高中数学选修23《回归分析的初步应用探究非线性回归模型》教案

回归分析的初步应用（教案）

——探究非线性回归模型

一、教材分析

1. 教材的地位与作用：

“回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。

虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。

2. 教学重点、难点：

教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。

教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。

二、学情分析

教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。

三、教学目标

知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。

过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。

情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。

四、教学方法

1. 教法分析

主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。

利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。

2.学法分析

重点指导学生通过观察思考、类比联想，形成“自主探究、合作交流”的学习形式，培养学生从“学会知识”到“会学知识”。

五、教学过程

（一）知识回顾

首先以07年广东的一道高考题引入新课：

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准

煤）的几组对照数据：

（1）请画出上表数据的散点图；

=+；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆy bx a

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预

测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

师：回忆并叙述建立线性回归模型的基本步骤？

生：选取变量、画散点图、选择模型、估计参数、分析与预测。

[设计意图]：为建立非线性回归模型作准备。

（二）创设情境

为了激发学生的学习兴趣，先让学生观看一段有关棉铃虫的视频。★【播放视频】★

生：观看视频。

师：根据背景介绍，指出棉铃虫的繁殖受温度的影响。为有效防治虫害，科学家收集到以下一组数据，

那么科学家得到这些数据后，是怎样处理的呢？下面我们来做一次探索，进而提出问题。

（三）提出问题

一只棉铃虫的产卵数y 和温度x有关，科学家收集了以下7组观测数据：

ο时棉铃虫的产卵数目。

试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为31C

[设计意图]：使学生感受到数学并不只是一些抽象的文字和符号，它来源于生活，又应用于生活。学生明白学习数学有什么用，自然会增加学习数学的兴趣。

师：利用信息技术画出散点图，

并提出问题——适合建立线性回归模型么？

并利用多媒体进行演示散点与直线的拟合情况。

生：经过观察，不难看出样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所

以利用线性回归方程建模无法真实反映两个变量之间的内在关系。

师：那么可以用什么函数来拟合呢？引导学生再次观察散点图，并和学过的函数图像进行比较，鼓励学生继续探索。

[设计意图]：通过观察、类比、联想、知识的迁移和应用等方式，培养学生的观察能力和分析能力，使学生体会知识之间的有机联系。

生：可能会给出各种各样的猜想，比如二次函数、指数型函数甚至幂函数。

师：课堂上主要引导学生探究二次函数和指数函数模型的建立过程，而对于其他的方案，留给学生课后继续探索。

师：两个变量是线性关系时可以利用公式估计出两个参数，当模型不是线性回归模型时，如何估计模型中的参数呢？

生：经过思考发现，如果能将非线性模型转化为线性模型，问题就可以得到解决。 师：经过怎样的变换可以实现转化呢？

在这里学生遇到了难点，通过几个问题的设置，分散难度，以突破难点。

方案1：二次函数模型 2

ˆy

ax bx c =++ 师：是否可以将2

ˆy

ax bx c =++简化为c ax y +=2^

呢？引导学生分析一次项对函数图像的影响。 生：发现一次项只是影响函数的对称性，并不影响函数图像的形状，因此可将方程简化为c ax y +=2

^

。 师：通过什么变换可以将c ax y +=2

^

转化为c at y +=^

呢？

生：通过比较两个表达式，发现可以利用平方变换2

x t =实现转化，得到2

ˆˆy

ax bx c y at c =++→=+，（2

x t =）

方案2：指数函数模型 x

c a

c y 21^

=

师：在实现方案1中模型转化的基础上，提出方案2。指出为了方便计算，通常取以10或以e 为底，课堂上选取以e 为底，进而提出选用不同的底会对结果产生影响么？留给学生课后思考验证。

师：如何将x

c e

c y 21^

=转化为a bx y +=^

？引导学生回忆对数的运算性质以及指对数的关系。

生：找到利用对数变换^

ln y z =可以实现转化，得到a bx z a c y x

c +=→=21^

，（^

ln y z =，1ln c a =，

2c b =）

[设计意图]：在此过程中，学生再次体会“转化”的思想。经过变换后，这两个模型都转化为线性回归模型。

师：如何估计这两个线性回归模型的参数呢？引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据。由于计算量较大，把学生分成两组，分别完成两个模型的数据转化，以节约时间。