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中考数学复习动点问题中考真题

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九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝ 秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝ 时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝ ，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝ ，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝ ，32AE ＝AD －DE ＝ ，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝ ；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

中考数学复习之动点问题专项训练卷

中考数学复习之动点问题专项训练卷

中考数学复习之动点问题专项训练卷一．选择题1．如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C＝∠F＝90°，AB＝2，DE＝4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿D⇒E方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t 的大致图象为（）A．B．C．D．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）A．4B．6C．12D．144．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（点C与点A不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点，当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题5．过反比例函数图象上一点P0（1，2n）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A1，过A1作x轴的垂线交反比例函数图象于点P1，过点P1作图象的切线交x 轴于点A2，过A2作x轴的垂线交反比例函数图象于点P2，以此类推，可以找到无数个P 点．（1）当n＝5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有个；（2）当n＝2011时，属于整点的点P有个，最后一个整点P的坐标是．6．如图所示，点P（a，﹣2a）是反比例函数图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则k的值为．三．解答题7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．8．问题提出：（1）如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，连接AE，过点A作AE的垂线交CB的延长线于点F，连接EF，则∠AEF＝；问题探究：（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD．∠ABC＝∠ADC＝90°，连接BD，若BD＝m，求四边形ABCD的面积；（用含m的代数式表示）问题解决：（3）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AC与BD交于点E，且DE＝4，BE＝2，求四边形ABCD的面积．9．A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．10．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，动点C以每秒2个单位长度的速度从点B向终点O运动，过点C作∠BCD＝∠ABO，交直线AB于点D．设∠BDC＝α°，将CD绕点C顺时针旋转α°得到线段CE，连接DE．设四边形BCED与△ABO的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0，点C的运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．11．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．12．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标．13．如图甲所示，已知直线y1＝﹣x+与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线y2＝kx+3﹣2k（k≠0）与y轴相交于点C，两直线交于点P．（1）求△AOB的面积；（2）如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线DP对称，求点C的坐标；（3）当△BCP是以BC为腰的等腰三角形，求直线y2的函数解析式．14．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝20，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若△PCQ的面积为100，求DP长；（3）若BM的长为3，求DP长．。

中考动点问题经典题型归类总结附答案

中考动点问题经典题型归类总结附答案

专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π． 故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

中考数学压轴题之动点问题

中考数学压轴题之动点问题

D C BA PQ K E D C B A 中考压轴题之动点问题1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ，AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =92s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．2. （2007河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式；（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．备用图3. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；（4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．4. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________．（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．B 备用图F E DC BAF E O P D C B F E O P D C B F E O P D C B 5. （2011四川重庆）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．备用图1 备用图26. （2011山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上．直线CB 的表达式为41633y x =-+，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运动．动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）．（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时S 有最大值？并求出最大值．备用图。

(中考数学)动点问题专题训练(含答案)

(中考数学)动点问题专题训练(含答案)

中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD =　)cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。

中考数学总复习动点问题专题试题

中考数学总复习动点问题专题试题

卜人入州八九几市潮王学校中考复习之动点问题1、如图6所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北挪动，距台风中心2010里的圆形区域〔包括边界〕都属台风区．当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100里．〔1〕假设这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？假设会，试求轮船最初遇到台风的时间是；假设不会，请说明理由；〔2〕现轮船自A 处立即进步船速，向位于东偏北300方向，相距60里的D 港驶去．为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应进步多少〔进步的船速取整数，1336≈.〕？2、如图10，在菱形ABCD 中，AB ＝10，∠BAD ＝60°．点M 从点A 以每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D 挪动；设点挪动的时间是为t 秒(100≤≤t).(1)N 点为BCM 挪动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两局部，并说明理由；(2)N 点从点B (与点M 出发的时刻一样)以每秒2个单位长的速度沿着BC 边向点C 挪动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大并求出面积的最大值；(3)点N 从点B (与点M 出发的时刻一样)以每秒)2(≥a a 个单位长的速度沿着射线BC 方向〔可以超越C 点〕挪动，过点M 作MP ∥AB ，交BC 于点P .当MPN ∆≌ABC ∆时，设∆MPN 与菱形表示S 的关系式，并求当0=S 时a 的值．3、如图12，在矩形ABCD 中，AB =12厘米，BC =6厘米．点P 沿AB 边从点A 开场向点B 以2厘米D 开场向点A 以1厘米/秒的速度挪动．假设P 、Q 同时出发，用t (秒)表示挪动的时间是(0≤t ≤6),那么： （1） 当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？ （2） 求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？4、如图12，A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN ＝∠POQ ＝α〔α为锐角〕．当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合Ａ Ｂ图10BP图12A的位置开场，按逆时针方向旋转〔∠MAN 保持不变〕时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行挪动．设OM ＝x ，ON ＝y 〔y ＞x ≥0〕，△AOM 的面积为S ．假设cos α、OA 是方程2z 2－5z ＋2＝0的两个根．〔1〕当∠MAN 旋转30°〔即∠OAM ＝30°〕时，求点N 挪动的间隔； 〔2〕求证：MN ON AN ⋅=2；〔3〕求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； 〔4〕试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．5、：如图12，等边三角形ABC 的边长为6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =AE =2．假设点F 从点B 开场以每秒1个单位长的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间是为t 秒．当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ． 〔1〕设△EGA 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式；〔2〕当t 为何值时，AB ⊥GH ； 〔3〕请你证明△GFH 的面积为定值；〔4〕当t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．6、如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停顿运动．设运动时间是为t 〔秒〕． 〔1〕设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；〔2〕当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 〔3〕当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB 时，求∠BQP 的正切值；〔4〕是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由．7、如图10所示，一段的两边缘所在直线分别为AB ，PQ ，并且AB ∥PQ．建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ．小亮从成功街的A 处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．〔1〕请你在图10中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置〔用点C 标出〕；〔2〕：MN =20 m ，MD =8 m ，PN =24 m ，求〔1〕中的点C 到成功街口的间隔CM ．PONMA图12Q BFC H图12AB C DPQ 图128、如图13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿ACQ 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 停顿运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间是为t 〔秒〕．〔1〕设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； 〔2〕t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？〔3〕是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕通过观察、画图或者折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？假设存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间是段内〔0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4〕；假设不存在，请简要说明理由．9、如图16，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开场运动，当点P 与点C 重合时停顿运动，点Q 也随之停顿．设点P 、Q 运动的时间是是t 秒〔t ＞0〕． 〔1〕当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； 〔2〕当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？〔3〕设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值范围〕 〔4〕△PQE 能否成为直角三角形？假设能，写出t 的取值范围；假设不能，请说明理由．10、如图15，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停顿运动，点Q 也随之停顿．设点P ，Q 运动的时间是是t 秒〔t ＞0〕．〔1〕D ，F 两点间的间隔是；〔2〕射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两局部？假设能，求出t 的值．假设不能，说明理由； 〔3〕当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；图13PCQB图P N图10Q〔4〕连结PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值． 12、如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立即以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停顿运动，点P 也随之停顿．设点P 、Q 运动的时间是是t 秒〔t ＞0〕．〔1〕当t =2时，AP =，点Q 到AC 的间隔是；〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值范围〕〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？假设能，求t 的值．假设不能，请说明理由；〔4〕当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 13、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB ＝33，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立即以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停顿运动，点Q 也随之停顿．设点P ，Q 运动的时间是是t 秒〔t ＞0〕．〔1〕设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式〔不必写t 的取值范围〕；〔2〕当BP=1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠局部的面积；〔3〕随着时间是t 的变化，线段AD 会有一局部被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会到达最大值，请答复：该最大值能否持续一个时段？假设能，直接写出t 的取值范围；假设不能，请说明理由．14、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停顿．设运动时间是为t 秒，y=S △EPF ，那么y 与t 的函数图象大致是〔〕ACBPQED图1615、如图151-和图152-，在ABC △中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究在如图151-，AH BC ⊥于点H ，那么AH =_______，AC =_______，ABC △的面积ABC S △=___________．拓展如图152-，点D 在AC 上〔可与点A C ，重合〕，分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，〔当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0.〔1〕用含x m ，或者n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；〔2〕求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值． 〔3〕对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的间隔之和最小〔不必写出过程〕，并写出这个最小值.16、一透明的敞口正方体容器ABCD-A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在程度桌面上，容器底部的倾斜角为α〔∠CBE=α，如图1所示〕．探究 如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示． 解决问题：〔1〕CQ 与BE 的位置关系是，BQ 的长是dm ；〔2〕求液体的体积；〔参考算法：直棱柱体积V 液=底面积S △BCQ ×高AB 〕 〔3〕求α的度数．〔注：sin49°=cos41°=43，tan37°=34〕 拓展：在图1的根底上，以棱AB 为轴将容器向左或者向右旋转，但不能使液体溢出，图3或者图4是其正面示意图．假设液面与棱C ′C 或者CB 交于点P ，设PC=x ，BQ=y ．分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围． 延伸：A ．B ．C ．D ．在图4的根底上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板〔厚度忽略不计〕，得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否到达4dm3．17、某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车〔上、下车的时间是忽略不计〕，两车速度均为200米/分．探究：设行驶吋间为t分．〔1〕当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2〔米〕与t〔分〕的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；〔2〕t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间是内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2，游客甲在BC上的一点K〔不与点B，C重合〕处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．情况一：假设他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：假设他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？〔含候车时间是〕决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P 〔不与点D，A重合〕时，刚好与2号车迎面相遇．〔1〕他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：〔2〕设PA=s〔0＜s＜800〕米．假设他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？。

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。

中考数学复习专题动点综合问题含中考真题解析

中考数学复习专题动点综合问题含中考真题解析

中考数学复习专题动点综合问题含中考真题解析 The document was prepared on January 2, 2021专题36 动点综合问题解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题数图象问题2年中考【2015年题组】1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A．考点：动点问题的函数图象．2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S 随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C．D．【答案】B．【解析】试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP 的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A． B．C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．4．（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A． B． C． D．【答案】D．【解析】考点：1．动点问题的函数图象；2．压轴题；3．动点型；4．分段函数．5．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BPBQ，解y=123xx=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQBC，解y=12x3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12APBQ，解y=12（9﹣3x）x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t 的函数关系的图象是（）A． B． C．D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：43y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A ．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．8．（2015乐山）如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）A ．8B ．12C ．212D ．172【答案】C ．【解析】试题分析：∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴点C （0，1）到直线34120x y --=的距离是223041234⨯-⨯-+=165，∴圆C 上点到直线334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525⨯⨯=212，故选C ．考点：1．圆的综合题；2．最值问题；3．动点型．9．（2015庆阳）如图，定点A （﹣2，0），动点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ．【答案】（﹣1，﹣1）．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．垂线段最短；3．动点型；4．最值问题；5．综合题．10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．【答案】1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．．11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．【解析】试题分析：连接ED ，如图，∵点B 的对称点是点D ，∴DP=BP，∴ED 即为EP+BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB=60°，∴点D 的坐标为（13点C 的坐标为（33OC 的解析式为：3y x =，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED 的解析式为：(13)1y x =+-，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，∴点P 的坐标为方程组33(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：23323x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以点P 的坐标为（233，23-故答案为：（33，23-）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG＞GE ；②AE=BF；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为51-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）【答案】②④．由于OC 和OG 的长度是一定的，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，22OB BC +14+5CG 的最小值为OC ﹣51，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故答案为：②④．考点：1．四边形综合题；2．综合题；3．动点型；4．压轴题．13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．【答案】23或27或2．图（3）中，∠APB=90°，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，又∠AOC=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=2；故答案为：23或27或2．考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．直角三角形斜边上的中线；4．分类讨论；5．动点型；6．综合题；7．压轴题。

中考数学动点压轴题 (含答案)

中考数学动点压轴题 (含答案)

如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，∵点B的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=-1，∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（10，0），B（8，6），直线x=4与直线AC交于P点，与x轴交于H点；（1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；（2）求出线段PH的长度，并在直线AC上找到Q点，使得△PHQ的面积为△AOC面积的1/5，求出Q 点坐标；（3）M点是直线AC上除P点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在N点，使得△MHN为等腰直角三角形？若有，请求出M点及对应的N点的坐标，若没有，请说明理由．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD ⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．（1）若点F的坐标为（9/2，1），AF=①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0），（0，2）．（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．（1）填空：点D的坐标为（），点E的坐标为（）．（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，），D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是（）；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（）；（直接填写答案）（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，已知直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？。

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。

初三数学中考复习 动点或最值问题专题训练及答案

初三数学中考复习 动点或最值问题专题训练及答案

初三数学中考复习 动点或最值问题 专题复习训练题一、选择题1．如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 32．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53)D ．(3，2)5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝34，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A．18 cm2B．12 cm2C．9 cm2D．3 cm26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD ⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是( C )A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．8．如图，已知点A 是双曲线y ＝6x 在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x 上运动，则k 的值是9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．10．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是__6__．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B 的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC 向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为3)_____．13. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__4__．三、解答题14．如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×(－1)2＋b ×(－1)－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－258)(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎨⎧b ＝2，32a ＋b ＝－258，解得a ＝－4112，b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，0)。

中考数学备考专题复习 动点综合问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

中考数学备考专题复习 动点综合问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

动点综合问题一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•某某）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A、B、2C、D、2、（2016•某某）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC 相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A、6B、2 +1C、9D 、3、（2016•某某）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A ，B重合），作CD⊥OB 于点D，若点C，D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A、25B、18C、9D、9 4、（2016•某某）如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A、不变B、增大C、减小D、先变大再变小5、（2016•某某）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A、4.8B、56、（2016•某某）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A、1B、2C 、3D、47、（2016•某某）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A、5个B、4个C、3个D、2个8、（2016•某某）如图，正方形ABCD 的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A、B、C、D、9、（2016•某某）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M 是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B ﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P 点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A、B 、C、D、10、（2016•某某）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A 、18cm2B、12cm 2C、9cm 2D、3cm211、（2016•某某）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A、B、C、D、12、（2016•某某）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB 、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB ﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A 、B 、C、D、二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________．14、（2016•某某）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．15、（2016•某某）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M 是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________16、（2016•龙东）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．17、（2016•日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．三、综合题（共7题；共95分）18、（2016•某某）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．(1)求证：DC=DP；(2)若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．19、（2016•某某）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN 是否成立？（不需说明理由）②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由．20、（2016•某某）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．①若∠APE=∠CPE，求证：；②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．21、（2016•某某）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．(1)若BM=BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形AM的面积最小？并求出最小值．22、（2016•某某）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P 从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；(2)连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；(3)如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值X 围．23、（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；(3)设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．24、（2016•某某）如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B 、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．(1)若点E 在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值X 围．(2)当BP=2 时，试说明射线CA与⊙P是否相切．(3)连接PA，若S△APE= S△ABC，求BP的长．答案解析部分一、单选题【答案】B 【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系【解析】【解答】解:∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC= =5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O 交于点P ，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．【答案】C 【考点】切线的性质【解析】【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC 2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1= AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC 垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP 1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【答案】C 【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5 ），点E的坐标为（，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴ ．设=n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5+5n，5 ﹣5 n）．∵点C、D均在反比例函数y= 图象上，∴ ，解得：．故选C．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D 、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，∴CF∥BE，∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，∵∠ABC=90°，∴O＜α＜90°，当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．【答案】A 【考点】三角形的面积，矩形的性质【解析】【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD= S矩形ABCD=24，∴S△AOD= S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+×5×PF= （PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+OD•PF求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．【答案】C 【考点】菱形的性质，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．【答案】C 【考点】等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE= BC=4，∴AE= =3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD 长为正整数，∴点D的个数共有3个，故选：C．【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值X围，进而可得答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值X围．【答案】A 【考点】一次函数的图象，三角形的面积，与一次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y= ×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y= ×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值X围．【答案】A 【考点】函数的图象，正方形的性质【解析】【解答】解：分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD 的中心，∴AM=BM=OM= AB=2cm，∴S= AP•OM= ×t×2=t（cm2）；②当t≥4时，作OM⊥AB于M，如图2所示：S=△OAM 的面积+梯形OMBP的面积= ×2×2+ （2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t （s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB 于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm ，AM=BM=OM= AB=2cm，由三角形的面积得出S= AP•OM=t（cm2）；②当t≥4时，S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=t（cm2）；得出面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论．【答案】C 【考点】二次函数的最值，解直角三角形【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，∴ = = ，∴BC=8，由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ 的面积为S，则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm2；故选C．【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ 的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值X围．【答案】A 【考点】函数的图象【解析】【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．【答案】D 【考点】分段函数，三角形的面积，矩形的性质，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：∵AD=5，AN=3，∴DN=2，如图1，过点D作DF⊥AB，∴DF=BC=4，在RT△ADF 中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF= =3，∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s ，∴AP=3，即QP⊥AB，∴只分三种情况：①当0＜t≤2时，如图1，过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴ ，由题意得，NQ=t，MP=t，∵AM=1，AN=3，∴AQ=t+3，∴ ，∴QG= （t+3），∵AP=t+1，∴S=S△APQ = AP×QG= ×（t+1）× （t+3）= （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②当2＜t≤4时，如图2，∵AP=AM+t=1+t，∴S=S△APQ= AP×BC= （1+t）×4=2（t+1）=2t+2，当t=4时，S=8，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ=t﹣4，PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4，∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t，∴S=S△APQ= PQ×AB= ×（12﹣2t）×5=﹣5t+50，当t=5时，S=5，∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ = （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②S=S△APQ=2t+2，当t=4时，S=8，③∴S=S△APQ=﹣5t+50，当t=5时，S=5，综合以上三种情况，D正确故选D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．二、填空题【答案】10 【考点】轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= =10．故答案为10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．【答案】4 【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△AOB 中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°= ∴AQ= =2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A 时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．【答案】或【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC 于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE= BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴ = ，∴= ，∴DO′= ．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴ = ，∵EM= =13，∴DO= ，故答案为或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据= 计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得= 计算即可．本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【答案】2 【考点】圆周角定理，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴ = ，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O 作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2 ．故答案为：2 ．【分析】过A 作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知= ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【答案】【考点】切线的性质【解析】【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．直线AB的解析式为y=﹣，即3x+4y﹣12=0，∴CP= = ．∵PQ 为⊙C的切线，∴在Rt△CQ P 中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ= = ．故答案为：．【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P 、Q的位置是关键．三、综合题【答案】（1）证明：连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=C F，∴四边形OACF为菱形．【考点】垂径定理，切线的性质【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F 是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）证明：如图一中∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴ ，∴ ，∵AB=BC，∴AN=AM．（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN ．理由如图二中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴ ，∴ ∵AB=BC，∴AN=AM．②这样的点P 不存在．理由：假设PC= ，如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，CO== ＞1+ ，∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC= 的点P不存在【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用【解析】【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出= = ，由△BAP∽△BNA，推出= ，得到= ，由此即可证明．（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．【答案】（1）解：解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5（2）解：解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣5，0），C （0，﹣5）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ= •PQ•5= ×6×5=15；（3）解：①证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x ﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），∴DH=﹣x ﹣，而AH+OH=5，∴﹣x﹣x﹣=5，整理得2x 2+17x+35=0，解得x 1=﹣，x2=﹣5（舍去），∴OH= ，∴AH=5﹣= ，∵HE∥OC，∴ = = ；②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x 1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x= （x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2= ，此时P点坐标为（，﹣7﹣6 ），综上所述，满足条件的P 点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6 ）【考点】二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）设交点式为y=a （x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD 为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x ﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x ﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出= ；②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x ﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE 得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x= （x+5），然后分别解方程求出x 可得到对应P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t ，= t，∴BN=5 - t，∵BM=BN，∴2t=5 - t 解得：．（2）解：分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t= ．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：t= ．综上所述：当t= 或t= 时，△MBN与△ABC相似．（3）解：过M作MD⊥BC 于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴ ，即，解得：MD=t．设四边形AM 的面积为y ，∴y= = =．∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．此时，．【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t ，= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形AM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】（1）解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：解得，∴二次函数y=﹣x 2+bx+c的表达式为：y=﹣x 2+ x+4（2）解：如图1，当t= 时，AP=2t，∵PC∥x 轴，∴ ，∴ ，∴OD= = × = ，当y= 时，=﹣x2+ x+4，3x2﹣5x﹣8=0，x 1=﹣1，x2= ，∴C（﹣1，），由得，则PD=2，∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4（3）解：如图3，当点E 在AB上时，由（2）得OD=QM=ME= ，∴EQ= ，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴ ，∴ ，∴t= ，同理得：PD=3﹣，∴当0≤t≤ 时，S=S△PDQ = ×PD×MQ= ×（3﹣）× ，S=﹣t2+ t；当＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3﹣，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式为：y=﹣x+4，D′E的解析式为：y= x+ t，则交点N （，），∴S=S △P′D′N= ×P′D′×FN= ×（3﹣）（﹣），∴S= t2﹣t+ ．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P 和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．【答案】（1）解：∵y=ax 2﹣2ax+c 的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）解：∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，|CD|= ，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为（﹣3，0）（3）解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=有一个公共点，此时t= ，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与y= 有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与y= 有一个公共点，②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：﹣x2+2x+3=﹣2x+2t ，﹣x2+4x+3﹣2t=0，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t= ＞0，所以当t= 时，线段PQ与y= 也有一个公共点，③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与y=﹣x 2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与y= 也有一个公共点，综上所述，t的取值是≤t＜3或t= 或t≤﹣3．【考点】与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=﹣计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC ﹣PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知y= ，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6× =3 ，。

中考动点问题专项训练（含详细解析）

中考动点问题专项训练（含详细解析）

中考动点问题专项训练（含详细解析）中考动点问题专项训练（含详细解析）⼀、解答题1. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是；同时，点从点出发沿⽅向，在射线上匀速运动，速度是，过点作交于点，连接，，交于点．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形；（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为矩形⾯积的；（4）是否存在某⼀时刻，使得点在线段的垂直平分线上．2. 已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点，同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当⼀个点停⽌运动时，另⼀个点也停⽌运动，连接．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，四边形为平⾏四边形?（2）设四边形的⾯积为，试确定与的函数关系式；若存在，请说明理由，若存在，求出的（3）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使四边形值，并求出此时的距离．3. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，，在同⼀条直线上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿⽅向匀速运动，速度为；与交于点．同时，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为．过作，垂⾜为，交于，连接，，当点停⽌运动时，也停⽌运动．设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，?（2）设五边形的⾯积为，求与之间的函数关系式；若存在，求出的值；若不存在，请（3）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使五边形矩形说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某⼀时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4. 如图，在中，，，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动．与此同时，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动．过点作，交于点，连接，．当点到达中点时，点与同时停⽌运动．设运动时间为秒（）．（1）当为何值时，．（2）设的⾯积为，求出与之间的函数关系式．（3）是否存在某⼀时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．5. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿⽅向，在射线上匀速运动，速度是，连接，，与交于点，设运动时间为．（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形；（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为矩形⾯积的；（4）是否存在某⼀时刻，使得点在线段的垂直平分线上．6. 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿⽅向向点匀速运动，速度为；点由出发沿⽅向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，?（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使线段恰好把的周长和⾯积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某⼀时刻，使四边形为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．7. 已知：如图，是边长为的等边三⾓形，动点，同时从，两点出发，分别沿，⽅向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，，两点停⽌运动，设点的运动时间（），解答下列各问题：（1）经过秒时，求的⾯积．（2）当为何值时，是直⾓三⾓形?（3）是否存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆?如果存在，求出的值；不存在请说明理由．8. 已知：如图，在平⾏四边形中，，，，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为；点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂⾜是，设运动时间为．（1）当为何值时，四边形是平⾏四边形?（2）证明：在，运动的过程中，总有；（3）是否存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是平⾏四边形⾯积的⼀半?若存在，求出相应的值；若不存在，说明理由．9. 如图，在梯形中，，，，，．点从点出发沿折线⽅向向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿⽅向向点匀速运动，速度为，，同时出发，且其中任意⼀点到达终点，另⼀点也随之停⽌运动，设点，运动的时间是．（1）当点在上运动时，如图（1），，是否存在某⼀时刻，使四边形是平⾏四边形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）当点在上运动时，如图（2），设的⾯积为，试求出与的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻，使的⾯积是梯形的⾯积的?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）在（2）的条件下，设的长为，试确定与之间的关系式．10. 已知：如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停⽌移动，回答下列问题：（1）运动开始后多少时间，的⾯积等于 ?（2）设运动开始后第时，五边形的⾯积为，写出与之间的函数表达式，并指出⾃变量的取值范围；（3）为何值时，最⼩?求出的最⼩值．11. 已知：如图①，在平⾏四边形中，，．．沿的⽅向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿⽅向匀速运动，速度为，当停⽌平移时，点也停⽌运动．如图②，设运动时间为．解答下列问题：（1）当为何值时， ?（2）设的⾯积为，求与之间的函数关系式；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某⼀时刻，使四边形（4）是否存在某⼀时刻，使 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．12. 在直⾓梯形中，，是直⾓，，，点从点出发，以每秒的速度沿⽅向运动，点从点出发以每秒的速度沿线段⽅向向点运动，已知动点，同时出发，当点运动到点时，，运动停⽌，设运动时间为．（1）求长；（2）当四边形为平⾏四边形时，求的值；（3）在点，点的运动过程中，是否存在某⼀时刻，使得的⾯积为平⽅厘⽶?若存在，请求出所有满⾜条件的的值；若不存在，请说明理由．答案第⼀部分1. （1）当时，四边形是平⾏四边形，此时，四边形是平⾏四边形，则，即，解得，，即当时，四边形是平⾏四边形．（2），，，，，即，解得，，，则，四边形即与之间的函数关系式为：．（3）存在．矩形⾯积为：，由题意得，，解得，或．当或时，的⾯积为矩形⾯积的．（4）存在这样的使得点在线段的垂直平分线上．当点在线段的垂直平分线上时，，由勾股定理得，，解得，（舍去），，答：时，点在线段的垂直平分线上．2. （1），，，，，当时，四边形是平⾏四边形，，即，解得，，答：当时，四边形为平⾏四边形．（2）过点作，垂⾜为，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，，四边形（3）存在，若四边形，则，，，解得，（舍去），，则为时，四边形，当时，，，作于，则，，，则． 3. （1）若，则．所以，即，解得：．（2）由可得，，⼜，所以，所以，即，所以．，（3）假使存在，使五边形矩形，即，则矩形整理得，解得，（舍去）．．答：存在，使得五边形矩形（4）存在．易证，所以，即，所以，则，．作于点，则四边形为矩形，所以，，故：，若在的垂直平分线上，则，所以，所以，即：，整理得：，解得，（舍去）．综上，存在使点在的垂直平分线上的，此时．4. （1）过点作于点，，，，，，，，，，，解得，当为时，．（2）过点作于点，交于点．如图所⽰，，，，，，，，由，可得，即，，，四边形是矩形，，，（）．（3）存在．由题意：，解得或．秒或秒时，．5. （1），，根据题意得：时，四边形是平⾏四边形，即，解得：；，（2）四边形因为，所以，所以，所以，则，则，，，则四边形即；，（3）矩形由题意得：，解得：或；（4）在中，，在中，，当点在线段的垂直平分线上时，，即，则，解得：或（舍去）．则．6. （1）在中，．由题意知：，．若，则．．．．（2）过点作于．，．．，（3）不存在某⼀时刻，使线段恰好把的周长和⾯积同时平分．若把周长平分，则．．解得：．若把⾯积平分，则．．时⽅程不成⽴，不存在这⼀时刻，使线段把的周长和⾯积同时平分．（4）存在这样的时刻，使得四边形为菱形．过点作于，于．若四边形是菱形，那么．于，．于，．．．．．．，解得．当时，四边形是菱形，此时，．在中，由勾股定理，得菱形边长为．7. （1）过点作，垂⾜为．由题意可知．为等边三⾓形，且边长为，，．（）．（2）①当时，由题意可知，．．，，即．②当时，此时．，，即．当，时，是直⾓三⾓形．（3）不存在．由题意可知，，．．，四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆，．即．化简得．．此⽅程⽆解．所以不存在某⼀时刻，使四边形的⾯积是⾯积的三分之⼆．8. （1）如图，连接，，四边形是平⾏四边形，，，解得，当时，四边形是平⾏四边形．（2）四边形是平⾏四边形，，，，，，，，，即在，运动的过程中，总有．（3）如图，过点作于，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，为等腰直⾓三⾓形，，．四边形是平⾏四边形，，，，设四边形的⾯积为，假设存在某⼀时刻，四边形的⾯积是平⾏四边形的⾯积的⼀半，，整理得：，解得：，（舍），当时，四边形的⾯积是平⾏四边形⾯积的⼀半．9. （1）不存在，理由如下：因为，，，所以，所以，设点，运动的时间是，，，使四边形是平⾏四边形，有，所以，解得：，此时点与点重合，不能构成平⾏四边形．（2）如图②，由题意可求：，，过点作，所以，可求，所以．（3）如图3，过点作，由，，可求：，所以梯形的⾯积为：，当时，，此时，的⾯积为：，由题意得：，解得：（舍去）；当时，由（2）知，的⾯积为：，由题意：，解得：或（舍去），所以当时，的⾯积是梯形的⾯积的．（4）如图②，由（2）知：，，过点作，因为，所以，，可求：，，由勾股定理可求：，当时，，解得：，所以．10. （1）运动开始后第时，的⾯积等于．根据题意，得即所以或时，的⾯积等于．（2）运动开始后第时，矩形（3）．所以当时，最⼩，的最⼩值是．11. （1）在中，由勾股定理得：．由平移性质可得．因为，所以．所以，即．解得．（2）如图，作于点，于点．由，可得．则由勾股定理易求．因为，，所以．所以．所以．即．求得：，．因为，所以到的距离．所以，是⾯积．（3）因为，所以．，若四边形则．即：，整理得：．解得．．答：当时，四边形（4）若，则．因为，所以．所以．所以．所以，即：．，所以．故．整理得．解得（舍），．答：当时，．12. （1）如图 1，过点作于点，则四边形是矩形，，，，，．（2）当四边形为平⾏四边形时，点在上，点在上，如图 2，由题意得：，，，解得．（3）①当点在线段上时，即时，如图 3，，解得．②当点在线段时，即时，如图 4，，，，化简得：，，⽅程⽆实数解；③当点在线段上时，若点在点的右侧，即时，则有，，解得（舍去），若点和点重合，则⾯积为，不合题意．若点在的左侧，即时，则有，，解得，综上，满⾜条件的的值存在，分别为或．。

中考数学动点问题专题练习(含答案)

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

中考数学专题复习《动点函数图像(面积类)》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《动点函数图像(面积类)》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《动点函数图像（面积类）》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（）A． B．C． D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C 方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）A B C D3.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点P从A点出发，沿A→B→C→D运动，速度为每秒3个单位；点Q同时从A点出发，沿A→D运动，速度为每秒1个单位，则△APQ的面积S关于时间t的函数图象大致为（）A B C D4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（）A B C D5.在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A B C D6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P沿折线CA﹣AB运动，到点B停止，动点Q沿BA﹣AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S，则S与t（0≤t≤4.5）对应关系的图象大致是（）A B C D7.如图，△ABC为等边三角形，AB＝6cm，直线l经过点B，且l⊥BC于点B；将直线l从点B处开始，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，移动过程中与AB或AC交于点M，与BC交于点N，当直线运动到点C时停止．若直线运动的时间是t（s），移动过程中△BMN的面积为S （cm2），则S与t之间函数关系的图象大致是（）A B C D二.1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点E从BC的中点出发，沿矩形的边逆时针运动至边AD的中点时停止．设点E运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）A B C D2.如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD＝5，AD＝2，AE＝3，动点P从点E出发，沿路径E﹣B﹣C﹣﹣D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．3.如图，边长为4的正方形ABCD的边上一动点P，沿A→B→C→D→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，三角形APB的面积是y，则变量y与变量x的关系图象正确的是（）A B C D三.1.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm．点P，Q同时从点A出发，点P以4cm/s的速度沿AC向点C运动，点Q以5cm/s的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作▱APDQ，设运动时间为ts，▱APDQ与△ABC重合部分的面积为Scm2，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是（）A B C D2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A B C D答案及解析一．答案：DADCCBC总结：此类题正常的方法就是把每一段的解析式求出来，然后根据解析式判断图像，但是，很多时候解析式并不好求，所以急需简便方法。

初三动点试题及答案

初三动点试题及答案

初三动点试题及答案
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒
2个单位的速度移动，经过5秒后，点P的坐标是（）。

A. (0, 0)
B. (10, 0)
C. (5, 0)
D. (0, 5)
答案：B
2. 动点Q从点(1, 2)出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动，经过3秒后，点Q的坐标是（）。

A. (1, 5)
B. (1, 2)
C. (4, 5)
D. (4, 2)
答案：A
二、填空题
3. 动点R从点(-3, 4)出发，沿直线y=2x+1以每秒3个单位的速度移动，经过2秒后，点R的坐标是（）。

答案：(3, 11)
4. 动点S从点(2, -1)出发，沿直线y=-x+3以每秒2个单位的速度移动，经过4秒后，点S的坐标是（）。

答案：(-6, 7)
三、解答题
5. 动点T从点(0, 0)出发，沿直线y=x以每秒1个单位的速度移动，求点T在移动了6秒后的位置。

答案：点T在移动了6秒后的位置为(6, 6)。

6. 动点U从点(-2, 3)出发，沿直线y=-2x+7以每秒1.5个单位的速度移动，求点U在移动了8秒后的位置。

答案：点U在移动了8秒后的位置为(-10, 5)。

中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)

中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)

中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。

历年初三数学中考复习动点专题及答案

历年初三数学中考复习动点专题及答案

中考数学复习动点专题1、 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30°，使点A 落在抛物线2ax y =（0<a ）图像上。

（1）求抛物线方程。

（2）正方形OABC 继续顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图像上？并求这个点的坐标。

解：（1）设旋转后点A 落在抛物线上点A 1处，OA 1=1，过A 1作A 1M ⊥x 轴于M ，则OM=23，211=M A ，)21,23(1-A ，由2ax y =上得2)23(21a =-，解得32-=a ∴232x y -= （2）由抛物线关于y 轴对称，再次旋转后A 落在抛物线上的点A 2处，点A 2与点A 1关于y 轴对称，易见继续旋转120°，点A 2的坐标为)21,23(--2、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC 上有一个动点P （不包括A 和C ），设AP=x ，四边形PBCD 的面积为y ，（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围。

（2）有人提出一个判断“关于动点P ，△PBC 面积与△PAD 面积之和为常。

” 请说明此判断是否正确，并说明理由。

（3）将题目中的矩形改为平行四边形，且已知平行四边形的面积为S ，对角线上一动点P ，是否有“△PBC 面积与△PAD 面积之和为常”，并说明理由。

解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，在Rt △ABC 中，AC=10，PC=AC-AP=10-x ，∵PE ⊥BC，AB ⊥BC ,∴△PEC ∽△ABC ，则AC PC AB PE =,即10108x PE -=，PE=8-x 54，∴△PBC 面积=x BC PE 5122421-=•，又△PCD 面积=△PBC 面积，∴y=x 52448-（0<x<10） （2）这个判断是正确的，S △PBC +S △PAD =24；（3）有，S △PBC +S △PAD =2SCB3、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD⊥x 轴于点D 。

动点综合问题(共32题)2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

动点综合问题(共32题)2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

动点综合问题（32题）统考中考真题）如图，在ABC 中，移动，到达点 A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,5⎛ ⎝【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥于D ，连接CP ，先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，即90C ∠=︒，进而利用等面积法求出245CD =，则可利用勾股定理求出325AD =；再证明四边形CMPN 是矩形，得到MN CP =，故当点P 与点重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，325AP =，则点E 的坐标为3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥于D ，连接CP ，∵在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，∴2222226810010AC BC AB +=+===，∴ABC 是直角三角形，即90C ∠=︒，∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅， ∴245AC BC CD AB ⋅==，∴325AD =；∵90PM AC PN BC C =︒⊥，⊥，∠，∴四边形CMPN 是矩形，∴MN CP =，∴当MN 最小时，即CP 最小，∴当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，325AP AD ==， ∴点E 的坐标为3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时，点P 与点A 重合，得到15AB =，进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间，进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间，求出BC 的长，再利用勾股定理求出AC 即可．【详解】解：由图象可知：0=t 时，点P 与点A 重合，∴15AB =，∴点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷=；∴点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s −=，∴248BC =⨯=；在Rt ABC △中：17AC =；故选：C ．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出,AB BC 的长，是解题的关键． 秒，AMN 的面积为 A ． ． ． ． 【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒，当04t <<时，M 在AB 上，当48t ≤<时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==， ∴2AM AB AN AE ==，又A A ∠=∠∴AMN ABE ∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴MN ，∴212y x =当48t ≤<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =⨯=⨯，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t ≤<时，函数图象是直线的一部分， 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x x =⨯−⨯−⨯−−−，21282x x =−+， 21(2)62x =−+，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．A ．6B ．3C ．43 【答案】A 【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC =，AO =30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为AO OB ==，过点O 作OD AB ⊥，解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒=，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC =，∴PB PC =，AO =又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为∴OB =AO OB ==∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ⊥，∴AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 的O 上两动点，且动时，PAB 面积的最大值是（ A ．8B ．6 【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出2OA OB ==，确定AB =PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线2y x =−−与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，=2y −，当0y =时，2x =−，∴()()2,0,0,2A B −−，∴2OA OB ==，∴AB ==∵PAB 的底边AB =∴使得PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，∵CD ，O 的半径为1，∴2DP =∴OP =， ∵OE AB ⊥，∴12OE AB ==∴PE OE OP =+=，∴132PAB S =⨯=，故选：D ．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 7．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】设圆的半径为R ，根据机器人移动时最开始的距离为2AM CN R ++，之后同时到达点A ，C ，两个机器人之间的距离y 越来越小，当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变， 当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．【答案】D【分析】根据题意，得出()4,0E ，()5,3F ，勾股定理求得EF =AC =【详解】解：连接AC 、EF∵点A 的坐标为()9,0，点C 的坐标为()0,3，以,OA OC 为边作矩形OABC ．∴()9,3B ，AC ==则9OA =，9BC OA ==依题意，414OE =⨯=，414BF =⨯=∴945AE =−=，则()4,0E ，∴945CF BC BF =−=−=∴()5,3F ，∴EF∵()0,3C ，∴AC EF ⋅30==故选：D ．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得,E F 的坐标是解题的关键．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P 是等边ABC 的边BC 上的一点，若104APC ∠=︒，则在以线段,,AP BP CP 为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）A ．14︒B ．16︒C ．24︒D ．26︒【答案】B 【分析】将ABP 绕点A 逆时针旋转60︒得到ACQ ，可得以线段,,AP BP CP 为边的三角形，即PCQ △，最小的锐角为PQC ∠，根据邻补角以及旋转的性质得出76AQC APB ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将ABP 绕点A 逆时针旋转60︒得到ACQ ，∴,60AP AQ PAQ =∠=︒，BP CQ =，AQC APB ∠=∠，∴APQ △是等边三角形，∴PQ AP =，∴以线段,,AP BP CP 为边的三角形，即PCQ △，最小的锐角为PQC ∠，∵104APC ∠=︒，∴76APB ∠=︒∴76AQC APB ∠=∠=︒∴PQC ∠766016=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点．动点P 从点A 出发沿AB BC →匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，线段PE 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则点M 的坐标为（ ）【答案】C 【分析】证明4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，则当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==运动路程为0或4，结合函数图象可得(M ， 故选：C.【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点（不与点,B C 重合）．过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ；过点D 作DF AC ∥交AB 于点F ．N 是线段BF 上的点，2BN NF =；M 是线段DE 上的点，2DM ME =．若已知CMN 的面积，则一定能求出（ ）A ．AFE △的面积B ．BDF V 的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积【答案】D【分析】如图所示，连接ND ，证明FBD EDC ∽，得出FB FD ED EC =，由已知得出NF BF ME DE =，则FD NF EC ME =，又NFD MEC ∠=∠，则NFD MEC ∽，进而得出MCD NDB ∠=∠，可得MC ND ∥，结合题意得出1122EMC DMC MNC S S S ==，即可求解．【详解】解：如图所示，连接ND ，∵DE AB ∥，DF AC ∥，∴,ECD FDB FBD EDC ∠=∠∠=∠，,BFD A A DEC ∠=∠∠=．∴FBD EDC ∽,NFD MEC ∠=∠．∴FB FD ED EC =．∵2DM ME =，2BN NF =，∴11,33NF BF ME DE ==， ∴NF BF ME DE =． ∴FD NF EC ME =． 又∵NFD MEC ∠=∠，∴NFD MEC ∽．∴ECM FDN ∠=∠．∵FDB ECD ∠=∠∴MCD NDB ∠=∠． ∴MC ND ∥．∴MNC MDC S S =．∵2DM ME =，∴1122EMC DMC MNC S S S ==．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明MC ND ∥是解题的关键． 和BCE 是位于直线的是（ ） ．CDE 周长的最小值为【答案】A 【分析】延长,AD BC ，则ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E 点与F 重合时，则,,Q P F 三点共线，各项都取得最小值，得出B ，C ，D 选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长,AD BC ，依题意60QAD QBA ∠=∠=︒∴ABQ 是等边三角形，∵P 是CD 的中点，∴PD PC =，∵DEA CBA ∠=∠，∴ED CQ ∥∴,PQC PED PCQ PDE ∠=∠∠=∠，∴PDE PCQ ≌∴PQ PE =，∴四边形DECQ 是平行四边形，则P 为EQ 的中点如图所示，设,AQ BQ 的中点分别为,G H ， 则11,22GP AE PH EB == ∴当E 点在AB 上运动时，P 在GH 上运动，当E 点与F 重合时，即AE EB =，则,,Q P F 三点共线，PF 取得最小值，此时()122AE EB AE EB ==+=， 则ADE ECB △≌△，∴,C D 到AB 的距离相等，则CD AB ∥，此时PF AD ==此时ADE V 和BCE 的边长都为2，则,AP PB 最小，∴2PF ==∴PA PB ==∴PA PB +=或者如图所示，作点B 关于GH 对称点B '，则PB PB '=，则当,,A P B '三点共线时，AP PB AB '+=此时AB '=故A 选项错误，根据题意可得,,P Q F 三点共线时，PF 最小，此时PE PF ==PE PF +=，故B 选项正确； CDE 周长等于4CD DE CE CD AE EB CD AB CD ++=++=+=+，即当CD 最小时，CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH ，连接CM ，∵60,60GHQ GHM GDM ∠=︒∠=∠=︒，则120CHM ∠=︒如图，延长DE ,HG ，交于点N ， 则60NGD QGH ∠=∠=︒，60NDG ADE ∠=∠=︒∴NGD △是等边三角形，∴ND GD HM ==，在NPD 与HPC △中，60NPD HPC N CHP PD PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴NPD HPC ≌∴ND CH =∴CH MH =∴30HCM HMC ∠=∠=︒∴CM QF ∥，则CM DM ⊥，∴DMC 是直角三角形，在DCM △中，DC DM >∴当DC DM =时，DC 最短，122DC GH AB === ∵2CD PC PC =+∴CDE 周长的最小值为2226++=，故C 选项正确；∵NPD HPC ≌∴四边形ABCD 面积等于ADE DEC ADE NEBH S S S S S ++=+平行四边∴当BGD △的面积为0时，取得最小值，此时，,D G 重合，C H ，重合∴四边形ABCD 面积的最小值为232=D 选项正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E 点与F 重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题 在ABC 中，【答案】2 【分析】如图，作ABC 的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB ⊥于D ，过B 作BN AB ⊥，交BP 的垂直平分线于N ，连接AN 、BN 、PN ，以N 为圆心，()BN PN 为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得4AM BM CM ===，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得AMC PNB ∠=∠，从而易证AMC PNB 可得21CM AC PN PB ==即122PN CM ==勾股定理即可求得AN =在APN 中由三角形三边关系AP AN PN ≥−即可求解．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB ⊥于D ，过B 作BN AB ⊥，交BP 的垂直平分线于N ，连接AN 、BN 、PN ，以N 为圆心，()BN PN 为半径作圆； 60C ∠=︒，M 为ABC 的外接圆的圆心， 120AMB ︒∴∠=，AM BM =，30MAB MBA ∴∠=∠=︒，12MD AM ∴=，MD AB ⊥，12AD AB ∴==，在Rt ADM △中，222AM MD AD =+，(22212AM AM ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 4AM ∴=，即4AM BM CM ===，由作图可知BN AB ⊥，N 在BP 的垂直平分线上，90PBN BPN ABC ∴∠=∠=︒−∠，()1802PNB PBN BPN ABC ∴∠=︒−∠+∠=∠，又M 为ABC 的外接圆的圆心，2AMC ABC ∴∠=∠，AMC PNB ∴∠=∠， CM AM PN BN =，AMC PNB ∴，CM AC PN PB ∴=， 12BP AC =， 21CM AC PN PB ∴==，即122PN CM ==，2PN BN ∴==，在Rt ABN △中，AN在APN 中，2AP AN PN ≥−=，即AP 最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30︒角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合ABC 的外接圆构造相似三角形．【答案】或6【分析】连接OD ，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD 的长，勾股定理求出AC 和AD 的长，分AP AD =和AP PD =两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD ，∵以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，∴OD BC ⊥，OA OE OD ==，∴90ODB ∠=︒设OA OE OD r ===，则3OB OE BE r =+=+，在Rt ODB △中：222OD BD OB +=，即：(()2223r r +=+， 解得：6r =，∴6OA OE OD ===，∴9OB =，15AB =，12AE =，∵90C ODB ∠=∠=︒，∴OD AC ∥， ∴9362OB DB OA DC ===，∵DB =∴CD =∴BC DB CD =+=∴10AC =，∴AD =∵ADP △为等腰三角形，当AD AP =时，AP =当PA PD =时，∵OA OD =，∴点P 与点O 重合，∴6AP OA ==，不存在PD AD =的情况；综上：AP 的长为6．故答案为：或6．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点P 的位置，是解题的关键． 15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点AB 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．【答案】1【分析】如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD =再根据直角三角形的性质得到112OD AB ==，再由OC OD CD ≤+可得当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值，最大值为1【详解】解：如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，∵ABC 是边长为2的等边三角形，∴2CD AB BC AB ==⊥，，∴1BD AD ==，∴CD ==∵OM ON ⊥，即90AOB ∠=︒，∴112OD AB ==，∵OC OD CD ≤+，∴当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值，最大值为1故答案为：1+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值是解题的关键．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，此时PE PF +取得最小值，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F '落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明AEP KF P '''△∽△，可得2KP AP '='，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F '落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P '重合时PE PF +取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则23AF AF a '==，四边形ABCD 是正方形，45F AK '∴∠=︒，45P AE '∠=︒，AC =F K AF ''⊥，45F AK F KA ''∴∠=∠=︒，AK ∴=，F P K EP A '''∠=∠，E KP EAP '''∴△∽△，2F K KP AE AP ''∴=='，13AP AK '∴==，CP AC AP ''∴=−=，27AP CP '∴='， ∴当PE PF +取得最小值时，AP PC 的值是为27， 故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 17．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =，∴1AN BM ND MD ==，即：1ND AN ==，∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN =∴BN ND ==∴1AD AN ND =+，综上，AD 的长为21，故答案为：21．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 重合时，将ABP 沿AP 对折，得到AB P '，连接2【分析】根据折叠的性质得出B '在A 为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P 在BC 上时，当点P 在DC 上时，当P 在AD 上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，2,AB AD ==∴BC AD =AC =如图所示，当点P 在BC 上时，∵2AB AB '==∴B '在A 为圆心，2为半径的弧上运动，当,,A B C '三点共线时，CB '最短，此时2CB AC AB ''=−，当点P 在DC 上时，如图所示，此时2CB '当P 在AD 上时，如图所示，此时2CB '>综上所述，CB '2，2．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【分析】首先证明出MN 是AEF △的中位线，得到12MN AE =，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE ==BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，进而得到当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接AE ，∵M ，N 分别是EF AF ，的中点，∴MN 是AEF △的中位线， ∴12MN AE =，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B Ð=°，∴AE ==∴当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，∴此时AE ==∴12MN AE ==∴MN．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE =∠∠，则线段BF 的最小值为__________．2【分析】设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，证明90DFA ∠=︒，可知点F 在以AD 为直径的半圆上运动，当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，∵90ABC BAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴DAE AEB ∠=∠，∵ADF BAE =∠∠，∴90DFA ABE ==︒∠∠，∴点F 在以AD 为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，∵4=AD ， ∴122AO OF AD '===，，∴BO ==BF 2，2．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键． 21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．【答案】6013【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到12BC AD ==，AO CO BO DO ===，90ABC ∠=︒，根据勾股定理得到13AC =，求得132OB OC ==，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BC AD ==，AO CO BO DO ===，5AB =，12BC =，13AC ∴==，132OB OC ∴==，111115121522222BOC BOE COE ABC S S S OB EG OC EF S ∴=+=⨯⋅+⋅==⨯⨯⨯=，∴113113113()15222222EG EF EG EF ⨯+⨯=⨯+=，6013EG EF ∴+=，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．【答案】【分析】过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC =，4,3BQ QC ==在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ==∴AQ == ∵1122ABC S AB CG AQ BC =⨯=⨯，∴BC AQ CG AB ⨯===,【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE '，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．3【分析】过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，根据平行四边形的性质以及已知条件得出120,60ADC ABC HDC ∠=∠=︒∠=︒，进而求得,DH HC ，根据折叠的性质得出CB CE =，进而在Rt ECH △中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，∵在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，∴120,6068ADC ABC HDC CD AB AD CB ∠=∠=︒∠=︒====，，，∴1cos 32DH DC HDC DC =⨯∠==，在Rt ECH △中，HC =∵将ABE 沿BE 折叠得到A BE '，当点A '恰好落在EC 上时，∴AEB CEB ∠=∠又AD BC ∥∴EBC AEB ∠=∠∴EBC CEB ∠=∠∴8CE BC ==设ED x =，∴3EH x =+在Rt ECH △中，222EC EH HC =+∴()(22283x =++解得：3x =（负整数）3．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 上，若AMN 是以点 【答案】()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =−−的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M −，当N 在AM的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，可得MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，则2128x x −−−=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =−−的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B −，则()4,3H −，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M −，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，∵AN MN =，90ANM ∠=︒，∴90MNK ANJ ∠+∠=︒，∴MNK NAJ ∠=∠，∴MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，∴MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，∴2128x x −−−=， 解得：203x =−，则22263x −−=， ∴22202333CM CK MK =−=−=， ∴28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭； 综上：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．【答案】392【分析】作出点()32C −，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，此时BE DF +的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG y ⊥轴于点G ，此时35BH DH +的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线123y x =−+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴()02B ，，()60A ，，作点B 关于x 轴的对称点()02B '−，，把点B '向右平移3个单位得到()32C −，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，过点B '作B E CD '∥交x 轴于点E ，则四边形EFCB '是平行四边形， 此时，BE B E CF '==，∴BE DF CF DF CD +=+=有最小值，作CP x ⊥轴于点P ，则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠， ∴PF OB PC OA =，即226PF =， ∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线CD 的解析式为y kx b =+， 则321103k b k b +=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=−⎩，∴直线CD 的解析式为311y x =−，联立，311123y x y x =−⎧⎪⎨=−+⎪⎩，解得3910710x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，直线423y x =−+与x 轴的交点为302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则52BQ =， ∴332sin 552OQ OBQ BQ ∠===， ∴3sin 5HG BH GBH BH =∠=， ∴()3355555BH DH BH DH HG DH DG ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即35BH DH +的最小值是393955102DG =⨯=， 故答案为：392． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题 26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】(1)当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =−(2)图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大(3)t 的值为3或4.5【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【详解】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =−；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t −=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．键． 27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】(1)4，83 (2)2218402331424443t t S t t t ⎧⎛⎫−+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪−+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】（1）根据函数图象即可求解．（2）根据（1）的结论，分403t ≤≤，443t <≤，根据OAB 与DPB 的重叠面积为S ，分别求解即可．【详解】（1）解：当0=t 时，P 点与O 重合，此时83ABO S S ==， 当4t =时，0S =，即P 点与B 点重合，∴4OB =，则()4,0B ，故答案为：4，83．（2）∵A 在y x =上，则45OAB ∠=︒设(),A a a ， ∴1184223AOB S OB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∴43a =,则44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A 当403t ≤≤时，如图所示，设DP 交OA 于点E ，∵45OAB ∠=︒，DP OB ⊥，则EP OP t == ∴28132S t =−当443t <≤时，如图所示，∵()4,0B ，44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A设直线AB 的解析式为y kx b =+， ∴404433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：212b k =⎧⎪⎨=−⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为122y x =−+，当0x =时，2y =，则()0,2C ， ∴2OC =， ∵21tan 42DP OC CBO PD OB ∠====， ∵4BP t =−，则122DP t =−， ∴12DPB S S DP BP ==⨯()()222111144242244t t t t =⨯⨯−=−=−+， 综上所述：2218402331424443t t S t t t ⎧⎛⎫−+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪−+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩． 【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x =−+；2l 的解析式为15y x =−+；(2)①10,20x m y m =+=−；②3l的解析式为30y x =−+，图象见解析；(3)538a c b += 【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ，再得出点()2,m m 按照乙方式移动()10m −次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b =+，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式为6y x =−+；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x =−+；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了()10m −次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ；∴点()2,m m 按照乙方式移动()10m −次后得到的点的横坐标为21010m m m +−=+，纵坐标为()21020m m m +−=−，∴10,20x m y m =+=−；②由于102030x y m m +=++−=，∴直线3l 的解析式为30y x =−+；函数图象如图所示：。

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解：（1）①∵ t 1秒，ABiblioteka ∴ BP CQ 31 3厘米，
∵ AB 10 厘米，点 D 为 AB 的中点， ∴ BD 5 厘米． 又∵ PC BC BP，BC 8厘米， ∴ PC 8 3 5 厘米， ∴ PC BD ． 又∵ AB AC ， ∴ B C ，
D Q
B P
C
∴ △BPD ≌△CQP ． ·············································································（4 分）
（2）设⊙P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P 时,作 PE⊥CD 于 E.
∵△PCD 为正三角形，∴DE= 1 CD= 3 ，PD=3， 22
∴PE= 3 3 . 2
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，
33 ∴ AO PE ,即 4 = 2 ，
（3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四 5
个顶点 M 的坐标．
y
B
解（1）A（8，0）B（0，6） ················1 分
（2） OA 8，OB 6 AB 10 点 Q 由 O 到 A 的时间是 8 8 （秒）
1 点 P 的速度是 6 10 2 （单位/秒） ··1 分
2、（09 齐齐哈尔）直线 y 3 x 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出 4
发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路
线 O → B → A 运动． （1）直接写出 A、B 两点的坐标；
（2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；
AB PB 4 5 PB
分）
3
（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，
由题意，得 15 x 3x 210 ， 4
解得 x 80 秒． 3
∴点 P 共运动了 80 3 80 厘米． 3
∵ 80 228 24 ，
∴点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，
∴经过 80 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇． ·········································（12 分） 3
②∵ vP vQ ， ∴ BP CQ ，
又∵ △BPD ≌△CQP ， B C ，则 BP PC 4，CQ BD 5 ，
∴点 P ，点 Q 运动的时间 t BP 4 秒， 33
∴ vQ
CQ t
5 4
15 4
厘米/秒． ··································································（7
8
P OQ
当 P 在线段 OB 上运动（或 0≤t ≤3 ）时， OQ t，OP 2t
Ax
S t2 ·········································································································1 分
2010 中考数学热点专题突破训练――动点问题
1、（09 包头）如图，已知 △ABC 中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与 △CQP 是否全等，请
说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD
与 △CQP 全等？
（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆 时针沿 △ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ABC 的哪条边上相遇？
，24 5
，M
3
12， 5
24 5
···················································· 3
分
3（09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=－2x－8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B
两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作⊙P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k 为何值时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？
2
55
（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）
（3）
P
8 5
，24 5
···························································································· 1
分
I1
8，24 55
，M
2
12 5
当 P 在线段 BA 上运动（或 3 t ≤8）时， OQ t，AP 6 10 2t 16 2t ,
如图，作 PD OA 于点 D ，由 PD AP ，得 PD 48 6t ， ·····························1 分
BO AB
5
S 1 OQ PD 3 t2 24 t ······································································1 分
解：（1）⊙P 与 x 轴相切. ∵直线 y=－2x－8 与 x 轴交于 A（4，0）， 与 y 轴交于 B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k. 在 Rt△AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与 x 轴相切.
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