北师大版八年级下册数学第一章周测试题
北师大八年级数学下册第1周周末练习题含答案
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普宁培青中学八年级数学下册第1周周测试卷组卷人:家长签名:班级:_________________ 姓名:_________________ 座号:________________一. 选择题(共10小题,答案写在表格内)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1.等腰三角形的顶角是50°,则这个三角形的一个底角的大小是(*)A.65°B.40°C.50°D.80°2.等腰三角形一边长是2,一边长是5,则此三角形的周长是(*)A.9B.12C.15D.9或123.如图,在△ABC中,AD是角平分线,且AD=AC,若∠BAC=60°,则∠B的度数是(*)(第3题图)(第4题图)(第5题图)A.45°B.50°C.52°D.58°4.如图,在△ABC中,AC=AD=BD,∠B=35°,则∠CAD的度数为(*)A.70°B.55°C.40°D.35°5.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=40°,则∠ADB的度数为(*)A.25°B.60°C.90°D.100°6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=25°,则∠CAD的度数为(*)(第6题图)(第7题图)A.55°B.65°C.75°D.85°7.如图,在△ABC中,AC=DC=DB,∠ACB=105°,则∠B的大小为(*)A.15°B.20°C.25°D.40°8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有(*)个.(第8题图)(第9题图)(第10题图)A.2B.3C.4D.59.如图,△ABC中,AB=AC,AD=BD=BC,则∠A的度数是(*)A.30°B.36°C.45°D.20°10.如图,△ABC是等边三角形,∠CBD=90°,BD=BC,则∠1的度数是(*)A.45°B.60°C.75°D.90°二.填空题(共7小题)11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,则∠B=.(第11题图)(第13题图)12.等腰三角形的一个内角是80°,则它顶角的度数是.13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC=16cm,则BD=cm.14.如图,AC=AD,∠1=∠2,只添加一个条件使△ABC≌△AED,你添加的条件是.15.若(a﹣3)2+|b﹣7|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为.16.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,DE垂直平分AC,交BC于点E,CE=2,则BC=.17.如图,一个边长是1的等边三角形ABC,将它沿直线l作顺时针方向滚动,求滚动100次,B点所经过的路程(结果保留π).三.解答题18.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=50°,求∠B和∠C的度数.19.已知:如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,DE∥AB,交AC于点E.求证:△AED是等腰三角形.20.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,∠A=60°.求证:△ABD是等边三角形.21.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;(2)若AB=7,△CBD周长为12,求BC的长.22.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC延长线上一点,且DE⊥BC交AB于点F.(1)求证:△ADF是等腰三角形;(2)若AC=10,BE=3,F为AB中点,求DF的长.普宁培青中学八年级数学下册第1周周测试卷参考答案一. 选择题(每小题3分,共10小题)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B A C D B C B B C二.填空题(每小题4分,共7小题)11. 50°12. 80°或20°13. 814. ∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE.15. 1716. 3 17. .三.解答题18.解:在△ABD中,AB=AD,∠BAD=50°,∴∠B=∠ADB=(180°﹣50°)65°,又∵AD=DC,∴∠C=∠CAD∠ADB65°=32.5°.故∠B=65°,∠C=32.5°.19.解:∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的中线,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD,∴∠ADE=∠CAD∴AE=ED,∴△AED是等腰三角形.20.证明:∵AB∥DC,∠A=60°,∴∠ADC=120°,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB60°=∠A,∴△ADB是等边三角形.21.解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ABC=∠C=65°,又∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠ABD=∠A=50°,∴∠CBD=15°;(2)∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴DB+DC=DA+DC=AC,又∵AB=AC=7,△CBD周长为12,∴BC=5.22.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥BC,∴∠DEC=∠DEB=90°,∴∠B+∠BFE=90°,∠C+∠D=90°,∴∠D=∠BFE,∵∠BFE=∠AFD,∴∠D=∠AFD,∴AD=AF,∴△ADF是等腰三角形;(2)过点A作AG⊥DE,垂足为G,∵AB=AC,AC=10,∴AB=10,∵F为AB中点,∴AF=BF AB=5,在Rt△BFE中,BE=3,∴EF4,∵∠AGF=∠BEF=90°,∠AFG=∠BFE,∴△AFG≌△BFE(AAS),∴GF=EF=4,∵AD=AF,AG⊥DF,∴DF=2GF=8.。
北师大版数学八年级下册 第一章 精选练习题含答案
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第一章三角形的证明1.1 全等三角形和等腰三角形的性质1.如图所示,BA⊥CA,AB∥CD,AB=CE,AC=CD,则△ABC≌,理由是,所以∠ABC=,∠ACB=,由此可知BC与DE的位置关系为.2.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .3. 如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 .4.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为 .5.如图,AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线,若AB=AC,∠CAD=20°则∠ACE的度数是 .6. 如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( )A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD7. 如图所示为农村居民住宅侧面截面图,屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处,且AB=AC,侧面四边形BDEC为长方形.若测得∠FAG=110°,则∠FBD等于( )A.35° B.40° C.55° D.70°8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是( )A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC9.若实数m、n满足等式|m-2|+n-4=0,且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( )A.12 B.10 C.8 D.610. 如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD11. 如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是( )A.70° B.55° C.50° D.40°12. 已知等腰三角形的一个外角等于100°,则等腰三角形的顶角为( ) A.80°或20° B.70°或55° C.60°或50° D.50°或40°13. 如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC的度数为( )A.70° B.72° C.80° D.85°12.在△ABC中,AB=AC,且BC=8 cm,BD是腰AC的中线,△ABC的周长分为两部分,已知它们的差为2 cm,则等腰三角形的腰长为( )A. 15cm或3cmB. 12cm或5cmC. 12cm或6cmD. 10cm或6cm15. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC 的度数.16. 如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.17. 如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE.求∠A的度数.18. 如图,点D、E在△ABC的边BC上,连接AD、AE.①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以这三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ;(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后再证明).答案;1. △CED SAS ∠CED ∠CDE2. 互相垂直3. 40°4. 40°5. 35°6. D7. C8. C9. D 10. D 11. D 12. A 13. B 14. D15. 解:∵AB =AC ,∠A =40°,∴∠ABC =∠C =180°-∠A2=70°,∵BD 是∠ABC 的平分线,∴∠DBC =12∠ABC =35°,∴∠BDC =180°-∠DBC -∠C =75°.16. 证明:∵AB =AC ,∴∠C =∠B(等边对等角),在△ABD 和△ACE 中,AB =AC ,∠B =∠C ,BD =CE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS),∴AD =AE(全等三角形的对应边相等).17. 解:设∠A =x°,∵AD =BE =DE ,∴∠EDB =12x°,∵AC =AB ,∴∠C =90°-12x°,∵BC =BD ,∴∠CDB =90°-12x°,∴∠EDC =12x°+90°-12x°=90°,∴∠A =45°.18. (1) ①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①(2) 解:选择①③⇒②,证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C ,在△ABD 和△ACE 中,AB =AC ,∠B =∠C ,BD =CE ,∴△ABD ≌△ACE ,∴AD =AE.1.2直角三角形一.选择题1.下列可使两个直角三角形全等的条件是( ) A .一条边对应相等 B .两条直角边对应相等 C .一个锐角对应相等 D .两个锐角对应相等2.已知直角三角形ABC ,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( ). A . 30° B . 40° C . 45° D . 50°3.下列说法:①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等;②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等;③两边分别相等的两个直角三角形全等;④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等,其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .44.如图,AB ⊥BC 于点B ,AD ⊥DC 于点D ,若CB =CD ,且∠1=30°,则∠BAD 的度数是( )A .90°B .60°C .30°D .15° 5.下列命题中,逆命题不正确的是( )A . 两直线平行,同旁内角互补B . 直角三角形的两个锐角互余C . 全等三角形对应角相等D . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( ) A .任意两边之和大于第三边B .有一个角的平分线垂直于这个角的对边C.至少有两个角是锐角D.内角和等于180°7.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为( )A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km8.直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.120°或135°9.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,将△ACD沿AD所在的直线折叠,点C恰好落在BC的中点E处,则∠B等于()A. 25° B. 30° C. 45° D. 60°10.下列命题为假命题的是()A.若a=b,则a﹣2019=b﹣2019 B.若a=b,则C.若a>b,则a2>ab D.若a<b,则a﹣2c<b﹣2c二.填空题11.命题“在同一个三角形中,等角对等边”的逆命题是________.12.如图,D为Rt△ABC斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC 于点E,若AE=12 cm,则DE=_________cm.13.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是.(不添加字母和辅助线)14.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b(a>b),∠B=30°,若这样的三角形能作两个,则a,b间满足的关系式是________.15.命题“两直线平行,同旁内角相等”是命题(填“真”或“假”).16.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=__________时,△ABC与△QPA全等.17.举一个能证明命题“若x,y都是实数,则+≠”是假命题的反例:.18.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图1所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的而积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括5).三.解答题19.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是点E,F,那么CE=DF吗?请说明理由.20.如图,某中学有一块四边形的空地ABCD,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,问学校需要投入多少资金买草皮?21.如图,在△ABC中,AC>AB,AD平分∠BAC,点D到点B与点C的距离相等,过点D作DE⊥BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)请直接写出∠ABC,∠ACB,∠ADE三者之间的数量关系;(3)若∠ACB=40°,∠ADE=20°,求∠DCB的度数.22.如图1,∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,CE⊥AD,且BE平分∠ABC.(1)求证:∠ACE=∠ABC;(2)求证:∠ECD+∠EBC=∠BEC;(3)求证:∠CEF=∠CFE.23.边长为6的等边△ABC中,点P从点A出发沿射线AB方向移动,同时点Q从点B出发,以相同的速度沿射线BC方向移动,连接AQ、CP,直线AQ、CP相交于点D.(1)如图①,当点P、Q分别在边AB、BC上时,①连接PQ,当△BPQ是直角三角形时,AP等于________;②∠CDQ的大小是否随P,Q的运动而变化?如果不会,请求出∠CDQ的度数;如果会,请说明理由;________(2)当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时,在图②中画出点D,并直接写出∠CDQ的度数.24.按要求完成下列各小题.(1)将命题“两个钝角的和一定大于180°”写成“如果…那么…”的形式,并判断该命题是真命题还是假命题;(2)判断命题“若a2>b2,则a>b”是真命题还是假命题,若是真命题,则举一个满足命题的例子;若是假命题,则举一个反例.25.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,M 是边AB 的中点,CH ⊥AB 于点H ,CD 平分∠ACB .(1)求证:∠1=∠2.(2)过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ,连结AE ,BE .求证:CM =EM .答案提示1.B. 2.B. 3.A .②正确.4.B. 5.C . 6.B .7.D.8.B.9.B. 10.C .11.在同一个三角形中,等边对等角. 12.12.13.AB =DC (答案不唯一).14.a <b <a . 15.假. 16.5或10.17.x =1,y =﹣4(答案不唯一).18.9或13或4919. 解:CE =DF .理由如下:在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,⎩⎨⎧BC =AD ,AB =BA ,∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL),∴AC =BD ,∠CAB =∠DBA .在△ACE 和△BDF 中,⎩⎨⎧∠CAB =∠DBA ,∠AEC =∠BFD =90°,AC =BD ,∴△ACE ≌△BDF(AAS),∴CE =DF .20.解:连接BD在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52 ,在△CBD中,CD2=132 ,BC2=122 ,而122+52=132 ,即BC2+BD2=CD2,∴∠DBC=90°,S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36所以需费用36×200=7200(元)21.解:(1)证明:∵DB=DC,DE⊥BC,∴CE=BE(三线合一).(2)结论:∠ABC-∠ACB=2∠ADE.点拨:作BF⊥AD于点F,交AC于点G,求出∠ABG=∠BGA,∠ADE=∠CBG.(3)作DM⊥AC于点M,DN⊥AB的延长线于点N,图略.∵∠DAN=∠DAM,DM⊥AC,DN⊥AB,∴DM=DN,∵DB=DC,∴Rt△DBN≌Rt△DCM(HL),∴∠BDN=∠CDM,∴∠CDB=∠MDN,∵∠CAB+∠MDN=180°,∴∠CDB+∠CAB=180°,∵∠ACB=40°,∠ADE=20°,∠ABC-∠ACB=2∠ADE,∴∠ABC=80°.∴∠CAB=180°-80°-40°=60°,∴∠CDB=120°,∴∠EDB=∠EDC=60°,∴∠DCB=90°-∠EDC=30°.22.证明:(1)∵CE⊥AD,∠ACD=90°,∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°,∴∠ACE=∠D.∵∠D=∠ABC,∴∠ACE=∠ABC;(2)∵∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,∴∠ACB=∠DAC,∴AD∥BC,∵CE⊥AD,∴CE⊥BC,∴∠BEC+∠EBC=90°,∵∠D+∠ECD=90°,∠D=∠ABC,∴∠ABC+∠ECD=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD=90°,∴2∠EBC+∠ECD=∠BEC+∠EBC,即∠EBC+∠ECD=∠BEC;(3)∵∠ABF+∠AFB=90°,∠AFB=∠CFE,∴∠ABF+∠CFE=90°,∵∠CBE+∠CEF=90°,∠ABF=∠CAE,∴∠CEF=CFE.23.(1)2或4;解:∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发,速度相同,所以AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴BA=AC,∠B=∠CAP=60°,在△ABQ和△CAP中,BA=AC,∠B=∠APC,BQ=AP,∴△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°;(2)解:如图4,∠CDQ=120°,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴BA=AC,∠ABC=∠CAP=60°,在△ABQ和△CAP中,BA=AC,∠ABQ=∠CAP,BQ=AP,∴△ABQ≌△CAP,∴∠Q=∠P,∵∠P+∠BCP=60°,∴∠Q+∠DCQ=60°,∴∠CDQ=120°.24.解:(1)如果两个角是钝角,那么这两个角的和一定大于180°,真命题;(2)假命题,反例:a=﹣2,b=﹣1.25.解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠BCH+∠ACH=90°.∵CH⊥AB,∴∠CAH+∠ACH=90°,∴∠CAH=∠BCH.∵M是斜边AB的中点,∴CM=AM=BM,∴∠CAM=∠ACM.∴∠BCH=∠ACM.∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACD,∴∠BCD-∠BCH=∠ACD-∠ACM,即∠1=∠2.(2)∵CH⊥AB,ME⊥AB,∴ME∥CH,∴∠1=∠MED.∵∠1=∠2,∴∠2=∠MED,∴CM=EM.1.3线段的垂直平分线一.选择题1.如图,∠B=35°,CD为AB的垂直平分线,则∠ACE=()A.55°B.60°C.70°D.80°2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,△ADC的周长为10,且BC﹣AC =2,则BC的长为()A.4B.6C.8D.103.如图,△ABC的边长AB=8cm,AC=10cm,BC=4cm,作BC的垂直平分线交AC于D,则△ABD的周长为()A.18cm B.14cm C.20cm D.12cm4.如图,有A、B、C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()A.∠A、∠B两内角的平分线的交点处B.AC、AB两边高线的交点处C.AC、AB两边中线的交点处D.AC、AB两边垂直平分线的交点处5.如图,已知△ABC的三条内角平分线相交于点I,三边的垂直平分线相交于点O.若∠BOC=148°,则∠BIC=()A.120°B.125°C.127°D.132°6.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=110°,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,则∠EBC的度数是()A.10°B.15°C.20°D.25°7.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=35°,则∠A+∠C=()A.30°B.40°C.17.5°D.35°8.如图,△ABC中,∠B=90°,边AC的垂直平分ED,交AC于点D,交BC于点E,已知∠C=36°,则∠BAE的度数为()A.16°B.17°C.18°D.19°9.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积小4,则△ADE的面积为()A.4B.3C.2D.110.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AC边的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG.则∠EAG的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°二.填空题(共5小题)11.如图,在△ABC中,点O是BC、AC的垂直平分线的交点,OB=5cm,AB=8cm,则△AOB的周长是cm.12.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=4,△ABD的周长为12,则BC=.13.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若AC=9,BC=5,则△BDC的周长是.14.如图,△ABC中,∠A=68°,点D是BC上一点,BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,则∠EDF=度.15.如图,在锐角△ABC中、∠A=80°,DE和DF分别垂直平分边AB、AC,则∠DBC的度数为°.三.解答题16.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE.(1)求证:AB=EC;(2)若△ABC的周长为14cm,AC=6cm,求DC长.17.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,DE是BC的垂直平分线,交AC于点E,连接BE,∠CBE=2∠ABE,求∠C的度数.18.如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.(1)若BC=5,求△ADE的周长.(2)若∠BAD+∠CAE=60°,求∠BAC的度数.参考答案一.选择题1.解:∵CD为AB的垂直平分线,∴AC=BC,∴∠B=∠A=35°∴∠ACE=∠B+∠A=70°.故选:C.2.解:∵DE是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,∵△ADC的周长为10,∴AC+DC+AD=10,∴AC+CD+BD=AC+BC=10,∵BC﹣AC=2,∴BC=6,故选:B.3.解:∵BC的垂直平分线交AC于D,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=8+10=18(cm),故选:A.4.解:根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处,故选:D.5.解:连接OA,∵∠BOC=148°,∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC=32°,∵O是三边的垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∴∠OBA+∠OCA=(180°﹣32°)÷2=74°,∴∠ABC+∠ACB=74°+32°=106°,∵△ABC的三条内角平分线相交于点I,∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,∴∠BIC=180°﹣∠IBC﹣∠ICB=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=127°,故选:C.6.解:∵AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,∴∠ABE=∠A=30°,∵∠A=30°,∠C=110°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣110°=40°,∴∠EBC=40°﹣30°=10°,故选:A.7.解:连接OB,∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,∴AO=OB=OC,∴∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE,∠A=∠ABO,∠C=∠CBO,∴∠A+∠C=∠ABC,∵∠DOE+∠1=180°,∠1=35°,∴∠DOE=145°,∴∠ABC=360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO=35°;故选:D.8.解:在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=36°,∴∠BAC=90°﹣36°=54°,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=36°,∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=18°,故选:C.9.解:由尺规作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,∴点D是AB的中点,∴S△ADC=S△BDC,∵S△BDC﹣S△CDE=4,∴S△ADC﹣S△CDE=4,即△ADE的面积为4,故选:A.10.解:∵AB边的垂直平分线交AB于点D,AC边的垂直平分线交AC于点F,∴AG=CG,AE=BE,∴∠C=∠CAG,∠B=∠BAE,∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=100°,∴∠EAG=∠BAE+∠CAG﹣∠BAC=100°﹣80°=20°,故选:B.二.填空题(共5小题)11.解:∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点,∴OA=OB=5cm,∴△AOB的周长=OA+OB+AB=18(cm),故答案为:18.12.解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,∴BC=BD+DC=BD+DA,∵AB=4,△ABD的周长为12,∴BC=12﹣4=8.故答案为:8.13.解:∵MN是线段AB的垂直平分线,∴△BDC的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=14,故答案为:14.14.解:∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,∴EB=ED,FD=FC,∴∠EDB=∠B,∠FDC=∠C,∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C,∵∠EDF=180°﹣(∠EDB+∠FDC),∠A=180°﹣(∠B+∠C),∴∠EDF=∠A=68°.故答案为68.15.解:连接DA、DC,∵∠BAC=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°,∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC,∴DA=DB,DA=DC,∴DB=DC,∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=80°,∴∠DBC=∠DBC=×(100°﹣80°)=10°,故答案为:10.三.解答题16.(1)证明:∵EF垂直平分AC,∴AE=EC,∵AD⊥BC,BD=DE,∴AB=AE,∴AB=EC;(2)解:∵△ABC的周长为14cm,∴AB+BC+AC=14(cm),∴AB+BC=8(cm),∵AB=EC,BD=DE,∴DC=DE+EC=(AB+BC)=4(cm).17.解:∵DE是BC的垂直平分线,∴EB=EC,∴∠CBE=∠C,∵∠CBE=2∠ABE,∴∠ABE=∠C,∵∠A=90°,∴∠ABC+∠C=90°,∴∠C+∠C+∠C=90°,∴∠C=36°.18.解:(1)∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,∴DA=DB,EA=EC,∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5;(2)∵DA=DB,EA=EC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,∴∠B+∠C=∠DAB+∠EAC=60°,∴∠BAC=120°.。
北师大版八年级数学下册第一章:三角形的证明 复习
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一.选择题1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是()A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=BF 2.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠BOD是直角.若∠1=25°,那么∠BOE的度数是()A.90°B.145°C.155°D.165°3.如图,平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(2,2),点N在x轴上,若△OMN是等腰三角形,则满足条件的点N共有()个.A.3 B.4 C.5 D.84.如图,以的顶点为圆心,适当长为半径画弧,交于点,交于点.再分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在内部交于点,过点作射线,连接.则下列说法错误的是()A. .两点关于所在直线对称B. .两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC.其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组6.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是()A.HL B.ASA C.SAS D.SSS7.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN =3,则CM的长为()A.3 B.3.5 C.4 D.4.58.在如图中,,于,于,.交于点,则下列结论中不正确的是()A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE =EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④10.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建()A.A处B.B处C.C处D.D处11.如图,公路互相垂直,公路的中点与点被湖隔开.若测得的长为,则两点间的距离为()A. B. C. D.12.下列命题是假命题的是()A.矩形的对角线相等且互相平分B.两点之间,线段最短C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.角平分线上的点到角两边的距离相等二.填空题13.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:(写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.14.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC=°.15.如图,已知,垂直平分交.于.两点,若,,则的周长为.16.如图,在中,,平分,交于点,若,则.17.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形,那么∠OEC的度数为.18.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm,BC =6cm,则AC=,DE=.三.解答题19.已知:如图1,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°求证:Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等.(1)请你用“如果…,那么…”的形式叙述上述命题;(2)如图2,将△ABC和A′B′C′拼在一起(即:点A与点B′重合,点B与点A′重合),BC和B′C′相交于点O,请用此图证明上述命题.20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F,求证:DE=DF.21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,FE是AC的垂直平分线,交AD于点F,连接BF.求证:AF=BF.22.已知:如图,在△BAC中,AB=AC,D,E分别为AB,AC边上的点,且DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.23.如图,已知∠CPB=65°,AB∥CP,点D,E分别是PC,PB上一点,连接DE,使DE=PE,∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.(1)∠BED=130°;(2)求∠BFD的度数.24.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°.(1)图1中:∠DEF=45°,图2中:∠DEF=135°;(2)请观察图1.图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题.北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一.选择题1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是()A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=BF解:条件是AB=CD,理由是:∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠CFD=∠AEB=90°,在Rt△ABE和Rt△DCF中,,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),故选:A.2.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠BOD是直角.若∠1=25°,那么∠BOE的度数是()A.90°B.145°C.155°D.165°解:∵点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∴∠AOC=∠COE=90°,∵∠DOB是直角,∠1=25°,∴∠BOC=∠DOB﹣∠1=90°﹣25°=65°,∴∠BOE=∠COE+∠BOC=90°+65°=155°.故选:C.3.如图,平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(2,2),点N在x轴上,若△OMN是等腰三角形,则满足条件的点N共有()个.A.3 B.4 C.5 D.8解:如上图:满足条件的点N共有(﹣2,0)(2,0)(2,0)(4,0).故选:B.4.如图,以的顶点为圆心,适当长为半径画弧,交于点,交于点.再分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在内部交于点,过点作射线,连接.则下列说法错误的是()A. .两点关于所在直线对称B. .两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解:连接.,根据作图得到..在与中,(),,即射线是的平分线,正确,不符合题意;根据作图得到,是等腰三角形,正确,不符合题意;根据作图得到,又射线平分,是的垂直平分线,.两点关于所在直线对称,正确,不符合题意;根据作图不能得出平分,不是的平分线,.两点关于所在直线不对称,错误,符合题意.故答案为:.两点关于所在直线对称5.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC.其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组解:①.∵△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故①正确;②.∵△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°,∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣68°﹣56°=56°,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故②正确;③∵△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC,∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠C+∠CAD+∠ADC=180°,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故③正确;④.∵△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故④正确;即正确的个数是4,故选:D.6.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是()A.HL B.ASA C.SAS D.SSS解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°,在Rt△ABD和Rt△CDB中,,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL),故选:A.7.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为()A.3 B.3.5 C.4 D.4.5解:过点P作PD⊥CB于点D,∵∠ACB=60°,PD⊥CB,PC=12,∴DC=6,∵PM=PN,MN=3,PD⊥OB,∴MD=ND=1.5,∴CM=6﹣1.5=4.5.故选:D.8.在如图中,,于,于,.交于点,则下列结论中不正确的是()A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解:,于,于,,,故本选项正确;,,,,,,点在的平分线上,故本选项正确;,,,,,,正确;是的中点,无法判定,故本选项错误.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE =EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B;故①正确;∴CD=BD,∵AD=CD,∴CD=AB;故②正确;∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形;故③错误;∵若∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°,∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.故选:B.10.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建()A.A处B.B处C.C处D.D处解:根据作图可知:EF是线段MN的垂直平分线,所以EF上的点到M.N的距离相等,即发射塔应该建在C处,故选:C.11.如图,公路互相垂直,公路的中点与点被湖隔开.若测得的长为,则两点间的距离为()A. B. C. D.解:在中,,为的中点,.12.下列命题是假命题的是()A.矩形的对角线相等且互相平分B.两点之间,线段最短C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.角平分线上的点到角两边的距离相等解:A.矩形的对角线相等且互相平分,是真命题;B.两点之间,线段最短,是真命题;C.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,原命题是假命题;D.角平分线上的点到角两边的距离相等,是真命题;故选:C.二.填空题13.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:AC=AD(写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.解:条件是AC=AD,∵∠C=∠D=90°,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL),故答案为:AC=AD.14.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC=90°.解:在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB(HL),∴∠ACE=∠ABD,∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠EAC+∠ABD=90°,∴∠AFB=90°,即∠CFD=90°,∴∠ACD+∠BDC=90°,故答案为90.15.如图,已知,垂直平分交.于.两点,若,,则的周长为.解:垂直平分,,的周长.故答案为:.16.如图,在中,,平分,交于点,若,则.解:,,平分,,.17.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形,那么∠OEC的度数为120°或75°或30°.【解答】解:∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOC=30°,①当E在E1时,OE=CE,∵∠AOC=∠OCE=30°,∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°;②当E在E2点时,OC=OE,则∠OEC=∠OCE=(180°﹣30°)=75°;③当E在E3时,OC=CE,则∠OEC=∠AOC=30°;故答案为:120°或75°或30°.18.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm,BC =6cm,则AC=5cm,DE=8cm.解:∵BC=6cm,∴BD=DC=3(cm),∵AD⊥BC,BD=DC,AB=5cm,∴AC=AB=5(cm),∵点C在AE的垂直平分线上,∴EC=AC=5(cm),∴DE=DC+EC=8(cm),故答案为:5cm;8cm.三.解答题19.已知:如图1,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°求证:Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等.(1)请你用“如果…,那么…”的形式叙述上述命题;(2)如图2,将△ABC和A′B′C′拼在一起(即:点A与点B′重合,点B与点A′重合),BC和B′C′相交于点O,请用此图证明上述命题.解:(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,那么这两个直角三角形全等;(2)在△ACO和直角△A'C'O′中,,∴△ACO≌△A′C′O,∴OC=C′O,AO=A′O,∴BC=B′C′,在△ABC与△A′B′C′中,∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F,求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,∵点D为BC中点,∴DB=DC,∴在△DBE和△DCF中,∴△DBE≌DCF(AAS),∴DE=DF.21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,FE是AC的垂直平分线,交AD于点F,连接BF.求证:AF=BF.证明:连接CF,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=CD,AD⊥BC,∴BF=CF,∵FE垂直平分AC,∴AF=CF,∴AF=BF.22.已知:如图,在△BAC中,AB=AC,D,E分别为AB,AC边上的点,且DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴△ADE是等腰三角形.23.如图,已知∠CPB=65°,AB∥CP,点D,E分别是PC,PB上一点,连接DE,使DE=PE,∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.(1)∠BED=130°;(2)求∠BFD的度数.解:(1)∵DE=PE,∴∠EDP=∠CPB=65°,∴∠BED=∠EDP+∠CPB=130°,故答案为:130;(2)∵AB∥CP,∴∠ABP+∠CPB=180°,∴∠ABP=115°,∵∠EDP=65°,∴∠CDE=115°,∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.∴∠FBE=∠ABE=57.5°,∠FDE=∠CDE=57.5°,∴∠BFD=360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°=115°.24.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°.(1)图1中:∠DEF=45°,图2中:∠DEF=135°;(2)请观察图1.图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题.解:(1)图1,∵AB∥DE,∴∠B=∠DGC=45°,∵BC∥EF,∴∠DEF=∠DGC=45°;图2,∵AB∥DE,∴∠B=∠BGE=45°,∵BC∥EF,∴∠DEF+∠BGE=180°,∴∠DEF=180°﹣45°=135°;故答案为45°,135°;(2)∠DEF与∠ABC相等,∠DEF与∠ABC互补,结论:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.。
北师大版初中数学八下第一章综合测试试题试卷含答案
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第一章综合测试一、选择题(共10小题,满分30分)1.如图已知100BAC ︒∠=,AB AC =,AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于D E 、,则DAE ∠=( )A .40︒B .30︒C .20︒D .10︒2.如图,ABC △中,AB AC =,高BD CE 、相交于点O ,连接AO 并延长交BC 于点F ,则图中全等的直角三角形共有( )A .4对B .5对C .6对D .7对 3.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等,那么这个三角形一定是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .斜三角形 4.Rt ABC △中,9046C B ︒︒∠=∠=,,则A ∠=( ) A .44︒ B .34︒ C .54︒ D .64︒ 5.在ABC △中,若0A B C ∠+∠−∠=,则ABC △是( ) A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形6.如图,AC AD BC BD ==,,则( )A .AB 垂直平分CD B .CD 垂直平分ABC .CD 平分ACB ∠D .以上结论均不对7.如图,ABC △中,D 为BC 上一点,ABD △的周长为12cm ,DE 是线段AC 的垂直平分线,5AE =cm ,则ABC △的周长是( )A .17cmB .22cmC .29cmD .32cm8.如图,在ABC △中,AF 平分BAC ∠,AC 的垂直平分线交BC 于点E ,60B ︒∠=,30C ︒∠=,则FAE ∠为( )A .10︒B .15︒C .20︒D .30︒9.如图,AD 是ABC △的角平分线,,DF AB ⊥,垂足分别为点F ,DE DG =,若ADG △和ADE △的面积分别为50和39,则DEF △的面积为( )A .11B .7C .5.5D .3.510.如图,ABC △中,90C ︒∠=,AD 平分BAC ∠,过点D 作DE AB ⊥于E ,若4DC =,则DE =( )A .3B .5C .4D .6二、填空题(共7小题,满分28分)11.若等腰三角形的一个内角为50︒,则这个等腰三角形的顶角为________.12.下列四组数:①5,12,13;②7,24,25;③1,2,4;④5,6,8其中可以作为直角三角形三边长的有________.(把所有你认为正确的序号都写上)13.如图,在ABC △中,90C ∠=︒,AC BC =,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,DE AB ⊥于点E .若AB =10cm ,则ADE △的周长为________cm .14.在ABC △中,AB AC =,AB 的垂直平分线交AC 于D ,交AB 于E ,连接BD ,若40ADE ︒∠=,则ABC ∠=________.15.如图,BD 垂直平分线段AC ,AE BC ⊥,垂足为E ,交BD 于点P ,3cm PE =,则点P 到直线AB 的距离是________cm .16.如图,在ABC △中,点D 是BC 边上一点,12∠=∠,34∠=∠,63BAC ︒∠=,则DAC ∠的度数为________.17.如图,在Rt ABC △中,90C ︒∠=,AD 平分BAC ∠,交BC 于点D ,若103AB CD ==,,则ABC S =△________.三、解答题(共8小题,满分62分)18.如图,ABC △中,90C =∠,4AC =,8BC =.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)若(1)中所作的垂直平分线交BC 于点D ,求BD 的长.19.如图,已知ABC ∠,求作:(1)ABC ∠的平分线BD (写出作法,并保留作图痕迹);(2)在BD 上任取一点P ,作直线PQ ,使PQ AB ⊥(不写作法,保留作图痕迹).20.如图,ABC △中,D 是BC 上的一点,若10AB =,6BD =,8AD =,17AC =,求ABC △的面积.21.如图所示、AOB △和D CO ∆均为等腰直角三角形,90AOB COD ︒∠=∠=,D 在AB 上.(1)求证:AOC BOD △≌△;(2)若12AD BD ==,,求CD 的长.22.如图,已知ABC △中,AB AC BD CE =,、是高,BD 与CE 相交于点O . (1)求证:OB OC =;(2)若50ABC ︒∠=,求BOC ∠的度数.23.已知锐角ABC △,45ABC AD BC ︒∠=⊥,于D ,BE AC ⊥于E ,交AD 于F . (1)求证:BDF ADC △≌△;(2)若43BD DC ==,,求线段BE 的长度.24.如图,AB BC ⊥,射线CM BC ⊥,且5cm BC =,1cm AB =,点P 是线段BC (不与点B C 、重合)上的动点,过点P 作DP AP ⊥交射线CM 于点D ,连结AD .(1)如图1,若4cm BP =,则CD =________;(2)如图2,若DP 平分ADC ∠,试猜测PB 和PC 的数量关系,并说明理由;(3)若PDC △是等腰三角形,则CD =________cm .(请直接写出答案)25.如图,在ABC △中,20AB AC ==厘米,B C ∠=∠,16BC =厘米,点D 为AB 的中点,如果点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由点向点运动,同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.(1)用含有t 的代数式表示CP ,则CP =________厘米;(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由;(3)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,那么当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等?第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】解:100BAC AC AB ︒∠==,,18040B C BAC ︒︒∴∠=∠=−∠=(),DM EN 、分别是边AB 和AC 的垂直平分线, BD AD AE CE ∴==,,4040B BAD C CAE ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,, =100404020DAE ︒︒︒︒∴∠−−=.故选C. 2.【答案】D【解析】解:有7对全等三角形: ①BDC CEB △≌△,理由是:AB AC =, ABC ACB ∴∠=∠,BD 和CE 是两腰上的高, 90BDC CEB ︒∴∠=∠=,在BDC △和CEB △中,BDC CEB ACB ABC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,BDC CEB AAS ∴△≌△(), BE DC ∴=.②BEO CDO △≌△,理由是:在BEO △和CDO △中,BEO CDO BOE COD BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,BEO CDO AAS ∴△≌△(). ③AEO ADO △≌△,理由是: 由BEO CDO △≌△得:EO DO =,在Rt AEO △和Rt ADO △中,AO AO EO OD =⎧⎨=⎩,,Rt Rt AEO ADO HL ∴△≌△(), EAO DAO ∴∠=∠.④ABF ACF △≌△,理由是:在ABF △和ACF △中,AB AC EAO DAO AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,⑤BOF COF △≌△,理由是:AB AC BAF CAF =∠=∠,, BF FC AFB AFC ∴=∠=∠,,在BOF △和COF △中,OF OF AFB ADC BF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,BOF COF SAS ∴△≌△(). ⑥AOB AOC △≌△,理由是:在AOB △和AOC △中,AO AO BAO CAO AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,AOB AOC SAS ∴△≌△(). ⑦ABD ACE △≌△,理由是: 在ABD △和ACE △中, ABD ACE SAS ∴△≌△(). 故选:D. 3.【答案】B 【解析】如右图,DE AB DF AC ⊥⊥,,90BED DFC ︒∴∠=∠=,在BDE △和CDF △,BD CD DE DF ==,,DBE DFC HL ∴△≌△(), B C ∴∠=∠, AB AC ∴=,∴这个三角形一定是等腰三角形. 故选B. 4.【答案】A【解析】解:9046904644C B A ︒︒︒︒︒∠=∠=∴∠=−=,,.故选A. 5.【答案】A【解析】解:0A B C ∠+∠−∠=,A B C ∴∠+∠=∠,180A B C ︒∠+∠+∠=,90C ︒∴∠=,ABC ∴△是直角三角形.故选择:A. 6.【答案】A 【解析】解:AC AD BC BD AB AB ===,,,CAB DAB ∴∠=∠,且AC AD =,AB ∴垂直平分CD .故选:A. 7.【答案】B【解析】因为DE 是AC 的垂直平分线,所以AD CD =,AE EC =,而5cm AE =,所以10cm AC =,而ABC C AB BC AC =++△,ABC C AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+△,所以ABC ABD C C AC =+=△△cm 10c m 12m c 22+=.8.【答案】B【解析】解:在ABC ∆中,60B ︒∠=,30C ︒∠=,180690030BAC ︒︒︒︒∴−−=∠=,AF 平分BAC ∠,11904522CAF BAC ︒︒⨯∴∠=∠==;DE 垂直平分AC , AE CE ∴=,30EAD C ︒∴∠=∠=,453015FAE CAF CAE ︒︒︒∴∠=∠−∠=−=.故选:B. 9.【答案】C【解析】作DM DE =交AC 于M ,作DN AC ⊥于点N ,DE DG =, DM DG ∴=,AD 是ABC △的角平分线,DF AB ⊥, DF DN ∴=,在Rt DEF △和Rt DMN △中,DN DFDM DE ==⎧⎨⎩, Rt Rt DEF DMN HL ∴△≌△(), ADG △和AED △的面积分别为50和39, 503911MDG ADG ADM S S S ∴=−=−=△△△,1152.5112DNM EDF MDG S S S ===⨯=△△△.故选C. 10.【答案】C【解析】解:90C ︒∠=,AD 平分BAC DE AB ∠⊥,于E ,DE DC ∴=, 4DC =,4DE ∴=.故选:C. 二、11.【答案】50︒或80︒ 【解析】如右图所示,ABC △中,AB AC =,有两种情况:①顶角50A ︒∠=; ②当底角是50︒时,AB AC =,50B C ︒∴∠=∠=, 180A B C ︒∠+∠+∠=, 180505080A ︒︒︒︒∴∠=−−=,∴这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒. 故答案为50︒或80︒. 12.【答案】①②【解析】解:①22251213+=,能构成直角三角形; ②22272425+=,能构成直角三角形; ③222124+≠,不能构成直角三角形; ④222568+≠,不能构成直角三角形, 所以可以作为直角三角形三边长的有①②, 故答案为:①②. 13.【答案】10 【解析】BD 平分ABC ∠交AC 于D ,DE AB ⊥于E ,90DBE DBC BED C BD BD ︒∴∠=∠∠=∠==,,,BDE BDC AAS ∴△≌△(), DE DC BE BC ∴==,,ADE ∴△的周长10cm DE DA AE DC DA AE CA AE BC AE BE AE AB =++=++=+=+=+==.故答案为:10. 14.【答案】65︒ 【解析】DE 是AB 的垂直平分线,DE AB ∴⊥,90AED ︒∴∠=.又40ADE ︒∠=,50A ︒∴∠=.又AB AC =,18050265ABC ACB ︒︒︒∴∠=∠=−÷=().故答案为65︒. 15.【答案】3【解析】过点P 作PM AB ⊥与点M ,BD 垂直平分线段AC , AB CB ∴=,ABD DBC ∴∠=∠,即BD 为角平分线,又PM AB PE CB ⊥⊥,,3PM PE ∴==.16.【答案】24︒【解析】设12x ∠=∠=,则43122x ∠=∠=∠+∠=,63DAC ︒∠=, 63DAC x ︒∴∠=−,在ABC △中,有263180x x ︒︒++=,39x ︒=,°°6324DAC x ∴∠=−=,故答案为:24︒. 17.【答案】15 【解析】解:作DE AB ⊥于E ,90C ︒∠=, DC AC ∴⊥,AD 平分BAC DC AC DE A ∠⊥⊥,,, DE CD ∴=, 103AB CD ==,,∴111031522ABDSAB DE =⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为15. 三、18.【答案】(1)如图直线MN 即为所求.(2)5BD =【解析】(2)MN 垂直平分线段AB ,DA DB ∴=,设DA DB x ==,在Rt ACD △中,222AD AC CD =+,()22248x x ∴=+−,解得5x =, 5BD ∴=.19.【答案】解:(1)如下图所示,作法:①以B 点为圆心,任意长为半径画弧分别交BA BC 、于M N 、点; ②再以M N 、为圆心,以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧,两弧在ABC ∠内相交于E ,则BD 为所作;(2)如下图,PQ 为所作.20.【答案】解:2222226810BD AD AB +=+==,ABD ∴△是直角三角形,AD BC ∴⊥,在Rt ACD △中,15CD ===,()111 21884222ABC BC AD BD CD S AD ∴==+=⨯⨯=△, 因此ABC △的面积为84.答:ABC △的面积是84.21.【答案】解:(1)证明:如右图,1903︒∠=−∠,2903︒∠=−∠,12∴∠=∠.又OC OD =,OA OE =,AOC BOD ∴△≌△.(2)由AOC BOD △≌△有:2AC BD ==,45CAO BOD ︒∠=∠=,90CAB ︒∴∠=,故CD =22.【答案】解:(1)证明:AB AC =,ABC ACB ∴∠=∠,BD CE 、是ABC △的两条高线,DBC ECB ∴∠=∠,OB OC ∴=.(2)50ABC AB AC ︒∠==,,18025080A ︒︒︒∴∠=−⨯=,18080100BOC ︒︒︒∴∠=−=.23.【答案】解:(1)证明:45AD BC ABC ︒⊥∠=,, 45ABC BAD ︒∴∠=∠=,AD BD ∴=,DA BC BE AC ⊥⊥,,9090C DAC C CBE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=,,CBE DAC ∴∠=∠,且90AD BD ADC ADB ︒=∠=∠,=,BDF ADC ASA ∴△≌△(). (2)BDF ADC △≌△,43AD BD CD DF BF AC ∴=====,,,5BF ∴=,5AC ∴=,11 22ABCBC A S AD C BE =⨯⨯=⨯⨯, 745BE =∴⨯⨯, 285BE ∴=. 24.【答案】(1)4cm (2)PB PC =,理由:如图2,延长线段AP DC 、交于点E , DP 平分ADC ∠,ADP EDP =∴∠∠.DP AP ⊥,90DPA DPE ︒∴∠==∠,在DPA △和DPE △中,ADP EDP DP DP DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DPA DPE ASA ∴△≌△(), PA PE ∴=.AB BP CM CP ⊥⊥,,ABP ECP Rt ∴∠=∠=∠.在APB △和EPC △中,ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩APB EPC AAS ∴△≌△(), PB PC ∴=.(3)4【解析】(1)5cm 4cm BC BP ==,,1cm PC ∴=,AB PC ∴=,DP AP ⊥,90APD ︒=∴∠,90APB CPD ︒∴∠=∠+,90APB CPD ︒∠=∠+,90APB BAP ︒∠=+∠, BAP CPD =∴∠∠,在ABP △和PCD △中,B CBAP CPD AB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABP PCD ∴△≌△,4cm BP CD =∴=.(3)PDC △是等腰三角形,PCD ∴△为等腰直角三角形,即45DPC ︒∠=, 又DP AP ⊥,45APB ︒∴∠=,1cm BP AB ∴==,4cm PC BC BP ∴=−=,4cm CD CP ∴==.25.【答案】(1)166t −(2)当1t =时,616BP CQ ==⨯=(厘米), 20AB =厘米,点D 为AB 的中点,10BD ∴=厘米.又PC BC BP =−,16BC ∴=厘米,16610PC ∴=−=(厘米),PC BD =在BPD △和CQP △中,BD PC B C BP CQ =∠=∠=,,,BPD CQP SAS ∴△≌△()(3)P Q v v ≠BP CQ ∴≠又BPD CPQ △≌△,B C ∠=∠,8cm BP PC ∴==,10cm CQ BD ==, ∴点P ,点Q 运动的时间4863t =÷=(秒),107.543Q CQv t ∴===(厘米/秒).【解析】(1)6BP t =,则166PC BC BP t =−=−.。
2020春北师大版数学八年级下册(BS)周周测第一章 三角形的证明 周周测8(1.4)
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·1.4角平分线一、选择题1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点2.如图,在△ABC中,=90°,AE平分,CE=6,则点E到AB的距离是()A. 8B. 7C. 6 D . 53.如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,则下列结论正确的是()A. 点F在BC边的垂直平分线上B. 点F在∠BAC的平分线上C. △BCF是等腰三角形D. △BCF是直角三角形4.△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=32,BD:DC=9:7,则点D到AB的距离为()A. 18cmB. 16cmC. 14cmD. 12c m5.如图,直线a,b,c表示交叉的公路,现要建一货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有()A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处6.如图,OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论正确的是()A. PD=PEB. PE=OEC. ∠DPO=∠EOPD. PD=OD7.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()A. 5B. 7C. 10D.38.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD=10,AC=8,CD=6,则点D到AB边的距离是()A. 8B. 7C. 6D. 无法确定9.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC//OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD等于()A. 4B. 3C. 2 D . 110.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=8,ED=2,AC=3,则AB的长是()A. 5B. 6C. 7 D . 811.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若CD=BD,点D到边AB的距离为6,则BC的长是()A. 6B. 12C. 18D.24二、填空题12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,AC=5,DC=3,则点D到AB的距离是________.13.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为________.14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD平分∠BAC,交BC边于点D,若CD=2,则△ABD的面积为________ .15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BC=10cm,BD:DC=3:2,则点D 到AB的距离________cm.16.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=2,BC=5,则△BCD的面积是________.17.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若BD=5,BC=4,则点D到边AB的距离为________.18.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=70°,则∠BOC的度数为________.19.表示三条相互交叉直线工路上,现要建一个货运中转站,要求它到三条公路的距离相等,则选择的地址有________处.20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是________.21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④DA平分∠CDE;⑤S△ABD:S△ACD=AB:AC.其中,正确的有________个.三、解答题22.如图,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上的一点,求证:BD=CD.23.现要在三角地ABC内建一中心医院,使医院到A、B两个居民小区的距离相等,并且到公路AB和AC的距离也相等,请确定这个中心医院的位置.24.如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.25.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.(1)求证:S△ABD:S△ACD=AB:AC;(2)若AB=4,AC=5,BC=6,求BD的长.答案:1. A2.C3.B4.C5.D6.A7.A8.C9.C 10.A 11.C 12.3 13.6 14.8 15.4 16.5 17.3 18.125°19.4 20.30 21.522.证明:∵PB⊥BA,PC⊥CA在Rt△PAB与Rt△PAC中∴Rt△PAB≌Rt△PAC(HL)∴∠APB=∠APC在△PBD与△PCD中∴△PBD≌△PCD(SAS)∴BD=CD23.解:作AB的垂直平分线EF,作∠BAC的角平分线AM,两线交于P,则P为这个中心医院的位置.24.证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF是直角三角形,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线.25.(1)证明:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,(2)解:∵S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD,∵BC=6,。
(完整版)北师大版八年级下册数学第一章测试题

北师大版八年级下册数学测试题一.选择题(共10小题)1.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A.12 B.16 C.20 D.16或202.(2016•枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.17.5° C.20°D.22.5°3.如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5° D.52.5°4.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对5.(2016•泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°6.如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2B.2+C.4 D.37.如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.2∠1+∠2=180°8.如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110°B.120°C.130°D.140°9.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°10.如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则∠A n 的度数为()A.B.C.D.二.填空题(共10小题)11.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为.13.在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为.14.等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为.15.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的大小为.16.已知:等腰三角形ABC的面积为30m2,AB=AC=10m,则底边BC的长度为.17.如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°,则y=.(用x的代数式表示)18.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A 的路径,以2cm每秒的速度运动,设运动时间为t秒,当t为时,△ACP是等腰三角形.19.等腰三角形两内角度数之比为1:2,则它的顶角度数为.20.如图,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管:EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为.三.解答题(共10小题)21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.22.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.23.如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.24.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.25.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB 于E.求证:△BDE是等腰三角形.26.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F.求证:△ABC是等腰三角形.27.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?28.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.29.如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.30.已知:如图,△ABC中,AB=AC=6,∠A=45°,点D在AC上,点E在BD上,且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形.(1)求∠EBC的度数;(2)求BE的长.北师大版八年级下册数学第一章周测试题参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.(2016•贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A.12 B.16 C.20 D.16或20【解答】解:①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.故此三角形的周长=8+8+4=20.故选C.2.(2016•枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.17.5° C.20°D.22.5°【解答】解:∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°.故选A.3.(2016•滨州)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5° D.52.5°【解答】解:∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°,∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=(180°﹣25°)=77.5°,∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°,故选D.4.(2016•湘西州)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对【解答】解:当4cm为等腰三角形的腰时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系,∴周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,∴周长为14cm,故选C5.(2016•泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°【解答】解:∵PA=PB,∴∠A=∠B,在△AMK和△BKN中,,∴△AMK≌△BKN,∴∠AMK=∠BKN,∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN=44°,∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°,故选:D.6.(2016•雅安)如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2B.2+C.4 D.3【解答】解:过A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠A=120°,∴∠B=∠C=30°,∴AB=AC=2,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=2,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2,故选:A.7.(2016•孝感模拟)如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.2∠1+∠2=180°【解答】解:∵∠1=∠3,∠B=∠C,∠1+∠B+∠3=180°,∴2∠1+∠C=180°,∴2∠1+∠1﹣∠2=180°,∴3∠1﹣∠2=180°.故选B.8.(2016•鞍山二模)如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解:∵∠A=40°,∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°,又∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,∴∠PBA=∠PCB,∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°,∴∠BPC=180°﹣70°=110°.故选A.9.(2016春•乳山市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°【解答】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△DBE和△ECF中,,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴∠EFC=∠DEB,∵∠A=50°,∴∠C=(180°﹣50°)÷2=65°,∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°,∴∠DEB+∠FEC=115°,∴∠DEF=180°﹣115°=65°.故选:C.10.(2016•六盘水)如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则∠A n的度数为()A.B.C.D.【解答】解:∵在△ABA1中,∠A=70°,AB=A1B,∴∠BA1A=70°,∵A1A2=A1B1,∠BA1A是△A1A2B1的外角,∴∠B1A2A1==35°;同理可得,∠B2A3A2=17.5°,∠B3A4A3=×17.5°=,∴∠A n﹣1A n B n﹣1=.故选:C.二.填空题(共10小题)11.(2016•淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是10.【解答】解:因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:4+4+2=10,答:它的周长是10,故答案为:1012.(2016•通辽)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°.【解答】解:分两种情况讨论:①若∠A<90°,如图1所示:∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠ABD=48°,∴∠A=90°﹣48°=42°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣42°)=69°;②若∠A>90°,如图2所示:同①可得:∠DAB=90°﹣48°=42°,∴∠BAC=180°﹣42°=138°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣138°)=21°;综上所述:等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为:69°或21°.13.(2016•厦门校级模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为16或8.【解答】解:∵BD是等腰△ABC的中线,可设AD=CD=x,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分,∴可知分为两种情况①AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此时BC=21﹣x=21﹣5=16;②AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此时等腰△ABC的三边分别为14,14,8.经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.故答案为:16或8.14.(2016•哈尔滨模拟)等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°.【解答】解:在△ABC中,AB=AC,①当∠A=70°时,则∠ABC=∠C=55°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣55°=35°;②当∠C=70°时,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣70°=20°;故答案为:35°或20°.15.(2016•红桥区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的大小为36°.【解答】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵CD=DA,∴∠C=∠DAC,∵BA=BD,∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,故答案为:36°.16.(2016•哈尔滨校级模拟)已知:等腰三角形ABC的面积为30m2,AB=AC=10m,则底边BC的长度为2或6.【解答】解:作CD⊥AB于D,则∠ADC=∠BDC=90°,△ABC的面积=AB•CD=×10×CD=30,解得:CD=6,∴AD==8m;分两种情况:①等腰△ABC为锐角三角形时,如图1所示:BD=AB﹣AD=2m,∴BC==2;②等腰△ABC为钝角三角形时,如图2所示:BD=AB+AD=18m,∴BC==6;综上所述:BC的长为2或6.故答案为:2或6.17.(2016•黄浦区三模)如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°,则y=x或90°﹣x.(用x的代数式表示)【解答】解:∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,∴腰上的高相等.①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时,y=x,②当两个三角形应该是锐角三角形,一个是钝角三角形时,y=90°﹣x.故答案为x或90°﹣x.18.(2016•河南模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,设运动时间为t秒,当t为3,6或6.5或7.2时,△ACP是等腰三角形.【解答】解:由题意可得,第一种情况:当AC=CP时,△ACP是等腰三角形,如右图1所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴CP=6cm,∴t=6÷2=3秒;第二种情况:当CP=PA时,△ACP是等腰三角形,如右图2所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴AB=10cm,∠PAC=∠PCA,∴∠PCB=∠PBC,∴PA=PC=PB=5cm,∴t=(CB+BP)÷2=(8+5)÷2=6.5秒;第三种情况:当AC=AP时,△ACP是等腰三角形,如右图3所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴AP=6cm,AB=10cm,∴t=(CB+BA﹣AP)÷2=(8+10﹣6)÷2=6秒;第四种情况:当AC=CP时,△ACP是等腰三角形,如右图4所示,作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,tan∠A==,∴,AB=10cm,设CD=4a,则AD=3a,∴(4a)2+(3a)2=62,解得,a=,∴AD=3a=,∴t==7.2s故答案为:3,6或6.5或7.2.19.(2016春•东港市期末)等腰三角形两内角度数之比为1:2,则它的顶角度数为36°或90°.【解答】解:在△ABC中,设∠A=x,∠B=2x,分情况讨论:当∠A=∠C为底角时,x+x+2x=180°解得,x=45°,顶角∠B=2x=90°;当∠B=∠C为底角时,2x+x+2x=180°解得,x=36°,顶角∠A=x=36°.故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°.故3答案为:36°或90°.20.(2016•河北模拟)如图,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管:EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为8.【解答】解:∵添加的钢管长度都与OE相等,∠AOB=10°,∴∠GEF=∠FGE=20°,…从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,四个是40°,五个是50°,六个是60°,七个是70°,八个是80°,九个是90°就不存在了.所以一共有8个.故答案为8.三.解答题(共10小题)21.(2016•西城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴BD=BC,AD⊥BC,∵BE=BC,∴BD=BE,∵AE⊥BE,∴AB平分∠EAD.22.(2016•徐州模拟)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.【解答】证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°,在Rt△ABD和Rt△BAC中,,∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴∠DBA=∠CAB,∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.另外一种证法:证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)∴AD=BC,在△AOD和△BOC中,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.23.(2016春•太仓市期末)如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.【解答】解:∵AB=BD,∴∠BDA=∠A,∵BD=DC,∴∠C=∠CBD,设∠C=∠CBD=x,则∠BDA=∠A=2x,∴∠ABD=180°﹣4x,∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°,解得:x=25°,所以2x=50°,即∠A=50°,∠C=25°.24.(2016春•埇桥区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.【解答】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=70°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°;(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,∴∠ABC=∠ACB=55°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°;(3)∠NMB=∠A.理由:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A.25.(2016春•鄄城县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.求证:△BDE是等腰三角形.【解答】解:(1)∵AD平分∠BAC,DE∥AC,∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA,∵BD⊥AD,∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE,∴△BDE是等腰三角形.26.(2016春•深圳校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:△ABC是等腰三角形.【解答】证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HF),∴∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.27.(2016春•吉安校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗?若不成立,又存在怎样的关系?【解答】解:(1)当点D在BC的中点时,DE=DF,理由如下:∵D为BC中点,∴BD=CD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.(2)DE+DF=CG.证明:连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,即AB•CG=AB•DE+AC•DF,∵AB=AC,∴CG=DE+DF.(3)当点D在BC延长线上时,(1)中的结论不成立,但有DE﹣DF=CG.理由:连接AD,则S△ABD=S△ABC+S△ACD,即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC,∴DE=CG+DF,即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时,则有DE﹣DF=CG,说明方法同上.28.(2015•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,∴∠CBE=∠BAD.29.(2015秋•当涂县期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.【解答】证明:过E作EF∥AB交BC延长线于F.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵EF∥AB,∴∠F=∠B,∵∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE,∴CE=EF,∵BD=CE,∴BD=EF,在△DBG与△GEF 中,,∴△DGB≌△EGF(AAS),∴GD=GE.30.(2015秋•顺义区期末)已知:如图,△ABC中,AB=AC=6,∠A=45°,点D在AC上,点E在BD上,且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形.(1)求∠EBC的度数;(2)求BE的长.【解答】解:(1)∵AB=AC=6,∠A=45°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,第21页(共22页)∵△ABD是等腰三角形,AD=BD,∴∠ABD=∠A=45°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°;(2)∵∠A=∠ABD=45°,∴∠ADB=∠CDE=90°,∵AB=6,∴BD=AB•cos45°=3,设DE=x,则CD=DE=x,∴EC==x,∵BE=EC=x,∴x+x=3,解得:x=6﹣3,∴BE=6﹣6.第22页(共22页)。
最新北师大版数学八年级下册第一单元检测题附答案解析

北师大版数学八年级下册第一单元检测题姓名:得分:一、选择题1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,图中与∠A互余的角有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E是AC上的点,且∠1=∠2,DE垂直平分AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于()A.3cm B.4cm C.6cm D.9cm3.在直角△ABC中,∠C=30°,斜边AC的长为5cm,则AB的长为()A.4cm B.3cm C.2.5cm D.2cm4.如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是()A.1cm B.2cm C.cm D.3cm5.10(1分)(2014春•九龙坡区校级期中)等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半,则这个等腰三角形的顶角等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°6.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM 的周长是()A.21 B.18 C.13 D.157.如图,△ABC中,AD为△ABC的角平分线,BE为△ABC的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3是()A.59°B.60°C.56°D.22°8.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE9.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm10.如图,△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形,△BCD中,∠DBC=90°,∠BCD=60°,DC中点为E,AD与BE的延长线交于点F,则∠AFB的度数为()A.30°B.15°C.45°D.25°11.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为()A.48°B.40°C.30°D.24°12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A.2a B.2 a C.3a D.二、填空题13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AC﹣BC=2,△ABC的面积为7,则AB=.15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则AC=.16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为.17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段.三、解答题18.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA.19.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E,BF∥DE交CD于点F.求证:DE=BF.21.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.22.已知:如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC=AD,∠DAC=∠ABC.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若∠DAC=45°,OA=1,求OC的长.23.已知锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是线段BC的中点,连接DM,EM.(1) 若DE=3,BC=8,求△DME的周长;(2) 若∠A=60°,求证:∠DME=60°;(3) 若BC2=2DE2,求∠A的度数.答案与解析1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,图中与∠A互余的角有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【考点】KN:直角三角形的性质.【专题】选择题【分析】由“直角三角形的两锐角互余”,结合题目条件,找出与∠A互余的角.【解答】解:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∴与∠A互余的角有2个,故选C.【点评】此题考查了直角三角形的性质,直角三角形的两锐角互余.2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E是AC上的点,且∠1=∠2,DE垂直平分AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于()A.3cm B.4cm C.6cm D.9cm【考点】KO:含30度角的直角三角形;KG:线段垂直平分线的性质.【专题】选择题【分析】求出AE=BE,推出∠A=∠1=∠2=30°,求出DE=CE=3cm,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.【解答】解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠2=∠A,∵∠1=∠2,∴∠A=∠1=∠2,∵∠C=90°,∴∠A=∠1=∠2=30°,∵∠1=∠2,ED⊥AB,∠C=90°,∴CE=DE=3cm,在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠A=30°,∴AE=2DE=6cm,故选C.【点评】本题考查了垂直平分线性质,角平分线性质,等腰三角形性质,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出∠A=30°和得出DE的长.3.在直角△ABC中,∠C=30°,斜边AC的长为5cm,则AB的长为()A.4cm B.3cm C.2.5cm D.2cm【考点】KO:含30度角的直角三角形.【专题】选择题【分析】由题意可得,∠B是直角,AB=AC,直接代入即可求得AB的长.【解答】解:∵△ABC为直角三角形,∠C=30°,∴AB=AC=2.5,故选C.【点评】此题考查的是直角三角形的性质,30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半.4.如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是()A.1cm B.2cm C.cm D.3cm【考点】KO:含30度角的直角三角形.【专题】选择题【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长.【解答】解:∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm,∴该直角三角形的斜边是2cm,∴另一条直角边长是:=;故选C.【点评】本题考查了含30度角的直角三角形.在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.5.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半,则这个等腰三角形的顶角等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【考点】KO:含30度角的直角三角形;KH:等腰三角形的性质.【专题】选择题【分析】分为两种情况:①高BD在△ABC内时,根据含30度角的直角三角形性质求出即可;②高CD在△ABC外时,求出∠DAC,根据平角的定义求出∠BAC 即可.【解答】解:①如图,∵BD是△ABC的高,AB=AC,BD=AB,∴∠A=30°,②如图,∵CD是△ABC边BA 上的高,DC=AC,∴∠DAC=30°,∴∠BAC=180°﹣30°=150°,综上所述,这个等腰三角形的顶角等于30°或150°.故选:C.【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生能否求出符合条件的所有情况,注意:一定要分类讨论.6.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM 的周长是()A.21 B.18 C.13 D.15【考点】KP:直角三角形斜边上的中线.【专题】选择题【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点”得到FM=EM=BC,所以△EFM的周长便不难求出.【解答】解:∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,∴在Rt△BCE中,EM=BC=4,在Rt△BCF中,FM=BC=4,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13,故选C.【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7.如图,△ABC中,AD为△ABC的角平分线,BE为△ABC的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3是()A.59°B.60°C.56°D.22°【考点】K7:三角形内角和定理.【专题】选择题【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°,然后根据∠C=70°,∠ABC=48°求出∠CAB,再根据角平分线的定义求出∠1,然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.【解答】解:∵BE为△ABC的高,∴∠AEB=90°∵∠C=70°,∠ABC=48°,∴∠CAB=62°,∵AF是角平分线,∴∠1=∠CAB=31°,在△AEF中,∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°.∴∠3=∠EFA=59°,故选:A.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,高线的定义,熟记概念与定理并准确识图是解题的关键.8.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE【考点】KH:等腰三角形的性质.【专题】选择题【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠A=∠EBC,故选C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.9.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm【考点】KH:等腰三角形的性质;K6:三角形三边关系.【专题】选择题【分析】分为两种情况:2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边,然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形.【解答】解:若2cm为等腰三角形的腰长,则底边长为10﹣2﹣2=6(cm),2+2<6,不符合三角形的三边关系;若2cm为等腰三角形的底边,则腰长为(10﹣2)÷2=4(cm),此时三角形的三边长分别为2cm,4cm,4cm,符合三角形的三边关系;故选A.【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质,同时注意三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边.10.如图,△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形,△BCD中,∠DBC=90°,∠BCD=60°,DC中点为E,AD与BE的延长线交于点F,则∠AFB的度数为()A.30°B.15°C.45°D.25°【考点】KP:直角三角形斜边上的中线;KW:等腰直角三角形.【专题】选择题【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE,求得∠CBE=60°,得到∠DBF=30°,根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°,求得∠ABF=75°,根据三角形的内角和即可得到结论.【解答】解:∵∠DBC=90°,E为DC中点,∴BE=CE=CD,∵∠BCD=60°,∴∠CBE=60°,∴∠DBF=30°,∵△ABD是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°,∴∠ABF=75°,∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°,故选B.【点评】本题考查了直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.11.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为()A.48°B.40°C.30°D.24°【考点】KH:等腰三角形的性质;JA:平行线的性质.【专题】选择题【分析】先根据平行线的性质,由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°,然后根据三角形外角性质计算∠C的度数.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠1=∠BAE=48°,∵∠1=∠C+∠E,∵CF=EF,∴∠C=∠E,∴∠C=∠1=×48°=24°.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A.2a B.2 a C.3a D.【考点】KP:直角三角形斜边上的中线.【专题】选择题【分析】根据勾股定理得到CE=a,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:∵CD⊥AB,CD=DE=a,∴CE=a,∵在△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,∴AB=2CE=2a,故选B.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线,三角形内角和定理的应用,能求出AE=CE是解此题的关键,注意:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=.【考点】KO:含30度角的直角三角形.【专题】填空题【分析】由于∠C=90°,∠ABC=60°,可以得到∠A=30°,又由BD平分∠ABC,可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.【解答】解:∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,∴CD=BD=6×=3.故答案为:3.【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AC﹣BC=2,△ABC的面积为7,则AB=.【考点】KQ:勾股定理.【专题】填空题【分析】先根据AC﹣BC=2得出(AC﹣BC)2=8,再根据△ABC的面积等于7得出AC•BC的值,进而可得出结论.【解答】解:∵AC﹣BC=2,∴(AC﹣BC)2=8①.∵S△ABC=AC•BC=7,∴AC•BC=14②,把②代入①得,AC2+BC2=36,∴AB==6.故答案为:6.【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则AC=.【考点】KO:含30度角的直角三角形.【专题】填空题【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°,求出AD=BD=6,CD=BD=3,即可求出答案.【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,∠A=90°﹣60°=30°,∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°,∴∠A=∠ABD,∴AD=BD=,∵AD=6,∴BD=6,∴CD=BD=3,∴AC=6+3=9,故答案为:9.【点评】本题考查了三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的判定的应用,解此题的关键是求出AD=BD和CD=BD,题目比较好,难度适中.16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为.【考点】KH:等腰三角形的性质;KG:线段垂直平分线的性质.【专题】填空题【分析】由题意可知:AC=AB=a+b,由于DE是线段AC的垂直平分线,∠BAC=36°,所以易证AE=CE=BC=b,从可知△ABC的周长;【解答】解:∵AB=AC,BE=a,AE=b,∴AC=AB=a+b,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ECA=∠BAC=36°,∵∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°,∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为:AB+AC+BC=2a+3b故答案为:2a+3b.【点评】本题考查线段垂直平分线的性质,解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC,本题属于中等题型.17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段.【考点】KG:线段垂直平分线的性质;KF:角平分线的性质.【专题】填空题【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可.【解答】解:∵DE垂直平分AB,∴BE=EA,故答案为:BE=EA.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.18.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA.【考点】KF:角平分线的性质;KD:全等三角形的判定与性质.【专题】解答题【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM,然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等,根据全等三角形对应边相等可得OA=OB,再根据等边对等角的性质即可得证.【解答】证明:∵OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,∴AM=BM,在Rt△AOM和Rt△BOM中,,∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL),∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质,熟记性质是解题的关键.19.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.【考点】KH:等腰三角形的性质;KG:线段垂直平分线的性质.【专题】解答题【分析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论;(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论.【解答】解:(1)∠ABE=∠ACD;在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD;(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识,解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形,难度不大.20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E,BF∥DE交CD于点F.求证:DE=BF.【考点】KF:角平分线的性质;JA:平行线的性质.【专题】解答题【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2,根据角平分线的性质得到DE=BD,∠3=∠4,由平行线的性质得到3=∠5,于是得到结论.【解答】证明:∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2,∵DE⊥AC,∠ABC=90°∴DE=BD,∠3=∠4,∵BF∥DE,∴∠4=∠5,∴∠3=∠5,∴BD=BF,∴DE=BF.【点评】本题考查了角平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质,熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.21.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.【考点】KI:等腰三角形的判定;JA:平行线的性质.【专题】解答题【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE,即可得出答案.【解答】证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义,正确得出∠2=∠3是解题关键.22.已知:如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC=AD,∠DAC=∠ABC.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若∠DAC=45°,OA=1,求OC的长.【考点】KF:角平分线的性质;JB:平行线的判定与性质.【专题】解答题【分析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明;(2)过点O作OE⊥BC于E,根据角平分线的性质得到OE=OA,根据勾股定理计算即可.【解答】(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠DAC=∠ABC,∴∠DAC=∠ACB.∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.又∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC;(2)解:过点O作OE⊥BC于E,∵∠DAC=45°,∠DAC=∠ABC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠B AC=90°,∵BD平分∠ABC,∴OE=OA=1.在Rt△OEC中,∠ACB=45°,OE=1,∴OC=.【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.23.已知锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是线段BC的中点,连接DM,EM.(1) 若DE=3,BC=8,求△DME的周长;(2) 若∠A=60°,求证:∠DME=60°;(3) 若BC2=2DE2,求∠A的度数.【考点】KP:直角三角形斜边上的中线;KJ:等腰三角形的判定与性质.【专题】解答题【分析】(1) 根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4,EM=BC=4,即可求出答案;(2) 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°,根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM,EM=CM,推出∠ABC=∠BDM,∠ACB=∠CEM,根据三角形内角和定理求出即可;(3) 求出EM=EN,解直角三角形求出∠EMD度数,根据三角形的内角和定理求出即可.【解答】解:(1) ∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,∴∠BDC=∠BEC=90°,∵M是线段BC的中点,BC=8,∴DM=BC=4,EM=BC=4,∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11;(2) 证明:∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵∠BDC=∠BEC=90°,M是线段BC的中点,∴DM=BM,EM=CM,∴∠ABC=∠BDM,∠ACB=∠CEM,∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°,∴∠DME=180°﹣120°=60°;(3) 解:过M作MN⊥DE于N,∵DM=EM,∴EN=DN=DE,∠ENM=90°,∵EM=DM=BC,DN=EN=DE,BC2=2DE2,∴(2EM)2=2(2EN)2,∴EM=EN,∴sin∠EMN==,∴∠EMN=45°,同理∠DMN=45°,∴∠DME=90°,∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°,∵∠ABC=∠BDM,∠ACB=∠CEM,∴∠ABC+∠ACB=(180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC)=135°,∴∠BAC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=45°.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,解直角三角形的性质,直角三角形斜边上中线性质的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,本题综合性比较强,有一定的难度,注意:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.。
北师大版八年级数学下册第一章(证明)练习题
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北师大版八年级数学下册第一章(证明)练习题1.下列图形中,可以由其中一个图形通过平移得到的是 ( )A. B. C. D. 2.列命题中,其逆命题不成立的是( )A .同旁内角互补,两直线平行B .如果三角形的三边长 a ,b ,c 满足 a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形C .如果两个实数相等,那么它们的平方相等D .角平分线上的点到角两边的距离相等3. 等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为( )A .12B .15C .12或15D .184.如图,在△ABC 中,BC =5,∠A =80°,∠B =70°,把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置,若CF =4,则下列结论中错误的是( )A. BE =4B. ∠F =30°C. AB ∥DED. DF =55.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 是AC 边上的高,则∠DBC 的度数是( )A .18°B .24°C .30°D .36°第4题 第5题 第6题 第7题 第8题6.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则下列选项中AP 长不可 能是( )A .3.5B .4.2C .5.8D .77.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC ,BC 的垂直平分线交BC 于点E ,交BD 于点F ,连接CF .若∠A =60°,∠ABD =24°,则∠ACF 的度数为( )A .48°B .36°C .30°D .24°8.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,以点A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB ,AC 于点M和N ,再分别以M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D , 则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线②∠ADC =60°;③点D 在AB 的垂直平分线上;④S △DAC ∶S △ABC =1∶3.A. 1 B .2 C .3 D .49.要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等;②有两个锐角对应相等;③有斜边和一条直角边对应相等;④有一条直角边和一个锐角相等;⑤有斜边和一个锐角对应相等;⑥有两条边相等.A.①③④⑤B.①③⑤C.①③④⑤⑥D.①③④10.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()A.6 B.12 C.32 D.6411.一个等腰三角形有一角是70°,则其余两角分别为.12.在用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时,首先应该假设这个三角形中_ _.13.有下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有.(填序号)14. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是,这是一个(填“真”或“假”)命题.15.已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,1).将线段AB沿某一方向平移后,点A的对应点的坐标为(−2,1).则点B的对应点的坐标为.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3,AB=12,则△ABD的面积为.第16题第17题第18题第19题第20题17.如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠MEF=________.18.如图,将一长方形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC=8,则△ABF 的面积为___ __.19.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=________.20.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),点C在第一象限内,且∠CAB=90°,BC=6.将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=√3x-2√3上时,线段BC扫过的面积为.21. 如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长是1,把△ABC先向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△A′B′C′.(1)在坐标系中画出△A′B′C′,并写出△A′B′C′各顶点的坐标.(2)求出△A′B′C′的面积.22.如图,OA⊥OB,OA=45海里,OB=15海里,我国某岛位于O点,我国渔政船在点B处发现有一艘不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地O点,我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国渔政船行驶的航程BC的长.23.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,EF∥AD,交AC于点E,交BA的延长线于点F. 求证:△AEF为等腰三角形.24.如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A,C之间选择一点B(A,B,C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离;(2)求塔高CD.(结果用根号表示)25. 如图,已知E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C,D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线;(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.26.在△ABC中,点E,点F分别是边AC,AB上的点,且AE=AF,连接BE,CF交于点D,∠ABE=∠ACF.(1)求证:△BCD是等腰三角形.(2)若∠A=40°,BC=BD,求∠BEC的度数.27. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:CF=EB;(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.28.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=2,求AD的长.29. 已知:如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC 边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P 的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?。
北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案
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北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为( )A.40° B.50° C.60° D.70°2.已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm,那么它的周长是( )A.12 cm B.16 cm C.16 cm或20 cm D.20 cm3. 已知在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可假设( )A.∠A=∠B B.AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A.3,4, 5 B.1,2, 3 C.6,7,8 D.2,3,45.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是( )A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DC D.AB=CD6.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=( )A.40° B.50° C.60° D.75°7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E是AD上的点,且AE=EC,若∠BAC=45°,BD=3,则CE的长为( )A.3 B.3 2 C.2 3 D.48.为了加快灾后重建的步伐,某市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址( )A.仅有一处B.有四处 C.有七处D.有无数处9.如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD的长为( )A .3 2B .4C .2 5D .4.510. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ,交AC 于点F ,过点O 作OD ⊥AC 于点D ,下列结论:①EF =BE +CF ;②∠BOC =90°+12∠A ;③点O 到△ABC 各边的距离都相等;④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =mn ;⑤S △EOB =S FOC .其中,正确的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)11.如图,在△ABC 中,∠C =40°,CA =CB ,则△ABC 的外角∠ABD =________.12. 如图,在△ABC 中,AB =AC =BC =4,AD 平分∠BAC ,点E 是AC 的中点,则DE 的长为________.13.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:____________________________________________,该逆命题是________(填“真”或“假”)命题. 14.如图,已知直线l 1∥l 2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β=________.15.若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的有________个. ①∠A =∠B -∠C ;②∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5;③a 2=(b +c )(b -c );④a ∶b ∶c =5∶12∶13. 16.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB .若AC =2,DE =1,则S △ACD =________.17.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE是________三角形.18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(点E在BC上,点F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为________.三.解答题(共7小题, 66分)19.(8分) 如图,△ABC,△CDE均为等边三角形,连接BE,AD交于点O,BE与AC交于点P.求证:∠AOB =60°.20.(8分) 如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,O是BD与CE的交点,求证:BO=CO.21.(8分) 如图,四边形ABCD是长方形,用尺规作∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连接QD,在新图形中,你发现了什么?请写出一条.22.(8分)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.23.(10分)如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于点F,PA=PC.(1)求证:∠PCB+∠BAP=180°;(2)若BC=12 cm,AB=6 cm,PA=5 cm,求BP的长.24.(10分) 如图,点P是等边三角形ABC内一点,AD⊥BC于点D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.求证:AD=PE+PF+PG.25.(14分) 如图,已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q 两点都停止运动,设运动时间为ts,解答下列问题:(1)当点Q到达点C时,PQ与AB的位置关系如何?请说明理由.(2)在点P与点Q的运动过程中,△BPQ是否能成为等边三角形?若能,请求出t;若不能,请说明理由.参考答案1-5DDCBA 6-10BBABB 11. 110° 12. 213. 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;假 14. 20° 15. 3 16.1 17. 等边 18. 108°19. 证明:∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ,即∠ACD =∠BCE ,在△ACD 和△BCE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,∴△ACD ≌△BCE(SAS),∴∠CAD=∠CBE ,∵∠APO =∠BPC ,∴∠AOP =∠BCP =60°,即∠AOB =60°.20.证明:∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB.∵BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,∴∠BDC =∠CEB =90°,在△BCE 和△CBD 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC =∠ACB ,∠CEB =∠BDC =90°,BC =CB ,∴△BCE ≌△CBD(AAS),∴∠BCE =∠CBD ,∴BO =CO. 21. 解:如图所示.发现:QD =AQ 或∠QAD =∠QDA 等22. 解:(1)∠ABE =∠ACD.理由:在△ABE 和△ACD 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AE =AD ,∴△ABE ≌△ACD ,∴∠ABE =∠ACD(2)连接AF.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB ,由(1)可知∠ABE =∠ACD ,∴∠FBC =∠FCB ,∴FB =FC ,∵AB =AC ,∴点A ,F 均在线段BC 的垂直平分线上,即直线AF 垂直平分线段BC23.解:(1)证明:过点P 作PE ⊥AB 于点E ,∵∠1=∠2,PF ⊥BC ,PE ⊥AB ,∴PE =PF.在△APE 和△CPF 中,⎩⎪⎨⎪⎧PA =PC ,PE =PF ,∴△APE ≌△CPF(HL),∴∠PAE =∠PCB.∵∠PAE +∠PAB =180°,∴∠PCB +∠BAP =180°. (2)∵△APE ≌△CPF ,∴AE =FC ,∵BC =12 cm ,AB =6 cm ,∴AE =12×(12-6)=3 (cm),BE =AB +AE =6+3=9 (cm),在Rt △PAE 中,PE =52-32=4 (cm),在Rt △PBE 中,PB =92+42=97 (cm).24. 证明:连接PA ,PB ,PC ,如图.∵AD ⊥BC 于点D ,PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,PG ⊥BC 于点G ,∴S △ABC =12×BC ×AD ,S △PAB =12×AB ×PE ,S △PAC =12×AC ×PF ,S △PBC =12×BC ×PG . ∵S △ABC =S △PAB +S △PAC +S △PBC ,∴12×BC ×AD =12(AB ×PE +AC ×PF +BC ×PG ).∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC =AC ,∴BC ×AD =BC ×(PE +PF +PG ),∴AD =PE +PF +PG .25. 解:(1)当点Q 到达点C 时,PQ 与AB 垂直.理由:∵点Q 到达点C 时,BQ =BC =6 cm ,∴t =62=3.∴AP =3 cm.∴BP =AB -AP =3 cm =AP .∴点P 为AB 的中点.∴PQ ⊥AB .(2)能.∵∠B =60°,∴当BP =BQ 时,△BPQ 为等边三角形.∴6-t =2t ,解得t =2.∴当t =2时,△BPQ 是等边三角形.。
(完整版)北师大版八年级下册数学第一章测试题
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2017—2018 学年度第二学期阶段性测试题八年级下册数学(第一章)出题人:分数:注意事项1.本试卷满分150 分,考试时间120 分钟。
2.请将密封线内的项目填写清楚。
3.请在密封线外答题。
题号一二三总分得分一、选择题(每小题3 分,共36 分)1、已知△ABC 的三边长分别是 6cm、8cm、10cm,则△ABC 的面积是()A.24cm2B.30cm2C.40cm2D.48cm22、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是()A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝3、面积相等的两个三角形()A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对4、△ABC中,AB = AC,BD 平分∠ABC交AC 边于点D,∠BDC= 75°,则∠A的度数为()A 35°B 40°C 70°D 110°5、如图,△ABC中,AC=BC,直线l 经过点C,则 ( )A.l 垂直ABB.l 平分ABC.l 垂直平分ABD.不能确定6、已知△ABC中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AC 于D,△ABC和△DBC的周长分别是60 cm 和38 cm,则△ABC的腰和底边长分别为 ( ) A.24 cm 和12 cm B.16 cm 和22 cm C.20 cm 和16 cm D.22 cm 和 16 cm7、下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FC.AC=DF,∠B=∠F,AB=DE D.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF8、下列命题中正确的是( )A.有两条边相等的两个等腰三角形全等B.两腰对应相等的两个等腰三角形全等C.两角对应相等的两个等腰三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等9、对“等角对等边”这句话的理解,正确的是( )A.只要两个角相等,那么它们所对的边也相等B.在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等C.在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等D.以上说法都是错误的10、△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,∠BDC=75°,则∠A的度数为()A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°11、如图,D 在AB 上,E 在AC 上,且∠B=∠C,那么补充下列一个B条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是()DA E CA. AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC 图 5图图12、如图,AD∥BC,∠ABC的平分线 BP 与∠BAD的平分线 AP 相交于点P,作PE⊥AB于点E,若PE=2,则两平行线 AD 与BC 间的距离为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)
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第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。
01如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35º,则∠C的度数为 ( )A.35º B.45º C.55º D.60º02若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为( )A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm03如图,在△ABC中,∠ACB=90º,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30º,AE=6 cm,那么CE等于 ( )A .3 cmB .2 cm C.3 cm D.4 cm04如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50º,则∠ACB的度数为 ( )A.90º B.95º C 100º D.105º05如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=4,AC=6,则△ACD 的面积为 ( )A.8 B 10 C.12 D.2406如图,∠A=50º,P是等腰△ABC内一点,且∠PBC=∠PCA,则∠BPC为 ( )A.100º B.140º C.130º D.115º07如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60º,DE是斜边AC的垂直平分线,分别交AB,AC 于D,E两点,若BD=2,则AC的长是 ( )A.4 B.43 C.8 D.8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角,如图,则三角尺的最长边的长为 ( )A.6 cm B.2 cm C.2 cm D.209如图,∠ACB=90º,AC=BC,AE⊥CE,垂足为点E,BD⊥CE,交CE的延长线于点D,AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是( )A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm10如图,AD⊥BC于D,且DB=DC,有下列结论:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD 是∠BAC的平分线;④△ABC为等边三角形.其中正确的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11如图,∠A=15º,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于( )A.90º B.75º C.70º D.60º12如图,在△ABC中,BC=10,DH,EF分别为AB、AC的垂直平分线,则△ADE的周长是 ( )A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题。
北师大版数学八年级下册:第一章《三角形的证明》含详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一.选择题(共12小题)1.(2014•遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是()A.3B.4C.6D.52.(2014•台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?()A.24 B.30 C.32 D.363.(2014•安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为()A.7或8 B.6或1O C.6或7 D.7或104.(2014•宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.2.5 B.C.D.25.(2014•甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC 的周长为()6.(2014•本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于()A.10cm B.8cm C.5cm D.2.5cm7.(2013•西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是()A.2B.C.D.8.(2013•滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C等于()A.28°B.25°C.22.5°D.20°9.(2013•澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是()A.88°或2°B.4°或86°C.88°或4°D.4°或46°10.(2012•泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为()A.3B.3.5 C.2.5 D.2.811.(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到A.1B.2C.D.12.(2006•威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为()A.20°B.25°C.30°D.40°二.填空题(共6小题)13.(2014•长春)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为_________.14.(2013•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是_________.15.(2013•沈阳模拟)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE=_________.16.(2012•通辽)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=_________.17.(2012•广东模拟)在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是_________.18.(2009•临沂)如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB=_________度.三.解答题(共12小题)19.(2014•翔安区质检)如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.20.(2014•长春模拟)如图,D为△ABC边BC延长线上一点,且CD=CA,E是AD的中点,CF平分∠ACB交AB于点F.求证:CE⊥CF.21.(2014•顺义区一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的长.22.(2013•湘西州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.23.(2012•重庆模拟)如图,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,求证:CE=DE.24.(2010•攀枝花)如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD 于点F.点E是AB的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.25.(2009•大连二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,CE⊥BD于点E.求证:AD=BE.26.(2007•宜宾)已知;如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF.(1)求证:AE=CF;(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.27.(2006•韶关)如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC 分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.(1)求证:EF⊥AD;(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.28.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,求点D到斜边AB的距离.29.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=3,AC=4,AD是∠CAB的平分线,AD交BC于D,求BD的长.30.如图,四边形ABCD中,AB=BC,AB∥CD,∠D=90°,AE⊥BC于点E,求证:CD=CE.北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.(2014•遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是()A.3B.4C.6D.5考点:角平分线的性质.专题:几何图形问题.分析:过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.解答:解:如图,过点D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴×4×2+×AC×2=7,解得AC=3.故选:A.点评:本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.2.(2014•台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?()A.24 B.30 C.32 D.36根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可.解答:解:∵直线M为∠ABC的角平分线,∴∠ABP=∠CBP.∵直线L为BC的中垂线,∴BP=CP,∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,即3∠ABP+60°+24°=180°,解得∠ABP=32°.故选:C.点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键.3.(2014•安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为()A.7或8 B.6或1O C.6或7 D.7或10考点:等腰三角形的性质;非负数的性质:偶次方;非负数的性质:算术平方根;解二元一次方程组;三角形三边关系.分析:先根据非负数的性质求出a,b的值,再分两种情况确定第三边的长,从而得出三角形的周长.解答:解:∵|2a﹣3b+5|+(2a+3b﹣13)2=0,∴,解得,当a为底时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;当b为底时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7;综上所述此等腰三角形的周长为7或8.故选:A.点评:本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组,是基础知识要熟练掌握.4.(2014•宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.2.5 B.C.D.2考点:直角三角形斜边上的中线;勾股定理;勾股定理的逆定理.理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.解答:解:如图,连接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF===2,∵H是AF的中点,∴CH=AF=×2=.故选:B.点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,正方形的性质,勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.5.(2014•甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC 的周长为()A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.解答:解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm.故选B.点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键.6.(2014•本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于()A.10cm B.8cm C.5cm D.2.5cm考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理.专题:探究型.分析:连接AD,先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数,再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数,根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数,最后由直角三角形的性质即可求出AC的长.解答:解:连接AD,∵DE是线段AB的垂直平分线,BD=15,∠B=15°,∴AD=BD=10,∴∠DAB=∠B=15°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°,∵∠C=90°,∴AC=AD=5cm.故选C.点评:本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键.7.(2013•西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是()A.2B.C.D.考点:角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.分析:由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.解答:解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,∴∠AOP=∠COP=30°,∵CP∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠COP=∠CPO,∴OC=CP=2,∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,∴∠CPE=30°,∴CE=CP=1,∴PE==,∴OP=2PE=2,∵PD⊥OA,点M是OP的中点,∴DM=OP=.故选:C.点评:此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.8.(2013•滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C等于()A.28°B.25°C.22.5°D.20°考点:线段垂直平分线的性质.专题:计算题.分析:设∠CAE=x,则∠EAB=3x.根据线段的垂直平分线的性质,得AE=CE,再根据等边对等角,得∠C=∠CAE=x,然后根据三角形的内角和定理列方程求解.解答:解:设∠CAE=x,则∠EAB=3x.∵AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,∴AE=CE.∴∠C=∠CAE=x.根据三角形的内角和定理,得∠C+∠BAC=180°﹣∠B,即x+4x=140°,x=28°.则∠C=28°.故选A.点评:此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.9.(2013•澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是()A.88°或2°B.4°或86°C.88°或4°D.4°或46°考点:等腰三角形的性质.分析:分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解.解答:解:88°是顶角时,等腰三角形的顶角为88°,88°是底角时,顶角为180°﹣2×88°=4°,综上所述,它的顶角是88°或4°.故选C.点评:本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论.10.(2012•泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为()A.3B.3.5 C.2.5 D.2.8考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质.专题:计算题.分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE,设CE=x,表示出ED的长度,然后在Rt△CDE中,利用勾股定理列式计算即可得解.解答:解:∵EO是AC的垂直平分线,∴AE=CE,设CE=x,则ED=AD﹣AE=4﹣x,在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,即x2=22+(4﹣x)2,解得x=2.5,即CE的长为2.5.故选:C.点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键.11.(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是()A.1B.2C.D.考点:角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.分析:根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°,再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°,从而得到∠DBC=∠ACB,然后利用等角对等边的性质求出BD的长度,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD,过点D作DE⊥BC于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.解答:解:∵Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴∠ABC=60°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∴∠DBC=∠ACB,∴BD=CD=4,在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°,∴AD=BD=×4=2,过点D作DE⊥BC于点E,则DE=AD=2.故选B.点评:本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,以及等角对等边的性质,小综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.12.(2006•威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为()A.20°B.25°C.30°D.40°考点:等腰三角形的性质.专题:几何图形问题.分析:根据此题的条件,找出等腰三角形,找出相等的边与角度,设出未知量,找出满足条件的方程.解答:解:∵AC=AE,BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,∴∠A=180°﹣2x°,∠B=180°﹣2y°,∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∴100+(180﹣2x)+(180﹣2y)=180,得x+y=140,∴∠DCE=180﹣(∠AEC+∠BDC)=180﹣(x+y)=40°.故选D.点评:根据题目中的等边关系,找出角的相等关系,再根据三角形内角和180°的定理,列出方程,解决此题.二.填空题(共6小题)13.(2014•长春)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为15.考点:角平分线的性质.专题:几何图形问题.分析:要求△ABD的面积,现有AB=7可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长,即可求解.解答:解:作DE⊥AB于E.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=3.∴△ABD的面积为×3×10=15.故答案是:15.点评:此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理,是很重要的,作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.14.(2013•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是2.考点:含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.分析:根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.解答:解:∵∠ACB=90°,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°,∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等).又∵AB的垂直平分线DE交AC于E,∴∠EBA=∠A=30°,∴直角△DBE中,BE=2DE=2.故答案是:2.点评:本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°.15.(2013•沈阳模拟)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE=55°.考点:角平分线的性质.分析:首先过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,易证得AE是∠CAH的平分线,继而求得答案.解答:解:过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,∴EH=EF,EG=EF,∴EH=EG,∴AE是∠CAH的平分线,∵∠BAC=70°,∴∠CAH=110°,∴∠CAE=∠CAH=55°.故答案为:55°.点评:此题考查了角平分线的性质与判定.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.16.(2012•通辽)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=4:5:6.考点:角平分线的性质.专题:压轴题.分析:首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:S△BCO:S△CAO的值.解答:解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(AB•OD):(BC•OF):(AC•OE)=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6.故答案为:4:5:6.点评:此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.17.(2012•广东模拟)在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是15°.考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.分析:由DE垂直平分AC,∠A=50°,根据线段垂直平分线的性质,易求得∠ACD的度数,又由AB=AC,可求得∠ACB的度数,继而可求得∠DCB的度数.解答:解:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=50°,∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ACB=∠B==65°,∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°.故答案为:15°.点评:此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质.此题比较简单,注意数形结合思想的应用.18.(2009•临沂)如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB=72度.考点:线段垂直平分线的性质;菱形的性质.专题:计算题.分析:欲求∠CPB,可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法.解答:解:先连接AP,由四边形ABCD是菱形,∠ADC=72°,可得∠BAD=180°﹣72°=108°,根据菱形对角线平分对角可得:∠ADB=∠ADC=×72°=36°,∠ABD=∠ADB=36度.EP是AD的垂直平分线,由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°,∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度.在△BAP中,∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度.由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度.点评:本题开放性较强,解法有多种,可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法,在这些方法中,最容易理解和表达的应为对称法,这也应该是本题考查的目的.灵活应用菱形、垂直平分线的对称性,可使解题过程更为简便快捷.三.解答题(共12小题)19.(2014•翔安区质检)如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.考点:线段垂直平分线的性质.分析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进而可得出结论.解答:解:∵DE垂直平分,∴AD=CD,∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm,又∵AB=10cm,∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21(cm).点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.20.(2014•长春模拟)如图,D为△ABC边BC延长线上一点,且CD=CA,E是AD的中点,CF平分∠ACB交AB于点F.求证:CE⊥CF.考点:等腰三角形的性质.专题:证明题.分析:根据三线合一定理证明CF平分∠ACB,然后根据CF平分∠ACB,根据邻补角的定义即可证得.解答:证明:∵CD=CA,E是AD的中点,∴∠ACE=∠DCE.∵CF平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF.∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°,∴∠ACE+∠ACF=90°.即∠ECF=90°.∴CE⊥CF.点评:本题考查了等腰三角形的性质,顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一.21.(2014•顺义区一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的长.考点:含30度角的直角三角形;相似三角形的判定与性质.专题:计算题.分析:延长DA,CB,交于点E,可得出三角形ABE与三角形CDE相似,由相似得比例,设AB=x,利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x,利用勾股定理表示出BE,由BC+BE表示出CE,在直角三角形DCE中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE,即可求出AB的长.解答:解:延长DA,CB,交于点E,∵∠E=∠E,∠ANE=∠D=90°,∴△ABE∽△CDE,∴=,在Rt△ABE中,∠E=30°,设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:BE==x,∴CE=BC+BE=4+x,在Rt△DCE中,∠E=30°,∴CD=CE,即(4+x)=3,解得:x=,则AB=.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,含30度直角三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.22.(2013•湘西州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.考点:角平分线的性质;勾股定理.分析:(1)根据角平分线性质得出CD=DE,代入求出即可;(2)利用勾股定理求出AB的长,然后计算△ADB的面积.解答:解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3;(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===10,∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15.点评:本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.23.(2012•重庆模拟)如图,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,求证:CE=DE.考点:直角三角形斜边上的中线.专题:证明题.分析:由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边,因此可以AB为媒介,再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED.解答:证明:在Rt△ABC中,∵E为斜边AB的中点,∴CE=AB.在Rt△ABD中,∵E为斜边AB的中点,∴DE=AB.∴CE=DE.点评:本题考查的是直角三角形的性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.24.(2010•攀枝花)如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD 于点F.点E是AB的中点,连接EF.(1)求证:EF∥BC;(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.考点:等腰三角形的性质;三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质.专题:几何综合题.分析:(1)在等腰△ACD中,CF是顶角∠ACD的平分线,根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点,由此可证得EF是△ABD的中位线,即可得到EF∥BC的结论;(2)易证得△AEF∽△ABD,根据两个相似三角形的面积比(即相似比的平方),可求出△ABD的面积,而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差,由此得解.解答:(1)证明:∵在△ACD中,DC=AC,CF平分∠ACD;∴AF=FD,即F是AD的中点;又∵E是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线;∴EF∥BC;(2)解:由(1)易证得:△AEF∽△ABD;∴S△AEF:S△ABD=(AE:AB)2=1:4,∴S△ABD=4S△AEF=6,∴S△AEF=1.5.∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5.点评:此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质.25.(2009•大连二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,CE⊥BD于点E.求证:AD=BE.考点:直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.专题:证明题.分析:此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件,证明△ABD≌△BCE,然后利用全等三角形的性质证明题目的结论.解答:证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵CE⊥BD,∴∠BEC=90°.∵∠A=90°,∴∠A=∠BEC.∵BD=BC,∴△ABD≌△BCE.∴AD=BE.点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质;此题把全等三角形放在梯形的背景之下,利用全等三角形的性质与判定解决题目问题.26.(2007•宜宾)已知;如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF.(1)求证:AE=CF;(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.考点:等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:计算题;证明题.分析:根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF,由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF;根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数.解答:(1)证明:在△ABE和△CBF中,∵,∴△ABE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.(2)解:∵AB=BC,∠ABC=90°,∠CAE=30°,∴∠CAB=∠ACB=(180°﹣90°)=45°,∠EAB=45°﹣30°=15°.∵△ABE≌△CBF,∴∠EAB=∠FCB=15°.∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BFE=∠FEB=45°.∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°.点评:此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.27.(2006•韶关)如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC 分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.(1)求证:EF⊥AD;(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)根据AD是∠EAF的平分线,那么DE=DF,如果证得EA=FA,那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线,那么就证得EF⊥AD了.因此证明EA=FA是问题的关键,那么就要先证得三角形AED和AFD全等.这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD,一条公共边,一组直角,因此两三角形全等,那么就可以得出EA=AF了.(2)要求AD的长,在直角三角形AED中,有了DE的值,如果知道了∠ADE或∠EAD的度数,那么就能求出AD了.如果DE∥AC,那么∠EAC=90°,∠EAD=45°,那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了.解答:(1)证明:∵AD是∠EAF的平分线,∴∠EAD=∠DAF.∵DE⊥AE,DF⊥AF,∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD,∴△DEA≌△DFA.∴EA=FA∵ED=FD,∴AD是EF的垂直平分线.即AD⊥EF.(2)解:∵DE∥AC,∴∠DEA=∠FAE=90°.又∠DFA=90°,∴四边形EAFD是矩形.由(1)得EA=FA,∴四边形EAFD是正方形.∵DE=1,∴AD=.点评:本题考查了全等三角形的判定,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质等知识点.本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键.。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试卷含答案
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北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷(含答案)一、选择题(共10小题,3*10=30)1.用反证法证明命题“在三角形中,至多有一个内角是直角”时,应先假设( ) A .至少有一个内角是直角 B .至少有两个内角是直角 C .至多有一个内角是直角 D .至多有两个内角是直角2.如图,a ∥b ,点A 在直线a 上,点C 在直线b 上,∠BAC =90°,AB =AC ,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A .25°B .65°C .70°D .75°3.在△ABC 中,已知∠A =∠B =45°,BC =2,则AB 的长为( ) A .1 B. 2 C .2 D .44.在等腰△ABC 中,AB =AC ,中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( )A .7B .11C .7或11D .7或105.如图,四边形ABCD 中,∠A =∠C =90°,∠B =60°,AD =1,BC =2,则四边形ABCD 的面积是( )A.332B .3C .2 3D .46. 如图,D 为△ABC 内一点,CD 平分∠ACB ,BE ⊥CD ,垂足为D ,交AC 于点E ,∠A =∠ABE.若AC =5,BC =3,则BD 的长为( )A .2.5B .1.5C .2D .17. 如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD 平分∠CAB ,且AD 交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,则下列说法错误的是( )A.∠CAD=30° B.AD=BDC.BE=2CD D.CD=ED8.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.110.如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32 B.25 3 C.33 D.34二.填空题(共8小题,3*8=24)11.命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________,它是________________命题.12. 如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在直线l上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm到D点,则橡皮筋被拉长了________.13. 如图,AB ∥CD ,O 为∠BAC ,∠ACD 的平分线的交点,OE ⊥AC 于点E ,且OE =1,则AB 与CD 之间的距离等于_______.14.如图,△ABC 的周长为32,且AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,△ACD 的周长为24,那么AD 的长为________.15. 如图,在△ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上一动点,则EC +ED 的最小值是__________.16.如图,在等边三角形ABC 中,AD 是BC 边上的高,且AD =4,E 是AB 边的中点,点P 在AD 上运动,则PB +PE 的最小值是________.17.等腰三角形ABC 中,BD ⊥AC ,垂足为点D ,且BD =12AC ,则等腰三角形ABC 底角的度数为________.18. AB 与CD 相交于点O ,AB =CD ,∠AOC =60°,∠ACD +∠ABD =210°,则线段AB ,AC ,BD 之间的等量关系式为_________________.三.解答题(7小题,共66分)19.(8分) 如图,点D ,E 在△ABC 的BC 边上,AB =AC ,AD =AE.求证:BD =CE.20.(8分) 如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.21.(8分) 如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线;(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.22.(10分) 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍,求三角形各边的长.(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?若能,求出其他两边的长;若不能,请说明理由.23.(10分) 如图,在等边△ABC中,AO是∠BAC的平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)延长BE至点Q,P为BQ上一点,连接CP,CQ,使CP=CQ=5,若BC=8,求PQ的长.24.(10分) 在△ABC中,∠B=22.5°,边AB的垂直平分线DP交AB于点P,交BC于点D,且AE ⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,DF与AE交于点G,求证:EG=EC.25.(12分) 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.点D是CA延长线上一点,连接BD,点E是BD 上一点,连接CE交AB于点F,BD=CF.(1)如图①,当点E是BD的中点时,若BC=4,求AF的长;(2)在(1)的条件下,如图②,连接AE,求证:DE+EF=2AE.图①图②参考答案1-5BBCCA 6-10DCDBC11. 只有一个交点的两条直线一定相交;真 12. 2cm 13. 2 14. 8 15. 5 16.417.45°或15°或75° 18. AB 2=AC 2+BD 219. 证明:过点A 作AP ⊥BC 于P.∵AB =AC ,∴BP =PC ,∴AD =AE ,∴DP =PE ,∴BP -DP =PC -PE ,∴BD =CE20. 证明:∵∠BAE =∠DAC ,∴∠BAE +∠CAE =∠DAC +∠CAE ,即∠CAB =∠EAD. 又∵AB =AD ,AC =AE , ∴△ABC ≌△ADE(SAS). ∴∠C =∠E.21. 解:(1)证明:∵∠A =∠ABE ,∴EA =EB.∵AD =DB ,∴DF 是线段AB 的垂直平分线. (2)∵∠A =46°,∴∠ABE =∠A =46°.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB =67°,∴∠EBC =∠ABC -∠ABE =21°,∠F =90°-∠ABC =23°.22. 解:(1)设底边长为x cm ,则腰长为2x cm.依题意,得2x +2x +x =18,解得x =185,∴2x =365.∴三角形三边的长为185 cm ,365 cm ,365cm(2)若腰长为4 cm ,则底边长为18-4-4=10 cm.而4+4<10,所以不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形.若底边长为4 cm ,则腰长为12(18-4)=7 cm.此时能围成等腰三角形,三边长分别为4 cm ,7 cm ,7 cm23. 解:(1)证明:∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,且∠ACB =∠DCE =60°,即∠ACD +∠DCB =∠DCB +∠BCE =60°,∴∠ACD =∠BCE ,∴△ACD ≌△BCE(SAS).(2)作CH ⊥BQ 于点H ,图略.则PQ =2HQ.在Rt △BHC 中,由(1)得∠CBH =∠CAO =30°,∴CH =12BC=4,在Rt △CHQ 中,HQ =CQ 2-CH 2=52-42=3,∴PQ =2HQ =6. 24. 解:如图所示:连接AD ,∵∠B =22.5°,且DP 为AB 的垂直平分线,∴DB =DA ,∴∠B =∠BAD ,∴∠ADE =2∠B =45°,在Rt △ADE 中,∠ADE =45°,∴∠DAE =45°,∴AE =DE ,∵AE ⊥DE ,∴∠1+∠2=90°,∵DF ⊥AC ,∴∠2+∠C =90°,∴∠1=∠C.在△DEG 和△AEC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠C ,∠DEG =∠AEC =90°,DE =AE ,∴△DEG ≌△AEC(AAS),∴EG =EC25. 解:(1)∵AB =AC ,∠BAC =90°,BC =4,∴AB =AC =2 2. ∵BD =CF ,AB =AC ,∴Rt △BAD ≌Rt △CAF(HL),∴∠DBA =∠ACF. ∵∠EFB =∠AFC ,∴∠BEF =∠FAC =90°,∴CE ⊥BD.∵BE =DE ,∴CB =CD =4, ∴AF =AD =CD -AC =4-2 2.(2)作AM ⊥BD 于点M ,AN ⊥EC 于点N.∵△BAD ≌△CAF ,∴AM =AN ,∴∠AEM =∠AEN =45°,∴AM =EM =EN =AN.∵AD =AF ,AM =AN ,∴Rt △AMD ≌Rt △ANF(HL),∴DM =FN ,∴DE +EF =EM +DM +EN -FN =2EM ,∵AE =2EM.∴DE +EF =2AE.。
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷(含答案)

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷一.选择题(共8小题,满分24分)1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为()A.4B.30C.18D.122.已知实数a,b满足|a﹣2|+(b﹣4)2=0,则以a,b的值为两边的等腰三角形的周长是()A.10B.8或10C.8D.以上都不对3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CE=2,边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,那么AE的为()A.6B.4C.3D.24.如图,OP平分∠MON,P A⊥ON,PB⊥OM,垂足分别为A、B,若P A=3,则PB=()A.2B.3C.1.5D.2.55.如图所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分别是AB、AC的中垂线,E、N在BC上,则∠EAN=()A.58°B.32°C.36°D.34°6.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题为真命题的()A.如果∠A=2∠B=3∠C,则△ABC是直角三角形B.如果∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形C.如果a:b:c=1:2:2,则△ABC是直角三角形D.如果a:b;c=3:4:,则△ABC是直角三角形7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC,当用反证法证明时,第一步应假设()A.AB≠AC B.PB=PC C.∠APB=∠APC D.∠B≠∠C8.如图,ABC是一钢架的一部分,为使钢架更加坚固,在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等.如果∠ABC=10°,那么添加这样的钢管的根数最多是()A.7根B.8根C.9根D.10根二.填空题(共8小题,满分24分)9.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AB=3,则AC=.10.如图,已知△ABC中,BC=4,AB的垂直平分线交AC于点D,若AC=6,则△BCD 的周长=.11.如图,小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A'点,则∠OAA'的度数为.12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD平分∠BAC,交BC于点D,CD=4,则S△ABD=.13.如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于.14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,交边BC于点D,过点D作DE ⊥AB,垂足为E.若∠CAD=20°,则∠EDB的度数是.15.如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,则图中共有个等边三角形.16.如图,△ABC是边长为8的等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,DF⊥BC于点F,求线段BF的长,BF=.三.解答题(共7小题,满分52分)17.用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角.18.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.19.如图:△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,CE是斜边AB上的高,且AC=AD.(1)若∠DCE=15°,求∠B的度数;(2)若∠B﹣∠A=20°,求∠DCB的度数.20.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,垂足为D,交AC于点E.(1)若∠ABE=50°,求∠EBC的度数;(2)若△ABC的周长为43cm,BC的长为11cm,求△BCE的周长21.如图,在等边三角形ABC中,D是AB上的一点,E是CB延长线上一点,连结CD,DE,已知∠EDB=∠ACD.(1)求证:△DEC是等腰三角形.(2)当∠BDC=5∠EDB,BD=2时,求EB的长.22.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.(1)若∠BAC=90°(图1),求∠DAE的度数;(2)若∠BAC=120°(图2),求∠DAE的度数;(3)当∠BAC>90°时,探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系,直接写出结果.23.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动几秒时,M、N两点重合?(2)点M、N运动几秒时,可得到等边三角形△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M、N运动的时间.参考答案一.选择题(共8小题)1.【解答】解:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°,∴△ADE为等边三角形,∵AB=10,BD=6,∴AD=AB﹣BD=10﹣6=4,∴△ADE的周长为12.故选:D.2.【解答】解:根据题意得a﹣2=0,b﹣4=0,解得a=2,b=4,①a=2是底长时,三角形的三边分别为4、4、2,∵4、4、2能组成三角形,∴三角形的周长为10,②a=2是腰边时,三角形的三边分别为4、2、2,2+2=4,不能组成三角形.综上所述,三角形的周长是10.故选:A.3.【解答】解:连接BE,∵DE是边AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠EBA=∠A=30°,∴∠CBE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°,∴BE=2CE=4,∴AE=BE=4,故选:B.4.【解答】解:∵OP平分∠MON,P A⊥ON,PB⊥OM,∴PB=P A=3,故选:B.5.【解答】解:∵△ABC中,∠BAC=106°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°,∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN,即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°,∴∠EAN=∠BAC﹣(∠BAE+∠CAN)=106°﹣74°=32°.故选:B.6.【解答】解:A、∵∠A=2∠B=3∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A≈98°,错误不符合题意;B、如果∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=75°,错误不符合题意;C、如果a:b:c=1:2:2,12+22≠22,不是直角三角形,错误不符合题意;D、如果a:b;c=3:4:,,则△ABC是直角三角形,正确;故选:D.7.【解答】解:假设结论PB≠PC不成立,即:PB=PC成立.故选:B.8.【解答】解:∵添加的钢管长度都与OE相等,∠AOB=10°,∴∠EDF=∠EFD=20°,…从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,四个是40°,五个是50°,六个是60°,七个是70°,八个是80°,九个是90°就不存在了.所以一共有8个,∴添加这样的钢管的根数最多是8根.故选:B.二.填空题(共8小题)9.【解答】解:如图,∵∠B=90°,∠A=30°,∴设BC=x,则AC=2BC=2x,∵AB=3,∴x2+32=(2x)2解得:x=或﹣(舍去),∴AC=2x=2,故答案为:2.10.【解答】解:∵DE是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=10,故答案为:10.11.【解答】解:∵秋千旋转了80°,小林的位置也从A点运动到了A'点,∴AOA′=80°,OA=OA′,∴∠OAA'=(180°﹣80°)=50°.故答案为50°.12.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S△ABD=AB•DE=×10×4=20,故答案为20.13.【解答】解:∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∵△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO,∴EO=EB,FO=FC,∵AB=8cm,AC=7cm,∴△AEF的周长为:AE+EF+AF=AE+EO+FO+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=8+7=15(cm).故△AEF的周长为15,故答案为:15.14.【解答】解:∵AD平分∠CAB,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∵∠ACB=90°,∴∠B=90°﹣40°=50°,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠EDB=90°﹣50°=40°,故答案为:40°.15.【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°,∵DF∥BC,∴∠F AC=∠ACB=60°,∠DAB=∠ABC=60°,同理:∠ACF=∠BAC=60°在△AFC中,∠F AC=∠ACF=60°∴△AFC是等边三角形,同理可证:△ABD△BCE都是等边三角形,因此∠E=∠F=∠D=60°,△DEF是等边三角形,故有5个等边三角形,故答案为:5.16.【解答】解:连接BD,∵△ABC是边长为8的等边三角形,D为AC的中点,∴AC=BC=8,AD=DC=4,∠DBF=ABC==30°,由勾股定理得:BD==4,∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°,∴DF=BD==2,在Rt△DFB中,由勾股定理得:BF===6,故答案为:6.三.解答题(共7小题)17.【解答】证明:①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°,而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°,而∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述,假设①,②错误,所以∠B,∠C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角18.【解答】解:∵∠C=∠ABC=2∠A,∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°,∴∠A=36°.则∠C=∠ABC=2∠A=72°.又BD是AC边上的高,则∠DBC=90°﹣∠C=18°.19.【解答】解:(1)∵CE⊥AB,∴∠CED=90°,∵∠ECD=15°,∴∠ADC=75°,∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=75°,∵∠ACD=90°,∴∠DCB=15°,∵∠ADC=∠B+∠DCB,∴∠B=75°﹣15°=60°.(2)设∠DCB=x,则∠ADC=∠ACD=∠B+x=90°﹣x,∴2x=90°﹣∠B,∵∠A+∠B=90°,∠B﹣∠A=20°,∴∠B=55°,∴2x=35°,∴x=17.5°,∴∠DCB=17.5°20.【解答】解:(1)∵DE垂直平分AB∴∠A=∠ABE=50°,又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,而∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC=×(180°﹣50°)=65°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°;(2)∵△ABC的周长为43cm,BC=11cm∴AB=AC=16cm,又∵DE垂直平分AB∴EA=EB,∴△BCE的周长为:BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=16+11=27cm.21.【解答】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠E+∠EDB=∠ABC=60°,∠ACD+∠DCB=60°,∠EDB=∠ACD,∴∠E=∠DCE,∴△DEC是等腰三角形;(2)解:设∠EDB=α,则∠BDC=5α,∴∠E=∠DCE=60°﹣α,∴6α+60°﹣α+60°﹣α=180°,∴α=15°,∴∠E=∠DCE=45°,∴∠EDC=90°,过D作DH⊥CE于H,∵BD=2,∠DBH=60°,∴BH=BD=1,DH==,DH=EH=,∴BE=EH﹣BH=﹣1.22.【解答】解:(1)如图1,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵BD=BA,∴∠BAD=∠BDA=(180°﹣∠B)=67.5°,∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°,∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=112.5°,∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°,(2)如图2,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=30°,∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=75°,∴∠DAC=45°,∵CA=CE,∴∠E=∠CAE=15°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°;(3)∠DAE=∠BAC,理由:设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠B=180°﹣2y,∠E=∠CAE=x,∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x,∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x,∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x∴∠DAE=∠BAC.23.【解答】解:(1)设点M、N运动x秒时,M、N两点重合,x×1+12=2x,解得:x=12;(2)设点M、N运动t秒时,可得到等边三角形△AMN,如图①,AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=12﹣2t,∵三角形△AMN是等边三角形,∴t=12﹣2t,解得t=4,∴点M、N运动4秒时,可得到等边三角形△AMN.(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,如图②,假设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵,∴△ACM≌△ABN,∴CM=BN,设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=y﹣12,NB=36﹣2y,CM=NB,y﹣12=36﹣2y,解得:y=16.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M、N 运动的时间为16秒.。
最新北师大版八年级数学下册单元测试题全套及答案
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最新北师大版八年级数学下册单元测试题全套及答案第1章单元检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,直线l 1∥l 2,以直线l 1上的点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线l 1,l 2于点B ,C ,连接AC ,BC.若∠ABC =67°,则∠1的度数为( B )A .23°B .46°C .67°D .78°2.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F.则下列结论错误的是( D )A .AD ⊥BCB .∠BAD =∠CADC .DE =DFD .BE =DE,第2题图) ,第3题图) ,第4题图)3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ,交BC 于点D ,CD =3,则BC 的长为( C )A .6B .6 3C .9D .3 34.如图,在△ABC 中,∠B =40°,∠BAC =75°,AB 的垂直平分线交BC 于点D ,垂足为E.则∠CAD 等于( B )A .30°B .35°C .40°D .50°5.如图,AC =BD ,则补充下列条件后仍不能判定△ABC ≌△BAD 的是( D ) A .AD =BC B .∠BAC =∠ABD C .∠C =∠D =90° D .∠ABC =∠BAD6.已知三角形三内角之间有∠A =12∠B =13∠C ,它的最长边为10,则此三角形的面积为( D )A .20B .10 3C .5 3 D.2532,第5题图) ,第7题图) ,第8题图) ,第10题图)7.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD ,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B =90°时,如图①,测得AC =2,当∠B =60°时,如图②,AC 等于( A )A. 2 B .2 C. 6 D .2 28.如图,在四边形ABCD 中,∠A =90°,AD =4,连接BD ,BD ⊥CD ,∠ADB =∠C.若P 是BC边上一动点,则DP 长的最小值为( C )A .2B .2 2C .4D .4 29.下列说法:①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等;③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等;④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.其中正确的有( B )A .1个B .2个C .3个D .4个10.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC ,AD =AE ,点C ,D ,E 在同一条直线上,连接BD ,BE.下列四个结论:①BD =CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE +∠DBC =45°;④BE 2=2(AD 2+AB 2).其中结论正确的个数是( C )A .1B .2C .3D .4二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,若AB =6 cm ,则BC =__3__cm .12.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,CD =4,则点D 到AB 的距离为__4__.,第11题图 第12题图 第13题图 第14题图)13.如图,已知点B ,C ,F ,E 在同一条直线上,∠1=∠2,BC =EF ,要使△ABC ≌△DEF ,还需添加一个条件,这个条件可以是__AC =DF (答案不唯一)__.(只需写出一个)14.如图,△ABC 的周长为22 cm ,AB 的垂直平分线交AC 于点E ,垂足为D ,若△BCE 的周长为14 cm ,则AB =__8__cm .15.如图,在等边△ABC 中,D 是AC 的中点,E 是BC 延长线上的一点,且CE =CD ,DM ⊥BC ,垂足为M.若AB =4 cm ,则DE =__23__cm .,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)16.如图,在△ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上一动点,则EC +ED 的最小值是__5__.17.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米,坡角∠A =30°,∠B =90°,BC =6米.当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE =__143__米时,有DC 2=AE 2+BC 2.18.下列命题:①到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点;②三角形三边的垂直平分线的交点到这个三角形的三个顶点的距离相等;③一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等;④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等.其中真命题是__①②④__(填序号)三、解答题(共66分)19.(8分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.解:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE,又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠A=∠D20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为D.若△ABC的周长为20 cm,△BCE的周长为12 cm,求BC的长.解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∵△BCE的周长为12 cm,即BC+BE+CE=12,∴BC+AE +CE=12,即BC+AC=12,又∵△ABC的周长为20 cm,即AB+BC+AC=20,∴AB+12=20,则AB =8,∴AC=8,∴BC=20-AB-AC=20-8-8=4(cm)21.(8分)如图,锐角三角形ABC的两条高BE,CD相交于点O,且OB=OC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.解:(1)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵BE,CD是两条高,∴∠BDC=∠CEB=90°,又∵BC =CB,∴△BDC≌△CEB(AAS),∴∠DBC=∠ECB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形(2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:如图,连接AO.∵△BDC ≌△CEB ,∴DC =EB ,∵OB =OC ,∴OD =OE ,∵∠BDC =∠CEB =90°,∴点O 在∠BAC 的平分线上(或通过证Rt △ADO ≌Rt △AEO (HL ),得出∠DAO =∠EAO 也可)22.(8分)如图,∠AOB =90°,OM 平分∠AOB ,将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与OA ,OB 相交于点C ,D ,问PC 与PD 相等吗?试说明理由.解:PC =PD.理由:过点P 作PE ⊥OA 于点E ,PF ⊥OB 于点F ,∵OM 平分∠AOB ,点P 在OM 上,∴PE =PF ,又∵∠AOB =90°,∴∠EPF =90°,∴∠EPF =∠CPD ,∴∠EPC =∠FPD.又∵∠PEC =∠PFD =90°,∴△PCE ≌△PDF (ASA ),∴PC =PD23.(10分)如图,为了测出某塔CD 的高度,在塔前的平地上选择一点A ,用测角仪测得塔顶D 的仰角为30°,在A ,C 之间选择一点B(A ,B ,C 三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D 的仰角为75°,且AB 间的距离为40 m .(1)求点B 到AD 的距离;(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解:(1)过点B 作BE ⊥AD ,垂足为E ,∴∠AEB =90°,又∵∠A =30°,∴BE =12AB =12×40=20 m(2)AE =AB 2-BE 2=203,∵∠A +∠ADB =∠DBC =75°,∴∠ADB =75°-∠A =45°,∵BE ⊥AD ,∴∠BED =90°,∴∠DBE =∠ADB =45°,∴DE =BE =20,∴AD =AE +DE =203+20,∵CD ⊥AC ,∴∠C =90°,又∵∠A =30°,∴CD =12AD =12(203+20)=(103+10) m24.(12分)在△ABC 中,∠B =22.5°,边AB 的垂直平分线DP 交AB 于点P ,交BC 于点D ,且AE ⊥BC 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,DF 与AE 交于点G ,求证:EG =EC.解:如图所示:连接AD ,∵∠B =22.5°,且DP 为AB 的垂直平分线,∴DB =DA ,∴∠B =∠BAD ,∴∠ADE =2∠B =45°,在Rt △ADE 中,∠ADE =45°,∴∠DAE =45°,∴AE =DE ,∵AE ⊥DE ,∴∠1+∠2=90°,∵DF ⊥AC ,∴∠2+∠C =90°,∴∠1=∠C.在△DEG 和△AEC 中,⎩⎨⎧∠1=∠C ,∠DEG =∠AEC =90°,DE =AE ,∴△DEG ≌△AEC (AAS ),∴EG =EC25.(12分)如图,已知△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形,动点P ,Q 同时从A ,B 两点出发,分别沿AB ,BC 方向匀速运动,其中点P 运动的速度是1 cm /s ,点Q 运动的速度是2 cm /s ,当点Q 到达点C 时,P ,Q 两点都停止运动,设运动时间为t s ,解答下列问题:(1)当点Q 到达点C 时,PQ 与AB 的位置关系如何?请说明理由;(2)在点P 与点Q 的运动过程中,△BPQ 是否能成为等边三角形?若能,请求出t 的值;若不能,请说明理由.解:(1)当点Q 到达点C 时,PQ 与AB 垂直,即△BPQ 为直角三角形.理由:∵AB =AC =BC =6 cm ,∴当点Q 到达点C 时,AP =3 cm ,∴点P 为AB 的中点.∴QP ⊥BA (等腰三角形三线合一的性质) (2)假设在点P 与点Q 的运动过程中,△BPQ 能成为等边三角形,则有BP =BQ ,∴6-t =2t ,解得t =2,又∠B =60°,∴当t =2时,△BPQ 是等边三角形第2章单元检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.据中央气象台报道,某日上海最高气温是22 ℃,最低气温是11 ℃,则当天上海气温t (℃)的变化范围是( D )A .t >22B .t ≤22C .11<t <22D .11≤t ≤222.(2016·新疆)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x <2x +4,x -1≥2的解集是( C )A .>4B .x ≤3C .3≤x <4D .无解3.在直角坐标系中,若点P(2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围是( A ) A .3<x <5 B .-3<x <5 C .-5<x <3 D .-5<x <-34.如图a ,b ,c 分别表示苹果、梨、桃子的质量,同类水果质量相等,则下列关系正确的是( C )A .a >c >bB .b >a >cC .a >b >cD .c >a >b5.如果点P(3-m ,1)在第二象限,那么关于x 的不等式(2-m)x +2>m 的解集是( B ) A .x >-1 B .x <-1 C .x >1 D .x <16.如图是一次函数y =kx +b 的图象,当y <2时,x 的取值范围是( C ) A .x <1 B .x >1 C .x <3 D .x >37.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +a ≥0,1-2x >x -2无解,则实数a 的取值范围是( D )A .a ≥-1B .a <-1C .a ≤1D .a ≤-18.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -a ≥b ,2x -a <2b +1的解集为3≤x <5,则a ,b 的值为( A )A .a =-3,b =6B .a =6,b =-3C .a =1,b =2D .a =0,b =39.如图,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A(m ,3),则不等式2x <ax +4的解集为( A )A .x <32 B .x <3C .x >32D .x >310.某镇有甲,乙两家液化气站,它们每罐液化气的价格,质地和重量都相同.为了促销,甲站的液化气每罐降价25%销售;每个用户购买乙站的液化气,第1罐按照原价销售,若用户继续购买,则从第2罐开始以7折优惠,促销活动都是一年.若小明家每年需购买8罐液化气,则购买液化气最省钱的方法是( B )A .买甲站的B .买乙站的C .买两站的都一样D .先买甲站的1罐,以后买乙站的 二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2016·绍兴)不等式3x +134>x3+2的解是__x >-3__.12.(2016·巴中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x -1<x +1,2(2x -1)≤5x +1的最大整数解为__0__.13.如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >m -1,x >m +2的解集是x >-1,那么m =__-3__.14.要使关于x 的方程5x -2m =3x -6m +1的解在-3与4之间,m 的取值范围是__-74<m <74__.15.如图,函数y =ax -1的图象经过点(1,2),则不等式ax -1>2的解集是__x >1__.,第15题图),第16题图)16.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2a ≥1,2x -b <3的解集如图所示,则a -b 的值为__0__.17.若关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =3k -1,x +2y =-2的解满足x +y >1,则k 的取值范围是__k >2__.18.商店购进一批文具盒,进价每个4元,零售价每个6元,为促进销售,决定打折销售,但利润率仍不低于20%,那么该文具盒实际价格最多可打__8__折销售.三、解答题(共66分)19.(10分)解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来:(1)⎩⎪⎨⎪⎧2(x +1)≤x +3,x -4<3x ; (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x >3x -2,①2x -13≥12x -23.② 解:-2<x ≤1 数轴表示略 解:-2≤x <2 数轴表示略20.(7分)已知关于x ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x +2y =11a +18,2x -3y =12a -8的解满足x >0,y >0,求实数a 的取值范围.解:解方程组得⎩⎨⎧x =3a +2,y =4-2a ,∵x >0,y >0,∴⎩⎨⎧3a +2>0,4-2a >0,解得-23<a <221.(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3(x -2)≥x -4,①2x +13>x -1,②并写出它所有的整数解.解:解不等式①得x ≥1,解不等式②得x <4,∴原不等式的解集是1≤x <4,∴原不等式组的整数解是x =1,2,322.(8分)若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +13>0,3x +5a +4>4(x +1)+3a 恰有三个整数解,求实数a 的取值范围. 解:解不等式x 2+x +13>0得x >-25,解不等式3x +5a +4>4(x +1)+3a 得x <2a ,∵不等式组恰有三个整数解,∴2<2a ≤3,∴1<a ≤3223.(9分)如图,一次函数y 1=kx -2和y 2=-3x +b 的图象相交于点A(2,-1).(1)求k ,b 的值;(2)利用图象求当x 取何值时,y 1≥y 2?(3)利用图象求当x 取何值时,y 1>0且y 2<0?解:(1)将A 点坐标代入y 1=kx -2,得2k -2=-1,即k =12;将A 点坐标代入y 2=-3x +b 得-6+b=-1,即b =5 (2)从图象可以看出当x ≥2时,y 1≥y 2 (3)直线y 1=12x -2与x 轴的交点为(4,0),直线y 2=-3x +5与x 轴的交点为(53,0),从图象可以看出当x >4时,y 1>0;当x >53时,y 2<0,∴当x >4时,y 1>0且y 2<024.(12分)甲,乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费,设小红在同一商场累计购物x 元,其中x >100.(1)根据题意,填写下表(物购计累 费花际实 130 290 … x 在甲商场127…在乙商场 126 …(2)当x 取何值时,(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少?解:(1)271 100+(x -100)×90% 278 50+(x -50)×95% (2)根据题意得100+(x -100)×90%=50+(x -50)×95%,解得x =150.即当x =150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同 (3)由100+(x -100)×90%<50+(x -50)×95%,解得x >150;由100+(x -100)×90%>50+(x -50)×95%,解得x <150.∴当小红累计购物超过150元时,选择甲商场实际花费少,当小红累计购物超过100元而不到150元时,选择乙商场实际花费少25.(12分)去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?(2)现计划租用甲,乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,则运输部门安排甲,乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?解:(1)设饮用水有x 件,则蔬菜有(x -80)件,由题意得x +(x -80)=320,解得x =200,∴x -80=120.则饮用水和蔬菜分别为200件和120件 (2)设租用甲种货车m 辆,则租用乙种货车(8-m )辆,由题意得⎩⎨⎧40m +20(8-m )≥200,10m +20(8-m )≥120,解得2≤m ≤4.∵m 为正整数,∴m =2或3或4.故安排甲、乙两种货车时有3种方案,设计方案分别为①甲车2辆,乙车6辆;②甲车3辆,乙车5辆;③甲车4辆,乙车4辆 (3)3种方案的运费分别为①2×400+6×360=2960(元);②3×400+5×360=3000(元);③4×400+4×360=3040(元);∴方案①运费最少,最少运费是2960元.则运输部门应安排甲车2辆,乙车6辆,可使运费最少,最少运费是2960元第3章单元检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分) 1.把点A(-2,1)向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后得到点B ,则点B 的坐标是( B ) A .(-5,3) B .(1,3) C .(1,-3) D .(-5,-1)2.如图,下列四个图形中,△ABC 经过旋转之后不能得到△A ′B ′C ′的是( D )3.(2016·青岛)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )4.如图,△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ,若∠A =110°,∠D =40°,则∠α的度数是( C )A .30°B .40°C .50°D .60°5.一个图形无论经过平移还是旋转,下列说法:①对应线段相等;②对应线段平行;③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的有( C )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.(2016·枣庄)已知点P(a+1,-a2+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( C )7.如图,将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD,则下列结论:①AB∥CD;②AC=DE;③AD=BC;④∠B=∠ADC;⑤△ACD≌△EDC.其中正确的结论有( A )A.5个B.4个C.3个D.2个,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2.△A′B′C可以由△ABC绕点C 顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A,B′,A′在同一条直线上,则AA′的长为( A )A.6 B.4 3 C.3 3 D.39.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′是点B的对应点,点C′是点C的对应点),连接CC′,则∠CC′B′的度数是( D ) A.45°B.30°C.25°D.15°10.将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点B的横坐标为2,则点A′的坐标为( C )A.(1,1) B.(2,2) C.(-1,1) D.(-2,2)二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,点D是等边三角形ABC内的一点,如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合,那么旋转了__60__度.12.如图,△A′B′C′是由△ABC沿BC方向平移得到的,若BC=5 cm,AC=4.5 cm,B′C=2 cm,那么A′C′=__4.5__cm,A,A′两点之间的距离为__3__cm.,第11题图),第12题图),第14题图),第15题图)13.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-4,-1),C(2,0),将△ABC平移至△A1B1C1的位置,点A,B,C,的对应点分别是A1,B1,C1,若点A1的坐标为(3,1),则点C1的坐标为__(7,-2)__.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在AB边上,则旋转角的大小为__2α__.15.如图,在△ABC中,∠BAC=115°,∠ACB=25°,把△ABC以AC为对称轴作对称变换得△ADC,又把△ABC绕点B逆时针旋转55°得△FBE,则∠α的度数为__145°__.16.如图,等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm,将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积等于__63__cm2.,第16题图),第17题图),第18题图)17.如图是4×4的正方形网格,把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑,就可以使图中的阴影部分构成一个中心对称图形,则这个白色小正形内的数字是__3__.18.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)后得到△DEC,设CD交AB于点F,连接AD,当旋转角α的度数为__40°或20°__时,△ADF是等腰三角形.三、解答题(共66分)19.(7分)如图,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置.(1)若AC=6 cm,则BE=__6__cm;(2)若∠CAB=50°,∠BDE=100°,求∠CBE的度数.解:根据平移的性质得AC∥BE,∠ABC=∠BDE=100°,∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-100°=30°,由AC∥BE得∠CBE=∠C=30°20.(7分)如图,边长为4的正方形ABCD绕点D旋转30°后能与四边形A′B′C′D重合.(1)旋转中心是哪一点?(2)四边形A ′B ′C ′D 是什么图形?面积是多少?(3)求∠C ′DC 和∠CDA ′的度数;(4)连接AA ′,求∠DAA ′的度数.解:(1)点D (2)四边形A ′B ′C ′D ′是正方形,面积为4×4=16 (3)由题意得∠C ′DC =30°,∠CDA ′=90°-∠C ′DC =60° (4)∵AD =A ′D ,∠ADA ′=30°,∴∠DAA ′=(180°-30°)×12=75°21.(8分)(1)在平面直角坐标系中找出点A(-3,4),B(-4,1),C(-1,1),D(-2,3)并将它们依 次连接;(2)将(1)中所画图形先向右平移4个单位,再向下平移3个单位,画出第二次平移后的图形;(3)如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形?平移前后对应点的横坐标有什么关系?纵坐标呢?解:(1)画图略 (2)画图略 (3)将A 点与它的对应点A ′连接起来,则AA ′=32+42=5,∴将(1)中所画图形沿A 到A ′的方向平移5个单位长度得到(2)中所画图形.四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 相比,对应点的横坐标分别增加了4,纵坐标分别减少了322.(10分)(2016·巴中)如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图.(1)画出将△ABC 向右平移2个单位得到的△A 1B 1C 1;(2)画出将△ABC 绕点O 顺时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2;(3)画出△ABC 关于原点对称的△A 3B 3C 3.解:图略23.(10分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向图形外作等边△BCD,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置,若AB=3,AC=2.(1)求∠BAD的度数;(2)求AD的长.解:(1)因为△DCE是由△DBA旋转后得到的,∴DE=DA,∵∠BDC=60°,∴∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴∠DAE=60°,∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°(2)AD=AE =AC+CE=AC+AB=2+3=524.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在y轴上,点E在x轴上,在△ABC中,点A,C在x轴上,AC=5,∠ACB+∠ODE=180°,∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹):(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N),画出△OMN;(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′),使得B′C′与(1)中△OMN的边NM重合;(3)求OE的长.解:(1)△OMN如图所示(2)△A′B′C′如图所示(3)设OE=x,则ON=x,作MF⊥A′B′于点F,由作图可知B′C′平分∠A′B′O,且C′O⊥OB ′,∴B ′F =B ′O =OE =x ,FC ′=OC ′=OD =3.∵A ′C ′=AC =5,∴A ′F =52-32=4,∴A ′B ′=x +4,A ′O =5+3=8.在Rt △A ′B ′O 中,x 2+82=(4+x )2,解得x =6,即OE =625.(12分)如图,小明将一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图②),量得它们的斜边长为10 cm ,较小的锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状,且点B ,C ,F ,D 在同一条直线上,且点C 与点F 重合(在图③至图⑥中统一用F 表示).小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮忙解决:(1)将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;(2)将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,A 1F 交DE 于点G ,请你求出线段FG 的长度;(3)将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 1交DE 于点H ,请证明:AH =DH.解:(1)图形平移的距离就是线段BC 的长,∵在Rt △ABC 中,斜边长为10 cm ,∠BAC =30°,∴BC =5 cm.∴平移的距离为5 cm (2)∵∠A 1FA =30°,∴∠GFD =60°,又∵∠D =30°,∴∠FGD =90°.在Rt △DFG 中,由勾股定理得FD =5 3 cm ,∴FG =12FD =532cm (3)在△AHE 与△DHB 1中,∵∠FAB 1=∠EDF =30°,FD =FA ,EF =FB =FB 1,∴FD -FB 1=FA -FE ,即AE =DB 1.又∵∠AHE =∠DHB 1.∴△AHE ≌△DHB 1(AAS ).∴AH =DH期中检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2016·哈尔滨)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )2.若a >b ,则下列不等式变形错误的是( D )A .a +3>b +3 B.a 3>b 3C .2a -3>2b -3D .3-2a >3-2b3.(2016·临沂)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x <2x +4,3-x 3≥2的解集,在数轴上表示正确的是( A )4.在平面直角坐标系中,将点A(x ,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(-3,2)重合,则点A 的坐标是( D )A .(2,5)B .(-8,5)C .(-8,-1)D .(2,-1)5.如图,在△ABC 中,∠CAB =75°,在同一平面内,将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置,使得CC ′∥AB ,则∠BAB ′等于( A )A .30°B .35°C .40°D .50°,第5题图) ,第6题图) ,第7题图),第8题图)6.在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,DE 垂直平分AB ,垂足为E.若CD =2,则BD 的长为( C )A .2B .3C .4D .57.如图,AD ⊥CD ,AE ⊥BE ,垂足分别为D ,E ,且AB =AC ,AD =AE.则下列结论:①△ABE ≌△ACD ;②AM =AN ;③△ABN ≌△ACM ;④BO =EO.其中正确的有( B )A .4个B .3个C .2个D .1个8.如图,将△ABC 沿直线DE 折叠后,使得点B 与点A 重合,已知AC =5 cm ,△ADC 的周长为17 cm ,则BC 的长为( C )A .7 cmB .10 cmC .12 cmD .22 cm9.如图,已知MN 是△ABC 的边AB 的垂直平分线,垂足为点F ,∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ,且MN 与AD 交于点O ,连接BO 并延长交AC 于点E ,则下列结论中不一定成立的是( B ) A .∠CAD =∠BAD B .OE =OF C .AF =BF D .OA =OB,第9题图) ,第10题图)10.如图,将边为3的正方形ABCD 绕点A 沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH ,则图中阴影部分的面积为( B ) A.32- 3 B .3- 3 C .2- 3 D .2-32 二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,已知∠B =∠C ,添加一个条件使△ABD ≌△ACE(不标注新的字母,不添加辅助线).则添加的条件是__AB =AC (答案不唯一)__.12.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,若AB =10 cm ,BC =8 cm ,BD =5 cm ,则△ABD 的面积为__15_cm 2__.,第11题图) ,第12题图) ,第13题图),第14题图)13.如图,在等边△ABC 中,AB =6,D 是BC 的中点,将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ,那么线段DE 的长度为__33__.14.如图,点A ,B 的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB 平移到A 1B 1,点A 1,B 1的坐标分别为(2,a),(b ,3),则a +b =__2__.15.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +a ≥0,1-2x >x -2有解,则a 的取值范围__a >-1__. 16.如图,OA ⊥OB ,△CDE 的边CD 在OB 上,∠ECD =45°,CE =4,若将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°,点E 的对应点N 恰好落在OA 上,则OC 的长度为__2__.,第16题图) ,第17题图),第18题图)17.如图,点E 是正方形ABCD 内的一点,连接AE ,BE ,CE ,将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置.若AE =1,BE =2,CE =3,则∠BE ′C =__135__°.18.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,O 是AB 的中点,点D 在AC 上,点E 在BC 上,且∠DOE =90°.则下列结论:①OA =OB =OC ;②CD =BE ;③△ODE 是等腰直角三角形;④四边形CDOE 的面积等于△ABC 的面积的一半;⑤AD 2+BE 2=2OD 2;⑥CD +CE =2OA.其中正确的有__①②③④⑤⑥__(填序号)三、解答题(共66分)19.(8分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠CAB ,交CB 于点D ,过点D 作DE ⊥AB 于点E.(1)求证:△ACD ≌△AED ;(2)若∠B =30°,CD =1,求BD 的长.解:(1)∵AD 平分∠CAB ,∴∠CAD =∠EAD ,∵∠C =90°,DE ⊥AB ,∴∠C =∠DEA =90°,又∵AD =AD ,∴△ACD ≌△AED (AAS ) (2)∵DE ⊥AB ,∴∠DEB =90°,又∵由(1)得△ACD ≌△AED ,∴DE =CD =1,在Rt △BDE 中,∵∠B =30°,∴BD =2DE =220.(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3(x -1)<5x +1,x -12≥2x -4,并指出它的所有非负整数解. 解:解不等式组得-2<x ≤73,∴不等式组的非负整数解是0,1,221.(8分)如图,△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称,点E ,F 在线段AC 上,且AF =CE.求证:FD =BE.解:根据中心对称的性质可得BO =DO ,AO =CO ,又∵AF =CE ,∴AO -AF =CO -CE ,即OF =OE.在△ODF 和△OBE 中,DO =BO ,∠DOF =∠BOE (对顶角相等),OF =OE ,∴△ODF ≌△OBE (SAS ),∴FD =BE22.(8分)如图,OA ⊥OB ,OA =45海里,OB =15海里,我国某岛位于O 点,我国渔政船在点B 处发现有一艘不明国籍的渔船,自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向该岛所在地O 点,我国渔政船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C 处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国渔政船行驶的航程BC.解:(1)如答图,连接AB,作AB的垂直平分线与OA交于点C.点C即为所求(2)连接BC,设BC=x海里,则CA=x海里,OC=(45-x)海里,在Rt△OBC中,BO2+OC2=BC2,即152+(45-x)2=x2,解得x=25.则我国渔政船行驶的航程BC为25海里23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-4,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标.解:(1)图略(2)(2,-1)24.(12分)已知△ABC是等边三角形,将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置,让三角板在BC所在的直线上向右平移.如图①,当点E与点B重合时,点A恰好落在三角形的斜边DF上.(1)利用图①证明:EF=2BC;(2)在三角板的平移过程中,在图②中线段EB =AH 是否始终成立(假定AB ,AC 与三角板斜边的交点为G ,H)?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB =60°,AC =BC.∵∠F =30°,∴∠CAF =60°-30°=30°,∴∠CAF =∠F ,∴CF =AC.∴CF =AC =BC ,∴EF =2BC (2)成立.∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB =60°,AC =BC ,∵∠F =30°,∴∠CHF =60°-30°=30°.∴∠CHF =∠F .∴CH =CF .∵EF =2BC ,∴EB +CF =BC.又∵AH +CH =AC ,AC =BC ,∴EB =AH25.(12分)某文具商店销售功能相同的A ,B 两种品牌的计算器,购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元;购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元.(1)求这两种品牌计算器的单价;(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下:A 品牌计算器按原价的八折销售,B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x 个A 品牌的计算器需要y 1元,购买x 个B 品牌的计算器需要y 2元,分别求出y 1,y 2关于x 的函数关系式;(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过5个,购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.解:(1)设A 品牌计算器的单价为x 元,B 品牌计算器的单价为y 元,根据题意得⎩⎨⎧2x +3y =156,3x +y =122, 解得⎩⎨⎧x =30,y =32 (2)根据题意得y 1=0.8×30x ,即y 1=24x.当0≤x ≤5时,y 2=32x ;当x >5时,y 2=32×5+32(x -5)×0.7,即y 2=22.4x +48 (3)当购买数量超过5个时,y 2=22.4x +48.①当y 1<y 2时,24x <22.4x +48,解得x <30,即当购买数量超过5个而小于30个时,购买A 品牌的计算器更合算;②当y 1=y 2时,24x =22.4x +48,解得x =30,即当购买数量为30个时,购买A 品牌和B 品牌的计算器花费相同;③当y 1>y 2时,24x >22.4x +48,解得x >30,即当购买数量超过30个时,购买B 品牌的计算器更合算第4章单元检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是( C )A .(3-x )(3+x )=9-x 2B .(y +1)(y -3)=-(3-y )(y +1)C .m 4-n 4=(m 2+n 2)(m +n )(m -n )D .4yz -2y 2z +z =2y (2z -yz )+z2.多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x +1的公因式是( A )A .x -1B .x +1C .x 2-1D .(x -1)2 3.下列各式中,能用公式法分解因式的有( B )①-x 2-y 2;②-14a 2b 2+1;③a 2+ab +b 2;④-x 2+2xy -y 2;⑤14-mn +m 2n 2.A .2个B .3个C .4个D .5个4.把代数式3x 3-12x 2+12x 分解因式,结果正确的是( D ) A .3x (x 2-4x +4) B .3x (x -4)2 C .3x (x +2)(x -2) D .3x (x -2)25.一次数学课堂练习,小明同学做了如下四道因式分解题.你认为小明做得不够完整的一题是( B ) A .4x 2-4x +1=(2x -1)2 B .x 3-x =x (x 2-1) C .x 2y -xy 2=xy (x -y ) D .x 2-y 2=(x +y )(x -y ) 6.若a 2-b 2=14,a -b =12,则a +b 的值为( B )A .-12 B.12C .1D .27.已知多项式2x 2+bx +c 因式分解后为2(x -3)(x +1),则b ,c 的值为( D )A .b =3,c =-1B .b =-6,c =2C .b =-6,c =-4D .b =-4,c =-6 8.计算(-2)99+(-2)100的结果为( A ) A .299 B .2100 C .-299 D .-29.若多项式x 2-2(k -1)x +4是一个完全平方式,则k 的值为( D ) A .3 B .-1 C .3或0 D .3或-110.若三角形的三边长分别是a ,b ,c ,且满足a 2b -a 2c +b 2c -b 3=0,则这个三角形是( A ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .三角形的形状不确定 二、填空题(每小题3分,共24分)11.分解因式:4+12(x -y)+9(x -y)2=__(2+3x -3y )2__.12.若2a -b +1=0,则8a 2-8ab +2b 2的值为__2__.13.已知实数x ,y 满足x 2+4x +y 2-6y +13=0,则x +y 的值为__1__. 14.多项式2ax 2-8a 与多项式2x 2-8x +8的公因式为__2(x -2)__.15.若多项式(3x +2)(2x -5)+(5-2x)(2x -1)可分解为(2x +m)(x +n),其中m ,n 均为整数,则mn 的值为__-15__.16.已知长方形的面积为6m 2+60m +150(m >0),长与宽的比为3∶2,则这个长方形的周长为__10m +50__.17.已知代数式a 2+2a +2,当a =__-1__时,它有最小值,最小值为__1__.18.从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形,如图甲,然后拼成一个平行四边形,如图乙,那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的为__a 2-b 2=(a +b )(a -b )__.三、解答题(共66分)19.(12分)将下列各式分解因式:(1)2x 2y -8xy +8y; (2)a 2(x -y)-9b 2(x -y); 解:2y (x -2)2 解:(x -y )(a +3b )(a -3b )(3)9(m +2n )2-4(m -2n )2; (4)(y 2-1)2+6(1-y 2)+9. 解:(5m +2n )(m +10n ) 解:(y +2)2(y -2)220.(10分)先分解因式,再求值:(1)已知x -y =-23,求(x 2+y 2)2-4xy(x 2+y 2)+4x 2y 2的值;解:原式=(x -y )4,当x -y =-23时,原式=1681(2)已知x +y =1,xy =-12,求x (x +y )(x -y )-x (x +y )2的值.解:原式=-2xy (x +y ),当x +y =1,xy =-,原式=-2×(-12)×1=121.(6分)下列三个多项式:12x 3+2x 2-x ,12x 3+4x 2+x ,12x 3-2x 2,请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算,再将结果因式分解.解:12x 3+2x 2-x +12x 3+4x 2+x =x 3+6x 2=x 2(x +6)(答案不唯一)22.(8分)甲,乙两同学分解因式x 2+mx +n ,甲看错了n ,分解结果为(x +2)(x +4);乙看错了m ,分解结果为(x +1)(x +9),请分析一下m ,n 的值及正确的分解过程.解:∵(x +2)(x +4)=x 2+6x +8,甲看错了n 的值,∴m =6,又∵(x +1)(x +9)=x 2+10x +9,乙看错了m 的值,∴n =9,∴原式为x 2+6x +9=(x +3)223.(8分)阅读下列解题过程:已知a,b,c为三角形的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, (A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), (B)则c2=a2+b2, (C)∴△ABC为直角三角形. (D)(1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号__C__;(2)错误的原因__忽略了a2-b2=0,即a=b的可能__;(3)请写出正确的解答过程.解:∵a2c2-b2c2=a4b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),即c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0,即a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形24.(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片,如图①(1)如果选取1号,2号,3号卡片分别为1张,2张,3张(如图②),可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2+3ab+2b2分解因式;(2)小明想用类似的方法将多项式2a2+7ab+3b2分解因式,那么需要1号卡片__2__张,2号卡片__3__张,3号卡片__7__张.试画出草图,写出将多项式2a2+7ab+3b2分解因式的结果.解:(1)画图略.a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)(2)2,3,7.画图略.2a2+7ab+3b2=(2a+b)(a+3b)25.(12分)阅读下列计算过程:多项式x2-11x+24分解因式,可以采取以下两种方法:①将-11x拆成两项,即-6x-5x;将24拆成两项,即9+15,则:x2-11x+24=x2-6x+9-5x+15=(x2-6x+9)-5(x-3)=(x-3)2-5(x-3)=(x-3)(x-3-5)=(x-3)(x-8);②添加一个数(112)2,再减去这个数(112)2,则:x 2-11x +24=x 2-11x +(112)2-(112)2+24=[x 2-11x +(112)2]-254=(x -112)2-(52)2=(x -112+52)(x -112-52)=(x -3)(x -8). (1)根据上面的启发,请任选一种方法将多项式x 2+4x -12分解因式;(2)已知A =a +10,B =a 2-a +7,其中a >3,指出A 与B 哪个大,并说明理由.解:(1)x 2+4x -12=x 2+4x +4-16=(x +2)2-16=(x +6)(x -2) (2)B >A.理由:B -A =a 2-a +7-a -10=a 2-2a +1-4=(a -3)(a +1),∵a >3,∴a -3>0,a +1>0,∴B -A >0,即B >A第5章单元检测题(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.在式子1a ,2xy π,3ab 2c 4,56+x ,x 7+y 8,9x +10y ,x 2x 中,分式的个数是( B )A .5B .4C .3D .22.若分式x 2-1x +1的值为零,则x 的值为( B )A .0B .1C .-1D .±1 3.在下列分式中,最简分式是( B ) A.x +1x 2-1 B.x +2x 2+1 C.y 2y 2 D.63y +34.下列各式从左到右的变形中正确的是( A ) A.x -12y12xy =2x -y xy B.0.2a +b a +2b =2a +b a +2b C .-x +1x -y =x -1x -y D.a +b a -b =a -b a +b5.计算a b +b a -a 2-b 2ab 的结果是( B )A.2a bB.2ba C.-2ab D.-2b a6.分式方程2x -2+3x 2-x =1的解为( A )A .1B .2 C.13D .0。
2020-2021学年 北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 之直角三角形综合练(一)
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北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练(一)1.如图1,∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,CE⊥AD,且BE平分∠ABC.(1)求证:∠ACE=∠ABC;(2)求证:∠ECD+∠EBC=∠BEC;(3)求证:∠CEF=∠CFE.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=36°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数;(2)点F是AE延长线上一点,过点F作∠AFD=27°,交AB的延长线于点D.求证:BE ∥DF.3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE是△ABC的角平分线,CD⊥AB,垂足D,延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F.(1)若∠A=60°,求∠DCE和∠F的度数;(2)若∠A=n°(0<n<90)直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F.(3)在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q,在(2)的条件下求∠CQH的度数,请直接写出∠CQH的度数.4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.(1)若∠DEC=25°,求∠B的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.5.我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这个定理的逆命题也是真命题.(1)请你写出这个定理的逆命题是;(2)下面我们来证明这个逆命题:已知:如图,CD是△ABC的中线,CD=AB.求证:△ABC为直角三角形.请你写出证明过程:6.如图在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是AD,BC,AB,CD上的点,连接EF,GH.①若EF⊥GH,则必有EF=GH.②若EF=GH,则必有EF⊥GH.判断上述两个命题是否成立,若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.7.在△AOB中,∠AOB=90°,点C为直线AO上的一个动点(与点O,A不重合),分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E.(1)若点C在线段AO上,如图1.①依题意补全图1;②求∠BEC的度数;(2)当点C在直线AO上运动时,∠BEC的度数是否变化?若不变,请说明理由;若变化,画出相应的图形,并直接写出∠BEC的度数.8.已知△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G.(1)如图1,若∠ACB=90°,∠A=50°,直接求出∠G的度数;(2)如图2,若∠ACB≠90°,试判断∠G与∠A的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,若FE∥AD,求证:∠DFE=∠ABC+∠G.9.如图1,直线PQ⊥直线MN,垂足为O,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与直线PQ交于点C.(1)若∠A=∠AOC=30°,则BC BO(填“>”“=”“<”);(2)如图2,延长AB交直线MN于点E,过O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠AEO=α,求∠AOE的度数(用含α的代数式表示);(3)如图3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点R,∠A=36°,当△AOB绕O点旋转时(斜边AB与直线PQ始终相交于点C),问∠R的度数是否发生改变?若不变,求其度数;若改变,请说明理由.10.锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,点E在边AB上.①如果DE∥BC,那么DE=BC②如果DE=BC,那么DE∥BC.判断上述两个命题是否成立,若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.11.如图,在△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,在AB上取点F,过A作AB的垂线,使得AD=BF,连接BD,CD、CF,CE是∠ACB的角平分线,交BD于点M,交AB于点E.(1)若AC=6,AF=4.求BD的长:(2)求证:2CM=AF12.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,过点C作CE⊥BD,交BD的延长线于点E,∠ABC=60°,∠ECD=15°.(1)直接写出∠ADB的度数是;(2)求证:BD=AB;(3)若AB=2,求BC的长.13.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且点P不与点A,C重合,那么当点P 运动到什么位置时,才能使△ABC与△APQ全等?参考答案1.证明:(1)∵CE⊥AD,∠ACD=90°,∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°,∴∠ACE=∠D.∵∠D=∠ABC,∴∠ACE=∠ABC;(2)∵∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,∴∠ACB=∠DAC,∴AD∥BC,∵CE⊥AD,∴CE⊥BC,∴∠BEC+∠EBC=90°,∵∠D+∠ECD=90°,∠D=∠ABC,∴∠ABC+∠ECD=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD=90°,∴2∠EBC+∠ECD=∠BEC+∠EBC,即∠EBC+∠ECD=∠BEC;(3)∵∠ABF+∠AFB=90°,∠AFB=∠CFE,∴∠ABF+∠CFE=90°,∵∠CBE+∠CEF=90°,∠ABF=∠CAE,∴∠CEF=CFE.2.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=36°,∴∠ABC=90°﹣∠A=54°,∴∠CBD=126°.∵BE是∠CBD的平分线,∴∠CBE=∠CBD=63°;(2)∵∠ACB=90°,∠CBE=63°,∴∠CEB=90°﹣63°=27°.又∵∠F=27°,∴∠F=∠CEB=27°,∴DF∥BE3.解:(1)∵CD⊥AB,∠A=60°,∴∠ADC=90°,∠ACD=30°,∵CF平分∠ACB,∠ACB=90°,∴∠ACE=∠FCB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=45°﹣30°=15°,∵∠ABG=∠A+∠ACB=150°,∵BF平分∠ABG,∴∠FBG=∠ABG=75°,∵∠FBG=∠F+∠FCB,∴∠F=75°﹣45°=30°.(2)∵CD⊥AB,∠A=n°,∴∠ADC=90°,∠ACD=90°﹣n°,∵CF平分∠ACB,∠ACB=90°,∴∠ACE=∠FCB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=45°﹣90°+n°=n°﹣45°,∵∠ABG=∠A+∠ACB=90°+n°,∵BF平分∠ABG,∴∠FBG=∠ABG=45°+n°∵∠FBG=∠F+∠FCB,∴∠F=n°.(3)如图,∵FH⊥CG,∴∠FHC=90°,∵∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°∴∠A=∠DCB=n°,∵CQ平分∠DCB,∴∠QCH=n°,∴∠CQH=90°﹣n°.4.解:(1)∵∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=25°,∴∠BDE=50°,又∵DE⊥AB,∴Rt△BDE中,∠B=90°﹣∠BDE=90°﹣50°=40°;(2)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB,又∵DE=DC,AD=AD,∴△AED≌△ACD(HL),∴AE=AC,∴点D在CE的垂直平分线上,点A在CE的垂直平分线上,∴直线AD是线段CE的垂直平分线.5.解:(1)∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,∴它逆命题是:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,故答案为:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形;(2)∵CD是△ABC的中线∴AD=BD=AB,∵CD=AB,∴AD=CD=BD,∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCB,在△ABC中,∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°∴∠A+∠B+∠A+∠B=180°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°,∴△ABC为直角三角形.6.解:①成立,②不成立;理由如下:①作GM⊥CD于M,FN⊥AD于N,如图1所示:则∠GMH=∠FNE=90°,GM⊥FN,GM=AD,FN=AB,∴∠OGQ+∠OQG=90°,∵EF⊥GH,∴∠PFQ+∠PQF=90°,∵∠OQG=∠PQF,∴∠OGQ=∠PFQ,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∴FN=GM,在△EFN和△HGM中,,∴△EFN≌△HGM(ASA),∴EF=GH;②作GM⊥CD于M,FN⊥AD于N,如图2所示:则∠GMH=∠FNE=90°,GM⊥FN,GM=AD,FN=AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∴FN=GM,在Rt△EFN和Rt△HGM中,,∴Rt△EFN≌Rt△HGM(HL),∴∠OGQ=∠PFQ,∵∠OGQ+∠OQG=90°,∠OQG=∠PQF,∴∠PQF+∠PFQ=90°,∴∠FPQ=90°,∴EF⊥GH;作GH关于GM的对称线段GH',则GH'=GH=EF,显然EF与GH'不垂直;综上所述,若EF=GH,则必有EF⊥GH.不成立.7.解:(1)①图形如图所示.②设∠EBO=∠EBC=x,∠OCE=∠ECK=y.则有:,可得∠E=×90°=45°.(2)如图,当点C在OA的延长线上时,结论∠BEC=135°.理由:∵∠AOB=90°,∴∠OBC+∠OCB=90°,∵∠EBC=∠OBC,∠ECB=∠OCB,∴∠EBC+∠ECB=×90°=45°,∴∠BEC=180°﹣45°=135°.如图当点C在AO的延长线上时,同法可证:∠BEC=135°.8.解:(1)如图1,∵∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠ABC=40°,∵BG平分∠ABC,∴∠CBG=20°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD=90°,∵DG平分∠ADE,∴∠CDF=45°,∴∠CFD=45°,∴∠BFD=180°﹣45°=135°,∴∠G=180°﹣20°﹣135°=25°;(2)如图2,∠A=2∠G,理由是:由(1)知:∠ABC=2∠FBG,∠CDF=∠CFD,设∠ABG=x,∠CDF=y,∵∠ACB=∠DCF,∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD,即∠A+2x=2y,∴y=,同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF,∴∠A+x=∠G+y,即∠A+x=∠G++x,∴∠A=2∠G;(3)如图3,∵EF∥AD,∴∠DFE=∠CDF,由(2)得:∠CFD=∠CDF,△FBG中,∠G+∠FBG+∠BFG=180°,∠BFG+∠DFC=180°,∴∠DFC=∠G+∠FBG,∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=+∠G.9.解:(1)∵△AOB是直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°,∵∠A=∠AOC=30°,∴∠B=∠BOC=60°∴△BOC是等边三角形,∴BC=BO故答案为:=;(2)∵OD⊥AB,∠AEO=α,∴∠DOE=90°﹣α,∵∠DOB=∠BOE,∴∠BOE==(90°﹣α)=45°﹣α,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°﹣=135°﹣;(3)∠R的度数不变,∠R=27°.理由如下:设∠AOM=β,则∠AOC=90°﹣β,∵OF平分∠AOM,∴∠FOM=∠RON=,∴∠COR=∠CON+∠RON=90°+,∵∠OCB=∠A+∠AOC=36°+90°﹣β=126°﹣β,∵CR平分∠BCO,∴∠OCR==63°﹣,∴∠R=180°﹣(∠OCR+∠COR)=180°﹣63°+﹣90°﹣=27°,∴∠R的度数不变,∠R=27°.10.解:①∵锐角三角形ABC中,AC>BC,点D是边AC的中点,DE∥BC,∴AE=EB,即DE是△ABC的中位线,∴DE=BC故①正确;②令E为AB中点,可以在AB上取到一点F,使DF=DE,但DF与BC不平行.故②错误.11.解:(1)∵AC=CB=6,∠ACB=90°,∴AB=12∵AF=4,∴BF=AB﹣AF=12﹣4=8,∴AD=BF=8,在Rt△ADB中,BD==4;(2)∵AC=CB,∠ACB=90°,CE平分∠ACB,∴AE=BE=CE=AB,CE⊥AB,∵∠DAB=∠MEB=90°,∠DBA=∠MBE,∴△MBE∽△DBA,∴==,∴ME=AD,∴ME=BF,∵CE=AB,∴CM+ME=(BF+AF),∴CM+BF=BF+AF,∴CM=AF,即AF=2CM.12.解:(1)∵CE⊥BE,∴∠E=90°,∵∠ECD=15°,∴∠ADB=∠CDE=90°﹣15°=75°故答案为75°.(2)证明:∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵∠ADB=75°,∴∠A=75°,∴∠A=∠ADB,∴AB=DB.(3)过点D作DF⊥BC,交BC于F点.∵DF⊥BC,∴∠DFB=∠DFC=90°,∵∠DBF=30°,∴DF=BD,∵BD=AB=2,∴DF=1,∴FB=,∵CE⊥BE,∴∠E=90°,∵∠DBC=30°,∴∠ECB=60°,∵∠ECD=15°,∴∠DCB=45°,∴∠DCF=∠FDC=45°,∴FD=FC=1,∴BC=.13.解:根据三角形全等的判定方法HL可知:①当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°,在Rt△ABC与Rt△QPA中,,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=10;②当P运动到与C点重合时,AP=AC,不合题意.综上所述,当点P运动到距离点A为10时,△ABC与△APQ全等.。
2022年最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测试练习题(含详解)
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题测试考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、下列命题是真命题的是()A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B.一个三角形被截成两个三角形,每个三角形的内角和是90度C.有两个角是60°的三角形是等边三角形D.在△ABC中,2∠=∠=∠,则ABC为直角三角形A B C2、下列说法正确的是()A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形的周长和面积分别相等C.所有的直角三角形都是全等三角形D.所有的等边三角形都是全等三角形3、下列命题成立的有()个.①等腰三角形两腰上的中线相等;②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等;③三角形纸片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E 处,折痕为BD.则△AED的周长为7cm;④AD是△ABC的角平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC.A .1B .2C .3D .44、如图,在△AAA 中,AD 是角平分线,且AD AC =,若60BAC ∠=︒,则B 的度数是( )A .45°B .50°C .52°D .58°5、如图,Rt△ABC 中,∠C =90°,利用尺规在BC ,BA 上分别截取BE ,BD ,使BE =BD ;分别以D ,E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在∠CBA 内交于点F ;作射线BF 交AC 于点G .若CG =1,P 为AB 上一动点,则GP 的最小值为( )A .无法确定B .12C .1D .26、如图,在△ABC 中,AB =AC =6cm ,AD ,CE 是△ABC 的两条中线,CE =4cm ,P 是AD 上的一个动点,则BP +EP 的最小值是( )A .3cmB .4cmC .6cmD .10cm7、下列各组数据中,能构成直角三角形的三边的长的一组是( )A .1,2,3B .4,5,6C .5,12,13D .13,14,158、下列以a ,b ,c 为边的三角形不是直角三角形的是( )A .a =1,b =1,c =√2B .a =2,b =3,c =√13C .a =3,b =5,c =7D .a =6,b =8,c =109、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =12,AB =13,AB 边的垂直平分线分别交AB 、AC 于N 、M 两点,则△BCM 的周长为( )A .18B .16C .17D .无法确定10、如图,等腰△AAA 中,AB AC =,120BAC ∠=︒,AD DC ⊥于D ,点O 是线段AD 上一点,点P 是BA 延长线上一点,若OP OC =,则下列结论:①30APO DCO ∠+∠=︒;②APO DCO ∠=∠;③POC △是等边三角形;④AB OA AP =+.其中正确的是( )A .①③④B .①②③C .②③④D .①②③④第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,上午9时,一艘船从小岛A 处出发,以12海里/时的速度向正北方向航行,10时40分到达小岛B 处,若从灯塔C 处分别测得小岛A 、B 在南偏东34°、68°方向,则小岛B 处到灯塔C 的距离是______海里.2、如图,已知△ABC 是等边三角形,边长为3,G 是三角形的重心,那么GA =______.3、等腰△AAA 的顶角为30°,腰长为8,则△AAA 的面积为______.4、如图,△AAA 是等腰直角三角形,AB 是斜边,以BC 为一边在右侧作等边三角形BCD ,连接AD 与BC 交于点E ,则BED ∠的度数为______度.5、如图,在△AAA 中,AB AC =,70BAC ∠=︒,BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将∠的度数为________.∠沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则OECC三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图所示,校园里有两条路AA,AA,在交叉口附近有两块宣传牌A,A,学校准备在这里(∠AAA内部)安装一盏路灯,要求灯柱A离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮助画出灯柱的位置A.(不写过程,保留作图痕迹)2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,△ACD是等边三角形,E为△ABC内一点,AC=CE,∠BAE=15°,AD与CE相交于点F.(1)求∠DFE的度数;(2)求证:AE=BE.3、如图,在△ABC中, AB=AC,AD是△ABC的中线,BE平分∠ABC交AD于点E,连接EC.求证:CE平分∠ACB.4、在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴上,点B在x轴上.(1)在线段OA上找一点P,使得PA2-PO2=OB2,用直尺和圆规找出点P;(2)若A的坐标(0,6),点B的坐标(3,0),求点P的坐标.5、数学课上,王老师布置如下任务:如图,已知∠MAN<45°,点B是射线AM上的一个定点,在射线AN上求作点C,使∠ACB=2∠A.下面是小路设计的尺规作图过程.作法:①作线段AB的垂直平分线l,直线l交射线AN于点D;②以点B为圆心,BD长为半径作弧,交射线AN于另一点C,则点C即为所求.根据小路设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明:证明:连接BD,BC,∵直线l为线段AB的垂直平分线,∴DA=,( )(填推理的依据)∴∠A=∠ABD,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.∵BC=BD,∴∠ACB=∠,( )(填推理的依据)∴∠ACB=2∠A.-参考答案-一、单选题1、C【分析】分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定,直角三角形的判定即可判断.【详解】A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合,即三线合一,故此选项错误;B.三角形的内角和为180°,故此选项错误;C.有两个角是60°,则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒,所以三角形是等边三角形,故此选项正确;D.设C x ∠=,则2A B x ∠=∠=,故22180x x x ++=︒,解得36x =︒,所以72A B ∠=∠=︒,36C ∠=︒,此三角形不是直角三角形,故此选项错误.故选:C .【点睛】本题考查等腰三角形的性质,直角三角形的定义以及三角形内角和,掌握相关概念是解题的关键.2、B【分析】根据全等三角形的性质,等边三角形的性质判断即可.【详解】解:A 、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形,该选项错误;B 、全等三角形的周长和面积分别相等,该选项正确;C 、所有的直角三角形不一定都是全等三角形,该选项错误;D 、所有的等边三角形不一定都是全等三角形,该选项错误;故选:B .【点睛】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等形的概念,全等三角形的性质是解题的关键.3、C【分析】利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:①等腰三角形两腰上的中线相等,故原命题正确;②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形不一定全等,故原命题错误;③三角形纸片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD.如图:由折叠知:BC=BE=6,CD=DE,则△AED的周长为AD+DE+AE=AD+CD+AB-BE= AC+AB-BC=7cm,故原命题正确;④AD是△ABC的角平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC,故原命题正确,成立的有3个,故选:C.【点睛】要题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质,难度不大.4、A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA,再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可.【详解】解:∵AD是角平分线,60∠=︒,BAC∴∠DCA=12BAC=30°,∵AD=AC,∴∠C=(180°-∠DCA)÷2=75°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-75°=45°,故选:A.【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键.5、C【分析】如图,过点G作GH⊥AB于H.根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1,利用垂线段最短即可解决问题.【详解】解:如图,过点G作GH⊥AB于H.由作图可知,GB平分∠ABC,∵GH⊥BA,GC⊥BC,∴GH=GC=1,根据垂线段最短可知,GP的最小值为1,故选:C.【点睛】本题考查了垂线段最短,角平分线的性质定理,尺规作图作角平分线,掌握角平分线的性质是解题的关键.6、B【分析】连接CE交AD于点P,则BP+EP的最小值为CE的长.【详解】如图,连接CE交AD于点P,∵AB=AC,AD是BC的中线,∴AD⊥BC,∴BP=CP,∴BP+EP=CP+EP≥CE,∴BP+EP的最小值为CE的长,∵CE=4cm,∴BP+EP的最小值为4cm,故选:B.【点睛】本题是典型的将军饮马问题,考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识,关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值,从而根据两点间线段最短解决最小值的问题.7、C【分析】先计算两条小的边的平方和,再计算最长边的平方,根据勾股定理的逆定理判断解题.【详解】解:A.2221+23≠,不是直角三角形,故A 不符合题意;B. 2224+56≠,不是直角三角形,故B 不符合题意;C. 2225+12=13,是直角三角形,故C 不符合题意;D. 22213+1415≠,不是直角三角形,故D 不符合题意,故选:C .【点睛】本题考查勾股定理的逆定理,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.8、C【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,这个就是直角三角形.【详解】解:A 、22211+=,该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意;B 、22223+=,该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意;C 、222357+≠,该三角形不是直角三角形,故此选项符合题意;D 、2226810+=,该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意;故选:C .【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.9、C【分析】根据勾股定理求出BC的长,根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA,根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,∴由勾股定理得,5BC=,∵MN是AB的垂直平分线,∴MB=MA,∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17,故选C.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,勾股定理,熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键.10、A【分析】①利用等边对等角得:∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD,据此即可求解;②因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是∠ABD的角平分线,可作判断;③证明∠POC=60°且OP=OC,即可证得△OPC是等边三角形;④证明△OPA≌△CPE,则AO=CE,得AC=AE+CE=AO+AP.【详解】解:①如图1,连接OB,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°,∴OB=OC,∠ABC=90°﹣∠BAD=30°∵OP=OC,∴OB=OC=OP,∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°,故①正确;②由①知:∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∵点O是线段AD上一点,∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,故②不正确;③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∴∠APC+∠DCP=150°,∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠OCP=120°,∴∠POC=180°﹣(∠OPC+∠OCP)=60°,∵OP=OC,∴△OPC 是等边三角形,故③正确;④如图2,在AC 上截取AE =PA ,∵∠PAE =180°﹣∠BAC =60°,∴△APE 是等边三角形,∴∠PEA =∠APE =60°,PE =PA ,∴∠APO +∠OPE =60°,∵∠OPE +∠CPE =∠CPO =60°,∴∠APO =∠CPE ,∵OP =CP ,在△OPA 和△CPE 中,PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△OPA ≌△CPE (SAS ),∴AO =CE ,∴AC =AE +CE =AO +AP ,∴AB =AO +AP ,故④正确;正确的结论有:①③④,故选:A.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,正确作出辅助线是解决问题的关键.二、填空题1、20【分析】根据所给的角的度数,容易证得BCA∆是等腰三角形,而AB的长易求,所以根据等腰三角形的性质,BC的值也可以求出.【详解】解:据题意得,34∠=︒,DBC∠=︒,68A∠=∠+∠,DBC A C∴∠=∠=︒,34A C∴=,AB BC51220AB=⨯=,3∴=(海里).BC20故答案是:20.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题,解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形,要学会把实际问题转化为数学问题,用数学知识进行解决实际问题的方法.2【分析】延长AG 交BC 于D ,根据重心的概念得到AD ⊥BC ,BD =DC =12BC =32,根据勾股定理求出AD ,根据重心的概念计算即可.【详解】解:延长AG 交BC 于D ,∵G 是三角形的重心,∴AD ⊥BC ,BD =DC =12BC =32,由勾股定理得,AD =,∴GA =23AD 故答案为:3.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念,三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.3、16【分析】过点B 作BD ⊥AC ,利用30°所对的直角边是斜边的一半,可求出BD ,然后求面积即可.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥AC ,∵∠A =30°,AB =AC =8,∴BD =12AB =4,∴S △ABC =12BD ·AC =16故答案为:16.【点睛】此题考查的是直角三角形的性质:30°所对的直角边是斜边的一半和面积的求法,掌握构造辅助线的方法是解决此题的关键.4、75【分析】由题意,ACD △是等腰三角形,然后求出CAE ∠的度数,再根据三角形的外角性质,即可求出BED ∠的度数.【详解】解:∵ABC 是等腰直角三角形,∴AC =BC ,∠ABC =∠BAC =45°,∠ACB =90°,∵△BCD 是等边三角形,∴BC =CD ,∠BCD =60°,∴AC =CD ,∠ACD =90°+60°=150°,∴ACD △是等腰三角形, ∴1(180150)152CAE CDE ∠=∠=⨯︒-︒=︒,∴451530BAE ∠=︒-︒=︒,∴304575BED BAE ABE ∠=∠+∠=︒+︒=︒;故答案为:75.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的外角性质,三角形的内角和定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确的求出15CAE CDE ∠=∠=︒.5、140°【分析】连接OB 、OC ,根据角平分线的定义求出∠BAO ,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA =OB ,根据等边对等角可得∠ABO =∠BAO ,再求出∠OBC ,然后判断出点O 是△ABC 的外心,根据三角形外心的性质可得OB =OC ,再根据等边对等角求出∠OCB =∠OBC ,根据翻折的性质可得OE =CE ,然后根据等边对等角求出∠COE ,再利用三角形的内角和定理列式计算即可.【详解】解:如图:连接OB 、OC ,∵∠BAC =70°,AO 为∠BAC 的平分线,∴∠BAO =12∠BAC =12×70°=35°,又∵AB =AC ,∴∠ABC =12(180°−∠BAC )=12(180°−70°)=55°,∵DO 是AB 的垂直平分线,∴OA =OB ,∴∠ABO =∠BAO =35°,∴∠OBC =∠ABC −∠ABO =55°−35°=20°,∵AO 为∠BAC 的平分线,AB =AC ,∴OB =OC ,∴点O在BC的垂直平分线上,又∵DO是AB的垂直平分线,∴点O是△ABC的外心,∴∠OCB=∠OBC=20°,∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,∴OE=CE,∴∠COE=∠OCB=20°,在△OCE中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−20°−20°=140°,故答案为:140°.【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键.三、解答题1、见详解【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线,它们的交点即为点P.【详解】解:连结CD,作CD的垂直平分线,和∠AOB的平分线,两线交于P,如图,点P为所作.【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图,熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键.2、(1)∠DFE=90°;(2)见解析【分析】(1)先求得∠BAD=30°,∠BAE=∠EAD=15°,即可求得∠EAC=75°,由AC=CE,可求得∠EAC=∠AEC=75°,即可求得∠DFE=90°;(2)在Rt△AFC中,求得∠FCA=30°,AC=2AF=AB,过点E作EG⊥AB于点G,求得AG=AF,得到BG=AG,即可得到△ABF为等腰三角形,即可证明AE=BE.【详解】解:(1)∵△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD=90°-60°=30°,∵∠BAE=15°,∴∠BAE=∠EAD=15°,∴∠EAC=90°-15°=75°,∵AC=CE,∴∠EAC=∠AEC=75°,∴∠DFE=∠EAD+∠AEC=15°+75°=90°;(2)由(1)得∠DFE=90°,即∠AFC=∠AFE=90°,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,AB=AC,∴∠FCA=30°,∴AC =2AF ,即AB =2AF ,过点E 作EG ⊥AB 于点G ,∵∠BAE =∠EAD =15°,且∠EFA =90°,EG ⊥AB ,∴EG =EF ,又AE = AE ,∴Rt △EAG ≌Rt △EAF (HL ),∴AG =AF ,∴AB =2AG ,∴BG =AG ,又EG ⊥AB ,∴△ABF 为等腰三角形,∴AE =BE .【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.3、见解析【分析】根据等腰三角形的性质,可得∠ADB =∠ADC =90°,∠ABC =∠ACB ,BD =CD ,从而得到△BDE ≌△CDE ,进而得到∠DCE =∠DBE ,再由BE 平分∠ABC ,可得12DBE ABC ∠=∠ ,进而得到12DCE ACB ∠=∠,即可求证.【详解】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠ABC=∠ACB,BD=CD,∵DE=DE,∴△BDE≌△CDE,∴∠DCE=∠DBE,∵BE平分∠ABC,∴12DBE ABC∠=∠,∴12DCE ABC ∠=∠,∴12DCE ACB ∠=∠,∴CE平分∠ACB.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握等腰三角形的两底角相等,等腰三角形“三线合一”是解题的关键.4、(1)见解析;(2)(0,94)【分析】(1)连接AB,作AB的垂直平分线交OA于点P,连接PB,可得PA=PB,根据勾股定理可得PA2-PO2=OB2即可;(2)根据A的坐标(0,6),点B的坐标(3,0),可得OA=6,OB=3,所以PA=PB=OA-OP=6-OP,根据勾股定理可得PB2-OP2=OB2,进而可得OP的长,得点P的坐标.【详解】解:(1)如图,点P即为所求;(2)∵A的坐标(0,6),点B的坐标(3,0),∴OA=6,OB=3,∴PA=PB=OA-OP=6-OP,∵PB2-OP2=OB2,∴(6-OP)2-OP2=32,解得OP=94,∴点P的坐标为(0,94).【点睛】本题考查了作图-复杂作图,坐标与图形性质,勾股定理,解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.5、(1)见解析;(2)DB;线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;BDC;等边对等角.【分析】(1)根据题目中的小路的尺规作图过程,直接作图即可.(2)根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可.【详解】解:(1) 根据题目中的小路的设计步骤,补全的图形如图所示;(2)解:证明:连接BD,BC,∵直线l为线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)(填推理的依据)∴∠A=∠ABD,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.∵BC=BD,∴∠ACB=∠BDC ,(等边对等角)(填推理的依据)∴∠ACB=2∠A.【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质,熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质,是解决该题的关键.。
最新北师大版八年级数学下册第一章测试题及答案
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北师八(下)第一章有理数1.1-1.3水平测试题河北饶阳县第二中学 郭杏好 053900一、选择题(每题3分,共24分)1.绝对值小于3的非负整数有( )A .1,2B .0,1C .0,1,2D .0,1,2,32.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A .b -a >0B .ab >0C .c -b <c -aD .ab 11 3.下列判断中,正确的个数为( )①若-a >b >0,则ab <0②若ab >0,则a >0,b >0③若a >b ,c ≠0,则ac >bc④若a >b ,c ≠0,则ac 2>bc 2⑤若a >b ,c ≠0,则-a -c <-b -cA .2B .3C .4D .54.不等式-4≤x <2的所有整数解的和是( )A .-4B .-6C .-8D .-95.若不等式(a +1)x <a +1的解集为x <1,那么a 必须满足( )A .a <0B .a ≤-1C .a >-1D .a <-16.已知ax <2a (a ≠0)是关于x 的不等式,那么它的解集是( )A .x <2B .x >-2C .当a >0时,x <2D .当a >0时,x <2;当a <0时,x >27.不等式3(x -2)≤x +4的非负整数解有几个( )A .4B .5C .6D .无数个8.下列说法错误的是( )A .-3x >9的解集为x <-3B .不等式2x >-1的整数解有无数多个C .-2是不等式3x <-4的解D .不等式x >-5的负整数解有无数多个二、填空题(每题3分,共24分)9.已知a >0,b <0,且a +b <0,将a ,-b ,-|a |,-|b |用“<”号按从小到大的顺序连接起来是 .10.已知|x -5|=5-x ,则x 的取值范围是 .11.若a <b ,则-3a +1________-3b +1.12.若a >b ,c ≤0,则ac ________bc .13.若ba b a --||=-1,则a -b ________0. 14.大于________的每一个数都是不等式5x >15的解. 15.如果不等式(a -3)x <b 的解集是x <3-a b ,那么a 的取值范围是________. 16.方程x +2m =4(x +m )+1的解为非负数,则m 的取值应为________.三、解答题(3小题,共30分)17、(10分)已知不等式2x -1>x 与ax -6>5x 同解,试求a 的值. 18、(10分)爱心援助:小明和小刚在学习时,遇到以下两题,被难住了,请你伸出援助之手……(1)不等式a (x -1)>x +1-2a 的解集是x <-1,请确定a 是怎样的值.(2)如果不等式4x -3a >-1与不等式2(x -1)+3>5的解集相同,请确定a 的值.19. (10分)已知方程组⎩⎨⎧-=+=-k y x k y x 5132的解x 与y 的和为负数,求k 的取值范围. 四、综合探索题:(22分)20、(10分)小宁一家10点10分离家赶11点整的火车去某地旅游,他们家离火车站10千米.他们先以3千米/时的速度走了5分钟到达汽车站,然后乘公共汽车去火车站.公共汽车每小时至少走多少千米他们才能不误当次火车?21、(12分)某校校长带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说:如果买一张全票则其余学生可享受半价优惠.乙旅行社说:包括校长在内全部按票价的6折优惠(即按全价的60%收费).已知全票价为240元.(1)设学生人数为x ,甲、乙旅行社收费分别用y 甲、y 乙表示,分别写出y 甲、y 乙与x 的函数关系式.(2)当学生是多少时,两家旅行社收费相同?(3)当x >4时,选择哪家旅行社较合算?五、备选题:22. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成任务,以后几天平均每天至少要完成多少土方?23. 不等式的解集中是否一定有无限多个数?不等式|x|≤0、x2<0的解集是什么?不等式x2>0和x2+4>0的解集分别又是什么?24.请写出满足下列条件的一个不等式(1)0是这个不等式的一个解.(2)-2,-1,0,1都是不等式的解.(3)0不是这个不等式的解.(4)与x ≤-1的解集相同的不等式.(5)不等式的整数解只有-1,0,1,2.参考答案:一、1.C 2.D 3.B 4.D(提示:满足-4≤x <2的整数解有-4,-3,-2,-1,0,1,切勿漏解或多解 5.C 6.D(提示:因a 的符号未知,因此应用不等式的哪条性质不定,故需分类讨论) 7. C(提示:非负整数包括正整数和零) 8. D(提示:x >-5的负整数解有-4,-3,-2,-1)二、9.-|b |<-|a |<a <-b 10.x ≤5 11.> 12.≤(提示:勿丢c=0) 13.<(提示:由于a-b 在分母上,故a-b ≠0) 14.3 15.a >3(提示:因为在解的过程中不等号的方向没变,由不等式的性质2可知,a-3>0,故a>3) 16.m ≤-21 三、17、218、(1)解:不等式a (x -1)>x +1-2a 可变形为ax -a >x +1-2a (a -1)x >1-a∵ 原不等式的解集为x <-1 ∴ a -1<0,即a <1(2)解:解2(x -1)+3>5得:x >2解不等式4x -3a >-1得:x >413-a ∵ 以上两个不等式的解集相同∴413-a =2,解得a =3 19. k >31(提示:注意观察方程组的结构特点,让两个方程巧相加,可使运算简便) 20.设公共汽车速度为x 千米/时 根据题意得:3×6045605+x ≥10 解得:x ≥13,所以公共汽车每小时至少行13千米.21.解:(1)y 甲=240+240x ·50%,即y 甲=240+120xy 乙=240(x +1)·60%,即y 乙=144x +144(2)若y 甲=y 乙,则240+120x =144x +144解得:x =4(3)y 甲-y 乙=240+120x -(144x +144)=-24x +96当x >4时,-24x +96<0,即y 甲<y 乙这时选择甲旅行社较合算22. 8023.不等式的解集中不一定有无数多个数.|x|≤0的解集是x =0,x2<0无解.x2>0的解集为x >0或x <0,x2+4>0的解集为一切实数.24. (1)x >-1(或x ≥0,x >-2等都可以)(2)x <2(或x ≤1,x ≥-2,x >-5等均可)(3)x >1(或x <-1等均可=(4)2x ≤-2(或x +1≤0,2x +2≤0等均可)(5)-1≤x ≤2(或-1.5<x <2.1等)。
新北师大版八年级数学下册各章测试题附答案(全册)
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第一章《三角形的证明》水平测试一、精心选一选,慧眼识金(每小题2分,共20分)1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带()去配. A. ① B. ②C.③D. ①和②2.下列说法中,正确的是().A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等D .面积相等的两个三角形全等3.如图2,AB ⊥CD ,△ABD 、△BCE 都是等腰三角形,如果CD =8cm ,BE=3cm ,那么AC长为().A .4cmB .5cmC .8cmD .34cm4.如图3,在等边ABC 中,,D E 分别是,BC AC 上的点,且BD CE ,AD 与BE 相交于点P ,则12的度数是(). A .045B .055C .060D .0755.如图4,在ABC 中,AB=AC ,36A ,BD 和CE 分别是ABC 和ACB 的平分线,且相交于点P. 在图4中,等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为().A .9个B .8个C .7个D .6个6.如图5,123,,l l l 表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有().A .1处B .2处C .3处D .4处7.如图6,A 、C 、E 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是等边三角形,AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ,有如下结论:①△ACE ≌△DCB ;②CM =CN ;③AC =DN. 其中,正确结论的个数是().A .3个B .2个C .1个D .0个8.要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C ,D ,使CD=BC ,再作出BF 的垂线DE ,使A ,C ,E 在同一条直线上(如图7),可以证明ABC ≌EDC ,得ED=AB. 因此,测得DE 的长就是AB 的长,在这里判定ABC ≌EDC 的条件是().A .ASAB .SASC .SSSD .HL9.如图8,将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折,点C 落在点E 的位置,BE 交AD 于点F. 求证:重叠部分(即BDF )是等腰三角形.证明:∵四边形ABCD 是长方形,∴AD ∥BC又∵BDE 与BDC 关于BD 对称,∴23. ∴BDF 是等腰三角形.请思考:以上证明过程中,涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项?().①12;②13;③34;④BDC BDEA .①③B .②③C .②①D .③④10.如图9,已知线段a ,h 作等腰△ABC ,使AB =AC ,且BC =a ,BC 边上的高AD =h. 张红的作法是:(1)作线段BC =a ;(2)作线段BC 的垂直平分线MN ,MN 与BC 相交于点D ;(3)在直线MN 上截取线段h ;(4)连结AB ,AC ,则△ABC 为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,有错误的一步你认为是().A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)二、细心填一填,一锤定音(每小题2分,共20分)1.如图10,已知,在△ABC 和△DCB 中,AC=DB ,若不增加任何字母与辅助线,要使△ABC ≌△DCB ,则还需增加一个条件是____________.2.如图11,在Rt ABC 中,090,BAC ABAC ,分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ,CE ,若BD=3厘米,CE=4厘米,则DE 的长为_______.3.如图12,P ,Q 是△ABC 的边BC 上的两点,且BP =PQ =QC =AP =AQ ,则∠ABC 等于_________度.4.如图13,在等腰ABC 中,AB=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若BCE 的周长为50,则底边BC 的长为_________. 5.在ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50,则图8底角B 的大小为________.6.在《证明二》一章中,我们学习了很多定理,例如:①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;②全等三角形的对应角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中,存在逆定理的是________.(填序号)7.如图14,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm ,BC=10cm ,将△ABC 折叠,点 B与点A 重合,折痕为DE ,则CD 的长为________.8.如图15,在ABC 中,AB=AC ,120A ,D 是BC 上任意一点,分别做DE ⊥AB于E ,DF ⊥AC 于F ,如果BC=20cm ,那么DE+DF= _______cm.9.如图16,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,DE 是AB 的中垂线,垂足为D ,交BC于点E ,若4BE,则AC_______ .10.如图17,有一块边长为24m 的长方形绿地,在绿地旁边B 处有健身器材,由于居住在A 处的居民践踏了绿地,小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步,踏之何忍?”但小颖不知在“_____”处应填什么数字,请你帮助她填上好吗?(假设两步为1米)?三、耐心做一做,马到成功(本大题共48分)1.(7分)如图18,在ABC 中,090ACB,CD 是AB 边上的高,30A . 求证:AB= 4BD.2.(7分)如图19,在ABC 中,090C ,AC=BC ,AD 平分CAB 交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,若AB=6cm. 你能否求出BDE 的周长?若能,请求出;若不能,请说明理由.3.(10分)如图20,D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点,BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件:①AB =AC ;②OB =OC ;③∠ABE =∠ACD ;④BE =CD.(1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正.确.的命题:命题的条件是和,命题的结论是和(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知:求证:证明:4.(8分)如图21,在ABC 中,90A ,AB=AC ,ABC 的平分线BD 交AC 于D ,CE ⊥BD 的延长线于点 E.求证:12CEBD .5.(8分)如图22,在ABC 中,90C .(1)用圆规和直尺在AC 上作点P ,使点P 到A 、B 的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法和证明);(2)当满足(1)的点P 到AB 、BC 的距离相等时,求∠A 的度数.6.(8分)如图23,90AOB ,OM 平分AOB ,将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ,问PC 与PD 相等吗?试说明理由.四、拓广探索(本大题12分)如图24,在ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线交AB 于点N ,交BC 的延长线于点M ,若40A .(1)求NMB 的度数;(2)如果将(1)中A 的度数改为070,其余条件不变,再求NMB 的度数;(3)你发现有什么样的规律性,试证明之;(4)若将(1)中的A 改为钝角,你对这个规律性的认识是否需要加以修改?图21图24图23答案:一、精心选一选,慧眼识金1.C ;2.B ;3.D .点拨:BC=BE=3cm ,AB=BD=5cm ;4.C .点拨:利用ABD ≌BCE ;5.B ;6.D .点拨:三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件;7.B .点拨:①②正确;8.A ;9.C ;10.C .点拨:在直线MN 上截取线段h ,带有随意性,与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填,一锤定音1.答案不惟一.如ACBDBC ;2.7厘米. 点拨:利用ABD ≌CAE ;3.030;4.23.点拨:由27BE CE ACAB,可得502723BC;5.070或020.点拨;当ABC 为锐角三角形时,70B;当ABC 为钝角三角形时,20B ;6.①、③、④、⑤.点拨:三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形,所以②不存在逆定理;7.154cm . 点拨:设CDx ,则易证得10BDAD x .在Rt ACD 中,222(10)5x x ,解得154x.8.10.点拨:利用含030角的直角三角形的性质得,1122DE DFBD CDBC .9.2. 点拨:在Rt AEC 中,030AEC,由AE=BE= 4,则得AC=2;10.16.点拨:AB=26米,AC+BC=34米,故少走8米,即16步. 三、耐心做一做,马到成功1.∵90ACB ,30A ,∴AB=2BC ,60B .又∵CD ⊥AB ,∴030DCB ,∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD.2.根据题意能求出BDE 的周长. ∵090C ,90DEA,又∵AD 平分CAB ,∴DE=DC.在Rt ADC 和Rt ADE 中,DE=DC ,AD=AD ,∴Rt ADC ≌Rt ADE (HL ).∴AC=AE ,又∵AC=BC ,∴AE=BC.∴BDE 的周长DE DB EB BC EB AE EB AB .∵AB=6cm ,∴BDE 的周长=6cm.3.(1)①,③;②,④.(2)已知:D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点,BE 与CD 相交于O 点,且AB =AC ,∠ABE =∠ACD. 求证:OB =OC ,BE =CD.证明:∵AB=AC ,∠ABE =∠ACD ,∠A =∠A ,∴△ABE ≌△ACD (ASA ).∴BE=CD.又∵ABC ACB ,∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE∴BOC 是等腰三角形,∴OB =OC.4.延长CE 、BA 相交于点 F.∵090,90EBF F ACF F ,∴EBF ACF .在Rt ABD 和Rt ACF 中,∵DBA ACF ,AB=AC ,∴Rt ABD ≌Rt ACF (ASA ). ∴BD CF .在Rt BCE 和Rt BFE 中,∵BE=BE ,EBC EBF ,∴RtBCE ≌Rt BFE (ASA ).∴CEEF. ∴1122CECFBD .5.(1)图略. 点拨:作线段AB 的垂直平分线.(2)连结BP.∵点P 到AB 、BC 的距离相等,∴BP 是ABC 的平分线,∴ABPPBC .又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上,∴PA=PB ,∴A ABP .∴190303AABPPBC.6.过点P 作PE ⊥OA 于点E ,PF ⊥OB 于点 F.∵OM 平分AOB ,点P 在OM 上,∴PE=PF.又∵090AOB ,∴90EPF .∴EPF CPD ,∴E P CF P D.∴Rt PCE ≌Rt PDF (ASA ),∴PC=PD. 四、拓广探索(1)∵AB=AC ,∴BACB .∴11180180407022BA.∴90907020NMB B. (2)解法同(1).同理可得,035NMB.(3)规律:NMB 的度数等于顶角A 度数的一半.证明:设A.∵AB=AC ,∴BC ,∴11802B .∵090BNM ,∴11909018022NMB B.即NMB 的度数等于顶角A 度数的一半. (4)将(1)中的A 改为钝角,这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.全品中考网全品第二章一元一次不等式(组)检测试题一、选择题(每小题3分,共36分)1.x 与y 的差的5倍与2的和是一个非负数,可表示为()(A )025y x (B )025y x(C )025y x (D )0225y x 2.下列说法中正确的是()(A )3x 是32x 的一个解. (B )3x 是32x 的解集. (C )3x是32x 的唯一解. (D )3x不是32x 的解.3. 不等式222xx 的非负整数解的个数是()(A )1 (B )2(C )3(D )44.已知正比例函数x m y 12的图象上两点2221,,,y x B x x A ,当21x x 时,有21y y ,那么m 的取值范围是()(A )21m(B )21m(C )2m (D )m 5.不等式组2.351,062xx的解集是()(A )32x (B )38x (C )38x (D )8x或3x 6.若,0ba 且0b,则b a b a ,,,的大小关系是()(A )b a b a (B )ba ab (C )baba(D )a b ba7.已知关于x 的一次函数72m mx y在51x上的函数值总是正的,则m 的取值范围是()(A )7m (B )1m (C )71m (D )以上答案都不对8.如果方程组.33,13yxk y x 的解为x 、y ,且42k,则y x的取值范围是()(A )10yx (B )210yx (C )11yx(D )13yx9.若方程x xm x m 53113的解是负数,则的取值范围是()(A )45m(B )45m(C )45m(D )45m10.两个代数式1x 与3x的值的符号相同,则x 的取值范围是()(A )3x (B )1x (C )21x (D )1x 或3x 11.若不等式33a xa 的解集是1x ,则a 的取值范围是()(A )3a (B )3a(C )3a(D )3a 12.若4224m m ,那么m 的取值范围是()(A )不小于 2 (B )不大于 2 (C )大于 2 (D )等于 2 二、填空题(每题3分,共24分)13. 当x _____时,代数式43x 的值是非正数. 14. 若不等式.32,12bxa x 的解集为11x ,那么ab 的值等于_____. 15.若x 同时满足不等式032x 与02x,则x 的取值范围是_____.m16.已知x 关于的不等式组.0,125ax x 无解,则a 的取值范围是_____.17. 如果关于x 的不等式51a x a 和42x 的解集相同,则a 的值为_____.18. 小马用100元钱去购买笔记本和笔共30件,已知每本笔记本2元,每枝钢笔5元,那么小马最多能买_____枝钢笔.19.一个两位数,十位上的数字比个位数上的数字小2,若这个两位数处在40至60之间,那么这个两位数是_____.20. 已知四个连续自然数的和不大于34,这样的自然数组有_____组.三、解答题(每题8分,共40分)21.解不等式3225332xxx x ,并把它的解集在数轴上表示出来.22.求不等式组)2(.3212)1(,133211x xx x 的偶数解.23.已知关于y x,的方程组)2(.2)1(,32m yxm y x 的解y x,均为负数,求m 的取值范围.24. 关于y 的不等式组253,7.236y yt y t y 的整数解是3,2,1,0,1,求参数t 的取值范围.25. 甲乙两人先后去同一家商场买了一种每块0.50元的小手帕.商场规定凡购买不少于10块小手帕可优惠20%,结果甲比乙多花了4元钱,又知甲所花的钱不超过8元,在充分享受优惠的条件下,甲乙两人各买了多少块小手帕?参考答案一、选择题(每小题3分,共36分)1.解:x 与y 的差的5倍是y x 5,再与2的和是25y x ,是一个非负数为:025y x .故选(B )2.解:32x ,根据不等式基本性质2,两边都除以2,得23x.由此,可知3x 只是32x 的一个解.故选(A )3. 解:去括号,得.242x x 解得.2x 所以原不等式的非负数整数解为,2,1,0x共3个.故选(C )4.解:因为点2221,,,y x B x x A 在函数x m y 12的图象上,所以1112x m y ,2212x m y . 所以212112x x m y y . 因为当21x x 时,有21y y ,即当21x x ,021y y ,所以.012m 所以.21m故选(A )5.解: 由(1)得3x . 由(2)得8x.所以不等式组的解集是38x 故选(C )6.解:由,0b a且0b,得0a且b a.又根据不等式的性质2,得0,0ba.b ab a,.所以a b b a 故选(D )7.解:根据题意,令1x,则07my,得7m;令5x ,则077m y ,得1m .综上,得7m.故选(A )8.解:两个不等式相减后整理,得221kyx .由42k,得220k .所以10yx故选(A )9.解:方程x x m x m 53113的解为541mx,要使解为负数,必须054m ,即45m.故选(A )10.解: 因为代数式1x 与3x 的值的符号相同,可得.03,01xx 或.03,01xx 由第一个不等式组得,3x;由第二个不等式组得, 1x .故选(D )11.解:因为不等式33a x a 的解集是1x,所以03a .所以3a.故选(C )12.解:由4224m m ,得042m ,所以2m .故选(A )二、填空题(每题3分,共24分)13.解:根据题意,得043x .解得.34x14.解:由.32,12bxa x 得.23,21b xa x 所以.2123axb 又因为11x ,所以.123,121ba解得.2,1ba 所以.221ab 15.解:由032x ,得23x,由02x ,得2x .所以223x.16.解:原不等式组可化为.,3a x x 若不等式组有解,则3xa.3a.故当3a时, 不等式组无解. 所以a 的取值范围是3a . 17.解:由42x 得2x .因为不等式51a x a 和42x 的解集相同,所以不等式51a xa 的解集为.15a ax 215a a .解得7a.18.解:设小马最多能买x 枝钢笔.根据题意,得1003025x x。
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北师大版八年级下册数学第一章周测试题一.选择题(共10小题)1.(2016•贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A.12 B.16 C.20 D.16或202.(2016•枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.° C.20°D.°3.(2016•滨州)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.° D.°4.(2016•湘西州)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对5.(2016•泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°6.(2016•雅安)如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2 B.2+C.4 D.37.(2016•孝感模拟)如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°8.(2016•鞍山二模)如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110° B.120° C.130° D.140°9.(2016春•乳山市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°10.(2016•六盘水)如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则∠A n的度数为()A.B.C.D.二.填空题(共10小题)11.(2016•淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.12.(2016•通辽)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为.13.(2016•厦门校级模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为.14.(2016•哈尔滨模拟)等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为.15.(2016•红桥区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的大小为.16.(2016•哈尔滨校级模拟)已知:等腰三角形ABC的面积为30m2,AB=AC=10m,则底边BC的长度为.17.(2016•黄浦区三模)如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°,则y= .(用x的代数式表示)18.(2016•河南模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,设运动时间为t秒,当t为时,△ACP是等腰三角形.19.(2016春•东港市期末)等腰三角形两内角度数之比为1:2,则它的顶角度数为.20.(2016•河北模拟)如图,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管:EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为.三.解答题(共10小题)21.(2016•西城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.22.(2016•徐州模拟)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.23.(2016春•太仓市期末)如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.24.(2016春•埇桥区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB 的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.25.(2016春•鄄城县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD ⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.求证:△BDE是等腰三角形.26.(2016春•深圳校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:△ABC是等腰三角形.27.(2016春•吉安校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC 上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗若不成立,又存在怎样的关系28.(2015•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.29.(2015秋•当涂县期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.30.(2015秋•顺义区期末)已知:如图,△ABC中,AB=AC=6,∠A=45°,点D在AC上,点E在BD上,且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形.(1)求∠EBC的度数;(2)求BE的长.北师大版八年级下册数学第一章周测试题参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.(2016•贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()A.12 B.16 C.20 D.16或20【解答】解:①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.故此三角形的周长=8+8+4=20.故选C.2.(2016•枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.° C.20°D.°【解答】解:∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°.故选A.3.(2016•滨州)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.° D.°【解答】解:∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°,∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=(180°﹣25°)=°,∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣°=°,故选D.4.(2016•湘西州)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对【解答】解:当4cm为等腰三角形的腰时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系,∴周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,∴周长为14cm,故选C5.(2016•泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°【解答】解:∵PA=PB,∴∠A=∠B,在△AMK和△BKN中,,∴△AMK≌△BKN,∴∠AMK=∠BKN,∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN=44°,∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°,故选:D.6.(2016•雅安)如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为()A.2+2 B.2+C.4 D.3【解答】解:过A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠A=120°,∴∠B=∠C=30°,∴AB=AC=2,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=2,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2,故选:A.7.(2016•孝感模拟)如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()A.∠1=2∠2 B.3∠1﹣∠2=180°C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°【解答】解:∵∠1=∠3,∠B=∠C,∠1+∠B+∠3=180°,∴2∠1+∠C=180°,∴2∠1+∠1﹣∠2=180°,∴3∠1﹣∠2=180°.故选B.8.(2016•鞍山二模)如图在等腰△ABC中,其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC等于()A.110° B.120° C.130° D.140°【解答】解:∵∠A=40°,∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°,又∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,∴∠PBA=∠PCB,∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°,∴∠BPC=180°﹣70°=110°.故选A.9.(2016春•乳山市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°【解答】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△DBE和△ECF中,,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴∠EFC=∠DEB,∵∠A=50°,∴∠C=(180°﹣50°)÷2=65°,∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°,∴∠DEB+∠FEC=115°,∴∠DEF=180°﹣115°=65°.故选:C.10.(2016•六盘水)如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则∠A n的度数为()A.B.C.D.【解答】解:∵在△ABA1中,∠A=70°,AB=A1B,∴∠BA1A=70°,∵A1A2=A1B1,∠BA1A是△A1A2B1的外角,∴∠B1A2A1==35°;同理可得,∠B2A3A2=°,∠B3A4A3=×°=,∴∠A n﹣1A n B n﹣1=.故选:C.二.填空题(共10小题)11.(2016•淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是10 .【解答】解:因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:4+4+2=10,答:它的周长是10,故答案为:1012.(2016•通辽)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°.【解答】解:分两种情况讨论:①若∠A<90°,如图1所示:∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠ABD=48°,∴∠A=90°﹣48°=42°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣42°)=69°;②若∠A>90°,如图2所示:同①可得:∠DAB=90°﹣48°=42°,∴∠BAC=180°﹣42°=138°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣138°)=21°;综上所述:等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为:69°或21°.13.(2016•厦门校级模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为16或8 .【解答】解:∵BD是等腰△ABC的中线,可设AD=CD=x,则AB=AC=2x,又知BD将三角形周长分为15和21两部分,∴可知分为两种情况①AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此时BC=21﹣x=21﹣5=16;②AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此时等腰△ABC的三边分别为14,14,8.经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.故答案为:16或8.14.(2016•哈尔滨模拟)等腰三角形的一个内角为70°,它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°.【解答】解:在△ABC中,AB=AC,①当∠A=70°时,则∠ABC=∠C=55°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣55°=35°;②当∠C=70°时,∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣70°=20°;故答案为:35°或20°.15.(2016•红桥区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的大小为36°.【解答】解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵CD=DA,∴∠C=∠DAC,∵BA=BD,∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,故答案为:36°.16.(2016•哈尔滨校级模拟)已知:等腰三角形ABC的面积为30m2,AB=AC=10m,则底边BC的长度为2或6.【解答】解:作CD⊥AB于D,则∠ADC=∠BDC=90°,△ABC的面积=AB•CD=×10×CD=30,解得:CD=6,∴AD==8m;分两种情况:①等腰△ABC为锐角三角形时,如图1所示:BD=AB﹣AD=2m,∴BC==2;②等腰△ABC为钝角三角形时,如图2所示:BD=AB+AD=18m,∴BC==6;综上所述:BC的长为2或6.故答案为:2或6.17.(2016•黄浦区三模)如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°,则y= x或90°﹣x .(用x 的代数式表示)【解答】解:∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,∴腰上的高相等.①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时,y=x,②当两个三角形应该是锐角三角形,一个是钝角三角形时,y=90°﹣x.故答案为x或90°﹣x.18.(2016•河南模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,设运动时间为t秒,当t为3,6或或时,△ACP是等腰三角形.【解答】解:由题意可得,第一种情况:当AC=CP时,△ACP是等腰三角形,如右图1所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴CP=6cm,∴t=6÷2=3秒;第二种情况:当CP=PA时,△ACP是等腰三角形,如右图2所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴AB=10cm,∠PAC=∠PCA,∴∠PCB=∠PBC,∴PA=PC=PB=5cm,∴t=(CB+BP)÷2=(8+5)÷2=秒;第三种情况:当AC=AP时,△ACP是等腰三角形,如右图3所示,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2cm每秒的速度运动,∴AP=6cm,AB=10cm,∴t=(CB+BA﹣AP)÷2=(8+10﹣6)÷2=6秒;第四种情况:当AC=CP时,△ACP是等腰三角形,如右图4所示,作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,tan∠A==,∴,AB=10cm,设CD=4a,则AD=3a,∴(4a)2+(3a)2=62,解得,a=,∴AD=3a=,∴t==故答案为:3,6或或.19.(2016春•东港市期末)等腰三角形两内角度数之比为1:2,则它的顶角度数为36°或90°.【解答】解:在△ABC中,设∠A=x,∠B=2x,分情况讨论:当∠A=∠C为底角时,x+x+2x=180°解得,x=45°,顶角∠B=2x=90°;当∠B=∠C为底角时,2x+x+2x=180°解得,x=36°,顶角∠A=x=36°.故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°.故3答案为:36°或90°.20.(2016•河北模拟)如图,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管:EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为8 .【解答】解:∵添加的钢管长度都与OE相等,∠AOB=10°,∴∠GEF=∠FGE=20°,…从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,四个是40°,五个是50°,六个是60°,七个是70°,八个是80°,九个是90°就不存在了.所以一共有8个.故答案为8.三.解答题(共10小题)21.(2016•西城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=.求证:AB平分∠EAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴BD=BC,AD⊥BC,∵BE=BC,∴BD=BE,∵AE⊥BE,∴AB平分∠EAD.22.(2016•徐州模拟)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.【解答】证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD ∴∠D=∠C=90°,在Rt△ABD和Rt△BAC中,,∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴∠DBA=∠CAB,∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.另外一种证法:证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)∴AD=BC,在△AOD和△BOC中,∴△AOD≌△BOC(AAS),∴OA=OB,即△OAB是等腰三角形.23.(2016春•太仓市期末)如图,已知△ABC中,AB=BD=DC,∠ABC=105°,求∠A,∠C度数.【解答】解:∵AB=BD,∴∠BDA=∠A,∵BD=DC,∴∠C=∠CBD,设∠C=∠CBD=x,则∠BDA=∠A=2x,∴∠ABD=180°﹣4x,∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°,解得:x=25°,所以2x=50°,即∠A=50°,∠C=25°.24.(2016春•埇桥区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.(1)求∠NMB的度数;(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB 的度数;(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.【解答】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=70°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°;(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,∴∠ABC=∠ACB=55°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°;(3)∠NMB=∠A.理由:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=,∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A.25.(2016春•鄄城县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD ⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.求证:△BDE是等腰三角形.【解答】解:(1)∵AD平分∠BAC,DE∥AC,∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA,∵BD⊥AD,∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE,∴△BDE是等腰三角形.26.(2016春•深圳校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:△ABC是等腰三角形.【解答】证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HF),∴∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.27.(2016春•吉安校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC 上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)当D点在BC的什么位置时,DE=DF并证明.(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明:(3)若D在底边BC的延长线上,(2)中的结论还成立吗若不成立,又存在怎样的关系【解答】解:(1)当点D在BC的中点时,DE=DF,理由如下:∵D为BC中点,∴BD=CD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.(2)DE+DF=CG.证明:连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,即AB•CG=AB•DE+AC•DF,∵AB=AC,∴CG=DE+DF.(3)当点D在BC延长线上时,(1)中的结论不成立,但有DE﹣DF=CG.理由:连接AD,则S△ABD=S△ABC+S△ACD,即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC,∴DE=CG+DF,即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时,则有DE﹣DF=CG,说明方法同上.28.(2015•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,∴∠CBE=∠BAD.29.(2015秋•当涂县期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.【解答】证明:过E作EF∥AB交BC延长线于F.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵EF∥AB,∴∠F=∠B,∵∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE,∴CE=EF,∵BD=CE,∴BD=EF,在△DBG与△GEF中,,∴△DGB≌△EGF(AAS),∴GD=GE.30.(2015秋•顺义区期末)已知:如图,△ABC中,AB=AC=6,∠A=45°,点D在AC上,点E在BD上,且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形.(1)求∠EBC的度数;(2)求BE的长.【解答】解:(1)∵AB=AC=6,∠A=45°,∴∠ABC=∠ACB=°,∵△ABD是等腰三角形,AD=BD,∴∠ABD=∠A=45°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=°;(2)∵∠A=∠ABD=45°,∴∠ADB=∠CDE=90°,∵AB=6,∴BD=AB•cos45°=3,设DE=x,则CD=DE=x,∴EC==x,∵BE=EC=x,∴x+x=3,解得:x=6﹣3,∴BE=6﹣6.。