高一必修一、二数学期末试卷及答案

高一数学期末考试
一、选择题（每小题只有一个答案正确，每小题5分，共50分）
1．已知集合M={R x x x y y ∈-+=,322},集合N={32≤-y y }，则M =⋂N ( )。

A.{4-≥y y }
B.{51≤≤-y y }
C.{14-≤≤-y y }
D.φ
2.如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M S P ⋂⋂)
B.（M S P ⋃⋂)
C.（M ⋂P ）⋂（C U S ）
D.（M ⋂P ）⋃（C U S ）
3．若函数()x f y =的定义域是[2，4]，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x f y 21log 的定义域是（ ）
A.[21，1]
B.[4，16]
C.[4
1,161] D.[2，4] 4．下列函数中，值域是R +的是（ ）
A.132+-=x x y
B.32+=x y ,+∞∈,0(x )
C.12++=x x y
D.x y 3
1= 5.设P 是△ABC 所在平面α外一点，H 是P 在α内的射影，且PA ，PB ，PC 与α所成的角相等，则H 是△ABC 的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
6．已知二面角α－l －β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
7．函数2()ln f x x x
=-的零点所在的大致区间是（） A.(1,2)B.(,3)e C.(2,)e D.(,)e +∞
8．已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）
A. a>b>c
B. a>c>b
C. b>c>a
D. c>b>a
9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A A 1＝1，则B C 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( ) A.63 B.255 C.155 D.105
10平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11．已知函数()()()
2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦. 12．函数b a y x
+=(a >0且a 1≠)的图象经过点（1，7），其反函数的图象经过点（4，0），则b a = 13．函数⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y 3121log log 的定义域为 14．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15、（12分）已知1()(1)1
x x a f x a a -=>+ （1）判断函数()y f x =的奇偶性；
（2）探讨()y f x =在区间(,)-∞+∞上的单调性
16．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：
(1)直线EF ∥平面PCD ；
(2)平面BEF ⊥平面P AD .
17、（14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ；
(2)求证：CF ⊥平面BDE .、
18、（14分）已知函数2()22,(0)f x ax x a a =+--≤
（1）若1,a =-求函数()y f x =的零点；
（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求
a 的取值范围；
19、（14分）北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社。

在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个推主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
20、（14分）△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC ＝a，且F为BE的中点，如图．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD；
(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．
＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．
a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x x x x x -+-+--++1121
21221212211()()()a 1x x (1)
(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212答案
1—5：BCCDB 6---10：BCADC
11、0 12、64 13.(0，1) 14①③④⇒②(或②③④⇒①) 15、(1)定义域是R ．
f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+111
1
∴函数f(x)为奇函数．
(2)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2
f(x 1)－f(x 2)
16、证明：(1)∵E ，F 分别是AP ，AD 的中点，
∴EF ∥PD .
又∵PD ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD .
∴直线EF ∥平面PCD .(6分)
(2)连接BD .∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，
∴△ABD 为正三角形．
又∵F 是AD 的中点，∴BF ⊥AD .
又平面P AD ⊥平面ABCD ，
平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，
BF ⊂平面ABCD ，
∴BF ⊥平面P AD .又BF ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面P AD .(12分)
17、证明：(1)设AC与BD交于点G.
∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝1
2AC＝1，
∴四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE.(6分)
(2)连接FG.
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFG为菱形．
∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF.
∴CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，
∴CF⊥平面BDE.
18、
19、．设这个摊主每天从报社买进x份报纸，每月所获的利润为y元，则由题意可知250≤x≤400,且y=0.3×x×20+0.3×250×10+0.05×(x-250)×10-0.2×x ×30=0.5x+625。

∵函数f(x)在[250，400]上单调递增，∴当x=400时，y最大=825，即摊主每天从报社买进400份报纸可获得最大利润，最大利润为825元。

20
(1)证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接CG ，FG . ∵EF ＝FB ，AG ＝GB ，
∴FG =12EA .
又DC =12EA ，∴FG =DC .
∴四边形CDFG 为平行四边形，
故DF ∥CG .
∵DF ⊄平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，
∴DF ∥平面ABC .(4分)
(2)证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥CG .
又△ABC 是正三角形，
∴CG ⊥AB .
∴CG ⊥平面AEB .
∴CG ⊥AF .
又∵DF ∥CG ，
∴DF ⊥AF .
又AE ＝AB ，F 为BE 中点，
∴AF ⊥BE .又BE ∩DF ＝F ，
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.(8分)
(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.
由CD＝1
2AE，CD∥AE知D为EG′中点，
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE，FD∥CG，
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)
在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°. (14分)。