离散数学(3.6关系性质)
离散数学关系
离散数学关系离散数学关系是一种在有限集上定义的函数，用来描述两个集合之间的关系。
它是抽象数学中最基本的元素，它描述由一列实例构成的集合之间的关系。
离散数学关系有三种：一对一映射(one-to-one mapping)、可枚举映射(enumerable mapping)和量级(order)关系。
1、一对一映射：一对一映射是每个元素都有唯一的映射关系，一个域元素只能映射到一个定义域元素，而且每个定义域元素也只被一个域元素映射。
2、可枚举映射：可枚举映射是指有多个域元素可以映射到一个定义域元素，反之亦然，定义域元素也可以映射到多个域元素，但不一定要求每一个域元素都被映射。
3、量级(order)关系：量级关系是一种非抽象的关系，它可以用来描述元素之间的关系，但不能用唯一的映射关系表示。
量级关系表示一组元素之间的大小或者其他特征的排列顺序，比如“比”，“等于”，“交换”等等，它们可以表示不止一种关系。
二、关系的性质1、可满足性：可满足性是指关系的存在与否与域元素具体的值之间的关系。
可满足关系的存在可以通过满足一定的条件来进行检查，不满足的情况下就会说明这个关系不存在。
2、唯一性：唯一性是指关系的定义域与域元素之间的唯一映射关系。
唯一性可以用来确定定义域元素与域元素之间的唯一映射关系，它不能够产生重复的映射关系。
3、可枚举性：可枚举性是一种可以将定义域与域元素之间的映射关系一一列出来的性质。
可枚举性允许定义域元素有多个域元素与之映射，但它不一定满足唯一性。
4、可组合性：可组合性是一种可以将两个定义域之间的关系组合起来的性质。
可组合性可以将多个关系组合为一个或多个新的关系，从而可以更好的表达更多更复杂的关系。
三、应用1、在离散数学中，离散数学关系经常用来描述中间结果或概念之间的关系。
2、在计算机科学中，离散数学关系常常作为数据结构的基础，用来表示复杂的逻辑结构。
3、在数据库系统中，离散数学关系的应用非常广泛，用来表示不同表之间的关系。
离散数学28.关系的性质1
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
离散数学-关系的性质
证明模式 证明R在A上自反
任取x,
xA ……………..….……. <x,x>R
前提
推理过程
结论
例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反.
证 任取x,
xA <x,x> IA <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
证明模式 证明R在A上对称
s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
（3）T(R)＝R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n＝1时，有 R1＝R t(R)。 假设Rnt(R)成立，那么对任意的<x,y>有
<x,y>∈Rn+1＝Rn R t(<x,t>∈Rn∧<t,y>∈R) t(<x,t>∈t(R)∧<t,y>∈t(R)) <x,y>∈t(R) （因为t(R)是传递的） 这就证明了Rn+1 t(R)。 由归纳法命题得证。
1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
Mt=
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1
0
1
0 0
1
0
1 1
1
1
0 1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1
中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条 长度不超过n的
离散数学串讲
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题语句的形式（陈述句）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）1.2 联结词1. 否定⌝2.合取∧（TT T）3. 析取∨（FF F）4. 条件→(TF F)5. 双条件↔(同T异F)1.3 命题公式与翻译命题公式●所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
●符号化应该注意下列事项:•①确定给定句子是否为命题。
•②句子中连词是否为命题联结词。
•③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
命题符号化的重要性●命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价公式等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R1.5 重言式与蕴含式●定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
离散数学关系的概念性质及运算
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的二 元关系。
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集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
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集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任 一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15：设R,S是集合X上的两个传递关系，问R∪S 是否是传递关系呢？
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集合与图论
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R11
√
√
√
√
√
R1∩R2 √
√
R1∪R2 √
√
R1R2 ×
√
√
√
√
√ ××
√
√×
R1∘R2 √
×
×
××
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集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元 关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成RS， 并且
显然：R是传递的，当且仅当 ？。 例11： Z上的模n同余关系是不是传递关系？
离散数学关系与函数的定义及性质
离散数学关系与函数的定义及性质离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的对象和结构，与连续的对象和结构不同。
在离散数学中，关系和函数是两个基本的概念，它们在数学和计算机科学中具有广泛的应用。
本文将介绍关系和函数的定义以及它们的性质。
一、关系的定义与性质关系是一个数学概念，用于描述两个数或多个数之间的相互关系。
在离散数学中，关系可以用集合表示。
设A和B是两个集合，R是从A到B的关系，记作R：A→B。
如果元素a∈A与元素b∈B满足某种规定的条件，则称a与b有该关系。
例如，若X表示所有学生的集合，Y表示所有课程的集合，而R表示学生与所选课程之间的关系，则若学生x选择了课程y，则(x, y)∈R。
在关系的定义中，我们可以根据关系的性质进一步划分不同类型的关系。
常见的关系类型包括：1. 自反性：对于集合中的每个元素a，(a, a)∈R，即a与自身相关。
2. 反自反性：对于集合中的每个元素a，(a, a)∉R，即a与自身无关。
3. 对称性：对于任意a和b，若(a, b)∈R，则(b, a)∈R，即a与b有关时，b与a也有关。
4. 反对称性：对于任意a和b，若(a, b)∈R且(b, a)∈R，则a=b，即a与b有关时，a=b。
5. 传递性：对于任意a、b和c，若(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a,c)∈R，即a与b有关，b与c有关时，a与c也有关。
关系的定义和性质在离散数学中有广泛的应用，例如在图论中，关系可以用于描述顶点之间的连接关系，而关系的性质可以帮助我们分析图的特定结构。
二、函数的定义与性质函数是一种特殊类型的关系，它在数学和计算机科学中扮演着重要的角色。
函数是一种将输入集合中的每个元素映射到输出集合中唯一元素的关系。
假设A和B是两个集合，函数f:A→B表示从A到B的函数，如果对于任意a∈A，存在唯一的b∈B使得(a, b)∈f，则称f为一个函数，记作f(a)=b。
函数的性质同样对于离散数学和计算机科学具有重要意义。
离散数学-3-6 关系的性质
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思考练习
例.设R是集合X上的一个自反关系.求证:R是对称和 传递的,当且仅当<a,b>和<a,c>在R之中时必有 <b,c>在R之中.
证明: 充分性. 充分性. [1]设<a,b>∈R显然<a,a>∈R(自反性) =><b,a>∈R(条件)=>R有对称性. [2]设<a,b>,<b,c>∈R=><b,a>,<b,c>∈R(对称性) =><a,c>∈R=>传递性成立. 必要性. 必要性. 设<a,b>,<a,c>∈R=><b,a>,<a,c>∈R(对称性) =><b,c>∈R(传递性).
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思考练习
例.给定S={1,2,3,4}和S上的关系 R={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>},说明R不是 可传递的.找出一个包含R的关系,使得R1是可传递 的,还能找出另外一个,R2也是可传递的吗? 解:<1,2>,<2,1>∈R,但<1,1> ∈ R,故不传递.可取
{<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>}, R1={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>} 再添加一个元素<3,3>可得到另外一个有传递性的关系 R2 ={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>,<3, 3>}.
离散数学 3-6关系的性质和3-7 复合关系
离散数学
一、复合关系
引例： （1）若设R是兄妹关系，S是母子关系，则R与S的复 合T是舅甥关系。 （2）如R是父子关系，R与R复合是祖孙关系。
离散数学
1、复合关系(关系的复合运算)
定义3-7.1：设X、Y、Z是三个集合，R是X到Y的关系， S是Y到Z的关系，则RS称为R和S的复合关系，表示 为 RS={<x,z>xXzZ(y)(yY<x,y>R<y,z>S)} 从R和S求RS，称为关系的合成运算。
离散数学
例：设X={1，2，3，4，5}，X上关系R为
R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,5>}，则： R(0)=x={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}， R(1)=R R(2)={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<3,5>}
R(3)={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,5>}
对称性是说每当r就有r没有要求对于每一个xx传递性是说每当16离散数学非空集合上的空关系是反自反的对称的反对称的和传递的但不是自反的
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈明
Email:mingchen_gang@
信息科学与工程学院 二零一一年十月
离散数学
回顾
1、序偶：记作<x，y> 2、笛卡尔积：记作AB 3、关系：序偶的集合；前域、值域 4、X到Y的关系，X上的关系 5、关系的表示：关系矩阵、关系图
离散数学中关系性质的判定方法
离散数学中关系性质的判定方法摘要：关系是离散数学中的基本概念，而关系的性质是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础，本文给出了关系四种性质的判定方法。
关键词：离散数学关系性质判定关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：一、依据其定义1.自反性：设R是集合A上的二元关系，如果对于每一个a∈A，若有（a，a）∈R，即aRa，则称R在集合A上具有自反性。
2.对称性：设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b∈A，若有（a，b）∈R，就有（b，a）∈R，则称R在集合A上具有对称性。
3.反对称性：设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b∈A，若（a，b）∈R且（b，a）∈R时，必有a=b，则称R在集合A上具有反对称性。
4.传递性：设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b、c∈R，若（a，b）∈R，且（b，c）∈R，就有（a，c）∈R，则称关系R在A上具有传递性。
二、依据关系矩阵和关系图的关系1.关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。
2.若关系R具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。
3.若关系R具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。
4.若关系R具有传递性，关系矩阵没有明显特征。
关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。
作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。
关系的性质-离散数学共66页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
关系的性质-离散数学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
离散数学关系的概念、性质及运算
例2： 设X={a,b,c}，R1={(a,a),(a,b)}, R2={(a,a),(b,c)}，R3={(a,c),(b,b)}。
R2\R3={(a,a),(b,c)}
(R1R2)={(a,a),(a,c)} (R1R3)={(a,c),(a,b)}
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(2)R1(R2∩R3)(R1R2)∩(R1R3)
(3)(R2∪R3)R4=(R2R4)∪(R3R4)
(4)(R2∩R3)R4(R2R4)∩(R3R4)
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集合与图论 关系合成的性质
4、一般说来，合成运算对差运算不满足分配律： R1(R2\R3)(R1R2)\(R1R3)
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集合与图论
关系的个数
例如：设A={1,2}，B={a,b,c}， AB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}。
AB有6个元素，问题2：A到B的关系的个数 设|A|=m，|B|=n，则A到B上有多少个二元关系？
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集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任 一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
在这个定义中，要求X的每个元素x，都有xRx， 即(x, x) R。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学 关系
离散数学关系离散数学中，关系是一个重要的概念。
关系是指一个元素集合之间的对应关系。
这个对应关系可以用图形表示。
让我们来一步步地探讨什么是关系和关系图。
首先，我们要了解什么是元素和元素集合。
元素是一组有意义的数据，它可以是数字、字母、单词等。
元素集合是由多个元素组成的集合，比如所有自然数可以形成一个元素集合。
接着，我们可以定义关系。
关系就是两个元素集合之间的对应关系。
这个对应关系可以用有序对(x,y)表示。
如果(x,y)属于一个关系，那么我们可以说x和y之间存在这个关系。
例如，我们可以定义一个关系R为{(1,2),(2,4),(3,6)}。
这个关系表示1对2，2对4，3对6。
我们可以从这个关系中得到很多信息，比如1对应2，2对应4，3对应6。
这告诉我们一些元素之间的关系。
然而，我们很难从一个关系里面得到全部元素的对应关系，因此我们需要使用关系图来更好地理解关系的意义。
关系图是一种用点和箭头表示关系的图形。
在关系图中，每个点代表一个元素，每个射线代表一个关系。
我们可以通过观察图形来更好地理解两个元素之间的关系。
例如，我们可以用以下图形表示关系R：在这个关系图中，我们可以看到每个点代表了一个元素，每个射线表示了一个关系。
箭头的方向表示了关系的方向。
这个关系图清晰地表达出了每个元素之间的对应关系，让我们更容易地理解这个关系。
除了上述的基本关系之外，离散数学还有很多其他类型的关系，比如等价关系、偏序关系、偏序关系等等。
这些关系的定义和性质都有所不同。
总之，在离散数学中，关系是一个非常重要的概念，它帮助我们理解元素之间的联系和关系，是学习离散数学的基础。
通过理解和掌握关系，我们可以更好地解决许多离散数学中的难题。
离散数学 3-5 关系及其表示3-6 关系的性质
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
一、关系（Relation）
1、关系 定义3-5.1：任一序偶的集合确定了一个二元关系R， <a，b>R记作aRb，称a与b有关系，<a，b>R记 作aRb，称a与b没有关系。 例如，>={<x，y>|x，y是实数且x>y} 说明： (1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实 体来描述，为今后的描述和论证带来方便。 (2)序偶是讲究次序的，如果有<a，b>R未必有<b， a>R ，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。 例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子关系。
＞＝｛(-1, -2), (0, -1), (0, -2), (1, -2), (1, -1), (1, 0)｝ Dom＞＝｛-1, 0, 1｝ Ran＞＝｛-2, -1, 0｝
UA＝｛(-2, -2), (-2, -1), (-2,0), (-2,1), (-1,-2), (-1,-1),
(-1, 0), (-1, 1), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1),
例 设A＝｛1,2,3,4,5｝,B＝｛a,b,c｝, 则ρ 1＝｛(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)｝是A到B的关系, 而ρ 2＝｛(a,2),(c,4),(c,5)｝是B到A的关系。
左孝凌离散数学课件3.6关系的性质
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
关系的性质离散数学共65页
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情—黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
关系的性质离散数学
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
离散数学关系的概念、性质及运算27页PPT
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 Βιβλιοθήκη 律。 ——塞·约翰逊谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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4是自反的、对称的、可传递的。
( 3,3), ( 3,1), ( 3,5),
则
6反自反的、反对称的。
例4 是不自反、反自反的、对称的、反对称、可传递的。 例5 全关系是自反的、对称的、可传递的。
3.4.2 由关系图、关系矩阵判别关系的性质
1. 关系矩阵
若 是自反的，则关系矩阵的主对角线上的所有元素 均为1。 若 是反自反的，则关系矩阵的主对角线上所有元素 均为0。
( 3,3), ( 3,1), ( 3,5),
则 3 自反的、反对称的、可传递的。
例3（续）
4 { a, b | a, b是人, 且a是b的朋友 }
则
则 5 反自反的、反对称的、可传递的。
5 { a, b | (a , b 是人 , 且 a 是 b 的祖先 } 5,1), (5,3), (5,5)} 6 { a, b | a, b是人, 且a是b的父亲 }
例1
设 A {0,1,2,3} ，
（1）自反与反自反
1 { 0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 }
自反
2 { 0,0 , 1,2 , 1,1 , 2,2 , 2,3 , 3,3 } 自反
3 { 2,1 , 0,0 , 3,3 }
非自反
4 { 0,1 , 2,3 , 1,2 }
3.4.1 集合A上关系的性质
（1）若对于所有的 a A ，均有 aa ，则称 在A 上是自反的(reflexive)。 （2）若对于所有的 a A ，均有 aa ，则称 在A 上是反自反的(antireflexive) 。 （3）对于所有的 a, b A ，若每当有 则称 在 A 上是对称的(symmetric)。
对称不 反对称
可传递
U 反对称 不对称
自反
反自反
既对称又反对称
例2
设
A {1,2,3,4,5} ，A上的关系
{ a, b | a b是偶数}
则
{ 1,1 , 1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,4 ,3), 3, , ),3 1,5 ,),3,5 , ( 3, (3 3,1 (,3
因此
是可传递的。
例3
设
1 { a, b | a, b R, 且a b}
则
1是自反的、反对称的、可传递的。
则
2自反的、对称的、反对称的、可传递的。
3 { a, b | a, b N , 且a b}
2 { a, b (|5a , b R , 且 a b } ,1), (5,3), (5,5)}
是反自反的，则关系图中每一结点均没有自环。
若 是对称的，则在关系图中，若两结点之间有边，则必 存在两条方向相反的边。 若 是反对称的，则在关系图中，任意两个不同的结点间 至多只有一条边。
若
向
是可传递的，则在关系图中，若每当有边由
i
，且又有边由 a 指向 a ak k k j
3.7 集合的划分与覆盖(Partition & Cover of Sets)
3.8 等价关系(Equivalent Relations) 3.9 相容关系(Compatibility Relations)
3.10 序关系(Ordered Relations)
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
反自反
（2）对称与反对称
5 { 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,2 } 对称，非反对称
6 { 1,1 , 1,2 , 3,1 , 0,2 }
非对称，反对称
,2 ),,(2 77 {( {1 2 ,3 1,2), ,(2 3,3 2), ,( 3 2,,2 2)} } 非对称，非反对称
(4,4 2,), ), (5,1), (1 5,, 3), 5,5 2(4 ,,4 4 ,4 5, 5( ,3 ,)}5,5 }
自反
则
对称
不是反对称
也是偶数。
对于任意的 a, b, c A ,
a b 2m, b c 2n ，
a c (a b) (b c) 2(m n)
若
若
是对称的，则关系矩阵关于主对角线对称。
是反对称的，则关系矩阵中，关于主对角线对称 的元素不同时为1。 1 2 3 4
例如，
1 1 2 0 M 3 0 4 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
2. 关系图
若 是自反的，则关系图中每一结点引出一个指向自身 的单边环(自环）。 若
离散数学(Discrete Mathematics)
张捷
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations) 3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
3.4 关系的性质(The properties of
Relations)
3.4.1 集合A上关系的性质(The properties of
Relations on set A)
3.4.2 由关系图、关系矩阵判别关系的性质 A B
AB
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
（1） 是自反的，非对称，不是反对称，不可传递
1,2 1, 2,3 1,
1
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
小结: 本节介绍了关系的基本性质及其判别 方法。 作业：P113 （1），（4）
定义3.4.1 设
是集合A上的关系
aa
， ab就必有 ba
（5）对于所有的 a, b, c A，若每当有 ab 和 bc 就必有 ac ，则称 在 A 上是可传递的(transitive)。
（4）对于所有的 a, b A，若每当有 ab 和 ba 就 必有 a b ，则称 在 A 上是反对称的(antisymmetric).
指 ，则必有一条边由 a aj 。 ai 指向 a
j
ai
例6
设
A {1,2,3}
，下面分别给出集合A上三个关系
的关系图，试判断它们的性质。
解
但 1,3 1. 2 （2） 非自反，也不是反自反，非对称，反对称， 可传递。 3 （3） 是自反的，对称的，可传递的，不是反自反， 也不是反对称。
8 { 1,1 , 2,2 , 0,0 }
对称，反对称
（3）可传递与不可传递
9 { 0,0 , 0,2 , 2,3 , 0,3 } 可传递
10 { 1,1 , 1,2 , 2,3 , 2,1 } 不可传递
11 { 3,0 , 1,2 , 3,2 }
U
10 {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3)}