高数2016寒假训练试卷一(一元函数微积分学与微分方程)答案
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．A．偶函数B．无界函数C．周期函数D．单调函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小B．比x低阶的无穷小C．比x同阶但不等价的无穷小D．与x等价的无穷小正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．A．λE-A＝λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．任一列向量是其余列向量的线性组合D．必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学9．设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(I)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0必是函数f(x)的驻点B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学11．函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．A．y〞-yˊ-2y＝3xexB．y〞-yˊ-2y＝3exC．y〞＋yˊ-2y＝3exD．y〞＋yˊ-2y＝3xex正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学12．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．A．A的列向量线性相关B．A的行向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的列向量线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学13．设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学14．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学15．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题16．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学17．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学18．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学19．若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学20．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学21．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学22．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学23．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学24．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学25．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学26．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学解答题27．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从涉及知识点：一元函数微分学28．求：微分方程y〞＋y＝-2x的通解．正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x．涉及知识点：一元函数微分学。
高一数学必修1微积分测试题及答案
高一数学必修1微积分测试题及答案本文档为高一数学必修1微积分的测试题及答案，旨在帮助学生巩固和提高他们在微积分方面的知识和能力。
以下是题目及答案：题目一已知函数 f(x) 的导数 f'(x) = 2x + 3，求 f(x)。
答案：f(x) = x^2 + 3x + C （C为常数）题目二已知曲线 y = x^2 + 2x + 1，求曲线上任意点的切线方程。
答案：设曲线上某点的横坐标为 a，纵坐标为 b。
由题意可得，该点的切线斜率为曲线在该点的导数值。
曲线的导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 a 代入 f'(x) 可得切线斜率 k = 2a + 2。
切线方程为 y - b = k(x - a)，将点的坐标代入可得切线方程。
题目三已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x，求函数 f(x) 的极值点和拐点。
答案：首先，求 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x + 2令 f'(x) = 0，求得极值点：x = (6 ± sqrt(36 - 48)) / 12，化简得 x = 0.5 或 x = 1将 x = 0.5 和 x = 1 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
其次，求 f''(x)：f''(x) = 12x - 6令 f''(x) = 0，求得拐点：x = 0.5将 x = 0.5 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
以上为高一数学必修1微积分的部分测试题及答案，希望对您有帮助。
高数(一元函数微积分)试卷含答案
《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。
f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。
在这些点我们分别考虑其左、右导数。
由即f(x)在x=一1处可导。
又所以f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。
因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a 处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：由导数的定义可知：其中可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|，由于(x2一x-2)|x2一x|在x=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|，由于(x2一x 一2)|x2一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|，由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则= ( )A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f’(x0)=0．又=2f’(x0)=0．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=e－x2，则f’(x)等于( )A．一2e－x2B．2e－x2C．一2xe－x2D．2xe－x2正确答案：C解析：因f(x)=e－x2，则f’(x)=e－x2．(一2x)=一2xe－x2．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=2lnx+ex，则f’(2)= ( )A．eB．1C．1+e2D．ln2正确答案：C解析：因f(x)=2lnx+ex，于是f’(x)=＋ex，故f’(2)=1+e2．知识模块：一元函数微分学4．设y=exsinx，则y’’’= ( )A．cosx．exB．sinx．exC．2ex(cosx—sinx)D．2ex(sinx—cosx)正确答案：C解析：y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)，y’’=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，y’’’=2excosx一2exsinx=2ex(cosx—sinx)．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)可导，且满足=一2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．4B．一4C．1D．一1正确答案：D解析：=2f’(1)=一2，故f’(1)=一1．知识模块：一元函数微分学6．曲线y=1+( )A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C解析：对于曲线y==1，故有水平渐近线y=1；又=一∞，故曲线有铅直渐近线x=一1．知识模块：一元函数微分学7．曲线y==1的水平渐近线的方程是( )A．y=2B．y=一2C．y=1D．y=一1正确答案：D解析：=一1，所以水平渐近线为y=一1．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=(x一1)2(x一3)2的拐点个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：本题考察曲线拐点的概念，可直接求函数二阶导数为零的点，再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号，以求出拐点，但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义，因而这类题目若能结合曲线的形状，往往判断起来更为方便，本题的曲线对称于直线x=2，所以它或者没有拐点，或者只有两个拐点，因此B与D被排除掉，又y’=4(x一1)(x一2)(x一3)，对导函数y’应用罗尔定理，知y’’有两个零点，从而知曲线有两个拐点，故选C．知识模块：一元函数微分学9．方程x3一3x+1=0 ( )A．无实根B．有唯一实根C．有两个实根D．有三个实根正确答案：D解析：令f(x)=x3一3x+1，则f’(x)=3(x＋1)(x－1)，可知，当一1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜一1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增，因f(一2)=一1＜0，f(一1)一3＞0，f(1)=一1＜0，f(2)一3＞0，由零点定理及f(x)的单调性知，在(一2，一1)，(－1，1)及(1，2)各存在一个实根，故f(x)=x3一3x+1有且只有三个实根，故选D．知识模块：一元函数微分学填空题10．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则常数A=________．正确答案：a+b解析：由函数F(x)在x=0处连续可得=F(0)，即=b+a=A．知识模块：一元函数微分学11．设y=2x，则y(n)=________．正确答案：(ln2)n2x解析：y=2x，y’=2xln2，y’’=2x．ln2．ln2=(ln2)22x，y’’’=(ln2)2．2x．ln2=(ln2)3．2x，…y(n)=(ln2)n2x．知识模块：一元函数微分学12．设y=，则y’=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学13．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0，则a=_________，b=_________．正确答案：，2解析：f’(x)=3ax2－12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去，f’’(x)=6ax一12a，f’’(0)=一12a，因为a＞0，所以f’’(0)＜0，所以x=0是极大值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b一16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31，故a=．知识模块：一元函数微分学14．若=1，则f(x)在x=a处取极_________值．正确答案：小解析：一1＞0，又有(x一a)2＞0，则由极限的保号性可知f(x)一f(a)＞0，故f(a)为极小值．知识模块：一元函数微分学解答题15．求y=的n阶导数．正确答案：y’=，y’’=，y’’’=，依次类推y(n)=(一1)n．涉及知识点：一元函数微分学16．求函数y=ln(x+)的二阶导数y’’．正确答案：y’’=．涉及知识点：一元函数微分学17．设x=φ(y)是严格单调的连续函数y=f(x)的反函数，且f(1)=9，f’(1)=一，求φ’(9)．正确答案：φ’(y)=，而f(1)=9，f’(1)=一，故φ’(9)=．涉及知识点：一元函数微分学18．设y=y(x)由所确定，f’’(t)存在且f’’(t)≠0，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，试求函数g(x)=的导数．正确答案：当x≠0时，g’(x)=；涉及知识点：一元函数微分学20．求曲线y=x3一3x+5的拐点．正确答案：y’=3x2一3，y’’=6x．令y’’=0，解得x=0．当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y’’＞0，当x=0时，y=5．因此，点(0，5)为所给曲线的拐点．涉及知识点：一元函数微分学已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．21．判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；正确答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲线y=F(x)在R上是凸的；涉及知识点：一元函数微分学22．证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．正确答案：显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)内单调递增，因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．正确答案：由题设可知F(x)，F’(x)，F’’(x)，F’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0．又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔定理，存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)使F’’(ξ2)=0，又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0，对F’’(x)在[0，ξ2]上再次用罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)使F’’’(ξ)=0．涉及知识点：一元函数微分学24．设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb—arctana＜．正确答案：只需证明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，涉及知识点：一元函数微分学25．证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．正确答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=当x＞0时，f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，故有f’(x)＞f’(0)=0，则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．涉及知识点：一元函数微分学26．证明当x＞0时，x＞ln(1+x)．正确答案：令F(x)=x—ln(1+x)，由F’(x)=1－＞0(当x＞0时)知F(x)单调增加，又F(0)=0，所以，当x＞0时，F(x)＞0，即x—ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)．涉及知识点：一元函数微分学27．设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?正确答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本一元函数微分学题目与答案A
二、一元函数微分学 练习题（A ） 一．选择题1．()1sin,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续 2．设()2421,f x x x =++则 ()=-'1f ( ) A ．1 B ．3 C ． -1 D ． -3 3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f x = ( ) A ．()54!1x + B ．()54!1x -+C ．()55!1x + D ．()55!1x -+4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )A ．2B ． -2C ．12 D ． -125．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0lim x df dx+→= ( )A ． 1B ． -1C ． 2D ．-26. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 ( )A. 1)]([!+n x f nB. 1)]([+n x f nC. n x f 2)]([D. n x f n 2)]([!7．设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于 ( )A.－1B. 0 C .1 D. ∞8. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 ( ) A.a = 1, b = 0 B. a = 0, b 为任意常数 C. a = 0, b = 0 D.a = 1, b 为任意常数 9. 曲线2211x x ee y ---+=（ ）A.没有渐近线；B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 10. 设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim( )A ．()x f 'B ．()0f 'C ．不存在D ．∞ 11. 当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =（ ） A ．-2 B． CD ．212. 曲线y =322(1)x x -（ ） A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 B ．只有水平渐近线 C ．有垂直渐近线x=1D ．没有渐近线13. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ）A ．0()f x 是()f x 极大值；B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点14. 已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（ ）实根A 一个B 两个C 三个D 四个15. 设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的 （ ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件 二．填空题1．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =2． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭3． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是 4．()y f x =由方程33sin 60x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 5．设()10110n n n f x a x a x a x a --=++⋯++，则 ()()0n f = 6 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.7. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy____ __ 8. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ____ __9. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000___ ____10. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_____ __ 11. x xx f +-=11)(, 则)()(x f n = ___ ____12．设()f x =()f e '= 13． 7186223---=x x x y 单调区间_____ __14． )0(82>+=x x x y 单调区间___________ 15． x x x y 6941023+-=单调区间___________ 16． )1ln(2x x y ++=单调区间___________17． 53523++-=x x x y 拐点及凹或凸区间 __________ 18． )1ln(2+=x y 拐点及凹或凸区间___________ 19．)1ln(x x y +-=的极值___________ 20．x x y -+=1的极值____________21. 曲线32x y x =+的铅直渐近线为三、计算题 1.求下列函数的导数 (1)．531-=x y (2)．x x e y x+=1(3)．1004)13(-=x y (4)．122-+-=x x e y(5)．bx e y ax sin =（b a ,为常数） (6)．3cos 12e ey x x ++= (7)．xxy --+=1111 (8)．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=(9)．)1lg()1(22x e x y x -++=- (10)．)1ln(2x x y ++=(11)．xy 1tan 2= (12)． 322)13(+=x y(13)．101010lg 10x y x x =+++ (14).(2)a b y u +=(15).3333x y x =+ (16).3y =(17).2()(21)f t t t =- (18).y =(19). ln(y x = (20)．4)sin(=++xy e y x(21). x y x = (22). 22arctan()1xy x=-(23) ln(y x x = (24) 21(1)arctan cos 2y x x x =++(25) 2cos 3y x = (26) 22sin 0y x y --=(27) ln()y xy = (28) x y e y ln =2. 求下列函数的高阶导数（1）()2ln 1y x =-，求y ''； （2）()2y f x b =+，求y ''；（3）arcsin y x =，求y ''； （4）22arctan 1xy x=-，求y ''；（5）3ln y x x =，求 (4)y ； （6）11xy x-=+，求()n y ；（7）．已知2sin()0xy y π-=，求01|x y y =='及01|x y y ==-''；（8）.223=-y x y ，求22dxyd ；（9）. ln y x x = , 求 y ''.3.根据导数定义，求下列函数的导数 （1）12+=x y ，求1='x y ； （2）()ln f x x =，求()f x '.4. 求下列函数的微分 (1) 设 )ln(ln x y =，求 dy ；(2) 设ln tan 2xy =, 求dy ；(3) sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy ；(4) 221cos 5ln xx y -+= ，求 y ' 及 dy ；(5) y e = y ' 及 dy ；(6) xy e y x -=, 求 y ' 及 dy ；(7) 求 13cos x y e x -= 的微分；(8) 设 cos 2x y e = ，求 dy ；(9) 3cos cos x y x x e =+，求 dy ；(10) 求 2xe y x= 的微分.5.求下列函数的极限(1)．x xx 5tan 3sin lim π→ (2). 求02lim sin x x x e e x x x-→---(3)．22)2(sin ln lim x xx -→ππ (4)．)0(lim ≠--→a a x a x nnm m a x(5)．xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→ (6)．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(7). xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→ (8). 0lim sin x xx e e x-→-(9). 2ln cos 2lim()x x x ππ→- (10). cot limcot 3x xx π→(11). 0ln lim ln cot x xx+→ (12). 2lim x x x e -→+∞四．综合题1．设()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦，求()()n f x .2. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=.3. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '.4. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '.5. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''.6. 判断函数的单调性（1）判断函数x y e x =-的单调性.（2）判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.7．求下列函数的单调区间(1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x = (4) 2()1xf x x=+.8.求拐点及凹凸区间（1）求曲线32231214y x x x =+-+的拐点；（2）问曲线 4y x =是否有拐点；（3）求曲线y =（4）求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间。
一元函数微分学练习试卷2(题后含答案及解析)
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正确答案：涉及知识点：一元函数微分学
2．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
3．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
4．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
5．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
6．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
7．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
8．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
9．求函数单调区间和极值：
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涉及知识点：一元函数微分学
10．求函数单调区间和极值：
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涉及知识点：一元函数微分学
11．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
12．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
13．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
14．
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涉及知识点：一元函数微分学
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正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
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正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
17．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
18．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A．f(0)=0且f－’(0)存在B．f(0)=1且f－’(0)存在C．f(0)=0且f＋’(0)存在D．f(0)=1且f＋’(0)存在正确答案：C解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)=e2+，则f’(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：f’(x)=(e2)’+．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=xsinx，则f’()= ( )A．B．1C．D．2π正确答案：B解析：因为f’(x)=sinx+xcosx，所以=1．知识模块：一元函数微分学4．函数f(x)=在x=0处( )A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学5．设y=x2+2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：y=x2+2x一1(x＞0)，y’=2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y’(1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=，故选A．知识模块：一元函数微分学6．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x) ( )A．不可导B．可导且f(0)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．知识模块：一元函数微分学7．函数y=ex+arctanx在区间[一1，1]上( )A．单调减少B．单调增加C．无最大值D．无最小值正确答案：B解析：因y’=ex+＞0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．知识模块：一元函数微分学8．设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2，又x，f’(x)可导，所以f’’(x)可导，于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，而f’’’(0)=，故f’’(x)在x=0左、右两侧异号，故选C．知识模块：一元函数微分学9．设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf’(x)一f(x)＜0，则在区间(0，a)内是( )A．单调减少B．单调增加C．有增有减D．不增不减正确答案：A解析：在区间(0，a)内单调减少．知识模块：一元函数微分学10．点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有( )A．a=1，b=一3，c=1B．a≠0，b=0，c=1C．a=1，b=0，c为任意D．a、b为任意，c=1正确答案：B解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y’’(0)=0，得a≠0，b=0，故选B．知识模块：一元函数微分学填空题11．设f’(x)=g(x)，则[f(sin2x)]=________．正确答案：g(sin2x)sin2x解析：[f(sin2x)]=f’(sin2x)．(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x)．知识模块：一元函数微分学12．设y=(3x+1)27，则y(27)=________．正确答案：327．27！解析：对于形如y=(ax+b)n的函数，其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n－k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y(27)=27！．327．知识模块：一元函数微分学13．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=_________．正确答案：一1解析：=－f’(x0)=－1．知识模块：一元函数微分学14．函数F(x)=∫1x(2－)dt(x＞0)的单调递减区间是_________．正确答案：0＜x＜解析：由F(x)=∫1x(2一)dt(x＞0)，则F’(x)=2一．令F’(x)=0，得时，F’(x)＜0，F(x)单调递减．知识模块：一元函数微分学15．设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f’’(x0)≠0，则f’’(x0)必定_________．正确答案：不存在解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．知识模块：一元函数微分学解答题16．当h→0，f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，求f’(x0)．正确答案：因为h→0，f(x0+3h)－f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，即所以，3f’(x0)+2=0，即f’(x0)=．涉及知识点：一元函数微分学17．求曲线处的切线方程．正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x=1处有连续导数，且f’(1)=2，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设y=y(x)由所确定，求．正确答案：，由隐函数求导涉及知识点：一元函数微分学20．计算lnl．01的近似值．正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．涉及知识点：一元函数微分学给定曲线y=。
大一第一学期微积分寒假练习(含答案)
微积分寒假作业1、 确定常数b a ,，使0)1(lim 33=---∞→b x a x x2、 设301<<x ，),2,1()3(1 =-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0)ln(01)cos 1()(22x x b x x x x a x f 在0=x 连续，则=a ，=b 。
4、求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判断其类型。
5、设513)2sin )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求)0(,)(lim 20f x x f x →。
6、求不定积分，⎰+dx xxxx 4932 7、求不定积分，dx xx x ⎰++++2215)1ln(8、求不定积分，⎰++dx ee xx 221)1( 9、求不定积分，⎰++1222xxe edx10、求不定积分，⎰++dx x xx cos 1sin11、求不定积分，dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 12、求不定积分，⎰dx e e xxarctan13、求不定积分，⎰+++6321x x x ee e dx14、求不定积分，⎰+-dx x x x x sin cos sin cos 315、已知)(x f 的一个原函数为xxcos ，求⎰'dx x f x )(。
16、求函数的导数，10()()F x f xt dt =⎰17、求函数的导数，()0()y F y f x y dx =-⎰18、2220cos sin y x t e dt tdt y =+⎰⎰，求y '19、设2022()()t x f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪⎡⎤=⎣⎦⎩⎰，其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx20、设220()2()xf x a t a dt =-+-⎰，求（1）将()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2）将（1）的M 看作a 的函数，求M 为极小值时的a 值。
高数测试题十(微分方程)答案
高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则 α 与 β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ） A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-= B 2222()()0x xy dx y x y dy ---= C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-= D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设 λ 为实常数，方程 220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+ 4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ） A cos xaxe x B cos sin xxaxe x bxe x + C 22cos sin xxax e x bx e x + D 2cos xax e x 5、已知 0()xxy e y t dt =+⎰，则函数 ()y x 的表达式为（ D ）A xy xe C =+ B xy xe = C xxy xe Ce =+ D (1)xy x e =+ 二、填空题（每小题4分，共20分）1、 方程212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、 方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、 以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、 已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x xy e e shx -=-= 5、 方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为 21xμ= 三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解 解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解 解：方程改写为 2231xy y x'-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++⎰3、（8分）求微分方程 21(1)()02yy xe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2yy P x y xe Q x y x e y =+=+有y P Qxe y x∂∂==∂∂ ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++⎰⎰故 原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dPy Pdy''=，原方程化为 232212,2dP dP yPP y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y+= 则 ln 2ln 1[]yy z ey e dy C -=+⎰， 即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '==得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或3212dy y dx =± 由初始条件应取3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得214x C =-+，再由初始条件(0)1y =得 21C =，所以原方程的特解为114x =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30yy ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为 123,40,r r r ===方程的通解为 1234y C C x C C =+++ 6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+因 0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为 *2012()y x b x b x b =++ 代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为*2122(21)3xy Y y C C e x x x -=+=++-+7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-= 是全微分方程。
一元函数微积分复习题1_1到1_9答案
《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,. 2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫ ⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么? (1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且)(cos 2sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x xx x f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin 2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数.(2)323x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)2211xx y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数.(5)1cos sin +-=x x y ;解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2xx a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=-- 所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+=Θ,. 故)(1x F 是偶函数.(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--=Θ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和.证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数.且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f Θ奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .(2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .(4) x x y cos =;解: 非周期函数(5) x y 2sin =;解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .(6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.(2) u a y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.(3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u .(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y ax . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 122+=x xy . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2 反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ;当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x x y 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p .达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-= 圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数.由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F)(2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+n n 1111，即ε1>n 。
一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 涉及知识点：一元函数微分学15．曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点（0,1）处的切线方程是_______.正确答案：y=x+1. 涉及知识点：一元函数微分学16．对数螺线P=eθ在点(ρ，θ)=(eπ/2，π/2)处的切线的直角坐标方程为___________.正确答案：x+y=eπ/2. 涉及知识点：一元函数微分学17．已知一个长方形的长2以2cm／s的速率增加，宽ω以3cm／s的速率增加．则当l=12cm，ω=5cm时，它的对角线增加的速率为____________.正确答案：3(cm/s) 涉及知识点：一元函数微分学18．曲线y=x2/(2x+1)的斜渐近线方程为___________.正确答案：y=1/2x-1/4 涉及知识点：一元函数微分学19．曲线y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为___________.正确答案：3条. 涉及知识点：一元函数微分学20．曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为_____________条.正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学解答题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．21．试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：实质上是求反函数的一、二阶导数的问题．由反函数求导公式知dx/dy=1/y’,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)’=(1/y’)y’=(1/y’)x’dx/dy=-y”/y’3=-y”(dx/dy)3代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程y”-y=sinx．(*) 涉及知识点：一元函数微分学22．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=3/2的解．正确答案：特征方程r2-1=0的两个根为r1.2=±1；由于非齐次项f(x)=sinx=eaxsinβx，α=0，β=1，α±β=±i不是特征根，则设(*)的特解y*=acosx+bsinx，代入(*)求得a=0，b=-1/2，故y*=-1/2sinx，于是(*)的通解为y(x)=C1ex+C2e-x-1/2si 涉及知识点：一元函数微分学23．求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0 涉及知识点：一元函数微分学设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．24．求F(x)所满足的一阶微分方程；正确答案：F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)，可知F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x．涉及知识点：一元函数微分学25．求F(x)的表达式．正确答案：e2x同乘方程两边，可得[e2xF(x)]’=4e4x，积分即得e2xF(x)=e4x+C，于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x．将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，可确定常数C=-1．故所求函数的表达式为F(x)=e2x-e 2x. 涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设y=f(x)在点x=1处可导，且=2，则f(1)= ( )A．2B．1C．D．0正确答案：A解析：由于y=f(x)在点x=1处可导，则y=f(x)在点x=1处必连续，所以有f(1)==2．知识模块：一元函数微分学2．若函数y=f(x)有f’(x0)=，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是( )A．与△x等价的无穷小B．与△x同阶的无穷小C．比△x低阶的无穷小D．比△x高阶的无穷小正确答案：B解析：按照微分定义，在x=x0处，dy=f’(x0)△x=△x，当△x→0时，dy 与△x为同阶无穷小，故选B．知识模块：一元函数微分学3．设函数y=3x+1，则y’’= ( )A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：因为y=3x+1，故y’=3，y’’=0．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)满足f’(sin2x)=cos2x，且f(0)=0，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：D解析：f’(sin2x)=cos2x=1－sin2x，令μ=sin2x，故f’(μ)=1一μ，所以f(μ)=μ一μ2+C，由f(0)=0，得C=0，所以f(x)=x—x2．知识模块：一元函数微分学5．设f(ex)=，则f’(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：令t=ex，则x=lnt，代入原函数得f(t)=．(ln2t)’=，故选A．知识模块：一元函数微分学6．曲线y=x3(x一4)的拐点个数为( )A．1个B．2个C．3个D．0个正确答案：B解析：因y=x4一4x3，于是y’=4x3一12x2，y’’=12x2一24x=12x(x一2)，令y’’=0，得x=0，x=2；具有下表：由表知，函数曲线有两个拐点为(0，0)，(2，一16)．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x) ( )A．有极小值B．有极大值C．既有极小值又有极大值D．无极值正确答案：A解析：因f(x)=(1+x)ex，且处处可导，于是，f’(x)=ex+(1+x)．ex=(x＋2)ex，令f’(x)=0得驻点x=一2；又x＜一2时，f’(x)＜0；x＞－2时，f’(x)＞0；从而f(x)在x=一2处取得极小值，且f(x)只有一个极值．知识模块：一元函数微分学8．设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a 处( )A．必取极大值B．必取极小值C．不可能取极值D．是否取极值不能确定正确答案：D解析：(1)f(x)=(1一x2)3和g(x)=都在x=0处取得极大值，但f(x)．g(x)=一1在x=0不取极值；(2)f(x)=一x3和g(x)=一x4都在x=0取得极大值，但f(x)g(x)=x6在x=0取极小值，针对不同情形，F(x)在x=a处是否取极值不能确定，故选D．知识模块：一元函数微分学9．下列函数在给定区间满足拉格朗日定理条件的有( )A．y=｜x｜，[一1，1]B．y=cosx，[0，π]C．y=，[一1，1]D．y=，[一2，2]正确答案：B解析：A选项中，函数在x=0处不可导；C选项中，函数在x=0处不可导；D选项中，函数在x=±1处不连续；B选项中，函数在[0，π]连续，在(0，π)可导，符合拉格朗日中值定理条件，故选B．知识模块：一元函数微分学10．设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定( )A．连续B．可导C．取得极值D．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴正确答案：C解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项正确，由导数的几何意义可知D 项正确，驻点不一定是极值点，故选C．知识模块：一元函数微分学填空题11．曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=________．正确答案：1解析：因为y=x+cosx，所以y’=1一sinx，y’(0)=1，即所求的切线斜率k=1．知识模块：一元函数微分学12．设f(x)=，而h(t)满足条件h(0)=3，h’(t)=sin2(t＋)，则f[h(t)]｜t=0=________．正确答案：解析：f[h(t)]｜t=0=f’[h(t)]．h’(t)｜t=0=f’[h(0)]．sin2，f’(x)=．知识模块：一元函数微分学13．设y=22arccosx，则dy=________．正确答案：解析：由y=22arccosx，则y’=一22arccosx．2．ln2，所以dy=一ln2．dx．知识模块：一元函数微分学14．当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=_________．正确答案：一1解析：f’(x)=3x2+3p，在x=1处可导，则f’(1)=3+3p=0，所以p=一1．知识模块：一元函数微分学15．设函数f(x)=x2＋px＋q，有ξ∈(a，b)满足[a，b]上的拉格朗日中值定理，则ξ=_________．正确答案：解析：由拉格朗日中值定理得f’(ξ)==b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=．知识模块：一元函数微分学解答题16．设f(x)=讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性．正确答案：因=1．故=1=f(0)，f(x)在x=0处连续，又故f(x)在x=0处连续、可导，且f’(0)=0．涉及知识点：一元函数微分学17．设y=ex．cos3x．lnx，求y’．正确答案：对y=ex．cos3x．lnx两边取对数得lny=x+3ln(cosx)＋ln(lnx)，两边对x求导得，解得y’=．涉及知识点：一元函数微分学18．设y=y(x)是由方程2y—x=(x—y)ln(x—y)确定的隐函数，求dy．正确答案：利用一阶微分的形式不变性得2dy—dx=(dx—dy)ln(x—y)+(x—y)．(dx—dy)，所以[3+ln(x—y)]dy=[2+ln(x—y)]dx，因此dy=dx．涉及知识点：一元函数微分学19．设函数y=f(x)由方程xef(y)=ey所确定，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．正确答案：方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：+f’(y)y’=y’，再对x求导，一+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=一．涉及知识点：一元函数微分学20．设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)．正确答案：对f’(x)=ef(x)两边求导数得f’’(x)=ef(x)．f’(x)=e2f(x)，两边再求导数得f’’’(x)=e2f(x)．2f’(x)=2e3f(x)，两边再求导数得f(4)(x)=2e3f(x)．3f’(x)=3！e4f(x)．由以上导数规律可得f(n)(x)=(n一1)！enf(x)，所以f(n)(2)=(n一1)！en．涉及知识点：一元函数微分学21．设函数y=alnx+bx2+5x在x=1处取极值且x=为其拐点横坐标，求a，b之值．正确答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．正确答案：按题意，不需要证明根的存在性，只需证明f(x)=0若在(a，b)内有根，则最多有两个根．用反证法，设f(x)在(a，b)内有三个根x1，x2，x3，且设a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，现分别在区间[x1，x2]与[x2，x3]上应用罗尔定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)，又f’(x)在[ζ1，ζ2]上也显然满足罗尔定理条件，于是有f’’(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，这与假设f’’(x)＜0矛盾，故f(x)=0在(a，b)内最多有两个根．涉及知识点：一元函数微分学23．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)．证明：若f(x)不恒为常数，则至少ξ∈(a，b)，有f’(ξ)＞0．正确答案：因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数．所以至少存在x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，则f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)．不妨设f(x0)＜f(a)，则在[x0，b]上用拉格朗日中值定理得．至少存在ξ∈[(x0，b)∈(a，b)，有f’(ξ)=＞0．对于f(x0)＞f(a)情形同理可证．涉及知识点：一元函数微分学24．求证方程3x一1一∫0x dt=0在区间(0，1)内有唯一根．正确答案：设f(x)=3x一1一∫0x dt，f(x)在[0，1]内连续，f(0)=一1，f(1)=3—1一∫01，因为f(0)．f(1)＜0，所以，由零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，又f’(x)=3一＞0。
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案一元函数积分学 练习题参考答案1. C解析：A. )(0)()(x f x F k x F =='⇒=，正确； B. C C x F x F =+⇒=)(0)(，正确；C. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001cos 1sin 2)(x x xx x x f 在)1,1(-内不连续，但它存在原函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x F ；D. 根据原函数的定义有：)()(x f x F ='。
显然正确。
2. D解析：由于)()(x f x F ='，故)(x F 在I 上必连续，但未必有界，例如：x1在)1,0(上的原函数是x ln ，而x ln 在)1,0(上就无界。
故选 D3. C解析：只有奇函数的原函数一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是。
)(cos x f ，)]()([x f x f x --都是偶函数，故A.，B.，D 不正确。
而)(2x f 的一个原函数为dt t f x F x⎰=2)()(，)()()()(0202x F du u f dt t f x F xtu x-=-−−→−=-⎰⎰-=-，故)(x F 是奇函数，C 正确。
4. C解析：)()(x f x F ='，)(x F 必连续，故)(x F 必存在原函数，C 正确。
5. D解析：1)(lim 0=-→x f x ，41)(lim 0π+=+→x f x ，故0=x 为第一类间断点，A 不正确当)(x f 有第一类间断点),(0b a x ∈，但在),(0x a ，),(0b x 内必连续时，可以证明： dt t f x F xa⎰=)()(，),(b a x ∈，必为],[b a 上的连续函数。
对于本题，不妨有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=0344sin 03431)(3x x x x x x x F π，显然 )(x F 是连续的，所以答案C 错误，但4134)344(sin lim )0()(lim )0(00ππ+=-++=-=++→→+x x x x F x F F x x ， 134)3431(lim )0()(lim )0(300=-++=-=--→→-xx x x F x F F x x ， )0()0(-+≠F F ，故)(x F 在0=x 处不可导。
2016考研数学一：一元微积分
敛，故 ∫
+∞
0
y ( x)dx 收敛.
（II）首先，计算广义积分可得
∫
+∞
0
y ( x)dx =
C1 C2 + 1− 1− k 1+ 1− k
C 1 − k − C2 1 − k C1 + C2 = 1 + k k
∞
级数 ∑ an 收敛，即 ∑( xn +1 − xn ) 绝对收敛.
n =1 n =1
（ II ） 记 S n = ∑( xk +1 − xk ) = xn +1 − x1 ， 由 于
k =1
n
∑( x
n =1
∞
n +1
− xn ) 收敛，故 lim S n 存在，因此 lim xn 存在，
n →∞ n →∞
n →∞ n →∞
2016 考研数学（一）真题解析 （一元微积分）
一、选择题：
（1） 【答案】 （C） 【解析】本题考查两种反常积分的收敛性判定， 关键是和 p-积分进行比较. 首 先 ， 有
∫
+∞
1 x a (1 + x )
b
0
dx = ∫
1
1 x a (1 + x )
b
0
dx + ∫
+∞
1 x a (1 + x )
显 然 ， f ( x) 原 函 数 的 一 般 形 式 为
⎧( x − 1)2 + C1 , x < 1 ⎪ F ( x) = ⎨ ，由于 F ( x ) 在 x = 1 处 x ln x 1 C , x 1 − + ≥ ( ) ⎪ 2 ⎩
一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明 （1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。
《高等数学(一元函数微分学)》例题解析【参考答案】
《高等数学（一元函数微分学）》例题解析【参考答案】1. ⑴连续； ⑵ dxx f x )1(1'2-； ⑶ 41π+； ⑷ 1>a ； ⑸ 2-e ； ⑹ ()t t t t sin cos -； ⑺()!1--n 。
2. ⑴ 解：因为0(0)=f ，2(0)='f所以202020tan cos -1lim (0))tan cos -1()cos -(0)](1-)cos -1([lim tan )cos -1(limx xf x x x f x f x x f x x x →→→'==1212=⋅= ⑵ dx xxexx x x ]11)2([21222+++++；⑶ ]ln cot -)ln 2-sin ln (1[)sin (ln x x x x xx x x ⋅； ⑷ 解：tt dt dx sin cos =，t e t e dt dy y ysin -1cos =，t e t e dt dx dt dy dx dy y y sin -1sin == ⑸ 解：方程1=-y xe y 两边同时对x 求导，得 0--=''y y e y x e y当0=x 时，1=y ，所以e y ='(0)；在方程0--=''y ye y x ey 两边继续对x 求导，得0)(-2-2=''+'''''y y y e y x e y x y e y ，所以22(0)e y =''⑹ 解：1-1-2-12312x x x x y =+-=，1n n(n))2-(!)1(-)2-1(+=x n x ，1n n(n))1-(!)1(-)1-1(+=x n x ， 所以])1(1-)2(1[!(-1)11n )(++=n n n x-x-n y。
3. 解：2112t dt dx ++=，2123-t tdt dy ++=，3223-3-22++==t t t dt dx dt dy dx dy ， 当3=x 时，0=t ，2=y ，故1-|3==x dxdy，因此曲线在3=x 处的切线方程为 )3--(2-x y =，即05=-+y x 。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
微积分部分习题及答案 (1)
(2) 1(x2 4x 4) dx 0
解：原式 ( x3 2x2 4x) 1 1 2 4 19
3
03
3
(3)
0
3
a2
1
x2
dx
(a为常数)
解：原式 1
a
0
3
1
1 x a
2
d
x a
1 arctan x 3
a
a0
1 arctan 3
a
a
20
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
5
(2) ln xdx 1
解
原式 x ln x 5
5
xd ln x
1
1
5 ln 5
5 x 1 dx 1x
5 ln 5 4
35
14.用分部积分法计算下列定积分
(5) 4 ln xdx
1x
解
原式 2
4
ln xd
1
x 2 ln x
4
x 2
4
1
1
xd ln x
8 ln 2 2 4 1
解
原式 1 5
1 2
(11
1 5
x
)3
d
(5
x
11)
1 5
1 2
11
5x 2
1 2
= 51 512
33
14.用分部积分法计算下列定积分
(1) 1 xexdx 0
解 原式 1 xdex 0
xex 1 1 exdx 00
( xe x
ex
)
1 0
1
34
14.用分部积分法计算下列定积分
6
22
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
《高等数学一》第五章 一元函数积分学 历年试题模拟试题课后习题(含答案解析)
第五章一元函数积分学[单选题]1、设函数f(x)连续，,则=（）A、x f (x)B、a f(x)C、-x f(x)D、-a f (x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察积分上限函数应用..[单选题]2、如果是的原函数，则另一个原函数是（）A、B、C、sin2xD、cos2x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】且[单选题]3、已知且，则y= （）A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故故.[单选题]4、微分方程cosydy=sinxdx的通解是（）A、sinx+cosy=CB、cosx+siny=CC、cosx-siny=CD、cosy-sinx=C【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】分离变量，两端积分得sin y=-cos x+C,即cos x+sin y=C. [单选题]5、下列广义积分收敛的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、计算（）.A、eB、0C、1D、e+1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、（）.A、ln2B、ln4C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设是连续函数，且，则（）.A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]12、微分方程的解为（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】原方程可化为，即，由公式和通解可得：[单选题]13、设，则下列结论中错误的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】根据定积分的性质：，且都是任意常数，[单选题]14、（）.A、-1B、1C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设D是由直线和所围成的平面图形，其面积A =（）.A、B、0C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】.[单选题]16、用换元法计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】令[单选题]17、若（）A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、若（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】?[单选题]19、=（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0. [单选题]20、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、（）.A、B、C、0D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】给定函数对关于t的定积分，当x求导，原式相当于常数.. [单选题]22、=（）.A、B、C、0D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0.[单选题]23、已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）A、30-2x2B、30-x2C、30x-2x2D、30x-x2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】R=当x=0时，R=0，所以C=0，此时R=30x-x2[单选题]24、无穷限积分（）.A、B、C、-1D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】. [单选题]25、积分的值为（）A、0B、4C、10D、20【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题用到奇函数在对称区间上的积分为0。
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淮安现代教育2016年“专转本”高等数学寒假训练试卷一参考答案(一元函数微积分学与微分方程)
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、（ B ） 2、（ B ） 3、（ C ） 4、（ A ） 5、（ C ） 6、（ D ） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、2ln 2 8、-2 9、-2 10、2
2sin x x dx - 11、1266
(cos sin )22
x
y e C x C x =+ 12、 2π （注：原题须修改为
(
)
2
2
201322arctan 4-+-⎰
dx x x x ）
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：2
03
arcsin lim
ln(1)tan(121)
x x tdt
x x →---⎰
解：原式2
03arcsin lim 41()(2)
2
x x tdt
x x →'=-⋅-⎰
223300arcsin 211lim lim 8422x x x x x x x x →→⋅⋅'=== 14、设函数)(x y y =由参数方程2
arctan ln(1)
x t
y t =⎧⎨=+⎩确定，求2
2,dx y
d dx dy 解：22
211124t dy dt t dx dt
t dy
t dx
++'
==
=
2
22
21
122(1)8t d y t dx +'==+
15、求曲线1y y xe -=在点()0,1处的切线方程 解：方程两边对x 求导得:
0,
51y
y y
y
e y e xe y y xe
''''--⋅==- 切线斜率01
x y k y e =='
== ， 则切线方程为:1y e x -=⋅，即:108ex y '-+=
16、设x
y x =，求dy
dx
解：
ln 2x x x
y x e
'== ，()ln 1ln ln 18x x x
dy e x x x x dx x ⎛⎫'=+⋅=+ ⎪⎝
⎭
17、求微分方程()2
2210x dy xy x dx +-+=的通解
解：原方程可化为：2221
2x y y x x
-'+
= ， 所以 通解22
2
216dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫-⎰⎰'=+ ⎪⎝⎭⎰ ()222118-'=-+=-+ C x x x C x x 18、计算不定积分2
cos x xdx ⎰
解：2cos x xdx ⎰2222
(sin )sin sin ()sin 2sin 4x d x x x xd x x x x xdx '==-=-⎰⎰⎰
22
sin 2(cos )sin 2(cos cos )x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰
2
sin 2cos 2sin 8x x x x x C '=+-+ 19、计算定积分
52
31
dx
x +-⎰
解：令1x t -= ，则2
1,22x t dx tdt '=+=
5
222
121123
5
52(1)2[3l n (3)]
26l n 8
334
31''==-=-+=-+++-⎰⎰⎰ dx tdt dt t t t t x 20、利用函数的单调性证明不等式: 当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>
证明：令()(1)ln(1)arctan 2f x x x x '=++- ，()2
22
11ln(1)ln(1)4111x x f x x x x x x
+''=++-=+++++ 当0>x 时，()0f x '>，于是()f x 在()0,+∞内单调递增，且()f x ∞在[0,+)内连续，
所以()()00>=f x f ，因而有(1)(1)arctan 8x ln x x '++>
四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 21、证明：方程4
410x x -+=有且仅有一个小于1的正实根
证明：(1)存在性：令4
()41f x x x =-+，则()f x 在[0，1]上连续2'
()()010,120f f =>=-<，由零点定理知，()()0,10f ∃∈=ξξ使
即方程4
410x x -+=有小于1的正实根5ξ'
(2)唯一性：4
()41f x x x =-+ ，()33
0,1()44=410x f x x x '∈=--当时，()<7'
()f x ∴在[0，1]上单调减少,故()0f x =在[0，1]上最多有一个实根
综上所述:()0f x = 有且仅有一个小于1的正实根9'
22、证明函数2
1sin 20
()sin 0x x x f x x
x x
x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩在点0x =可导且连续 证明：由0(0)(sin )02x f x x ='=+= ，所以
20001
sin 2()1(0)lim lim lim(sin 2)25x x x x x
f x x f x x x x
---
-→→→+''===+= 000()sin sin (0)lim lim lim (1)28x x x f x x x x
f x x x
+++
+→→→+''===+= 得(0)2f '=，再由可导是连续的充分条件， 因此，函数()f x 在点0x =可导且连续.9'
五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 23、已知函数()21
2
x
t f x t e
dt -=⋅⎰
，试求：(1) 函数()x f 的极值；(2) 曲线()x f 的拐点.
解：()21
2
x f x xe
-'=，()()22112
2
x x f x e
xe
x --''=+-()212
2
12x x
e
-'=-
(1) 由()0f x '=得0x =，()010f ''=>，所以()x f 取得极小值()006f '= (2) 由()0f x ''=得1x =±，列表如下：
x (),1-∞-
1-
()1,1-
1
()1,+∞
()f x '' -
0 +
0 -
()f x
拐点
拐点
()22
20
11111
12
2
2
2
2
00
1
11()12
t t t f t e
dt e
d t
e e
--------=⋅=--==-⎰⎰，同理()1211f e
-=-
拐点为12
(1,1)e
-
--与12
(1,1)10e -
'-
24、设平面图形P 由抛物线2
2y x =与其在点M(2，2)处的切线L 及x 轴围成，试求： (1)切线L 的方程； (2)平面图形P 的面积S ；
(3)平面图形P 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V . 解：(1)由2
2y x = 得2y x =
，切线斜率2
2
11(2)2
2x x k x x
=='
==
=
， 切线方程为1
2(2)2
y x -=
-，即：2204x y '-+= (2) 由220x y -+=得22x y =-，令0y =得2x =-，
所以2
201(222S y y dy ⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
⎰322
014[2]63y y y =-+=， 或：0
220114
(1)(12)7223S x dx x x dx -'=
+++-=⎰⎰ (3) 2222
20011642410333
V y dx x ππππ'=⋅⋅-=-=⎰。