中职数学-三角函数教案

三角函数

、任意角

1.角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。

2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3.终边相同的角

所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z

二、弧度制

1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞

（2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径）

∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r

2.角度制与弧度制的换算：

∴ 1

＝ rad 0.01745rad 180

3. 两个公式 1）弧长公式： l = r

由公式：

= l

l =r

比公式l = n r 简单

r 180

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径

2

角度 0° 30° 45° 60°

90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6

π

角度

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330° 360°

弧度

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π

/6

2π

实数的集合之间建立一种一一对应的关系

王奎新新屯疆敞

三、任意角三角函数的定义 1. 设

是一个任意角，在

的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ）

1rad =

57.30 = 5718'

任意角的集合 实数集 R

∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝ rad

则 P 与原点的距离 r = x + y = x 2 + y 2 0

上述三个比值都不会随P 点在

的终边上的位置的改变而改变.当角

的终边在纵轴上

时，即

= k + (k Z)时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0，所以 tan

无意义；

它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：

sin = y R

r x cos

=

R

r

tan = y

|

+ k ,k Z

x

2

2. 三角函数的符号

sin

sin

为正

全正

3. 终边相同的角的同一三角函数值相等

例如 390°和－330°都与 30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值 相同，即

1)

2)

3) rr

x

把比值 x 叫做

的余弦 r

记作： cos = x

r

把比值 y

叫做

的正切

记作： tan

= y

tan

为正

cos

为正

sin390°＝sin30 cos390°＝cos30°

例2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用 0 到 360度的角表示）

sin(－330°)＝sin30° cos( －330°)＝cos30°

诱导公式一（其中k

Z ）: 用弧度制可写成

sin(+ k 360) = sin sin(+ 2k ) = sin

cos(+ k 360

) = cos cos(+ 2k ) = cos

tan(+ k

360

) = tan

tan(+ 2k ) = tan

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0～2π间角的三角函数值问 题。

4. 三角函数的集合表示：

yy

sin = = = y = MP r 1 cos

= x = x = x = OM r 1

tan =

x MP OM

OA

例1. 在 0到 360 度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

(1) -120 (2)640 (3) - 95012'

AT

= AT

例 3. 用集合的形式表示象限角

第一象限的角表示为｛|k 360<

第二象限的角表示为

第三象限的角表示为

第四象限的角表示为

巩固练习

1.下列命题中正确的是（）

A.终边在y轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

2.与120°角终边相同的角是（）

A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

C.120°＋（2k＋1）· 180°，ｋ∈Ｚ

D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是

4.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第_______ 象限角．

5.一个扇形OAB的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求∠AOB和弦AB的长.

1)sin100°·cos240°2)sin5+tan5