高中数学-分段函数及题型
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
高考复习专题13 分段函数-高中数学精品课件(必修1)
2019/9/10
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
（2）若f (a)＝3，则 ①a＋1＝3，解得a＝2（舍去）
②a2＋2a＝3，解得a＝－3（舍去），或 a＝1（符合题意）
③2a－1＝3，解得a＝2（符合题意）. 综上可得，a＝1或a＝2.
例4.设函数
x2, x 0 f (x)
,若
x 8, x 0
f (x0 ) 1 ，
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
高中数学专题：抓重点——函数性质与分段函数
故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2， 则x1＋2 x2＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确. 故正确命题的序号为①②④.
答案 ①②④
题型三 分段函数
－x2＋2x，x>0，
例 3 已知函数 f(x)＝0，x＝0， x2＋mx，x<0
(1)函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5.下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1
－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( A )
A.f(x)＝ 1x－x
B.f(x)＝x3
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝2x
解析 “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－
所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1 ＋0＝1， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]×336 ＝336. 答案 336
点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、 图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间 上求解.
变式训练1 (1)(天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－
1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)， 则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c
B.c＜a＜b
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
解析 由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，
2 则实数a的取值范围为( )
A.[－61，16]
B.[－
高三数学-专题复习-函数(1)分段函数及题型
x 2【经典例题赏析】例1 .求函数f (X ) 【解析】当x 0时, 分段函数及题型 4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)f max ( x) f(0) 3,当 0 x 1 时，f max (x) f (1) 4 x 5 1 5 4,综上有 f max (x) 4.例2 .在同一平面直角坐标系中 ,函数y f (x)和y g(x)的图象关于直线y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移 2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示),则函数 f (x)的表达式为() 答案A. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)B. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)C. f(x)2x 2 今1 (1 (2 2)4)D. f(x) 2x 6今3 (1 (2 2)4)例3 .判断函数f(x) x 2(x 1) (x x 2(x 1)(x 0)的奇偶性. 0)【解析】当x 0时，x 0, f( x) x)2( x 1) x 2(x 1) f (x),当 x f( 0) f (0) 0, 当x 0, 0,f( x) (x)2( x 1) x 2(x 1) f (x)因此, 对于任意x R 都有f( x) f(x),所以f(x)为偶函数.1 o 2f '(x) 3x 2 1 1恒成立,所以f (x)是单调递增函数,当x 0 f (x)也是单调递增函数,所以f (x)在R 上是单调递增函数 或画图易知f(x)在R 上是单调递增函数 例5 .写出函数f (x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x 4)【解析】f(x) 3 x (-2x2),画图易知单调减区间为(，弓］.3x 1 (x 2)x 2 1 (x 0)例6 .设函数f(x) 1,若f(x 。
)1 ,则x 0得取值范围是( )答案D.x 2 (x 0)f (x) 1 4 \ x 1 1 \ x 1 3 x 10 , 0 x 10, 故选A 项.例4 .判断函数f(x) X 3 x(x X 2 (x 0)的单调性. 0) 【解析】 A.( 1,1) B.( 1,)C.( ,2) (0, )D. ( , 1) (1,) 例7 .设函数 f(x)(x 1)2 (x 1) 则使得f (x) 1的自变量x 4 、、x 1 (x 1) 的取值范围为 () A .(, 2] [0,10] B. (,2] [0,1] C.(, 2] [1,10] D. [2,0] [1,10] 【解析】 当 x 1 时，f (X )1 (x 1)21 x 2或x 0 , 所以x 2或0 x 1, 显然f(x)连续.当x 0时,时,f '(x) 2x 0恒成立, 所以1 x 10 , 综上所述,1 .函数y3 函数y lg x ()A.是偶函数，在区间（B.是偶函数，在区间（C.是奇函数，在区间（0,D是奇函数，在区间（0, 2、画出函数y |x 1|针对性课堂训练,0）上单调递增,0）上单调递减）上单调递增）上单调递减|2x 3|在区间［4,3）的图象3x 2(4 x 3)3x 2(1 x 3)4 •某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是t 20,t 100, 0 t25 t25,t N,该商品的日销售量30,t N. Q （件）与时间t （天）的函数关系是t 40 (0 t 30,t N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?。
【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题专题突破(含答案)
【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0,2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0,2]∪[3，＋∞）2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋14.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－15.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0,1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0,1）8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3,1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.410.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0,1]D.（－∞，1]12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0，2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0，2]∪[3，＋∞）【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）的值域为[0，2]∪[3，＋∞）.2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）＝因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），则f（x）∈（2，＋∞），若x∈[－1，2]，则f（x）∈[－，0]，∴f（x）的值域为[－，0]∪（2，＋∞）.3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋1【答案】D【解析】f（－2）＝0，f（0）＝π，f（π）＝π＋1.4.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－1【答案】C【解析】5.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵<1，∴f＝3×－b＝－b.若－b<1，即b>，则f＝3－b＝－4b<－≠4.若－b≥1，即b≤，则f＝2＝5－2b＝4，b＝.故选D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝【答案】D【解析】由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0，1）【答案】B【解析】①当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f（x）＝－x－1，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x－2>－1，解得x<－，则－1≤x<－.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时f（x）＝－x＋1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x＋2>－1，解得x<，则0<x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－）∪（0，1].8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3，1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）【答案】B【解析】原不等式可化为或或（不成立，舍去），解得x>1或x<－3. 9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2可得⇒当x≤0时，f（x）＝x⇔x2＋3x＋2＝0⇔x1＝－1，x2＝－2，有两个解，当x>0时，f（x）＝x显然有一个解x＝2，故选C.10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【答案】A【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0，1]D.（－∞，1]【答案】B【解析】由题意知函数g（x）在区间[－2，2]上的值域是函数f（x）在区间[－2，2]上的值域的子集；因为当x∈[0，2]时，－1≤x2－1≤3，当x∈[－2，0）时，－4≤－x2<0，所以函数f（x）的值域是[－1，3]∪[－4，0）＝[－4，3]，所以解得－≤a≤1.12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.【答案】f（x）＝【解析】设x<1，则2－x>1，且f（x）＝f＝f（1－（x－1））＝f（2－x）＝＋1.∴f（x）＝13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.【答案】（1）因为5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f（f（f（5）））＝f（1）＝12－2×1＝－1.（2）f（x）的图象如下：14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.【答案】（1）∵－∈（－∞，－1），∴f＝－2×＝3.∵∈[－1，1]，∴f＝2.又2∈（1，＋∞），∴f＝f（2）＝2×2＝4.∵4.5∈（1，＋∞），∴f（4.5）＝2×4.5＝9.（2）经观察可知a∉[－1，1]，否则f（a）＝2.若a∈（－∞，－1），令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈（1，＋∞），令2a＝6，得a＝3，符合题意.∴a的值为－3或3.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.【答案】（1）若a＝－3，则f（x）＝所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11.（2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不符合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合.综上可知，a＝－.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.【答案】（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元.（2）当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60. 则有解得所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.【答案】（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.（2）f（x）＝等价于①或②解①得x＝±，②解集为∅.∴当f（x）＝时，x＝±.（3）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.【答案】设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以y＝即y＝当1≤t≤24，t∈N时，t＝10，y max＝900；当25≤t≤30，t∈N时，t＝25，y max＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）【答案】（1）由图（1）可得f（t）＝g（t）＝（t－150）2＋100（0≤t≤300）.（2）设从2月1日起的第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）－g（t）＝＝故h（x）在区间[0，200]上的最大值为h（50）＝100，在区间（200，300]上的最大值为h（300）＝87.5，由100>87.5可知，h（t）在[0，300]上的最大值为h（50）＝100，这时t＝50，即从2月1日起的第50天上市，产品的纯收益最大.20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.【答案】（1）∵－3<1，∴f（－3）＝－2×（－3）＋1＝7，∵7>1，∴f（f（－3））＝f（7）＝72－2×7＝35，∵3>1，∴f（3）＝32－2×3＝3，∴f（f（3））＝3，∴f（f（－3））>f（f（3））.（2）函数图象如图所示：（3）由f（x）＝1的函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去）.综上可知x的值为0或1＋.。
新人教版高中数学必修第一册分段函数ppt课件及课时作业
f(1)＝3×1＋5＝8，f
f
－52＝f
－52＋1
＝f －32＝3×－32＋5＝12.
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得 a≥1 或 a≤－12， 即实数 a 的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞).
则23cc＋ ＋dd＝ ＝46， ， 解得cd＝＝20，， 所以f(x)＝2x，
x＋2，x<－1，
所以 f(x)＝x2，－1≤x≤2， 2x，x>2.
三
分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日 开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是 “一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰 墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每 生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝ 180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手 办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. 求 “ 冰 墩 墩 ” 玩 具 手 办 销 售 利 润 y( 万 元 ) 关 于 产 量 x( 万 盒 ) 的 函 数 关 系 式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总 价＝固定成本＋生产中投入成本)
延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－23∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－23 或2.
高中数学-分段函数及题型
x高中数学-分段函数及题型【解析】4x 3 (x0)例1 •求函数f(x)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x1)【解析】当x时，fmax(x)f(0)3,当 0 x 1 时，f max (X ) f (1) 4,当 x 1 时,x 51 5 4,综上有f max (x)4 .【经典例题赏析】例2.在同一平面直角坐标系中 x 0,f( x)(x)2( 1) x 2(x0, x 0, f( x)x)2( x1)任意 x R 都有 f( x)f (x),所以f(x)为偶函数.例4 •判断函数 f(x)x 3 x (x 0)2 x的单调性.(x 0)1) f (x),当 x2x (x 1) f (x)因此，对于函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线 y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位 ,再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示)，则函数f (x)的表达式为(B. C. 2x 2 (1x 0) x 22 (0x 2) y i f k2x 2 (1 x 0) 3'/x 2 2 (0x 2)2 “7 2x 2 (1 x 2)/x 21 (2 x 4) -2 -1o12x 6 (1 x 2)x2 3 (2 x 4)例3 •判断函数f(x)x 2(x 1)x 2(x(x 0) 的奇偶性.1)(x0)答案A.)f(x)f(x)f(x)► x D. f(x)【解析】显然f(x)连续.当x 0时，f (x) 3x 21 1恒成立，所以f(x)是单调递增函数，当x 0时,在R 上是单调递增函数 例5•写岀函数 f(x) |12x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x2)【解析】f (x)3 x (； x 2),画图易知单调减区间为(,；]3x 1(x 2)2 x 1 (x0)例6 •设函数f(X )1,若f (x 0) 1,则x 0得取值范围是()答案Dx 2(x 0)故选A 项.A.( 1,1)B.( 1,)C.( J2)(x1)2(x 1)例7 •设函数 f(x)4 - ,x 1(x 1)范围为()A •(,2] [0,10]B(0, ) D- ( , 1) (1,)则使得f (x) 1的自变量x 的取值 (,2] [0,1]f '(x)2x 0恒成立，f (x)也是单调递增函数所以f (x)在R 上是单调递增函数或画图易知f(x)C. ( , 2] [1,10]【解析】D. [ 2,0] [1,10]2当 x 1 时，f (X )1 (x 1)x 2或x 0 , 所以x2或 0 x 1 ,当 x 1 时,f(x) 14 、、x 1 1 1 3 x 10，所以1 x 10,综上所述x 2或 0 x 10,t 20,4.某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是p t 100,该商品的日销售量 Q （件）与时间t （天）的函数关系是 Q t 40 （0 t 金额的最大值，并指岀日销售金额最大的一天是30天中的第几天？2、 针对性课堂训练x 的图象是1 .函数y 函数 A . B. C. y ig x ( 是偶函数，在区间是偶函数，在区间是奇函数，在区间是奇函数，在区间画岀函数y |x 3x 2( 4 3x 2(1 x(0, (0,,0）上单调递增 ,0）上单调递减）上单调递增 ）上单调递减1| 1) 3)|2x3 1在区间［4,3）的图象0 t 25,t N, 25 t 30,t N.30, t N ），求这种商品的日销售。
分段函数的性质与应用
高中数学微专题之——分段函数【考纲要求】【考题分析】【命题规律】分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.【基础知识】若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化．即“分段函数——分段看” ．【题型分析】【题型一】求函数值【例1】(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．【例2】设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。
由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。
湘教版高中数学必修第一册-3.1.3简单的分段函数【课件】
2
一坐标系下的图象：
(2)∀x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)＝{f(x)，
g(x)，h(x)}，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的
值域．
解析：(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为：
结合图象得函数M(x)＝
3
当a≥2时，有2a＝3，∴a＝ ，与a≥2矛盾．
综上可知a＝ 3.
2
易错警示
易错原因
忽视对a的讨论致误．
纠错心得
涉及自变量为参数的分段函数求参数问题，
应根据参数与分段函数的定义域的关系分
类讨论．
1．f(x)＝|x－1|的图象是(
课堂十分钟
)
答案：B
x − 1，x ≥ 1，
解析：因为f(x)＝|x－1|＝ቊ
3x，x ≥ 4，
(－∞，－3)
围为___________．
解析：(1)当x>1时，－x＋1＝－1，解得x＝2；当x≤1时，x2－1＝－1，解得x＝
0.综上，x＝0或x＝2.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集为(－∞，－3)；
当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；
x 2 + 1，x ≤ 1
解析：∵f(x)＝ቊ 2
，
x + x − 2，x > 1
∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋2－2＝4.
2 − 2x，x ≥ 1，
3x
5．已知函数f(x)＝ቊ
求使f(x)＜2成立的x的值组成
2
高中数学 课时分层作业16 分段函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
课时分层作业(十六) 分段函数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是( )A．1 B．2 C．8 D．9A[f(3)＝3－2＝1.]2．函数f(x)＝x＋的图象是( )A B C DC[当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，根据一次函数图象可知C正确．故选C.]3．函数f(x)＝的值域是( )A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]B[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}．]4．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )A. B．9C．－1或1 D．－或A[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米A[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.]二、填空题6．设函数f(x)＝则f(2)＝________.[答案] 17．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．f(x)＝[由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.综上，f(x)＝]8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．－[在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]三、解答题9．已知函数f(x)＝(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图象．[解](1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1≤4.所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的图象如下：10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.[等级过关练]1．设f (x )＝则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16A [f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.] 2．设函数f (x )＝，若f (a )＝4，则实数a ＝( ) A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2B [由或得a ＝－4或a ＝2.]3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．－ [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－.] 4．若定义运算a ⊙b ＝则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． (－∞，1] [由题意得f (x )＝画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．]5．《中华人民某某国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%x y(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？[解](1)由题意，得y＝错误!(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，解得x＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元．。
高中数学函数分段题解题技巧
高中数学函数分段题解题技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的分段则是函数的一种特殊形式。
分段函数在解题过程中常常出现，因此掌握解题技巧是非常重要的。
本文将介绍一些常见的函数分段题解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应对这类题目。
首先，让我们来看一个例子：已知函数f(x)如下所示：\[f(x) = \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\2x+1, & x > 0 \\\end{cases}\]我们需要求解f(x)的定义域、值域以及图像。
要求解定义域，我们需要注意到函数的定义域是指函数的自变量取值范围。
在这个例子中，我们可以看到函数f(x)在x小于等于0的时候是x的平方，在x大于0的时候是2x+1。
因此，函数的定义域可以表示为：x ≤ 0 或 x > 0。
也就是说，函数的定义域是整个实数集。
接下来，我们来求解值域。
值域是函数的因变量取值范围。
在这个例子中，我们可以看到当x小于等于0时，函数的值是x的平方，而x的平方是非负数，所以值域是[0, +∞)。
而当x大于0时，函数的值是2x+1，它的取值范围是(-∞, +∞)。
因此，整个函数的值域是(-∞, +∞)。
最后，我们来绘制函数的图像。
由于函数f(x)在x小于等于0和x大于0时的表达式不同，我们需要分别绘制这两部分的图像。
当x小于等于0时，函数的表达式是x的平方，这是一个开口向上的抛物线。
当x大于0时，函数的表达式是2x+1，这是一条斜率为2的直线。
因此，我们可以将这两部分的图像连在一起，得到整个函数的图像。
通过这个例子，我们可以总结出一些解题技巧：1. 注意函数的定义域和值域。
定义域是函数的自变量取值范围，值域是函数的因变量取值范围。
在分段函数中，不同的定义域和值域可能对应不同的表达式。
2. 绘制函数的图像时，需要根据不同的定义域和表达式来绘制不同的部分。
可以先绘制各个部分的图像，再将它们连在一起。
高中数学课件-分段函数的练习题
解析 (1)当x∈[－1,2]时，由3－x2＝1⇒x＝ 2； (2)当x∈(2,5]时，由x－3＝1⇒x＝4.
综上所述，f(x)＝1的解为 2或4.
15
第1步 狂刷小题·练基础
第2步 精做大题·练能力
高考总复习首选用卷·文科数学
24．[2017·河北四校联考]已知a≠0，函数f(x)＝
2x＋a，x<1， _－_－_x_－34__2．a，x≥1.
19
第1步 狂刷小题·练基础
第2步 精做大题·练能力
高考总复习首选用卷·文科数学
60t，0≤t≤52， 解 y＝150，52<t≤72，
150－50t－72，72<t≤123.
60t，0≤t≤52， 即y＝150，52<t≤72，
325－50t，72<t≤123.
20
第1步 狂刷小题·练基础
第2步 精做大题·练能力
8
第1步 狂刷小题·练基础
第2步 精做大题·练能力
高考总复习首选用卷·文科数学
解析
x，x>0，
由已知可知 xsgnx＝0，x＝0， －x，x<0，
x，x>0，
而|x|＝0，x＝0， －x，x<0，
所以|x|＝xsgnx，故选 D.
9
第1步 狂刷小题·练基础
第2步 精做大题·练能力
高考总复习首选用卷·文科数学
若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a的值为
解析 当a>0时，1＋a>1,1－a<1.因为f(1－a)＝f(1＋
a)，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－
3 2
(舍去)；当
a<0时，1＋a<1,1－a>1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，
高中数学分段函数与绝对值函数问题
微点深化 分段函数与绝对值函数问题 分段函数问题是高考考查的热点问题.分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否发生变化，进而讨论函数的图象与性质，即“分段函数—分段看”.绝对值函数实质上就是分段函数，通常先去绝对值符号转化为分段函数求解.【例1】 (1)(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. (2)(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.解析 (1)由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0.作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)的图象，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，解得4<a <8.答案 (1)－25 (2)(4，8)【例2】 (1)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2018·镇江期末)已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________.解析 (1)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).(2)作函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象，如图所示，两图象除了(0，2)还应有3个公共点，当k ≥0时，直线应与曲线y ＝f (x )(x ＞1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k ＜0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫y ′＝－1（x ＋1）2相切于点(0，2)时，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1＜k ＜0时，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f (x )(0＜x ＜1)相切时，两图象只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k ＜－e 时，两图象只有两个公共点，不合题意，而当－e ＜k＜－1时，两图象有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1).答案 (1)[－1，＋∞) (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1) 探究提高 1.分段函数以填空题形式出现，考查方向主要有以下几个方面：(1)给出分段函数求值；(2)给出分段函数值确定自变量或参数范围；(3)分段函数值域问题；(4)分段函数的单调性、奇偶性；(5)分段函数的图象问题；(6)分段函数与不等式、方程问题等.2.含绝对值的函数本质上是分段函数，往往要先去绝对值再结合图象研究，主要有以下三类：(1)形如y ＝|f (x )|，转化为y ＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≥0，－f （x ），f （x ）＜0，结合图象求解； (2)形如y ＝f (|x |)，此类函数为偶函数，因此先研究x ≥0的情况，x ＜0时可利用对称性得到；(3)函数的解析式中部分含有绝对值，如y ＝|x －a |＋1，y ＝x 2＋|x －a |等，先去绝对值，转化为一般分段函数求解.【训练1】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.(2)(2018·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2，x ＞－12，g (x )＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.(2)由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12＋2， 因为a ≤－12，所以－2≤1a ＜0，从而－7≤f (a )＜1；当a ＞－12时，f (a )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，因为a ＞－12， 所以1＋a 2＞14，从而f (a )＜2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2).令h (b )＜2，即b 2＋2b ＋2＜2，解得－2＜b ＜0.答案 (1)[4，8) (2)(－2，0)【训练2】 (1)(2018·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________.(2)(2018·苏北四市期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x ＋1|，x ≤1，（x －1）2，x ＞1，函数g (x )＝f (x )＋ f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________.解析 (1)法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上分别为减函数和增函数，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(2)由题意得f (－x )＝⎩⎨⎧2－|－x ＋1|，x ≥－1，（x ＋1）2，x ＜－1，从而g (x )＝f (x )＋f (－x )＝⎩⎨⎧（x －1）2－（x －1）＋2，x ＞1，2，－1≤x ≤1，（x ＋1）2＋（x ＋1）＋2，x ＜－1，当x ＞1时，不等式g (x )≤2可化为(x －1)2－(x －1)＋2≤2，解得1＜x ≤2； 当－1≤x ≤1时，g (x )＝2，所以不等式g (x )≤2恒成立；当x ＜－1时，不等式g (x )≤2可化为(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2≤2，解得－2≤x ＜－1. 综上所述，不等式g (x )≤2的解集是[－2，2].答案 (1)32 (2)[－2，2]。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数常见题型解法-含答案
【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.。
高一上学期分段函数知识点
高一上学期分段函数知识点在高中数学中，分段函数是一个很重要的概念和知识点，它经常出现在数学题中，不仅在高中阶段，甚至在大学里也会涉及到。
分段函数是由两个或多个函数拼接而成的函数，它在不同的区间内有不同的表达式或定义域。
本文将介绍高一上学期分段函数的一些重要知识点。
一、分段函数的定义分段函数是由多个函数组成的复合函数，它的定义域可以分为不相交的区间，并且在每个区间内有不同的函数表达式。
通常用符号“|”来表示，例如f(x) = { 2x, (x<0); 3, (0≤x<1); -x^2, (x≥1) }。
这个例子中，当x小于0时，函数的表达式是2x；当x在0到1之间时，函数的表达式是3；当x大于等于1时，函数的表达式是-x^2。
分段函数可以有两个、三个或多个不同的函数表达式。
二、基本形式分段函数的基本形式可以分为两种，即含有绝对值的分段函数和线性分段函数。
含有绝对值的分段函数通常是在定义域的某些区间内，函数的表达式中带有绝对值符号“|”，例如f(x) = |x+1|。
这个函数在x小于-1时，表达式为-(x+1)；在x大于等于-1时，表达式为x+1。
线性分段函数则是在不同的区间内，函数的表达式都是线性函数。
三、性质分段函数具有一些特殊的性质。
首先，它在每个区间内的表达式通常是连续的，即函数图像不存在突变或断裂的情况。
其次，当x趋于某个定点或者某个区间的边界时，分段函数的极限存在。
这使得我们可以通过分段函数来研究一些变量的变化规律。
另外，分段函数的图像是由不同的线段或曲线拼接而成的，它通常呈现出多个折线段或者曲线段的特征。
四、应用分段函数在实际问题中有广泛的应用。
最常见的应用是在建模问题中，例如利润最大化、成本最小化等问题。
分段函数可以帮助我们确定某个变量在不同区间内的变化规律，从而得出最优解。
此外，在物理学中，分段函数也经常用于描述一些非线性规律或者阶段性变化。
五、解题技巧解题中，对于分段函数的处理通常需要根据题目的要求，将给定的条件逐个转化成函数的定义域和表达式。
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高中数学-分段函数及题型
【经典例题赏析】
例1．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <
≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时,
5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
例2．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图
象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿
y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线
（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 答案A.
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)
.()1(24)x
x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 例3．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
【解析】 当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==,
当0x <,
0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于
任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
例4．判断函数3
2
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
y
x
x
【解析】
显然()f x 连续. 当0x ≥时, '
2
()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时,
'()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()
f x 在R 上是单调递增函数.
例5．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图易知单调减区间为
12(,]-∞-. 例6．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）答案D.
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例7．
设函数2(1)(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨
-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】 当
1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时,
()141310f x x ≥⇔-≥⇔
≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤,
故选A 项.
x
y
针对性课堂训练
1．函数x x
x y +=
的图象是
（ ）
3 函数
lg y x =( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D 是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 2、画出函数
|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)
123(4)234(23x x x x x x y
4．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,
025,,100,
2530,.
t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨
-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？。