(完整版)抛物线的切线方程的推导过程

抛物线的切线方程的推导过程

设过抛物线22y px =上一点M(x 0,y 0)的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：)(00x x k y y -=-

联合抛物线方程，有：整理，得：消去,,2),

(2

00y px y x x k y y ⎩

⎨⎧=-=- ,

0)2(4)](2[0,0)2()(2002

022

022002002

022000222=-+⨯-+--=∆∴=-+++--y kx x k y k p ky x k y kx x k y x p ky x k x k 即：，

相切，

整理，得：,022020=+-p k y k x

)

(),

(,2,2),(2),(2,2,084,22),(,

2284200002

02

0002

00000

000002

002

02000

2

00x x p y y x x y y p

y

p y x px y x x y y x x x x y

y y x y k px y px y px y y x M x px y y k +=+=⨯=∴=+=-=-=

∴=-∴=∴=⨯-±=

∴即：代入上式，得：又整理，得：代入，得：上的点，是抛物线点

所以，过抛物线px y 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：

)(00x x p y y +=．

同理：过抛物线px y 22

-=上一点

M(x 0,y 0)的切线的方程为：

)(00x x p y y +-=

过抛物线py x 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：

)(00y y p x x +=

过抛物线py x 22

-=上一点

M(x 0,y 0)的切线的方程为：

)(00y y p x x +-=