24.2.2(第2课时)学案设计

第二十四章圆

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)

学习目标

1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.

2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.

学习过程设计

一、设计问题,创设情境

1.圆的直径是15cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5cm,(2)7.5cm,(3)15cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1),(2),(3);直线和圆的公共点的个数依次是,,.

2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?

二、信息交流,揭示规律

1.切线的判定定理的得出:

作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是;

(2)直线l和☉O的位置关系是.

归纳:切线的判定定理:

经过并且的直线是圆的切线.

请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:

判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.()

(2)与半径垂直的直线是圆的切线.()

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()

2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:

(1);

(2);

(3) .

三、运用规律,解决问题

1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?

2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.

3.已知点O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于点D,以O为圆心,OD为半径作☉O.求证:☉O与AC相切.

课堂小结

若证直线是圆的切线,

1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;

2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.

四、变式训练,深化提高

1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.

2.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.

(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①;②.

(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.

五、反思小结,观点提炼

参考答案

一、设计问题,创设情境

1.相交相切相离210

2.(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.

(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.

二、信息交流,揭示规律

1.(1)r(2)相切半径的外端垂直于半径

∵OA是半径,l⊥OA于点A

∴l是☉O的切线.

判断:(1)×(2)×(3)×

2.总结:(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线

(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线

(3)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

三、运用规律,解决问题

1.略

2.证明:连接OC(图略).

∵在△OAB中,OA=OB,CA=CB,

∴AB⊥OC于C.

∵OC是☉O的半径,

∴AB是☉O的切线.

3.证明:过O作OE⊥AC于点E(图略).

∵AO平分∠BAC,OD⊥AB,

∴∠DAO=∠CAO,

∠ADO=∠AEO=90°,

又∵AO=AO,∴△ADO≌△AEO,

∴OE=OD,

即圆心O到AC的距离d=r,

∴AC是☉O的切线.

课堂小结:1.这点和圆心直线垂直于经过这点的半径2.圆心直线的垂线段这条线段的长等于圆的半径

四、变式训练,深化提高

1.证明:过点O作OF⊥AB于点F

∵AB=AC,AO⊥BC,

∴AO平分∠BAC,

又∵OE⊥AC,OF⊥AB,

∴OE=OF,

∴AB是☉O的切线.

2.(1)AB⊥EF∠CAE=∠B

(2)证明:过点O作直径AD,连接DC.∵AC=AC,

∴∠D=∠B.

∵AD是直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠CAD+∠D=90°,

即∠CAD+∠B=90°.

又∵∠CAE=∠B,

∴∠CAD+∠CAE=90°,

∴OA⊥EF,

∴EF是☉O的切线.

五、反思小结,观点提炼

略