递推数列求通项公式

例 已知数列{an }中,若a1 1, an1 2an
3(n 1),求数列{an }的通项公式.
练例习3、：数列an 中，a1
1，an1
3an
1，求a
．
n
类型5 an1 pan f (n)( p 0, p 1)
求
法
:
待
定
系
数
法
或
化为an1 pn1
an pn
f (n) pn1
后累加法求解.
已知Sn，求an .
an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n
2)
例2、已知数列an的前n项和Sn，求an
1)Sn 2n2 3n
2)Sn n2 1
例 已知数列{an }满足Sn an 2n 1, 其中Sn是{an }的前n项和,求{an }的 通项公式.
练例习61、、已知Sn为数列an 的前n项和，且Sn 2 2an， 求数列an 的通项公式．
练例习42：、已知正数数列an
的前n项和为S
，
n
an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，
求an .
练习例33、：已知数列an的前n项和为Sn，an 0,
an
6Sn , n an 3
N *.求Sn.
练习4、已知各项均为正数的数列{an }的前 n项和Sn满足S1 1,且6Sn (an 1) (an 2), n N ,求{an }的通项公式.
练例习5：已知数列an的递推公式，求 an.
1）a1
2, an
an1
1 2
n, n
2
2）a1 1, an1 an 2n
类型3 an1 an f (n)
求法：迭代法、累乘法 例 在数列{an }中,已知a1 1,有nan1 (n 1)an (n N , n 2),求数列{an } 的通项公式.
例1、已知数列an的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2 等差数列
2)a1
2,
an1
1 3
an
等比数列
练例习1、：数列an 中，an
0，a11 an1
3
2
1 ，求an． an
例2、数列an
中，aa1n1
6 1
2(an
1)，求an．
类型2 an1 an f (n)
求法：迭代法、累加法
例 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
累加法
已知aa1n an1 f n，求an.
a2 a1 f 2,
aa34
a2 a3
f f
3, 4,
an a1
f 2 f 3 f n an
an an1 f n
满足关系3tSn 2t 3 Sn1 3tt 0, n 2, n N
（1） 求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn},
练习例75、、An、Bn分别为an 、bn 的前n项和，an
4Bn 12 An 13n，求bn．
2n 3 2
类型68、形如an1 f (an ) 归纳法
例8、已知数列an 中，a1 2，an1 求数列an 的通项公式．
2
1 an
，
然后用数学归纳法证明 归纳--猜测--论证
类型9 其它类型
求法：按题中指明方向求解.
例 设数列{an }满足a1 1, a2 2, an
1 3
(an1
2an2
)(n
3,4,)
(1)求证 : 数列{an1 an }是等比数列；
(2)求数列{an }的通项公式an .
练习例18、：已知数列an满足a1 1, a2 3
an2 2an1 an 4，求an.
例 在数列{an }中a1 1, an1 2an 2n
(n N ),求数列{an }的通项公式.
练习1：已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,
练习2: 已知数列{an}满足a1=1, an 3n1 an1 n 2
（1）求a2,a3 ,a4
(2)证明：an
ห้องสมุดไป่ตู้
3n 1 2
练习例2、7：已知数列an的递推公式，求 an.
(3)aa1n1
2, an an
0. 2anan1
练例习13、、设{an}的首项为1的正项数列，且
n
1a
2 n1
nan2
an1an
0n
1,2,3,.....
求它的通项公式。
练例习42、．在正数数列{an}中， a1 1，
Sn
1 2
(an
练习1：）a1 2, an1 3n an
累乘法
a2
a1
f
2,
已知aa1 n an1
f
n，求an.
a3
a2
f
3,
a4 a3
f 4,
an a1
f 2 f 3 f n an
an
an1
f
n
类型4 an1 pan q( p 0, p 1)
求法: 构造法（待定系数法）.
令an1 p(an ), 其中为待定系数, 化为等比数列{an }求通项.
类型6
an1
pan qan
r
(
p, q,
r均不为零)
求法 : 倒数法,若p r,则化为等差数列求
通项;若p r,则化为类型3求通项.
例
已知数列{an }中, a1
1,
Sn
Sn1 2Sn1
1
,
求{an }的通项公式.
类型7 Sn f (an )
求法: 利用n
2时, an
Sn
S
化为
n1
{an }或{Sn }的递推关系求解.
常见递推数列通项公式的求法
复习等差(等比)数列的递推公式
1、等差数列的递推公式：an an1 d (n 2) a1 a an1 an d a1 a
2、等比数列的递推公式：aa1n
an1q(n a
2)
aa1n1
a
an
q
课前练习
(1)写a出1 a21 2，d 3的等差数列的递推公式 ；
1 an
) ，求
an
。
练习例59、：已知数列an的前n项和为Sn，a1 1,
Sn1 4an 2, n N *.
(1)若bn an1 2an ,求证：bn为等比数列；
(2)设cn
an 2n
, 求证：cn 为等差数列；
(3)求S n .
练习6例、4、设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，
an1 an 3
(2)写出a1 2，q 3的等比数列的递推公式 ；
a1 2 an1 3an
(3)已知a1 3，an an1 4(n 2)，求an；
an 3 (4)已知a1
an 2
(n 1) (4) (21，)na1n
3
7 4n 1 3 an1 (n
2)，求an．
类型1 定义法