线性规划专题

1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到

例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≤⎩

，则32z x y =-的最小值是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】C

【解析】不等式组对应的可行域如图所示：

过()2,0时，z 取最小值为6，故选C ．

2．目标函数为二次式

例2：若变量x ，y 满足1

20x x y x y ≤⎧⎪

≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）

A B ．7

C ．9

D ．10

【答案】D

【解析】目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方， 所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，

线性规划专题

观察可得最远的点为()1,3B -，所以2

max 10z OB ==．

3．目标函数为分式

例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010

x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则1

1y s x +=+的取值范围是（ ）

A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．[]1,2

D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【答案】D 【解析】所求1

1

y s x +=

+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率． 从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可， 可得在()1,0处的斜率最小，即()()

min 011112

k --=

=--， 在()0,1处的斜率最大，为()()

max 11201k --=

=--，

结合图像可得1

1y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

．故选D ．

4．面积问题

例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则

k 的值为（ ）

A ．

73

B ．

37

C ．173

-

D ．317

-

【答案】C

【解析】在坐标系中作出可行域，

如图所示为一个三角形，动直线4y kx =+为绕定点()0,4的一条动直线， 设直线交AC 于M ，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABM BCM S S =△△， 观察可得两个三角形高相等，所以AM MC =，即M 为AC 中点，

联立直线方程可求得40,3A ⎛⎫

⎪⎝⎭，()1,1C ，则17,26M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线方程可解得173

k =-．

一、单选题

1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+-≤⎩

，则z x y =-的最大值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

【答案】B

【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，

由z x y =-在y 轴上的截距越小，目标函数值越大， 所以最优解为()1,0，所以z 的最大值为1，故选B ．

2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪≤≤⎩

，则其表示的平面区域的面积为（ ）

对点增分集训

A ．

94

B ．

274

C ．9

D ．

272

【答案】B

【解析】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪≤≤⎩

，如图所示：

可知14x ≤≤范围扩大，实际只有03x ≤≤，

其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为1327

33224

S ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭．故选B ．

3．已知实数x ，y 满足1

22022x y x y x y -≤⎧⎪

-+≥⎨⎪+≥⎩

，若z x a y =-只在点()43,

处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,

D ．12⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

,

【答案】C

【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤⎧⎪

-+≥⎨⎪+≥⎩

作可行域如图，

联立22

1x y x y -=-⎧⎨

-=⎩，解得()43C ,,当0a =时，目标函数化为z x =， 由图可知，可行解()43,

使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1z

y x a a

=-，此直线斜率大于0，

当在y 轴上截距最大时z 最大，

可行解()43,

为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1z

y x a a

=

-，此直线斜率为负值， 要使可行解()43,

为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解， 则

1

0a

<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是()1-∞,

．故选C ． 4．已知实数x ，y 满足约束条件2

22020

x x y x y ≤⎧⎪

-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）

A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

,

B ．4233⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

,

C ．3324⎛⎤⎡⎫

-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

U ,,

D ．3342⎛⎤⎡⎫

-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

U ,,

【答案】C

【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示， 由题意得()22A ,

，()24B -,．