微专题：恒成立问题
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求实数 m 的取值范围.
【解析】：（Ⅰ）略;
（Ⅱ）因为
f
' ( x)
1
1 x2
a 1
x
,当 a
0
时,
f '(x) 0 ,所以 f (x) 在 x 0,3 上递增,
x
求实数 a 的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）略
（Ⅱ）由题知， g(x)min 0 ，因为
g'
x
a
1
a
1 x2
1 x
ax2
x x2
(1
a)
x
1 ax
x2
a
1
，
①当
a
0
时，
g ' ( x)
1 x x2
，所以
g(x)
在
0,1
上递增，在
1,
二、双变量、单参数的恒成立问题
（一）两次恒成立依序求最值
【例 5】：已知函数 f (x) x a ln(1 x) a R, g(x) x2 emx m R .
1 x （Ⅰ）当 a 1时，求函数 f (x) 的最大值；
（Ⅱ）若 a 0 ,且对任意的 x1, x2 0,3, f (x1) 1 g(x2 ) 恒成立，
【例
3】：设函数
f
(x)
x ex ,
g(x)
x2
2x, h(x)
2
sin
6
x
2
3
，
若对任意的 x R ，都有 h(x) f (x) k g(x) 2恒成立，
则实数 k 的取值范围是（ ）
（A）
,
1 e
1
（B）
2,
1 e
所以当 h(x) f (x) k g(x) 2 恒成立时， p(1) kq(1) ，即 2 1 k ，
e
即选择 C.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（四）讨论函数最值
【例 4】：已知函数 f x ln x 1． （Ⅰ）证明：当 x 0 时， f x x ； （Ⅱ）设 g x ax a 1 1 ln x 1，若 g x 0 对 x 0 恒成立，
因为切线过定点 1, 0 ，所以 0 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 1 x0 ，
所以
x0
0
或
x0
3 2
，此时切线斜率为
f
' (0)
1或
f
'(3) 2
3
4e 2
，
3 结合图像可知， m 1, 4e2
一、单变量、单参数的恒成立问题
（三）分离同极值点曲线
4 ln x
min
4 ，所以
1 ln a
4
，最终解得
a
0,1
e
1 4
,
.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（二）分离动直线
【例 2】：已知 x R ，不等式 2xex mx ex m 恒成立，
则实数 m 的取值范围为
.
【解析】：由题可知， x R ，不等式 2xex ex mx m 恒成立，
f
(
x)
0
，
当
x
时，
f
(x)
，且
f
1 2
1
2e 2
，
所以函数 f (x) 图像如图所示，
设过定点 1, 0 的动直线与函数 y f (x) 相切于点 x0 , 2x0 1 ex0 ，
则切线方程可表示为 y 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 x x0 ，
令 f (x) 2xex ex , x R ，则函数 f (x) 图像恒在过定点 1, 0 的动直线
y
mx
m
的上方，因为
f
' ( x)
(2x
1)e x
，所以
f
(x)
在
x
,
1 2
上递减，
在
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
,
上递增，又因为，当
x
时，
在
1
a
a
,1
递减，此时
g
(1)
2a
2
0
，不合题意，
（IV）当 1 a 0 ，即 a 1时， g(x) 在 0,1 上递增，在 1, 上递减，
a
g(x)min g(1) 2a 2 0 ，即 a 1；
综上所述， a 1, .
上递减，
g(x)min g(1) 2a 2 ，因为 2a 2 0 ，不合题意；
②当
a
0
时，令
g ' ( x)
0 ，则
x1
1,
x2
1 a a
0
，与情况①相同，
不合题意；
③当
a
0 时，令
g ' ( x)
0 ，则
x1
1,
x2
1 a a
，
（i）当1 1 a ，即 a 1 时， g(x) 在 0, 递增，不合题意；
根据换底公式，即不等式 ln x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，因为 ln x 0 ， ln a
则不等式
1 ln a
ln
x
4 ln x
对任意
x
(1,100)
恒成立，即
1 ln a
ln
x
4 ln x
min
，
利用基本不等式求得
ln
x
a
2
（ii）当1
1 a a
，即
0
a
1 2
时，
g(x)
在
0,1
和
1 a a
,
递增，
在
1,
1
a
a
递减，此时
g
(1)
2a
2
0
，不合题意，
（III）当
0
1 a a
1，即
1 2
a
1时，
g(x)
在
0, 1 a
a
和
1,
递增，
恒成立问题
一、单变量、单参数的恒成立问题
（一）分离参数法
【例 1】：不等式 loga x ln2 x 4 (a 0, a 1)
对任意 x (1,100) 恒成立，则实数 a 取值范围为
.
【解析】：由题可知，不等式 loga x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，
3
（C）
2
1 e
,
（D）
1
1 e
,
【解析】：因为 f ' (x) ex xex ex x 1 ，所以 f (x) 在 x 1 处取得极小值，
又因为 h(x) 在 x 1 处取得极大值，所以函数 p(x) h(x) f (x) 在 x 1 处取得极大值，因为函数 q(x) g(x) 2 x2 2x 2 在 x 1 处取得极小值，
【解析】：（Ⅰ）略;
（Ⅱ）因为
f
' ( x)
1
1 x2
a 1
x
,当 a
0
时,
f '(x) 0 ,所以 f (x) 在 x 0,3 上递增,
x
求实数 a 的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）略
（Ⅱ）由题知， g(x)min 0 ，因为
g'
x
a
1
a
1 x2
1 x
ax2
x x2
(1
a)
x
1 ax
x2
a
1
，
①当
a
0
时，
g ' ( x)
1 x x2
，所以
g(x)
在
0,1
上递增，在
1,
二、双变量、单参数的恒成立问题
（一）两次恒成立依序求最值
【例 5】：已知函数 f (x) x a ln(1 x) a R, g(x) x2 emx m R .
1 x （Ⅰ）当 a 1时，求函数 f (x) 的最大值；
（Ⅱ）若 a 0 ,且对任意的 x1, x2 0,3, f (x1) 1 g(x2 ) 恒成立，
【例
3】：设函数
f
(x)
x ex ,
g(x)
x2
2x, h(x)
2
sin
6
x
2
3
，
若对任意的 x R ，都有 h(x) f (x) k g(x) 2恒成立，
则实数 k 的取值范围是（ ）
（A）
,
1 e
1
（B）
2,
1 e
所以当 h(x) f (x) k g(x) 2 恒成立时， p(1) kq(1) ，即 2 1 k ，
e
即选择 C.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（四）讨论函数最值
【例 4】：已知函数 f x ln x 1． （Ⅰ）证明：当 x 0 时， f x x ； （Ⅱ）设 g x ax a 1 1 ln x 1，若 g x 0 对 x 0 恒成立，
因为切线过定点 1, 0 ，所以 0 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 1 x0 ，
所以
x0
0
或
x0
3 2
，此时切线斜率为
f
' (0)
1或
f
'(3) 2
3
4e 2
，
3 结合图像可知， m 1, 4e2
一、单变量、单参数的恒成立问题
（三）分离同极值点曲线
4 ln x
min
4 ，所以
1 ln a
4
，最终解得
a
0,1
e
1 4
,
.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（二）分离动直线
【例 2】：已知 x R ，不等式 2xex mx ex m 恒成立，
则实数 m 的取值范围为
.
【解析】：由题可知， x R ，不等式 2xex ex mx m 恒成立，
f
(
x)
0
，
当
x
时，
f
(x)
，且
f
1 2
1
2e 2
，
所以函数 f (x) 图像如图所示，
设过定点 1, 0 的动直线与函数 y f (x) 相切于点 x0 , 2x0 1 ex0 ，
则切线方程可表示为 y 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 x x0 ，
令 f (x) 2xex ex , x R ，则函数 f (x) 图像恒在过定点 1, 0 的动直线
y
mx
m
的上方，因为
f
' ( x)
(2x
1)e x
，所以
f
(x)
在
x
,
1 2
上递减，
在
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
,
上递增，又因为，当
x
时，
在
1
a
a
,1
递减，此时
g
(1)
2a
2
0
，不合题意，
（IV）当 1 a 0 ，即 a 1时， g(x) 在 0,1 上递增，在 1, 上递减，
a
g(x)min g(1) 2a 2 0 ，即 a 1；
综上所述， a 1, .
上递减，
g(x)min g(1) 2a 2 ，因为 2a 2 0 ，不合题意；
②当
a
0
时，令
g ' ( x)
0 ，则
x1
1,
x2
1 a a
0
，与情况①相同，
不合题意；
③当
a
0 时，令
g ' ( x)
0 ，则
x1
1,
x2
1 a a
，
（i）当1 1 a ，即 a 1 时， g(x) 在 0, 递增，不合题意；
根据换底公式，即不等式 ln x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，因为 ln x 0 ， ln a
则不等式
1 ln a
ln
x
4 ln x
对任意
x
(1,100)
恒成立，即
1 ln a
ln
x
4 ln x
min
，
利用基本不等式求得
ln
x
a
2
（ii）当1
1 a a
，即
0
a
1 2
时，
g(x)
在
0,1
和
1 a a
,
递增，
在
1,
1
a
a
递减，此时
g
(1)
2a
2
0
，不合题意，
（III）当
0
1 a a
1，即
1 2
a
1时，
g(x)
在
0, 1 a
a
和
1,
递增，
恒成立问题
一、单变量、单参数的恒成立问题
（一）分离参数法
【例 1】：不等式 loga x ln2 x 4 (a 0, a 1)
对任意 x (1,100) 恒成立，则实数 a 取值范围为
.
【解析】：由题可知，不等式 loga x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，
3
（C）
2
1 e
,
（D）
1
1 e
,
【解析】：因为 f ' (x) ex xex ex x 1 ，所以 f (x) 在 x 1 处取得极小值，
又因为 h(x) 在 x 1 处取得极大值，所以函数 p(x) h(x) f (x) 在 x 1 处取得极大值，因为函数 q(x) g(x) 2 x2 2x 2 在 x 1 处取得极小值，