4、指数函数与对数函数、比较大小

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幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章-《指数函数与对数函数》本章教材分析【2024版】

可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

指数函数对数函数幂函数比较大小

指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。

相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。

因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。

2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。

但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。

相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。

因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。

综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4

指数式和对数式比较大小

指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数xy a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3x y =的单调性.因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c [解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈,所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D. [点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法.例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log b =3log c =则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log log log <<所以b>c,因为2233log log 21log 3log π<==<,所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。

指数函数幂函数对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

指数函数,幂函数,对数函数增长的比较

y y=x4
(1,0)
x
O 1
2
3
x
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢? 对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似值)比较
借助计算器完成右表
y=2x · · · · · · 1 2 1.007 004 4 2.009 733 8 10 1 024 100 1.27×1030 300 2.04×1090 500 3.27×10150 700 5.26×10210 900 8.45×10270 996 6.70×10299 1 000 1.07×10301 1 100 1.36×10331 1 200 1.72×10361 · · · · · ·
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越快。
y 3x
y 2x
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。 y
y=log2x y=log3x y=log5x O
10100－1
10200
3.321 928 1
3.321 928 1
5.15×10247 1.584 962 5
3.27×10150 7.89×10269 0.736 965 6
5.26×10210 3.23×10284 0.485 426 8
8.45×10270 2.66×10295 0.362 570 1 1.07×10301 10300 0.152 003 1
(1,0)
x
幂函数

指数对数比大小及各种题型总结

指数函数与对数函数题型总结题型一：定义域的求解一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围，求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1、分母不为零2、偶次根式的被开方数非负。

3、对数中的真数部分大于0。

4、指数、对数的底数大于0，且不等于15、y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

6、0x 中x 0≠【2019江苏理4】函数276y x x =+-的定义域是_____. 【答案】[－1,7]【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7]. 【2018•江苏理5】函数f(x) =1log 2-x 的定义域为________. 【答案】【解析】解：,即。

【2017年山东理1】设函数y=4-x 2的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.（1,2） B.(1,2] C.（-2,1） D.[-2,1)【答案】D 【解析】由4-x 2≥0得-2≤x≤2，由1-x ＞0得x ＜1，故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x ＜1}.故选D. 【2016江苏理5】函数y=的定义域是．【答案】 [﹣3，1]【解析】解：由3﹣2x ﹣x 2≥0得：x 2+2x ﹣3≤0，解得：x ∈[﹣3，1]，【2014山东理3】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（）A.)210(，B.)2(∞+，C.),2()210(+∞ ， D.)2[]210(∞+，，【答案】 C 【解析】根据函数解析式有意义的条件建立不等式求解.()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-，2x ∴> 或102x ∴<<. 【2014江西理】函数f （x ）=ln （x 2﹣x ）的定义域为（） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】 C 【解析】要使函数有意义，则x 2﹣x ＞0，即x ＞1或x ＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），【2013重庆文3】函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C【解析】由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ．【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2013安徽文11】函数21ln 11y x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的定义域为__________．【答案】(0,1]【解析】由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]．【2013山东文5】函数f (x )＝1123xx -++的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】 A 【解析】由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．【2013江西理2】函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 【答案】B【解析】要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 B 【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2012山东文3】函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（）.A.[2,0)(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-【答案】B 【解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩或02x<.【2012江西理】下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A ．y=B ．y=C ．y=xe xD ．y=【答案】 D 【解析】∵函数y=的定义域为{x ∈R|x ≠0}，∴对于A ，其定义域为{x|x ≠k π}（k ∈Z ），故A 不满足；对于B ，其定义域为{x|x ＞0}，故B 不满足；对于C ，其定义域为{x|x ∈R}，故C 不满足；对于D ，其定义域为{x|x ≠0}，故D 满足；综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．【2012江苏省理】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为．【答案】 (0 6⎤⎦，。

幂函数对数函数指数函数增长速度比较

幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。

这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。

下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。

一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。

当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。

幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。

例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。

另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。

二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。

对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。

例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。

三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。

指数函数随着x的增大而快速增加。

例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。

比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。

2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。

例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。

3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。

例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。

指数函数幂函数对数函数增长的比较(完整版)3

①对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当 x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求． ②对于模型 y＝1.002x，利用计算器，可知 1.002806≈5.005，由于 y ＝1.002x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故当 x∈(806,1 000]时，y>5，因此，也不符合要求． ③对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，且当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求．
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• 三、指数函数、幂函数、对数函数的增长情况
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• 教材P120 练习
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思考探究：函数增长快慢比较
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思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知： C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x； (2)依题意知 x1 和 x2 是使两个函数的函数值相等的自变量 x 的值．当 x<x1 时，2x>x3，即 f(x)>g(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)；当 x>x2 时，f(x)>g(x)．因为 f(1)＝2，g(1)＝1， f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，所以 x1∈[1,2]，即 a＝1.
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• 思考探究：函数不同增长特点在实际问题中的
应用
再计算按模型 y＝log7x＋1 奖励时，奖金是否超过利润 x 的 25%，即当 x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作 f(x)＝log7x＋1－0.25x 的图象(图略)，由图象可知 f(x)在[10,1 000]上是单调递减的，因此 f(x)<f(10)≈－0.316 7<0，即 log7x＋1<0.25x，所以当 x∈[10,1 000]时，y<0.25x. 这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%. 综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．

指数函数与对数函数的计算方法知识点总结

指数函数与对数函数的计算方法知识点总结指数函数与对数函数是数学中重要的函数，广泛应用于科学计算和实际问题中。

本文将对指数函数与对数函数的计算方法进行总结，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。

一、指数函数的计算方法指数函数是以指数为变量的函数，可以表示为y = a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。

指数函数的计算方法主要包括以下几个方面：1. 底数为正数时，指数函数的计算：当底数a大于1时，随着指数x的增大，函数值y也会不断增大；当底数a小于1时，随着指数x的增大，函数值y会不断减小。

2. 底数为负数时，指数函数的计算：底数为负数时，指数函数的计算存在问题，因为负数的指数函数无法在实数范围内得出实数结果。

若需计算负数底数的指数函数，需引入虚数或复数概念。

3. 底数为0时，指数函数的计算：当底数a等于0时，指数函数的计算结果始终为0，即y = 0^x = 0。

4. 底数为1时，指数函数的计算：当底数a等于1时，指数函数的计算结果始终为1，即y = 1^x = 1。

这是因为任何数的1次方都等于自身。

二、对数函数的计算方法对数函数是指以对数为变量的函数，可以表示为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为函数值。

对数函数的计算方法主要包括以下几个方面：1. 底数为正数且大于1时，对数函数的计算：对数函数的主要性质是将指数问题转化为幂问题，通过变换求解复杂问题。

当底数a大于1时，函数值y随着真数x的增大而增大。

2. 底数为1时，对数函数的计算：当底数a等于1时，对数函数的计算结果恒为0，即y = log1(x) = 0。

3. 底数为0时，对数函数的计算：底数为0时，对数函数无意义，因为在实数范围内不存在0为底数的对数函数。

4. 底数为负数或0到1之间时，对数函数的计算：当底数a为负数或0到1之间时，对数函数的函数值y会随着真数x的增大而减小。

三、指数函数与对数函数的运算法则指数函数与对数函数具有一些特定的运算法则，包括：1. 指数函数的乘方法则：(a^m)^n = a^(m*n)，即指数的乘方等于底数为a，指数为m与n的乘积的指数函数。

2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第4章 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较含解析

2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第4章§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较含解析§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标核心素养1。

了解三种函数的增长特征．(重点) 2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸"和“对数增长"．(重点)3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点)通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养．三种函数的增长趋势y＝a x错误!y＝log a x错误!y＝xα错误!在错误!上的增减性增函数图象的变化趋势随x增大,近似与y轴平行．随x增大，近似与x轴平行．α值较小（α〈1），增长较慢;α值较大（α〉1）时，增长较快．增长速度①随x增大，y＝a x增长速度越来越快，并且当a 越大时,y＝a x增长的速度越快．②随x增大，y＝log a x增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝log a x增长速度越慢．③当x足够大时，一定有a x〉xα〉log a x。

思考：举例说明“指数爆炸"增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时,数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4％，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x）的图象大致是(）A B C DD［设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意得，ax＝a（1＋0.104）y,故y＝log1.104x（x≥1)，∴y＝f(x）的图象大致为D中图象．]2．下列函数中,增长速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6xB[对数函数增长的速度越来越慢，故选B.］3．当x〉4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．b<c<a［三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x,y＝x4，y＝4x，当x＝4时,b＝log44＝1，a＝c＝44，所以a，b，c的大小关系是b<c<a.]4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x）＝a1x2＋b1x＋6，g（x）＝a23x＋b2（a1，a2，b1，b2∈R).（1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；（2）在同一直角坐标系下画出函数f（x)与g(x）的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．[解]（1）依题意：由错误!有错误!解得a1＝4，b1＝－4,∴f（x）＝4x2－4x＋6.由错误!有错误!解得a2＝错误!，b2＝5,∴g（x)＝错误!×3x＋5＝3x－1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f（5）＝86万元,乙在今年5月份的利润为g（5）＝86万元，故有f(5)＝g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2）作函数图象如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润:当x＝1或x＝5时，有f（x)＝g（x）；当1〈x<5时,有f（x）〉g（x)；当5<x≤12时，有f(x）<g(x）。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题专题训练精讲精练

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

二级结论专题4 指数函数与对数函数

二级结论专题4指数函数与对数函数二级结论1：不同底的指数函数图像变化规律【结论阐述】当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近y 轴；当底数大于0且小于1时，底数越小，指数函数的图像越靠近y 轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：01c d b a <<<<<，即图1中由y 轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.图1【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应指数函数的底数大小，从而对底数进行定位.【典例指引1】（2022北京市十一学校高一上学期期中考试）1．已知函数x y a =、x y b =、x y c =、x y d =的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A ．b d a c +>+B ．b d a c +<+C ．a d b c +>+D ．a d b c+<+【典例指引2】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期中）2．如图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =，（4）x y d =的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是__________【针对训练】（2022·全国·高一课时练习）3．函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．5413，12B 54，13，12C ．12，1354，D ．13，12，54（2022·全国·高一课时练习）4．已知113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23x y =，310x y -=，410xy =，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知实数a ，b 满足等式23a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤0a b ==其中有可能成立的关系式有（）A ．①B ．②⑤C ．②③D ．④（2022·全国·高一课时练习）6．（多选）已知实数a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中不可能成立的是（）A ．0b a <<B ．0a b <<C ．0a b<<D ．0b a <<7．已知实数,a b 满足等式36a b =，则下列可能成立的关系式为（）A ．=a bB ．0b a<<C ．0a b <<D ．0a b<<（2022·湖南·高一课时练习）8．设a b c d ,,,都是不等于1的正数，,,,x x x x y a y b y c y d ====在同一坐标系中的图象如图所示，则a b c d ,,,的大小顺序是______________．二级结论2：不同底的对数函数图像变化规律【结论阐述】当底数大于0且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近x 轴；当底数大于1时，底数越大，对数函数的图像越靠近x 轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：01b a d c <<<<<，即图2中，在x 轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.图2【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应对数函数的底数大小，从而对底数进行定位.【典例指引1】9．如图，曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别对应函数1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =的图象，则（）A ．432110a a a a >>>>>B ．341210a a a a >>>>>C ．214310a a a a >>>>>D ．123410a a a a >>>>>【典例指引2】（2022四川绵阳南山中学高一上学期期中考试）10．已知实数,a b 满足等式，1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =.其中可能成立的关系式有________.(填序号)【针对训练】（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）11．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b12．若log 8.1log 8.10m n <<，那么m ，n 满足的条件是（）A ．1m n >>B ．1n m >>C ．01n m <<<D ．01m n <<<（2022·湖南五市十校期末考试）13．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<14．设幂函数312,,c c c y x y x y x ===，指数函数1234,,,xxxxy a y a y a y a ====，对数函数1234log ,log ,log ,log b b b b y x y x y x y x ====在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.A ．13201c c c <<<<B ．431201a a a a <<<<<C ．342101b b b b <<<<<D ．431201b b b b <<<<<（2022·湖南·高一课时练习）15．对于函数log m y x =与log n y x =．(1)若01m n <<<，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？(2)若1m n <<，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？（2022·全国·高一课时练习）16．如图所示是6个函数的图像，依据图中的信息将a ，b ，c ，d 从大到小排列.二级结论3：方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k -+=的根【结论阐述】若函数=()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x -=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于=y x 对称，即()()00,x f x 与()()00,f x x 分别在函数()=y f x 与反函数()1y f x -=的图像上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k -+=的根为2x ，则12x x k +=.【应用场景】同底的对数函数与指数函数互为反函数，利用互为反函数的两个函数图像的对称性来求两方程根的和.【典例指引1】17．若实数a 满足e 20x x +-=，实数b 满足ln 20x x +-=，则+=a b ___________.【典例指引2】18．设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：e 20x y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C =__________．【针对训练】19．已知1x 是方程24x x +=的根，2x 是方程24x log x +=的根，则12x x +的值是______________．20．已知1x 是方程lg 3x x +=的一个根，2x 方程103x x +=的一个根，则12x x +=___________.21．已知函数()=f x kx ，1[,e]e x ∈，21()=()exg x ，若()f x ，()g x 图像上分别存在点,M N 关于直线=y x 对称，则实数k 的取值范围为（）A ．1[,e]e-B ．2[,2e]e-C ．3[,3e]e-D ．2(,2e)e-22．若1x 是方程3x xe e =的解，2x 是方程3ln x x e =的解，则12x x 等于A ．4e B ．3e C ．2e D ．e23．已知实数,a b 满足710a a -=，4lg lg 103b b -=-，则ab =___________.24．已知实数,p q 满足：25+=p p ，2log 1=q ，则2+=p q （）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：1．B【分析】如图，作出直线1,x =得到1c d a b >>>>，即得解.【详解】如图，作出直线1,x =得到1c d a b >>>>，所以b d a c +<+.故选：B2．1c d a b>>>>【分析】作直线1x =，由图可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系.【详解】作直线1x =，由图可得11111>>>>c d a b ，即1c d a b >>>>.故答案为：1c d a b >>>>.3．C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而511423>>>.故选：C ．4．A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】23xy =与410xy =是增函数，113x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与311010xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭是减函数，在第一象限内作直线1x =，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A 5．AB【分析】画出指数函数2x y =，3x y =的图象，利用单调生即可得出答案.【详解】如图所示，数2x y =，3x y =的图象，由图象可知：(1)当时0x >，若23a b =，则a b >；(2)当0x =时，若23a b =，则0a b ==；(3)当0x <时，若23a b =，则a b <.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤.故选：AB6．CD【分析】根据2,3x x y y ==的图象，讨论23a b --=与1的大小关系判断,a b 的大小.【详解】由题设，23a b --=，而2,3x x y y ==的图象如下：∴当231a b --=<时，0a b -<-<，即0a b >>；当231a b --==时，0a b ==；当231a b --=>时，0a b ->->，即0a b <<；综上，故C 、D 不可能成立．故选：CD 7．ABC【分析】在同一坐标系内分别画出函数3x y =和6x y =的图像，结合图像即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数3x y =和6x y =的图像，如图所示，由图像知，当0a b ==时，361a b ==，故选项A 正确；做出直线y k =，当1k >时，若36a b k ==，则0b a <<，故选项B 正确；当01m <<时，若36a b m ==，则0a b <<，故选项C 正确；当0a b <<时，易得21b >，则33236a b b b b <<⋅=，故选项D 错误.故选：ABC .8．b a d c<<<【分析】先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由1x =时，函数值的大小判断.【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：11c d >，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故答案为：b a d c<<<9．A【分析】根据对数函数特点，可作直线1y =，根据各曲线与直线的交点越靠左，对应底数越小判断即可【详解】作直线1y =，它与各曲线1C ，2C ，3C ，4C 的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：432110a a a a >>>>>.故选：A【点睛】本题考查对数函数底数大小的判断，技巧是：作一条()0y a a =>的直线，与曲线交点在第一象限越靠左，则对应底数越小，属于基础题10．①②⑤【解析】先画出112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，213xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，考虑动直线y t =与它们的交点情况后可得可能成立的关系式.【详解】112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，213xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：令1123a bt ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当1t >时，由图象可得0a b <<；当1t =时，由图象可得0a b ==；当01t <<时，由图象可得0b a <<；故答案为：①②⑤【点睛】本题考查指数函数的图象和特征，注意底数的变化对图象的影响，注意把大小关系转化为动直线与确定函数图象的交点的横坐标的大小问题，本题属于中档题.11．D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．12．C【解析】根据对数函数图象与性质判断即可得答案.【详解】解：根据题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的数，画出log m y x =，log n y x =的图象，如图，根据函数图象，当1x >时，底数越大，函数值越小，所以有01n m <<<.故选：C.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，是基础题.13．D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10xb =+>，即1b >-又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D14．C【分析】对四个选项一一验证：对于A ：利用幂函数y x α=的图像，直接判断；对于B ：利用指数函数x y a =的图像，直接判断；对于C 、D ：利用对数函数log xa y =的图像，进行判断；【详解】对于A ：要判断的是幂函数y x α=的图像，根据312c c c y x y x y x ===、、的图像可以判断13201c c c <<<<，故A 正确；对于B ：要判断的是指数函数x y a =的图像，作出x =1，看交点，交点高，底数越大，所以431201a a a a <<<<<，故B 正确；对于C 、D ：要判断的是对数函数log xa y =的图像，作出y =1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以431201b b b b <<<<<，故D 正确，C 错误；故选：C15．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据对数函数的性质作答；（）根据对数函数的性质作答．（1）图象如图：图象都过(1,0)点，函数都是单调递减，在直线1x =右侧，底数越小，越靠近x 轴；（2）图象都过(1,0)点，函数都是单调递增，在直线1x =右侧，底数越大，越靠近x 轴．16．d b c a >>>.【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、互为反函数的两个函数图像的特征，进行判断即可.【详解】通过两个对数函数图像的性质可以得出：2>d ；根据函数x y b =的图像与2log y x =的图像关于y x =对称，所以有2b =，即2d b >=；根据三个指数函数的图像可知：10b c a >>>>，因此有d b c a >>>.【点睛】本题考查了通过指数函数和对数函数的图像比较参数的大小，考查了数形结合的思想，考查了对数函数和指数函数的性质.17．2【分析】,a b 可以看作是函数e x y =和ln y x =的图象与直线2y x =-+交点的横坐标，由前两个函数的图象关于直线=y x 对称求解．【详解】e 20e 2x x x x +-=⇒=-+，ln 20ln 2x x x x +-=⇒=-+，而e x y =和ln y x =互为反函数，图像关于=y x 对称，可知=x a 是函数e x y =和2y x =-+交点的横坐标，同理x b =是函数ln y x =与2y x =-+交点的横坐标，且2y x =-+与=y x 垂直，作出图像如下，==1=-+2y x x y x ⇒⎧⎨⎩，所以=x a ，x b =关于=1x 对称，所以2a b +=.故答案为：2．182【分析】由题意，根据两个曲线方程，整理其函数解析式，根据反函数的性质，转化为曲线到直线的最短距离问题，结合导数求切线，可得答案.【详解】由题意，1e :2xC y =，2:ln 2C y x =，由1:ln 2C x y =，则两个函数互为反函数，即12,C C 的图像关于=y x 对称，所以只需求出曲线2C 上的点到=y x 的距离的最小值，2C 对应的函数为ln ln2y x =+，求导1y x '=，故斜率为1的切线方程对应的切点为()1,ln2，从而切线方程为1ln2y x =-+，与=y x 的距离为d =12(,)222d C C d ==⨯，2．【点睛】由于曲线12,C C 表示的是两个互为反函数的图像，图像关于直线y=x 对称，所以转化为曲线上的点到直线=y x 的距离的最小值的2倍．19．4【详解】∵24x x +=，∴24x x =-，∴1x 是2x y =与4y x =-交点的横坐标．又∵24x log x +=，∴24log x x =-，∴2x 是2y log x =与4y x =-交点的横坐标．又2x y =与2y log x =互为反函数，其图象关于y x =对称，由4y x y x=-⎧⎨=⎩得2x =，∴1222x x +=，∴124x x +=．20．3【分析】根据函数与方程的关系，将方程的解转化为函数的交点，根据反函数的性质，利用中点坐标公式，可得答案.【详解】将已知的两个方程变形得lg 3x x =-+，103x x =-+.令：()lg f x x =，()10x g x =，()3h x x =-，画出它们的图像，如图，记函数()lg f x x =与()3h x x =-的交点为11(,)A x y ，()10x g x =与()3h x x =-的图像的交点为22(,)B x y ，由于()lg f x x =与()10x g x =互为反函数，且直线3y x =-与直线=y x 垂直，所以11(,)A x y 与22(,)B x y 两点关于直线=y x 对称，由==+3y x y x -⎧⎨⎩，解得3=23=2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴12322x x +=，则123x x +=.故答案为：3.21．B【分析】根据互为反函数的函数图像关于直线=y x 对称，只需函数()=f x kx 与函数21()=()ex g x 的反函数2ln y x =-有交点，即可存在满足题意的点,M N ，联立二者，反解参数转化为求函数2ln ()x m x x =-，1[,e]ex ∈的值域问题，利用导数求解即可得到答案.【详解】21()=()ex g x 的反函数为2ln y x =-，设(,)M m km ，1[,e]e m ∈，则点(,)M m km 在2ln y x =-上，即满足()f x ，()g x 图像上分别存在点,M N 关于直线=y x 对称，即方程2ln km m =-有解，可得2ln m k m=-，令2ln ()x m x x =-，1[,e]e x ∈，则()2222ln ln 1==2x x x x m x x x---'，当1[,e]e x ∈时，()0m x ≤'，()m x 是减函数，所以()1e ()e m m x m ≤≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2()2e e m x -≤≤，所以22e ek -≤≤.故选：B.22．B 【分析】33=x xe xe e e x =⇔，33ln ln e x x e x x =⇔=再利用函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系【详解】由题意知1x 是方程3xe e x =的解，2x 是方程3ln e x x =的解，即1x 是函数xy e =与函数3e y x =交点的横坐标，2x 是函数ln y x =与函数3e y x =交点的横坐标．因为函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，图像关于对称．所以1x 等于函数ln y x =与函数3e y x=交点的纵坐标，即331222=e x x x e x ⋅=【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点，还是函数的零点利用函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．23．410##10000【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.【详解】因为710lg 7a a a a -=⇔=-，所以a 是方程lg 7x x =-的根；又因为4lg 4lg lg 103107(4lg )b b b b --=-⇔=--，所以4lg b -是方程107x x =-的根；又因为lg y x =与10x y =互为反函数，其图像关于=y x 对称，且直线=y x 与7y x =-的交点的横坐标为72，因为直线7y x =-与=y x 垂直，所以(4lg )7(4lg )722a b a b +-=⇒+-=，又因为lg 7a a =-，所以4(7lg )(4lg )7lg()410a b ab ab -+-=⇒=⇒=.故答案为：410.24．C【分析】将25+=p p 变为25p p =-，2log 1+=q 化为()()2log 22522q q +=-+，令22,log ,5x y y x y x ===-，则方程25p p =-的解即为函数2x y =与5y x =-交点的横坐标，关于()22q +的方程()()2log 22522q q +=-+的解即为函数2log y x =与5y x =-交点的横坐标，根据2x y =与2log y x =互为反函数，得函数y x =与5y x =-的交点M 为函数2x y =与5y x =-交点和2log y x =与5y x =-交点的中点，作出函数图像，结合图像，求出函数y x =与5y x =-的交点M 得坐标，即可得解.【详解】解：由25+=p p ，则25p p =-，由2log 1=q ，则()21log 112q q ++=，即()2log 122q q ++=，则()2log 1123q q +++=⎡⎤⎣⎦，()()2log 22225q q +++=，()()2log 22522q q +=-+，令22,log ,5x y y x y x ===-，则方程25p p =-的解即为函数2x y =与5y x =-交点的横坐标，方程log 1=q ，即关于()22q +的方程()()2log 22522q q +=-+的解即为函数2log y x =与5y x =-交点的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数，则它们关于y x =对称，答案第14页，共14页则函数y x =与5y x =-的交点M 为函数2x y =与5y x =-交点和2log y x =与5y x =-交点的中点，作出函数图像，如图所示：联立5y x y x =-⎧⎨=⎩，解得5252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即55,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()5522522p q ++=+=，即23p q +=.故选：C.。

指数函数对数函数比较大小攻略

指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。

一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。

通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。

指数函数幂函数对数函数增长的比较

11时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就越快.
三幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增长就越快 .
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
y=log2x
4 24
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快
本节内容
一指数函数、幂函数、对数函数图像回顾二指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长就越快.
二对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像影响
y y=logax y=logbx
由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一指数函数、幂函数、对数函数图像回顾二指数函数、幂函数、对数函数增长比较

指数函数与对数函数知识总结

指数函数与对数函数知识点一．指数与指数函数（一）指数1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0n =0。

注意：(1)()n n a a =(2)当 n 是奇数时，n n a a = ，当 n 是偶数时，,0||,0n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：(0,,,1)m n m na a a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）(0,,)rsr sa a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)rr ra ab a b r R =>>∈ 二指数函数 1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，a 叫底数，函数定义域是R ．2．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)+∞（3）过定点(0,1)，即0x =时1y =（4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数3.与指数函数相关的定义域及值域问题（1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式.（2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。

4.指数式的大小比较（1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较（2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较. 二．对数与对数函数对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化log x a x N a N =⇔=对数式指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数真数← N → 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）log a a=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：log N a a N =对数的运算性质如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：1、 log M N log log a a a M N •=+（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M NMa a alog log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、log log n na a M n M =∈（R ）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,＋∞)4) 特别注意：N M MN a a a log log log ⋅≠ ()N M N M a a a log log log ±≠± 对数函数1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。