二面角典型例题分析ppt课件
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例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、 平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．
M B P
AN a
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
7
例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面 ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；
(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
P
A B
D C
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．
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1
常见二面角的平面角的作法
1.利用定义. A 2.利用三垂线定理及其逆定理.
D
BO C
AB=AD,BC=CD
A
aO B
A, AB
A
3.作棱的垂面.
D
B
O E
C
BP
a
C
A
AB=AD,BDC=900 P2
3
例.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面 角的度数）是 60，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 30 ，沿这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
D
100m
30 0
600 H
A
C
G
B
DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米)
答：沿直道前进100米， 升高约43.3米
5
例1 如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二 面角B－PA－C的平面角的正切值．
P
A
C
B
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后， 再用解三角形的方法来求解．
它就是这个二面 角的平面角
αD
D
β
A
C
30 60H
B AC
G
B
4
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、 平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．
M B P
AN a
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
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例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面 ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；
(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
P
A B
D C
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．
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常见二面角的平面角的作法
1.利用定义. A 2.利用三垂线定理及其逆定理.
D
BO C
AB=AD,BC=CD
A
aO B
A, AB
A
3.作棱的垂面.
D
B
O E
C
BP
a
C
A
AB=AD,BDC=900 P2
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例.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面 角的度数）是 60，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 30 ，沿这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
D
100m
30 0
600 H
A
C
G
B
DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米)
答：沿直道前进100米， 升高约43.3米
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例1 如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二 面角B－PA－C的平面角的正切值．
P
A
C
B
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后， 再用解三角形的方法来求解．
它就是这个二面 角的平面角
αD
D
β
A
C
30 60H
B AC
G
B
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解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60