1D;(Ⅲ)若AC=AA1=BC=2,∠A1AC=60°,求三棱锥A1��ABC的体积.6558717.如图所示,在直四棱柱ABCD��A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上的一点.(1)若DB=BC=CD,求BD与平面CDD1C1所成角;(2)求证:MD⊥AC;(3)是否存在点M,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D?若存在,试确定点M的位置,并给出证明;若不存在,说明理由.18.在圆x2+y2=4上取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.(1)当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?(2)若直线y=x+与(1)问中的点M的轨迹相交于A、B两点,求|AB|.19.以F1(��1,0)和F2(1,0)为焦点的椭圆C过点A(1,).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如图,过点A作椭圆C的两条倾斜角互补的动弦AE,AF,求直线EF的斜率;(Ⅲ)求△OEF面积的最大值.2021-2021学年高二上学期12月份月考试卷数学(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题包括8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意. 1.若�Vp∨q是假命题,则() A.p∧q是假命题 B.p∨q是假命题 C.p是假命题 D.�Vq是假命题【考点】复合命题的真假.【分析】由题意,可得�Vp,q的真假性,进而得到正确选项.【解答】由于�Vp∨q是假命题,则�Vp是假命题,q是假命题,所以p是真命题,q 是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,�Vq是真命题,故选A.2.椭圆x2+25y2=100上的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于5,那么M到另一个焦点的距离等于() A.5 B.10 C.15 D.20 【考点】椭圆的简单性质.【分析】将椭圆化成标准方程,根据椭圆的定义,即可求得M到另一个焦点的距离.【解答】解:由椭圆的标准方程:,焦点F1,F2,由椭圆的定义可知:丨MF1丨+丨MF2丨=2a=20,由题意可知:丨MF1丨=5,∴丨MF2丨=15,故答案选:C.3.抛物线y2=4ax(a<0)的焦点坐标是() A.(a,0) B.(��a,0)C.(0,a) D.(0,��a)【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的性质得出p的值,然后即可得到焦点坐标.【解答】解:整理抛物线方程得y2=4ax,p=2a ∴焦点坐标为(a,0)故选A4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()感谢您的阅读,祝您生活愉快。
广东省高二上学期12月月考数学试题(解析版)
高二上学期12月月考数学试题一、单选题1的倾斜角为( ) 0y +=A .B .C .D .3π6π56π23π【答案】D【分析】得,所以0y +=y =tan k α==,结合直线的倾斜角的范围即可求得.α【详解】设该直线的倾斜角为α,则,解得. tan α=[)0,απ∈23πα=故选:D.2.已知圆C :,则( ) 2286100x y x y +---=A .圆C 的圆心坐标为 B .圆C 的圆心坐标为 ()4,3--()3,4C .圆CD .圆C 的半径为35【答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程,得到圆心和半径,得到答案. 【详解】因为圆C :的标准方程为. 2286100x y x y +---=()()224335x y -+-=所以其圆心坐标为ABD 错误,C 正确. ()4,3故选:C3.甲、乙两人约定进行乒乓球比赛,采取三局两胜制(在三局比赛中,优先取得两局胜利的一方获胜,无平局),乙每局比赛获胜的概率都为,则最后甲获胜的概率是( )13A .B .C .D .1027162720272627【答案】C【分析】分前两局甲均赢,和前两局甲赢一场,输一场,第三局赢,分别求出概率相加得到答案. 【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制(无平局),甲每局比赛获胜的概率都为,23若前两局甲均赢,则结束比赛,甲获得胜利,此时概率为,224339⨯=前两局甲赢一场,输一场,第三局甲赢,此时甲获得胜利,则概率为,212122833333327⨯⨯+⨯⨯=所以最后甲获胜的概率. 482092727P =+=故选:C4.已知圆C :和直线l :,若圆C 上存在A ,B 2222420x y kx y k +-++-=()25130kx k y +--=两点关于直线l 对称,则k =( ) A .-2 B .C .2D .或21212【答案】B【分析】根据圆C 上存在A ,B 两点关于直线l 对称,得到直线l 经过圆C 的圆心求解. 【详解】解:因为圆C 上存在A ,B 两点关于直线l 对称, 所以直线l 经过圆C 的圆心,圆C 的标准方程为,圆心,()()221x k y -++243k k =-+(),1C k -所以,解得,222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或所以. 12k =故选:B5.已知圆:和圆:,则圆与圆1C 2224230x y x ay a +-+++=2C 22224410x y x ay a ++-+-=1C 2C 的公切线的条数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径,根据圆心距大于半径之和,得到两圆外切,故公切线条数为4. 【详解】两圆的标准方程分别为和, ()()2221x y a -++=()()22122x y a ++-=圆心分别为,,半径分别为,()12,C a -()21,2C a -11r=2r =圆心距,故, 123C C ==≥1212C C r r >+所以圆与圆外离,所以圆与圆有4条公切线. 1C 2C 1C 2C 故选:D6.如图所示,M 是四面体OABC 的棱BC 的中点,点N 在线段OM 上,点P 在线段AN 上,且,,设,,,则下列等式成立的是( )3AP PN =23ON OM = OA a = OB b = OC c =A .B .111444OP a b c =++ 1133AN a b c =++C .D .311444AP a b c =-+- 1122OM b c =- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因,所以选项错误; ()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-B 因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+ .所以选项错误;311444a b c =-++C 因为,所以选项错误. ()111222OM OB OC b c =+=+ D 因为,所以选项正确;311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭A 故选:.A 7.已知点是平行四边形所在平面外的一点,,,P ABCD ()1,1,0AB =- ()1,0,2AD =()1,1,1AP =- ,为线段的中点,为线段的中点,则( ) E AC F PD A .直线与直线.是平面的法向量 BP CD AD PAB C . D .//EF PB AC BD ⊥ 【答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可,B 选项利用法向量性质判断即可,选项C 画出利用三角形的中位线判断即可,选项D ,利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为,,()0,2,1BP AP AB =-=-()1,1,0CD BA ==- 所以,cos ,BP CD BP CD BP CD ⋅<>===故A 错误;因为平面PAB ,且,所以不是平面PAB 的法向量,AB ⊂10AD AB ⋅=≠ AD故B 错误;连接,如图所示:BD因为为线段的中点,为线段的中点, E AC F PD 又为平行四边形的对角线, BD ABCD 所以为线段的中点 E BD 所以是的中位线,EF PBD △所以,即, //EF PB //EF PB故C 正确;因为,, ()2,1,2AC AB AD =+=-()0,1,2BD AD AB =-= 所,1430AC BD ⋅=-+=≠故不成立, AC BD ⊥故D 错误. 故选:C.8.如图,已知,,从点射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最()5,0A ()0,5B ()1,0P 后经直线OB 反射后又回到点P ,则光线所经过的路程长为( )A .B .C .D .【答案】A【分析】求出关于的对称点和它关于y 轴的对称点,则就是所求的路程长. P AB 1P 2P 12PP【详解】易知直线AB 的方程为,设点关于直线AB 的对称点为,5y x =-+()1,0P ()1,P a b 则解得即.1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩5,4,a b =⎧⎨=⎩()15,4P 又点关于y 轴的对称点为,()1,0P ()21,0P -=故选:.A二、多选题9.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,观察这两次骰子出现的点数.记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”,事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”,事件C 为“两次点数之和为8”,事件D 为“两次点数之和为7”,则( ) A .A 与B 相互独立 B .A 与D 相互独立 C .B 与C 为互斥事件 D .C 与D 为互斥事件【答案】ABD【分析】先求出, 再利用公式判断选项AB ,利用概念判断选项CD 得解. (),(),(),()P A P B P C P D 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示,其中第一次在前,第二次在后,不同结果如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).共36个. ,(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)依题意,,11(),()66P A P B ==事件C 包括,共5个,,事件D 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)5()36P C =,共6个,. (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)61()366P D ==对于选项A ,事件只有结果,A 与B 相互独立,所以选项A 正AB 1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅确;对于选项B ,事件只有结果,A 与D 相互独立,所以选项B 正AD 1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅确;对于选项C ,当第一次的点数是3点,第二次是5点时,两个事件同时发生了,所以事件不B C ,是互斥事件,所以选项C 不正确;对于选项D ,事件是不可能事件,即C 与D 是互斥事件,所以选项D 正确. C D ,故选:ABD10.已知方程表示椭圆,下列说法正确的是( )221124x y m m +=--A .m 的取值范围为 B .若该椭圆的焦点在y 轴上,则 ()4,12()8,12m ∈C .若,则该椭圆的焦距为4 D .若,则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A :因为方程表示椭圆,221124x y m m +=--所以,解得,且,故A 错误;12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B :因为椭圆的焦点在y 轴上,221124x y m m +=--所以,解得,故B 正确;4120m m ->->812m <<C :若,则椭圆方程为,6m =22162x y +=所以,从而,故C 正确;222624c a b =-=-=24c =D :若,则椭圆方程为,10m =22126x y +=点的坐标不满足方程,即该椭圆不经过点,故D 错误. ((故选:BC.11.已知O 为坐标原点,圆M :,则( ) ()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=A .圆M 与圆内切2216x y +=B .直线与圆M 相离sin cos 0x y αα-=C .圆M 上到直线的距离等于1的点最多有三个0x y +=D上任意一点P 作圆M 的切线,切点分别为A ,B ,则四边形PAMB面积100y +-=的最小值为【答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ;根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ;根据点到直线的距离公式计算即可判断C ;根据点到直线的距离公式求出,利用三角的MP 恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A :圆M 的圆心,半径, ()2cos ,2sin M θθ12r =而圆的圆心,,2216x y +=()0,0O 24r =所以,,所以圆M 与圆内切,A 正确; 2OM ==21r r -2216x y +=B :圆心M 到直线,故圆sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ-≤和直线相切或相交,B错误;C :因为圆心到直线的距离()2cos ,2sin M θθ0x y +=, π14d θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为,圆M 的半径为2,[]0,3d ∈所以圆M上到直线的距离等于1的点最多有四个,故C 错误; 0x y +=D :四边形PAMB 的面积2S MA PA PA =⋅==当MP 时,有最小值,100y +-=MP ,πsin 52sin 53θθθ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭因为,所以,[]3,7MP ∈min 3MP =则四边形PAMB 面积的最小值D 正确. min S ==故选:AD.12.如图,已知正方体的棱长为2,P 为空间中一点,,1111ABCD A B C D -1AP xAA y AB z AD =++则( )A .当,时,异面直线BP 与 12x z ==0y =1C D B .当,时,三棱锥的体积为 1x y ==[]0,1z ∈1A PBC -43C .当,,时,有且仅有一个点P ,使得平面 12x =1y =[]0,1z ∈1A C ⊥1AB P D .当,时,异面直线BP 和所成角的取值范围是0y =[]0,1x z =∈1C D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹,然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于,连接,.由下图可知,P 为的中点,取的中点O .连接PO ,BO ,A 11B D 1AD 1AD 11B D则,所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与所成的角,易得,,1//PO C D 1C D BP =PO =正确; BO =cos BPO ∠=A对于,由条件可知(),P 点的轨速为线段,因为,所以B 1BP zBC BB =+ []0,1z ∈11B C 11B C BC ∥P 到平面的面积为,所以三棱锥的体积为1A BC 1A BC A 122⨯=1P A BC -定值,故选项正确; 43B 对于,如下图,由条件可知(),所以点P 在线段EF 上(E ,F 分别为C 112BP zBC BB =+ []0,1z ∈,的中点).因为平面,所以平面即平面,点P 则平面与直1BB 1CC 1A C ⊥11AB D 1AB P 11AB D 11AB D线EF 的交点,此交点在FE 的延长线上,故选项错误;C对于,由条件可知(),可知点P 的轨速为线段,如下图,建立空D ()1AP x AA AD =+ []0,1x ∈1AD 间直角坐标系,得,,设,,则,所()12,0,2C D =- ()2,0,2B ()0,,2P a a -[]0,2a ∈()2,,BP a a =--以,当,即时,cos <1,>BP C D ==[]20,2a t -=∈2a =0=t ,此时直线BP 和所成的角是;当,即时,1cos ,0BP C D <>= 1C D 2π2a ≠(]0,2t ∈, 1cos ,BP C D <>=令,11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭1cos ,BP C D <>=所以,即时,, 112m t ==0a =1cos ,BP C D <> 直线BP 和所成角的最小值为,故选项正确.1C D π4D故选:.ABD三、填空题13.若直线与直线平行,则a =______________. ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=【答案】4【分析】根据直线与直线平行时的条件计算即可.1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=【详解】因为直线与直线平行, ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=所以,解得, ()()2241a a -+=--4a =经检验,当时,两直线不重合, 4a =所以. 4a =故答案为:4.14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于A ,B 两点,若221369x y +=1F 2F 1F ,则______________.2214AF BF +=AB =【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得,结合题意即可求解. 22||4AF BF AB a ++=【详解】因为,,, 6a =122AF AF a +=122BF BF a +=两式相加得. 22||424AF BF AB a ++==又,所以. 2AF +214BF =10AB =故答案为:10.15.某校进行定点投篮训练,甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮,投中的概率分别,,1223p ,已知每个人投篮互不影响,若这三个同学各投篮一次,至少有一人投中的概率为,则p =78______________. 【答案】## 140.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知,解得.()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14p =故答案为:.1416.已知圆,M 是直线l :上的动点,过点M 作圆O 的两条切线,切点22:2O x y +=40x y -+=分别为A ,B ,则的最小值为______.MA MB ⋅【答案】3【分析】画出图形,设,利用数量积公式将转化为求的最小值,从2AMB θ∠=MA MB ⋅2||cos 2MA θ而分析图形可知当时, 这时最小,即 最小. OM l ⊥2||cos 2MA θMA MB ⋅【详解】设, 则 ,2AMB θ∠=2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ可知当 时, 最小且 最大, 最小, 这时 最小.OM l ⊥||MA 2θcos 2θMA MB ⋅设点 到直线 的距离为 , 则 O l d d =因为圆 的半径为 , 所以当 时, , 可得 , O OM l ⊥1sin 2θ=21cos 2,||2MA = θ226d =-=所以 的最小值为3.MA MB ⋅ 故答案为:3 .四、解答题17.已知△ABC 的顶点,,BC 边上的高所在直线的方程为.()5,0A -()2,2B -550++=x y (1)求直线BC 的方程;(2)若 ,求直线AC 的方程.在①点C 在直线上;②BC 边上的中线所在直线的方程为这两个条件中任选一0x y -=120x y +-=个,补充在横线上.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)5120x y --=(2)选①:;选②:38150x y -+=1811900x y -+=【分析】(1)由BC 边上的高所在直线的方程求出直线的斜率,再由点斜式求方程即可; BC (2)若选①联立直线方程求出点坐标,再求出斜率,点斜式得直线方程;若选②先求出C AC 中点坐标,再由中点坐标公式求出点坐标,利用点斜式求方程即可.BC C 【详解】(1)因为BC 边上的高所在直线的方程为,550++=x y 所以直线BC 的斜率.5k =直线BC 的方程为,即.()252y x +=-5120x y --=(2)若选①.由, 05120x y x y -=⎧⎨--=⎩解得,即, 33x y =⎧⎨=⎩()3,3C 所以,直线AC 的方程为, 38AC k =()3058y x -=+即.38150x y -+=若选②.由,解得,即线段BC 的中点坐标为. 1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩48x y =⎧⎨=⎩()4,8设点,则, ()11,C x y 11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得,即, 11618x y =⎧⎨=⎩()6,18C 所以,直线AC 的方程为, 1811AC k =()180511y x -=+即.1811900x y -+=18.已知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线上.C ()1,1A ()2,2B -C :50l x y ++=(1)求圆的方程;C (2)若过点的直线被圆截得的弦长为的方程.()1,1D --m C m 【答案】(1);()()223225x y +++=(2)直线的方程为或.m =1x -3470x y ++=【分析】(1)由圆的性质可得:的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为AB :50l x y ++=,用两点之间距离公式求得,即可求出圆的标准方差. ()3,2--5=(2)由圆的半径,弦长,利用垂径定理和勾股定理求出弦心距,再利用圆心2d ==到直线的距离为求出直线方程即可,需注意斜率不存在的情况. 2【详解】(1)因为,,所以线段的中点坐标为, ()1,1A ()2,2B -AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率,因此线段的垂直平分线方程是:,即AB 21321AB k --==--AB 113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.330x y --=圆心的坐标是方程组的解.解此方程组得:, C 33050x y x y --=⎧⎨++=⎩32x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心的坐标是.C ()3,2--圆的半径长, C 5r =所以圆心为的圆的标准方程是.C ()()223225x y +++=(2)因为,所以在圆内. ()()22131225-++-+<()1,1D --又因为直线被圆截得的弦长为m C所以圆心到直线的距离C m 2d ==①当直线的斜率不存在时,,m :1m x =-到的距离为,符合题意.()3,2--=1x -3(1)2---=②当直线的斜率存在时,设,即.m ():11m y k x +=+10kx y k -+-=,22⇒22(12)4(1)k k -=+解得,直线为:,即: 34k =-m 31(1)4y x +=-+3470x y ++=综上:直线的方程为或.m =1x -3470x y ++=【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程,主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理,直线斜率不存在的情况容易丢掉,熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19.某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是.[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130](1)求语文成绩在内的学生人数.[]120,130(2)如果将频率视为概率,根据频率分布直方图,估计语文成绩不低于112分的概率.(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生,其余为男生.现从语文成绩在内的学生中[)80,90[)80,90随机抽取2人背诵课文,求抽到的是1名男生和1名女生的概率.【答案】(1)5(2)0.21 (3). 35【分析】(1)利用频率分布直方图中,频率和为求出,即可求出语文成绩在内的学生1a []120,130人数;(2)直接利用频率分布直方图求概率;(3)利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】(1)由频率分布直方图,知,解得,()20.020.030.04101a +++⨯=0.005a =语文成绩在内的学生人数为.[]120,1300.005101005⨯⨯=(2)由频率分布直方图,知语文成绩不低于112分的概率. 1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=(3)由频率分布直方图,知语文成绩在内的学生有人,其中女生2名,[)80,900.005101005⨯⨯=男生3名,分别记2名女生为A ,B ,3名男生为a ,b ,c .样本空间为,其中抽到1名男生和1名女生的情况有{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc 所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为. 63105=20.如图1,在△ABC 中,D 为AC 的中点,,△ABD 沿BD 折2BC =CD cos C =起,得到如图2所示的三棱锥P -BCD ,且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明:面PBD ;BC ⊥(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据余弦定理可得,利用勾股定理的逆定理可得,结合面面垂直的性1BD =BC BD ⊥质即可证明;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,根据余弦定理求出AB ,进而求得点P 的坐标,得平面PCD 的法向量,利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】(1)在△BCD 中,, 2BC =CD cos C =由余弦定理知,即, 2225221BD =+-⨯=1BD =所以,即.222BD BC CD +=BC BD ⊥因为平面PBD ⊥平面BDC ,平面平面,BCD PBD BD =所以BC ⊥平面PB D.(2)以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,. ()0,0,0B ()2,0,0C ()0,1,0D在△ABC 中,由余弦定理知, (222222AB =+-⨯⨯解得AB =所以,, cos ABD ∠=4ABD π∠=可求得,()0,2,2P 从而,. ()0,1,2DP = ()2,1,0DC =- 设平面PCD 的法向量为,(),,n x y z =由,得,令,可得. 00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x y +=⎧⎨-=⎩2y =()1,2,1n =- 因为BC ⊥平面PBD ,所以可取平面PBD 的一个法向量为,()1,0,0m = 所以,cos ,m n 〈〉== 即二面角C -PD -B21.已知圆.224:+=C x y (1)若圆与直线相切,求的值; C 320:-+-=l x my m m (2)已知点,过点作圆C 的切线,切点为,再过作圆的切线,()10M ,P Q P ()()221112:'-+-=C x y 切点为,若,求的最小值.R =PQ PR MP 【答案】(1)或 0m=125m =(2)【分析】(1)利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案;C l (2)设点,求出,,利用,可得点所在直线方程, (),P x y PQ PR =PQ PR P 的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.MP P 【详解】(1)圆的圆心为半径为, 224:+=C x y ()00C ,2因为圆与直线相切,C 320:-+-=l x my m ,解得或; 20m =125m =(2)圆的圆心为半径为, 224:+=C x y ()00C ,2的圆心为半径为()()221112:'-+-=C xy ()11,'C 设点(),P xy=,PR ==因为,所以,=PQ PR =整理得,30x y ++=因为到直线,所以直线与圆相离, ()00C ,30x y ++=1>30x y ++=C因为到直线与圆相离, ()11,'C 30x y ++=>30x y ++=C '即点在直线上,P 30x y ++=的最小值即为点到直线MP P 30x y ++=22.已知四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SA ⊥平面ABCD ,,点E 在33AD AB ===棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点,求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值;(2)是否存在一点E ,使得点A 到平面SDE ?若存在,求出的值;若不存在,说BE EC 明理由.【答案】(1)310(2)存在,2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系,利用空间向量法求出平面SCD 的法向量,结合空间向量数量积的定义即可求解;(2)设点E 的坐标,利用空间向量法求出平面SDE 的法向量,结合向量法即可求出点A 到平面SDE 的距离,列出等式,解之即可.【详解】(1)由平面,平面得,又,SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,SA AB SA AD ⊥⊥AD AB ⊥以A 为原点,,,的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. AB AD AS因为,,,,, ()0,0,0A (S ()1,3,0C ()0,3,0D 31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以,,. 31,,2SE ⎛= ⎝ ()1,0,0CD =-(0,3,SD = 设平面SCD 的法向量为, (),,n x y z = 则,则,令,得. 00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩1y=(n = 设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ,则, 332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ 所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为. 310(2)设,平面SDE 的法向量为, ()()1,,003E λλ≤≤()111,,m x y z = 则,则, 00SD m SEm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11111300y x yλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令. 1z =(3m λ=- 又, (AS = 当点A 到平面SDE,AS m m⋅==解得, 2λ=所以存在点,使得点A 到平面SDE ()1,2,0E 此时. 2BE EC =。
高二物理上学期12月月考试卷(含解析) (2)
教学资料范本高二物理上学期12月月考试卷(含解析) (2)编辑:__________________时间:__________________河南省××市东方外国语学校高中部20xx-20xx学年高二(上)月考物理试卷(12月份)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.每小题至少一个答案正确)1.在物理学发展过程中,观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起到了重要作用.下列叙述不符合史实的是()A.奥斯特在实验中观察到电流的磁效应,该效应揭示了电和磁之间存在联系B.安培根据通电螺线管的磁场和条形磁铁的磁场的相似性,提出了分子电流假说C.法拉第在实验中观察到,在通有恒定电流的静止导线附近的固定导线圈中,会出现感应电流D.楞次在分析了许多实验事实后提出,感应电流应具有这样的方向,即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化2.如图所示,绕在铁芯上的线圈与电源、滑动变阻器和开关组成一闭合回路,在铁芯的右端套有一个表面绝缘的铜环a,下列各种情况铜环a中不产生感应电流的是()A.线圈中通以恒定的电流B.通电时,使变阻器的滑片P匀速移动C.通电时,使变阻器的滑片P加速移动D.将开关突然断开的瞬间3.如图所示,当导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动时,流过R的电流方向是()A.由A→B B.由B→A C.无感应电流D.无法确定4.如图所示,一水平放置的圆形通电线圈1固定,另一较小的圆形线圈2从1的正上方下落,在下落过程中两线圈平面始终保持平行且共轴,则在线圈2从正上方下落至l的正下方过程中,从上往下看,线圈2中的感应电流应为()A.无感应电流B.有顺时针方向的感应电流C.先是顺时针方向,后是逆时针方向的感应电流D.先是逆时针方向,后是顺时针方向的感应电流5.一环形线圈放在匀强磁场中,设在第1s内磁场方向垂直于线圈平面向里,如图甲所示.若磁感强度B随时间t的变化关系如图乙所示,那么在第2s内,线圈中感应电流的大小和方向()A.大小恒定,逆时针方向B.大小恒定,顺时针方向C.大小逐渐增加,顺时针方向D.大小逐渐减小,逆时针方向6.如图所示,闭合线圈abcd在磁场中运动到如图所示位置时,ab边受到的磁场力竖直向上,此线圈的运动情况可能是()A.向右进入磁场B.向左移出磁场C.以ab为轴转动D.以cd为轴转动7.如图所示,一个有界匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外.一个矩形闭合导线框abcd,沿纸面由位置1(左)匀速运动到位置2(右).则()A.导线框进入磁场时,感应电流方向为a→b→c→d→aB.导线框离开磁场时,感应电流方向为a→d→c→b→aC.导线框离开磁场时,受到的安培力方向水平向右D.导线框进入磁场时.受到的安培力方向水平向左8.对于如图所示的电流i随时间t作周期性变化的图象,下列说法中正确的是()A.电流大小变化,方向不变,是直流电B.电流大小、方向都变化,是交流电C.电流最大值为0.2A,周期为0.01sD.电流大小变化,方向不变,不是直流电,是交流电9.面积为S的矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中,从中性面起以角速度ω匀速转动,在t时刻线圈磁通量的瞬时值为()A.BS B.BScosωt C.BSsinωt D.10.一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,产生交流电的图象如图所示,由图可以知道()A.0.01s时刻线圈处于中性面位置B.0.01s时刻穿过线圈的磁通量为零C.该交流电流有效值为2AD.该交流电流频率为50Hz11.如图所示,一电子以初速度v沿与金属板平行方向飞入MN极板间,突然发现电子向M 板偏转,若不考虑磁场对电子运动方向的影响,则产生这一现象的原因可能是()A.开关S闭合瞬间B.开关S由闭合后断开瞬间C.开关S是闭合的,变阻器滑片P向右迅速滑动D.开关S是闭合的,变阻器滑片P向左迅速滑动12.如图所示电路中,L为自感系数很大的电感线圈,其直流电阻不计,A、B为两相同灯泡,则下列说法不正确的是()A.合上S的瞬间,A、B同时亮B.合上S的瞬间,A先亮,B后亮C.合上S后,A逐渐变得更亮,B逐渐变暗直至熄灭D.断开S时,A立即熄灭,B重新亮随后逐渐熄灭二、填空题(每空2分,共14分)13.匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,导体棒ab长为L,垂直磁场放置,ab棒以a端为轴在纸面内以角速度ω匀速转动(如图所示),则a、b两端的电势差为,端电势高.14.如图所示是一演示实验的电路图.图中L是一带铁芯的线圈,A是一灯泡.起初,开关处于闭合状态,电路是接通的.现将开关断开,则在开关断开的瞬间,通过灯泡A的电流方向是.这个实验是用来演示现象的.15.当线圈平面位于中性面时,线圈中的磁通量(选择“最大”或“最小”),线圈中的电流(选择“有”或“无”),且线圈平面经过中性面时,就发生改变,故线圈转动一周电流方向改变次.三、计算题(本大题共3小题,共38分.要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)16.如图(a)所示,一个500匝的线圈的两端跟R=99Ω的电阻相连接,置于竖直向下的匀强磁场中,线圈的横截面积是20cm2,电阻为1Ω,磁场的磁感应强度随时间变化的图象如图(b)所示.求磁场变化过程中通过电阻R的电流为多大.17.如图所示,水平面上有两根相距0.5m的足够长的平行金属导轨MN和PQ,它们的电阻可忽略不计,在M和P之间接有阻值为R的定值电阻.导体棒ab长l=0.5m,其电阻为r,与导轨接触良好.整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=0.4T.现使ab 以v=10m/s的速度向右做匀速运动.求:(1)ab中的感应电动势多大?(2)若定值电阻R=3.0Ω,导体棒的电阻r=1.0Ω,则电路中的电流多大?ab两端的电压多大?(3)导体棒ab所受的安培力多大?方向如何?18.一台发电机产生的按正弦规律变化的电动势的峰值为400V,线圈匀速转动的角速度为314rad/s,(1)试写出电动势瞬时值的表达式.(2)如果该发电机的外电路只有电阻元件,闭合电路的总电阻为2 000Ω,则电路中电流的峰值为多少?电流的瞬时值表达式怎样?20xx-20xx学年河南省××市东方外国语学校高中部高二(上)月考物理试卷(12月份)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.每小题至少一个答案正确)1.在物理学发展过程中,观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起到了重要作用.下列叙述不符合史实的是()A.奥斯特在实验中观察到电流的磁效应,该效应揭示了电和磁之间存在联系B.安培根据通电螺线管的磁场和条形磁铁的磁场的相似性,提出了分子电流假说C.法拉第在实验中观察到,在通有恒定电流的静止导线附近的固定导线圈中,会出现感应电流D.楞次在分析了许多实验事实后提出,感应电流应具有这样的方向,即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化【考点】物理学史.【分析】对于物理中的重大发现、重要规律、原理,要明确其发现者和提出者,了解所涉及伟大科学家的重要成就.【解答】解:A、1820年,丹麦物理学家奥斯特在实验中观察到电流的磁效应,揭示了电和磁之间存在联系,符合史实.故A正确.B、安培根据通电螺线管的磁场和条形磁铁的磁场的相似性,提出了分子电流假说,很好地解释了软铁磁化现象,符合史实.故B正确.C、法拉第在实验中观察到,在通有恒定电流的静止导线附近的固定导线圈中,不会出现感应电流.故C错误.D、楞次在分析了许多实验事实后提出楞次定律,即感应电流应具有这样的方向,感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化.故D正确.本题选不符合史实的,故选:C【点评】本题关键要记住力学和电学的一些常见的物理学史,需要学生平时加强积累.2.如图所示,绕在铁芯上的线圈与电源、滑动变阻器和开关组成一闭合回路,在铁芯的右端套有一个表面绝缘的铜环a,下列各种情况铜环a中不产生感应电流的是()A.线圈中通以恒定的电流B.通电时,使变阻器的滑片P匀速移动C.通电时,使变阻器的滑片P加速移动D.将开关突然断开的瞬间【考点】感应电流的产生条件.【分析】感应电流产生的条件是穿过闭合电路的磁通量发生变化.根据这个条件分析判断有没有感应电流产生.【解答】解:A、线圈中通以恒定的电流时,线圈产生稳恒的磁场,穿过铜环A的磁通量不变,没有感应电流产生.故A错误.B、通电时,使变阻器的滑片P作匀速滑动时,变阻器接入电路的电阻变化,回路中电流变化,线圈产生的磁场变化,穿过铜环A磁通量变化,产生感应电流,故B正确.C、通电时,使变阻器的滑片P作加速滑动时,变阻器接入电路的电阻变化,回路中电流变化,线圈产生的磁场变化,穿过铜环A磁通量变化,产生感应电流.故C正确.D、将电键突然断开的瞬间,线圈产生的磁场从有到无消失,穿过穿过铜环A的磁通量减小,产生感应电流.故D正确.本题选择不产生感应电流的,故选:A.【点评】产生感应电流的条件细分有两个:一是电路要闭合;二是磁通量要发生变化,注意有磁通量与磁通量变化的区别.3.如图所示,当导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动时,流过R的电流方向是()A.由A→B B.由B→A C.无感应电流D.无法确定【考点】右手定则.【专题】电磁感应与电路结合.【分析】右手定则的:右手平展,使大拇指与其余四指垂直,并且都跟手掌在一个平面内.磁感线垂直进入手心,大拇指指向导线运动方向,则四指所指方向为导线中感应电流的方向.【解答】解:导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动而切割磁感线产生感应电流,根据右手定则可以判定感应电流的方向为由A→B.故A正确.故选A.【点评】本题考查了右手定则,只要是导体切割磁感线而产生感应电流就可以利用右手定则判定感应电流的方向.4.如图所示,一水平放置的圆形通电线圈1固定,另一较小的圆形线圈2从1的正上方下落,在下落过程中两线圈平面始终保持平行且共轴,则在线圈2从正上方下落至l的正下方过程中,从上往下看,线圈2中的感应电流应为()A.无感应电流B.有顺时针方向的感应电流C.先是顺时针方向,后是逆时针方向的感应电流D.先是逆时针方向,后是顺时针方向的感应电流【考点】法拉第电磁感应定律;楞次定律.【专题】电磁感应与电路结合.【分析】根据安培定则判断线圈1产生的磁场方向.在线圈2从正上方落至1的正下方过程中,分析穿过线圈2的磁通量的变化情况和磁场方向,根据楞次定律判断感应电流方向.【解答】解:根据安培定则判断可知,线圈1产生的磁场方向向上.当线圈2靠近线圈1时,穿过线圈2的磁通量增加,根据楞次定律可知,线圈2中产生顺时针方向的电流;当线圈2远离线圈1时,穿过线圈2的磁通量减小,根据楞次定律可知,线圈2中产生逆时针方向的电流.所以线圈2中感应电流的方向先是顺时针方向,后是逆时针方向.故C正确,A、B、D错误.故选:C.【点评】楞次定律是关于感应电流方向的普遍规律,运用时关键明确两个条件:一是原磁场的方向,二是磁通量的变化情况.5.一环形线圈放在匀强磁场中,设在第1s内磁场方向垂直于线圈平面向里,如图甲所示.若磁感强度B随时间t的变化关系如图乙所示,那么在第2s内,线圈中感应电流的大小和方向()A.大小恒定,逆时针方向B.大小恒定,顺时针方向C.大小逐渐增加,顺时针方向D.大小逐渐减小,逆时针方向【考点】法拉第电磁感应定律;楞次定律.【专题】电磁感应与电路结合.【分析】变化的磁场产生电磁,均匀变化的磁场产生恒定的电磁,根据楞次定律判断出感应电流的方向.【解答】解:由题意可知,第1s内磁场方向垂直于线圈平面向里,则在第2s内,磁场的方向垂直于纸面向外,且均匀减小,所以产生恒定的电流,根据楞次定律,感应电流的方向为逆时针方向,所以A正确,BCD错误.故选:A【点评】解决本题的关键掌握楞次定律判断感应电流的方向,注意磁场的方向与大小的变化.6.如图所示,闭合线圈abcd在磁场中运动到如图所示位置时,ab边受到的磁场力竖直向上,此线圈的运动情况可能是()A.向右进入磁场B.向左移出磁场C.以ab为轴转动D.以cd为轴转动【考点】导体切割磁感线时的感应电动势;安培力;左手定则.【分析】由题意知,ab边受到的磁场力的方向竖直向上,根据左手定则判断出ab边中感应电流的方向,再由右手定则判断abcd的运动情况.【解答】解:A、B据题,ab边受到的磁场力的方向竖直向上,根据左手定则判断出ab边中感应电流的方向为a→b,再由右手定则判断可知,abcd的运动情况是向左平动.故A错误,B正确.C、D以ab为轴转动或以cd为轴转动时,穿过线圈的磁通量减小,根据楞次定律判断可知,线圈中产生的感应电流方向沿abcda,ab边所受的磁场力方向竖直向上,故CD正确.故选:BCD【点评】本题是右手定则、左手定则和楞次定律的综合应用.在电磁感应现象中,常常右手定则、安培定则和左手定则会结合应用,要明确三个定则应用的条件,不能混淆.7.如图所示,一个有界匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外.一个矩形闭合导线框abcd,沿纸面由位置1(左)匀速运动到位置2(右).则()A.导线框进入磁场时,感应电流方向为a→b→c→d→aB.导线框离开磁场时,感应电流方向为a→d→c→b→aC.导线框离开磁场时,受到的安培力方向水平向右D.导线框进入磁场时.受到的安培力方向水平向左【考点】右手定则.【分析】线框进入时bc边切割磁感线,出来时ad边切割磁感线,因此根据右手定则可以判断出电流方向,注意完全进入时,磁通量不变,无感应电流产生;然后根据左手定则判断安培力方向.也可以利用楞次定律直接判断电流和受力方向.【解答】解:线框进入磁场时,磁通量增大,因此感应电流形成磁场方向向里,由安培定则可知感应电流方向为a→d→c→b→a,安培力方向水平向左,同理线框离开磁场时,电流方向为a→b→c→d→a,安培力方向水平向左,故ABC错误,D 正确.故选:D.【点评】本题可以利用楞次定律直接判断电流和受力方向,也可以利用右手定则先判断电流向,然后利用左手定则判断受力方向.8.对于如图所示的电流i随时间t作周期性变化的图象,下列说法中正确的是()A.电流大小变化,方向不变,是直流电B.电流大小、方向都变化,是交流电C.电流最大值为0.2A,周期为0.01sD.电流大小变化,方向不变,不是直流电,是交流电【考点】交变电流.【分析】电流的大小和方向都随时间成周期性变化的电流为交流电,由图象可以看出电流的最大值和周期.【解答】解:由图象可知:电流的大小变化,方向始终为正,不发生变化变,所以是直流电,电流最大值为0.2A,周期为0.01s,所以AC正确,BD错误.故选AC【点评】本题主要考查了交流电的定义以及读图的能力,要求同学们能根据图象读出有效信息,难度不大,属于基础题.9.面积为S的矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中,从中性面起以角速度ω匀速转动,在t时刻线圈磁通量的瞬时值为()A.BS B.BScosωt C.BSsinωt D.【考点】交流发电机及其产生正弦式电流的原理;正弦式电流的图象和三角函数表达式.【专题】交流电专题.【分析】首先从中性面开始转动,初始位置磁通量最大,故可知磁通量为余弦式变化.【解答】解:由初始磁通量为最大可知,磁通量表达式为:∅=BScosωt,故ACD错误,B 正确.故选:B.【点评】解决本题的关键掌握线圈转动初始位置及对应的特点,这个表达式取决于其初始位置.10.一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,产生交流电的图象如图所示,由图可以知道()A.0.01s时刻线圈处于中性面位置B.0.01s时刻穿过线圈的磁通量为零C.该交流电流有效值为2AD.该交流电流频率为50Hz【考点】正弦式电流的最大值和有效值、周期和频率.【专题】交流电专题.【分析】由i﹣t图象可以读出电流的周期、最大值;当感应电动势最大时,线圈与中性面垂直;当感应电动势最小时,线圈与中性面重合.【解答】解:A、B、0.01s时刻感应电流最大,感应电动势最大,故线圈与中性面垂直,磁通量为零,故A错误,B正确;C、该交流电流的最大值为6.28A,故有效值为:I=,故C错误;D、该电流的周期为0.04s,故频率f===25Hz,故D错误;故选:B.【点评】本题关键是明确:当线圈位于中性面时,感应电动势最小,为零;当线圈与中性面垂直时,感应电动势最大.11.如图所示,一电子以初速度v沿与金属板平行方向飞入MN极板间,突然发现电子向M板偏转,若不考虑磁场对电子运动方向的影响,则产生这一现象的原因可能是()A.开关S闭合瞬间B.开关S由闭合后断开瞬间C.开关S是闭合的,变阻器滑片P向右迅速滑动D.开关S是闭合的,变阻器滑片P向左迅速滑动【考点】法拉第电磁感应定律;通电直导线和通电线圈周围磁场的方向.【专题】电磁感应与电路结合.【分析】电子向M偏转,与两金属板相连的线圈产生的感应电动势与M相连的一端电势高,与N板相连的一端电势低,然后应用楞次定律分析答题.【解答】解:电子向M板偏转,说明电子受到向左的电场力,两金属板间的电场由M指向N,M板电势高,N板电势低,这说明:与两金属板相连的线圈产生的感应电动势:左端电势高,与N板相连的右端电势低;A、开关S闭合瞬间,由安培定则可知,穿过线圈的磁通量向右增加,由楞次定律知在右侧线圈中感应电流的磁场方向向左,产生左正右负的电动势,电子向M板偏振,A正确;B、开关S由闭合后断开瞬瞬间,穿过线圈的磁通量减少,由楞次定律知在右侧线圈中产生左负右正的电动势,电子向N板偏振,B错误;C、开关S是闭合的,变阻器滑片P向右迅速滑动,变阻器接入电路的电阻增大,电流减小,穿过线圈的磁通量减小,由楞次定律知在上线圈中产生左负右正的电动势,电子向N偏振,C错误;D、开关S是闭合的,变阻器滑片P向左迅速滑动,滑动变阻器接入电路的阻值减小,电流增大,穿过线圈的磁通量增大,由楞次定律知在上线圈中感应出左正右负的电动势,电子向M偏振,D正确.故选:AD.【点评】根据电子偏转方向判断两金属板电势高低,判断出感应电动势电势方向,应用右手定则与楞次定律即可正确解题.12.如图所示电路中,L为自感系数很大的电感线圈,其直流电阻不计,A、B为两相同灯泡,则下列说法不正确的是()A.合上S的瞬间,A、B同时亮B.合上S的瞬间,A先亮,B后亮C.合上S后,A逐渐变得更亮,B逐渐变暗直至熄灭D.断开S时,A立即熄灭,B重新亮随后逐渐熄灭【考点】自感现象和自感系数.【分析】闭合S,A、B同时亮,随着L中电流增大,线圈L直流电阻可忽略不计,分流作用增大,B灯逐渐被短路,总电阻减小,再由欧姆定律分析B灯亮度的变化.断开S,A灯立即熄灭,线圈中的电流逐渐减小,根据楞次定律判断B灯亮度如何变化.【解答】解:A、B、C闭合S时,电源的电压同时加到两灯上,A、B同时亮;随着L中电流增大,由于线圈L直流电阻可忽略不计,分流作用增大,B逐渐被短路直到熄灭,外电路总电阻减小,总电流增大,A灯变亮.故AC正确,B错误.D、断开S,A立即熄灭,线圈L中电流减小,产生自感电动势,感应电流流过B灯,B闪亮一下后熄灭.故D正确.故选:ACD【点评】对于通电与断电的自感现象,它们是特殊的电磁感应现象,可楞次定律分析发生的现象.二、填空题(每空2分,共14分)13.匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,导体棒ab长为L,垂直磁场放置,ab棒以a端为轴在纸面内以角速度ω匀速转动(如图所示),则a、b两端的电势差为BωL2, b 端电势高.【考点】导体切割磁感线时的感应电动势;法拉第电磁感应定律;楞次定律.【专题】电磁感应与电路结合.【分析】根据转动切割产生的感应电动势公式求出a、b两端的电势差,根据右手定则判断电势的高低.【解答】解:ab棒以a端为轴在纸面内以角速度ω匀速转动,则a、b两端的电势差.根据右手定则知,b端电势高.故答案为: BωL2,b.【点评】解决本题的关键掌握转动切割产生的感应电动势公式E=BωL2,会运用右手定则判断电势的高低.14.如图所示是一演示实验的电路图.图中L是一带铁芯的线圈,A是一灯泡.起初,开关处于闭合状态,电路是接通的.现将开关断开,则在开关断开的瞬间,通过灯泡A的电流方向是b到a .这个实验是用来演示自感现象的.【考点】自感现象和自感系数.【分析】线圈的特点是闭合时阻碍电流的增大,断开时产生一自感电动势相当于电源,与A组成闭合回路,L的右端电势高.【解答】解:在S断开前,自感线圈L中有向右的电流,断开S后瞬间,L的电流要减小,于是L中产生自感电动势,阻碍自身电流的减小,但电流还是逐渐减小为零.原来跟L并联的灯泡A,由于电源的断开,向右的电流会立即消失.但此时它却与L形成了串联的回路,L中维持的正在减弱的电流恰好从灯泡A中流过,方向由b到a.因此,灯泡不会立即熄灭,而是渐渐熄灭.故答案为:b到a,自感【点评】做好本类题目的关键是弄清线圈与哪种电器相配,结合线圈特点分析新组成的闭合回路的电流流向.15.当线圈平面位于中性面时,线圈中的磁通量最大(选择“最大”或“最小”),线圈中的电流无(选择“有”或“无”),且线圈平面经过中性面时,电流就发生改变,故线圈转动一周电流方向改变 2 次.【考点】交流发电机及其产生正弦式电流的原理.【专题】定性思想;推理法;交流电专题.【分析】感应电动势方向即为感应电流方向.当线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流时,线圈平面每经过中性面一次,感应电流与感应电动势方向均改变一次,转动一周,感应电流方向改变两次,线圈平面经过中性面时磁通量最大,感应电流为零.【解答】解:线圈平面经过中性面时磁通量最大,感应电流为零;当线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流时,线圈平面每经过中性面一次,感应电流与感应电动势方向均改变一次,转动一周,感应电流方向改变两次;故答案为:最大;无;电流;2.【点评】本题考查中性面特点:线圈平面每经过中性面一次,感应电流与感应电动势方向均改变一次,转动一周,感应电流方向改变两次.三、计算题(本大题共3小题,共38分.要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)16.如图(a)所示,一个500匝的线圈的两端跟R=99Ω的电阻相连接,置于竖直向下的匀强磁场中,线圈的横截面积是20cm2,电阻为1Ω,磁场的磁感应强度随时间变化的图象如图(b)所示.求磁场变化过程中通过电阻R的电流为多大.【考点】法拉第电磁感应定律;闭合电路的欧姆定律.【专题】电磁感应——功能问题.。
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下列结论中正确的是( )
A.四面体
ACB1D1
的体积等于
1 2
a3
B. BD1 平面 ACB1
C. B1D1 / / 平面 EFG D.异面直线 EF 与 BD1 所成角的正切值为 2 2
13.已知命题“ x R , x2 ax 1 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
.
14. 若 x 1, y 0 ,且 1 1 2 ,则 x y 的最小值为___________ x 1 y
10.设 a ,b R ,则下列结论正确的是
A.若
a
b
0
,则
1 a2
1 b2
C.若 a b 2 ,则 2a 2b ≥4
C. S2n T2n
D. S2n T2n
B.若 a b 0 ,则 (a 1)2 (b 1)2
D.若
2a
1 b
2b
+
1 a
,则
a
b
11. 已知点 F 是抛物线 y2 2 px p 0 焦点,AB,CD 是经过点 F 的弦且 AB⊥CD,AB
y2 12
1(xy
0)
上的动点,
F1 、
F2
为椭圆的左、右焦点, O
为坐
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uuuur uuur
uuuur
标原点,若 M 是 F1PF2 的角平分线上的一点,且 F1M MP 0 ,则| OM | 的取值范围是
A. (0, 2)
15.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的
6 个爻组成,爻分为阳爻“
”和阴爻“
”,下图就是一重卦.如果某
重卦中有 2 个阳爻,则它可以组成__________种重卦.(用数字作答)
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百花数学高考研究 288399634
16.已知 F 是抛物线 y2 2 px p 1 的焦点, N p,1 , M 为抛物线上任意一点,
A. 1 , 1 52
B. 1 , 1 52
C. 5, 2
D. 5, 2
5. 《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠
讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的 2 倍,
第一天屠了 5 两肉,共屠了 30 天,问一共屠了多少两肉?” ( )
A 椭圆 B 双曲线
C 抛物线
D 直线
3.有 5 名学生志愿者到 2 个小区参加疫情防控常态化宣传活动,每名学生只去 1 个小区,
每个小区至少安排 1 名学生,则不同的安排方法为
A.10 种
B.20 种
C.30 种
D.40 种
4. 已 知 a ( 1 , 0 ,b2) ,
()
(6 ,2 2 , 若1 ,a ∥) b , 则 与 的 值 分 别 为
A. 5 230
B. 5 229
C. 230 1
D. 5 230 1
6.
如图所示,在平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中,设
uuuv AA1
av
,
uuuv AB
v b
,
uuuv AD
cv ,
N
是
BC
v v v uuuuv 中点,试用 a , b , c 表示 A1N (
)
A.
av
v b
1
cv
2
B.
av
v b
cv
C.avv b1源自cv2D.
av
v b
1
cv
2
7. 已知等差数列an 的公差 d 0 ,且 a1, a3 , a13 成等比数列,若 a1 1, Sn 为数列an 的
前 n 项和,则 2Sn 6 的最小值为( ) an 3
A. 4
B. 3
C. 2 3 2
D. 2
8.已知点
P
是椭圆 x2 16
B. (0, 3)
C. (0, 4)
D. (2, 2 3)
9.已知数列{an}, {bn} 均为递增数列,{an}的前 n 项和为 Sn , {bn} 的前 n 项和为Tn , 且
满足 an an1 2n, bn bn1 2n (n N*) ,则下列结论正确的是
A. 0 a1 1
B.1 b1 2
的斜率为 k,且 k>0,C,A 两点在 x 轴上方.则下列结论中一定成立的是( )
的为 A.
uuuv uuuv OC OD
3
p2
4
C.
1 1 1 AB CD 2 p
B. 四边形 ACBD 面积最小值 16 p2 D. 若 AF BF 4 p2 ,则直线 CD 的斜率为 3
12.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a ,点 E, F,G 分别棱楼 AB, AA1,C1D1 的中点,
MN MF 的最小值为 3 ,则 p ________;若过 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,有
uuur AF
uuur 2FB
,则
AB
________.
17.给出以下条件:① x R, ax2 ax 1 0 ,②方程 x2 y2 1表示焦点在 a 1 5 a
y 轴上的椭圆,从中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题的详细解答. 已知 p:实数 a 满足 a2 (2m 1)a m(m 1) 0 ,q:实数 a 满足________,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.
18.在正项等比数列an 中,已知
a4
16 ,
a1 ,
1 2
a2
的等差中项为
1 4
a3
.
(1)求数列an 的通项公式;
(2)设 bn
2n 1 an
log2
an
,求数列bn 的前 n
项和.
19. 某次春游活动中, 3 名老师和 6 名同学站成前后两排合影, 3 名老师站在前排,6 名同 学站在后排.(1)若甲,乙两名同学要站在后排的两端,共有多少种不同的排法? (2)若甲,乙两名同学不能相邻,共有多少种不同的排法? (3)若甲乙两名同学之间恰有两名同学,共有多少种不同的排法? (4)在所有老师和学生都排好后,拍照的师傅觉得队形不合适,遂决定从后排 6 人中 抽 2 人调整到前排.若其他人的相对顺序不变,共有多少种不同的调整方法?
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高二数学月考 12.20
1.已知命题 p : x 2, x3 8 0 ,那么 p 是(
)
A. x 2, x3 8 0
B. x 2, x3 8 0
C. x 2,x3 8 0
D. x 2,x3 8 0
2.满足方程 6 (x 3)2 ( y 1)2 3x 4y 7 的动点轨迹为( )