高中数学竞赛培优——不等式

不等式

例1. 已知122016,,,x x x ⋅⋅⋅ 均为正实数，则

3201621112122015122016

4x x x x x x x x x x x x x +

++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c

M b a

++=

- 的最小值为

____________

例3. 记223

(,)()(),03x F x y x y y y

=-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________

例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103

a b a b ≤+

++<

例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=⋅⋅⋅约定11,n x x += 证明：()

()

2

12

2

1

11

.2

11n

k k k k x n

x x +=++

≥

++∑

证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=⋅⋅⋅令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ⎡⎫

=∈=⋅⋅⋅⎪⎢⎣⎭

约定

11,

n θθ+=

()

()

2

44

112

2

11

=cos sin 11k k k k k x x x θθ++++

+++()

2

222211

cos sin cos sin 2

2

k k k k θθθθ++++≥

=

所以()

()

2

22112

2

11

1cos sin 1

=.2211n

n

k k k k k k k x n

x x θθ++==+++

≥++∑

∑

例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1

.23n n n

⋅⋅⋅⋅⋅< ()ln 1n n <- 例7. 已知*

,,n N

x n ∈≤求证:2(1)n x x

n n e x n

--≤.

【证明】原不等式等价于2

((1))x

n n x n x n e n

-≤-⋅.

当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;

当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,

从而22222((1))((1)(1))(1)(1)x

n

n n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n

-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证

例8. 212

(),(1)1,()23

x f x f f ax b =

==+，数列{}n x 满足1()n n x f x +=，且112x =。

（1）求n x 的通项； （2）求证：121

2n x x x e

>

。 ►分析与解答：

（1）2112(1)1,()1232f f a b a b ====++，2

23a b a b +=⎧⎨

+=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩，2()1x f x x =+，所以121

n

n n x x x +=

+ 1111(1)2n n x x +=+。令1111()2n n x x λλ++=+，11,122

λλ-==-。 1111111111(1),1(1)()22n n n n x x x x -+-=--=-⨯，11

11()2

n n x -=+。

（2

）

011121111

(1())(1())(1())22222n n x x x e

e ->⇔+++<1111

(1)(1)(1)242n e -⇔+++<。

1n >时由均值不等式

11)

(1)2n -+<1111

(1)

2

2(1)11111111242211

n n n n n ----+++++++-=-- 111

111n n n -+<=+--。所以

1

111

11(1)(1)(1)(1)2421n n n --+++

<+-。注意到1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬

⎩

⎭单调递增，且

1lim(1)n n e n →∞+=。所以111

1

(1)(1)(1)24

2

n e -+++

<。 例9. 已知：224 1.ab c d =+= 求证：()()22

2.5

a c

b d -+-≥

例10.已知实数]106[，

-∈i x ，5010

1=∑=i i x ，10321、、、、 =i ，当∑=10

1

2i i x 取到最大值时，

有多少个-6？ ►分析与解答： 设

6

i i a x =+，则

[0,16]

i a ∈，且

10

1

110i

i a

==∑，

10

10

10

10

2

2

21

1

1

1

12360960i

i i i i i i i a

x x x =====++=+∑∑∑∑。

于是原问题转化为当10

21

i i a =∑取最大值时，有几个0i a =。

当i a 中有不少于两个数，且同时不等于0，不等于16时，设为,p q 。 ①

16

p q +≥时，则

22222216(16)()21632322216p q p q p q pq ++--+=⨯--+=⨯+

22(16)322162(16)1632q p q q q -->⨯+-⨯-（看作一个关于p 的一次函数，

160q -<，单调递减）0=。

即222216(16)p q p q ++->+，故不改变其他数字，用16代替p ，16p q +-代替q ，10

21i i a =∑增大；

②16p q +<时，则22220()()20p q p q pq ++-+=>。故用0代替p ，p q +代替q ，10

21i i a =∑增大。

综上，当10

21

i i a =∑取最大值时，至多只有一个0i a ≠，且16i a ≠。

而11016614=⨯+，故i a 中应取6个16,1个14,3个0，即有3个-6.