2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 第4讲 直线、平面平行的判定与性质
2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：直线、平面垂直的判定及其性质
••＞必过教材美1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面a 内的任意一条直线都垂直，就说直线I 与平面a 互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:文字语言图形语言付号语言 判定定理如果一条直线和一个 平面内的两条相交直 线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面7a ,b ? a 、 a d b = O卜? I 丄I丄a1_I 丄b」a性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这 两条直线平行£a 丄ar? a// b b ± a —2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理如果两个平面互相垂 直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面［小题体验］1 .已知平面a 丄平面3,直线I 丄平面3,则直线I 与平面a 的位置关系为 ___________________ . 答案：平行或直线I 在平面a 内2. PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB , PC , PA , AC , BD ，则一定互相垂第四节 直线、平面垂直的判定及其性质判定定理文字语言 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相 垂直图形语言符号语言性质定理a 丄3I ? 3卜？ I 丄a ad 3= aI 丄a直的平面有_________ 对.解析：由于PD丄平面ABCD，故平面PAD丄平面ABCD，平面PDB丄平面ABCD，平面PDC丄平面ABCD，平面PDA丄平面PDC，平面PAC丄平面PDB，平面PAB丄平面PAD,平面PBC丄平面PDC，共7对.答案：7••＞必过易措美1 •证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2 .面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3 .面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误. ［小题纠偏］1 ."直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是"直线a与平面M垂直”的________________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）.解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件.答案：必要不充分2. （2018南京三模）已知a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，I丄a, m?3给出下列命题：①a// 3? I丄m；②a丄价I // m；③m // a I 丄3 ④I 丄3? m / a.其中正确的命题是 _________ （填写所有正确命题的序号）.解析：①由I丄a, all 3得I丄3又因为m? 3所以I丄m,故①正确；②由I丄a , a丄3得I// 3或I? 3又因为m? 3所以I与m或异面或平行或相交，故②不正确；③由I丄a , m // a,得I丄m.因为I只垂直于3内的一条直线m,所以不能确定I是否垂直于3故③不正确；④由I丄a, I丄3得all 3因为m? 3所以m // a,故④正确. 答案：①④考点一直线与平面垂直的判定与性质题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题.常见的命题角度有：(1) 证明直线与平面垂直；(2) 利用线面垂直的性质证明线线平行.［题点全练］角度一：证明直线与平面垂直1 .如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD, AC 丄CD，/ ABC = 60° PA= AB = BC, E 是PC 的中点.求证：(1) CD 丄AE ;(2) PD丄平面ABE.证明：⑴在四棱锥P -ABCD中，•/ PA丄底面ABCD , CD?平面ABCD ,••• PA 丄CD.v AC 丄CD, PA A AC = A,••• CD丄平面PAC.而AE?平面PAC,「. CD丄AE.(2)由PA= AB= BC,/ ABC = 60° 可得AC= PA.••• E是PC的中点，• AE 丄PC.由(1)知AE 丄CD，且PC A CD = C,•AE丄平面PCD.而PD?平面PCD , • AE 丄PD.•/ PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD , • PA丄AB.又••• AB丄AD，且PA A AD = A,•AB丄平面PAD,而PD ?平面PAD,：AB 丄PD.又••• AB A AE = A,：PD 丄平面ABE.角度二：利用线面垂直的性质证明线线平行2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证：(1) EF 丄平面AB1C;(2) EF // BD1.证明：(1)在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，A1B1// AB / CD，且A1B1 =AB = CD,所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D // B1C.因为EF丄A1D，所以EF丄B1C.又因为EF 丄AC, AC A B1C = C, AC?平面AB1C, B1C?平面AB1C,所以EF丄平面AB i C.⑵连结BD，则BD丄AC.因为DD i丄平面ABCD , AC?平面ABCD，所以DD i丄AC.因为DD i A BD = D, DD i?平面BDD1B1, BD?平面BDD i B i,所以AC丄平面BDD i B i.片--------------- l i 又BD i?平面BDD i B i，所以AC丄BD i.同理可证BD i丄B i C.又AC A B i C= C, AC?平面AB i C, B i C?平面AB i C, 所以BD i丄平面AB i C.又EF丄平面AB i C,所以EF // BD i.［通法在握］判定直线和平面垂直的4种方法（i）利用判定定理；⑵利用判定定理的推论（a // b, a丄a? b± a；⑶利用面面平行的性质（a丄a, a/ 3? a丄3）；（4）利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.［演练冲关］1. （20i8辅仁高级中学测试）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB= 2, BC =a，又侧棱PA丄底面ABCD，当a = __________ 时，BD丄平面PAC.解析：因为PA丄底面ABCD ,所以PA丄BD,为了使BD丄平面PAC,只要使BD丄AC, 因为底面ABCD是矩形，所以底面ABCD是正方形，即a = 2.答案：22. （20i5 •苏高考）如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，已知AC丄BC ,BC = CC i.设AB i 的中点为D, B i C A BC i= E.求证：（i）DE //平面AA i C i C;（2）BC i 丄AB i.证明：（i）由题意知，E为B i C的中点，又D为AB i的中点，因此DE // AC.又因为DE ?平面AA i C i C, AC?平面AA i C i C,所以DE //平面AA i C i C.（2）因为棱柱ABC-A i B i C i是直三棱柱，所以CC i±平面ABC.因为AC?平面ABC，所以AC丄CC i.又因为AC丄BC, CC i?平面BCC I B I,BC?平面BCC i B i,BC A CC i= C,所以AC丄平面BCC i B i.又因为BC i?平面BCC i B i，所以BC i丄AC.因为BC= CC i，所以矩形BCC i B i是正方形，因此BC i丄B i C.因为AC?平面B i AC , B i C?平面B i AC, AC A B i C = C,所以BC i丄平面B i AC.又因为AB i?平面B i AC，所以BC i丄AB i.考点二面面垂直的判定与性质重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(20i9南京调研)如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，AB = AC, E是BC的中点，求证:(i)平面AB i E丄平面B i BCC仁⑵A i C// 平面AB i E.证明：⑴在直三棱柱ABC-A i B i C i中，CC i±平面ABC.因为AE?平面ABC,所以CC i丄AE.因为AB= AC, E为BC的中点，所以AE丄BC.因为BC?平面B i BCC i, CC i?平面B i BCC i,且BC A CC i=C,所以AE丄平面B i BCC i.因为AE?平面AB i E,所以平面AB i E丄平面B i BCC i.⑵连结A i B，设A i B A AB i= F，连结EF .在直三棱柱ABC-A i B i C i中，四边形AA i B i B为平行四边形,所以F为A I B的中点.又因为E是BC的中点，所以EF // AQ因为EF ?平面AB I E , A i C?平面AB i E , 所以A i C //平面AB i E.［由题悟法］1. 证明面面垂直的2种方法(1) 定义法：利用面面垂直的定义，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2) 定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决.2. 三种垂直关系的转化线线垂直性质线面垂直判定性质面面垂直［即时应用］(2018淮安高三期中)如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，AC = BC,点M为棱A i B i的中点.求证：(i)AB //平面A i B i C;(2)平面C i CM丄平面A i B i C.证明：⑴在三棱柱ABC-A i B i C i中，AB// A i B i,又AB?平面A i B i C, A i B i?平面A i B i C, 所以AB//平面A i B i C.⑵在直三棱柱ABC-A i B i C i中，CC i丄平面A i B i C i, 又A i B i?平面A i B i C i,所以CC i丄A i B i.因为AC= BC,所以A i C i= B i C i.又因为点M为棱A i B i的中点，所以C i M丄A i B i.又CC i A C i M = C i, CC i?平面C i CM , C i M?平面C i CM ,所以A i B i丄平面C i CM.又A i B i?平面A i B i C,所以平面C i CM丄平面A i B i C.考点三平面图形翻折成空间图形重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(20i9昆山期中)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB丄AD, BC // AD , AD = 6, BC =4, AB= 2 ,2,点E , F分别在BC, AD上，EF // AB,并且E为BC中点.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面 ABEF 丄平面 EFDC .⑴求证：AC 丄DE ;(2)在AD 上确定一点N ，使得过C , E , N 的平面将三棱锥 A -FCD 分成体积相等的两 部分. 解：⑴证明：在梯形 ABCD 中，•/ AB // EF , BC = 4, AD = 6, E 为 BC 中点， ••• CE = 2, DF = 4,又••• EF = AB = 2 2 ,•牡=2=空,耳’ EF 2 DF ' 又/ CEF =Z EFDCEF EFD ,•••/ ECF =Z FED .•••/ ECF + EFC = 90° ° FED +Z EFC = 90° °• CF 丄DE.•/ AB 丄 AD , EF // AB , • AF 丄 EF ,又平面 ABEF 丄平面 EFDC , AF ?平面 ABEF ,平面 ABEF n 平面EFDC = EF , • AF 丄平面EFDC ,•/ DE ?平面 EFDC , • AF 丄 DE.•/ AF n CF = F , AF ?平面 ACF , CF ?平面 ACF , • DE 丄平面ACF ,•/ AC ?平面 ACF , • AC 丄 DE.则三棱锥 A -FCD 被平面a 分成三棱锥 C -ANP 和四棱锥C -NPFD 两部分. 若两部分体积相等，则三角形ANP 和四边形NPFD 的面积相等,•/ EC // DF , EC ?平面 AFD , DF ?平面 AFD , • EC // 平面 AFD ,又EC ?平面a , an 平面AFD = NP , • EC // NP , • NP // DF ,(2)设过点C , E , N 的平面为a, an 平面 AFD = NP , P € AF ,则 S A ANP =詁AFDft-2，即当AN = _2?时，过C , E , N 的平面将三棱锥 A -FCD 分成体积相等的两部分.［由题悟法］对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质 可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量 的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.［即时应用］（2018连云港模拟）在平面四边形 ABCD （图①）中，△ ABC 与厶ABD 均为直角三角形且有 公共斜边 AB ，设 AB = 2,Z BAD = 30° / BAC = 45°将厶ABC 沿 AB 折起，构成如图② 所示的三棱锥C -ABD.（1）当C ' D = 2时，求证：平面 C ' AB 丄平面 DAB ; （2）当AC '丄BD 时，求三棱锥 C ' -ABD 的高. 解：（1）证明：当C ' D = ."2时，取AB 的中点O ,连结C ' O , DO ,在 Rt △ AC ' B , Rt △ ADB 中，AB = 2,贝U C O = DO = 1, 因为C ' D = 2,所以 C ' O 2+ DO 2= C ' D 2, 即卩 C ' O 丄 OD ,又 C ' O 丄 AB, AB A OD = O , AB ?平面 ABD , OD ?平面 ABD ，所以 C O 丄平面 ABD , 因为C ' O ?平面C ' AB ，所以平面 C AB 丄平面 DAB. (2)当AC '丄BD 时，由已知 AC '丄BC ', 因为BC ' A BD = B ,所以 AC '丄平面 BDC ',因为C ' D ?平面BDC '，所以AC '丄C ' D , △ AC ' D 为直角三角形, 由勾股定理得，C ' D = ■, AD 2— AC ' 2= 3-2 = 1,.AN _ AD _B而在△ BDC '中，BD = 1, BC ' = 2,1 1所以△ BDC '为直角三角形，S A BDC Z = 2 X 1X 1 =-.三棱锥 C ' -ABD 的体积V = g x S A BDC X AC = 2 = -2.3 3 2 ^6S A ABD=1X 1 X 冷3=令,设三棱锥C' -ABD的高为h, 则由1X h x£= ¥，解得h=严.3 2 63故三棱锥C' -ABD的高为£.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .设a, B为两个不同的平面，直线l? a,则“ I丄8'是"a丄g'成立的___________________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）.解析：依题意，由I丄g I ? a可以推出a丄g反过来，由a丄g I? a不能推出I丄g 因此“I丄g'是“ a丄g成立的充分不必要条件.答案：充分不必要2 .在空间四边形ABCD中，平面ABD丄平面BCD，且DA丄平面ABC，则△ ABC的形状是 ____________ .解析：过A作AH丄BD于H，由平面ABD丄平面BCD，得AH丄平面BCD，贝U AH丄BC,又DA丄平面ABC，所以BC丄DA，所以BC丄平面ABD，所以BC丄AB,即△ ABC为直角三角形.答案：直角三角形3. ______ 已知平面a, g和直线m,给出条件：① m// a;②m丄a③m? a④a// g当满足条件____________ 时，有m丄g（填所选条件的序号）解析：若m丄a a// g则m± g故填②④. 答案：②④4 .一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________ .解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行.再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面"得出两个平面垂直.答案：垂直5. （2018常州期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC I B I内一点，若平面A I B I CD丄平面AEP，则线段AP长度的取值范围是解析：连结BC I，易得BC i丄平面A I B I CD，要满足题意，只需EP // BC I即可.取CC I的中点为F，则EF // BC i,故P在线段EF上（不含端点）. ••• AE = ■ 22+ 12= 5, AF = 22+ 22+ 12= 3,.••线段AP 长度的取值范围是（.5, 3）.答案：（.5, 3）6 .如图，PA丄O O所在平面，AB是O O的直径，C是O O上一点，AE丄PC, AF丄PB，给出下列结论：① AE丄BC ;②EF丄PB;③AF丄BC;④AE丄平面PBC，其中真命题的序号是____________ .解析：①AE?平面PAC, BC丄AC, BC丄PA? AE丄BC ,故①正确，② AE 丄PC, AE 丄BC , PB?平面PBC? AE 丄PB,又AF 丄PB, EF?平面AEF ? EF 丄PB,故②正确，③若AF丄BC? AF丄平面PBC，则AF // AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确.答案：①②④—保咼考，全练题型做到咼考达标1. （2019盐城中学测试）已知a 3, 丫是三个不同的平面，命题“ a// 且a丄Y 肚Y 是真命题，如果把a, 3 丫中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为___________________ .解析：若a, 3换为直线a, b,则命题化为“a// b,且a丄Y b丄Y，此命题为真命题；若a, 丫换为直线a, b,则命题化为“a// 3且a丄b? b丄3，此命题为假命题；若3 丫换为直线a, b,则命题化为“a // a,且b丄a? a丄b”，此命题为真命题.答案：22. （2018徐州期中）如图，在四边形ABCD中，AD // BC , AD =AB , / BCD = 45° / BAD = 90° 将厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，构成四面体ABCD，在四面体ABCD的其他面中，与平面_______ （写出满足条件的所有平面）.解析：在四边形ABCD 中，AD / BC, AD= AB, / BCD = 45° / BAD =90° 可得/ BDC = 90° 即BD 丄CD.•••平面ABD丄平面BCD，且平面ABD门平面BCD = BD ,••• CD丄平面ABD，又CD ?平面ADC,「.平面ADC丄平面ABD ;假设平面ADC丄平面BCD ,•/ BD丄CD，且平面ADC门平面BCD = CD ,• BD丄平面ADC，贝U BD丄AD，与/ ADB = 45°矛盾；•/ CD 丄平面ABD , AB?平面ABD , • CD 丄AB,又AD 丄AB, 且AD A CD = D , • AB 丄平面ADC , 又AB?平面ABC,：平面ABC丄平面ADC..•.在四面体ABCD的其他面中，与平面ADC垂直的平面为平面ABD，平面ABC. 答案：平面ABD，平面ABC.3.已知正厶ABC的边长为2 cm, PA丄平面ABC, A为垂足，且PA= 2 cm,那么点P 到BC 的距离为______________ cm.解析：如图，取BC的中点D，连结AD , PD，贝U BC丄AD，又因为PA丄平面ABC，所以PA丄BC,所以BC丄平面PAD，所以PD丄BC , 则PD的长度即为点P至U BC的距离.在Rt △ PAD中，PA= 2 ,AD = ■ 3,可得PD= 22+ 3 2= 7.答案：74. （2018连云港期末）已知四边形ABCD为平行四边形，PA丄平面ABCD ,当平行四边形ABCD满足条件_______________ 时，有PC丄BD（填上你认为正确的一个条件即可）.解析：•••四边形ABCD为平行四边形，PA丄平面ABCD , BD?平面ABCD , • BD 丄PA,当四边形ABCD是菱形时，BD丄AC.又PA A AC = A,. BD 丄平面PAC, 又PC ?平面PAC,. PC 丄BD.答案：四边形ABCD是菱形5.已知直线a和两个不同的平面a, 3且a丄a, a// 3,贝U a, B的位置关系是_______________解析：记b? 3且a / b,因为a // b , a丄a ,所以b丄a,因为b? 3所以a丄3 答案：垂直6 .如图，已知/ BAC= 90 ° , PC丄平面ABC ,则在△ ABC , △ PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_______________ ;与AP垂直的直线有________解因为PC丄平面所以PC垂直于直线AB , BC , AC. 因为AB 丄AC , AB 丄PC , AC A PC = C ,所以AB 丄平面PAC , 又因为 AP ?平面PAC ,所以AB 丄AP ,与AP 垂直的直线是 AB. 答案：AB , BC , AC AB7.如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把厶ABD 和厶ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:面 ABC.i即线段B i F 的长为？. ①BD 丄人心：②厶BAC 是等边三角形；③三棱锥 D-ABC 是正三其中正确的是BC 上的高，平面 ABD 丄平面 ACD ，所以AB = AC = BC ,A BAC 是等边三角形，②正确; 易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错误.答案：①②③8.如图，直三棱柱ABC -A i B i C i 中，侧棱长为2, AC = BC = i ，/ ACB =90° D 是A i B i 的中点，F 是BB i 上的动点，AB i , DF 交于点E.要使 丄平面C I DF ，则线段B i F 的长为解析：设B i F = x ，因为 AB i 丄平面C i DF , DF ?平面C i DF ，所以AB i丄DF .由已知可以得A |B i = 2,i设Rt △ AA i B i 斜边AB i 上的高为h ，贝U DE = ?h. 又 2X 2 = h X 22 + 2 2 ,所以 h = 233, DE =于.（填序解析：由题意知,AB 1在 Rt △ DB i E 中，B i E =由面积相等得严jx ,得 x = 2i答案：寸9. （20i8海安中学测试）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是菱形，/ ABC= 60° PA= AC, PB = PD= ^AC, E 是PD 的中点，求证:(1)PB// 平面ACE;（2）平面PAC丄平面ABCD.证明：（1）连结BD交AC于点0,连结0E ,•••底面ABCD为菱形，••• 0是BD的中点，又E是PD的中点，• OE/ PB,•/ 0E ?平面ACE , PB?平面ACE ,• PB //平面ACE.⑵•••底面ABCD为菱形，/ ABC = 60°•△ ABC为正三角形，从而AB= AC ,又PB = 2AC , PA= AC ,•PB = 2AB= 2PA,可得PA丄AB. 同理可证PA丄AD.又••• AB n AD = A, AB?平面ABCD , AD?平面ABCD ,• PA丄平面ABCD ,•/ PA?平面PAC,「.平面PAC丄平面ABCD.10. （2019徐州高三检测）如图，在三棱锥S-ABC中，SA= SC, AB丄AC, D为BC的中点，E为AC上一点，且DE //平面SAB.求证：（1）AB //平面SDE ;（2）平面ABC丄平面SDE.证明：（1）因为DE //平面SAB, DE?平面ABC，平面SAB n 平面ABC= AB，所以DE // AB.因为DE ?平面SDE , AB?平面SDE ,所以AB/平面SDE.（2）因为D为BC的中点，DE // AB，所以E为AC的中点. 又因为SA= SC,所以SE X AC, 又AB丄AC , DE // AB,所以DE 丄AC.因为DE n SE= E, DE ?平面SDE, SE?平面SDE , 所以AC丄平面SDE.因为AC?平面ABC,所以平面ABC丄平面SDE.三上台阶，自主选做志在冲刺名校VHCC LcB①MB 是定值; ②点M 在圆上运动;③一定存在某个位置，使 DE 丄A i C ； ④一定存在某个位置，使 MB //平面A i DE.解析：取 DC 中点 N ,连结 MN , NB ,贝U MN // A i D , NB // DE , ••• MN n NB = N , A i D n DE = E ,「.平面 MNB //平面 A i DE , v MB ④正确；/ A i DE = Z MNB, ?平面 MNB ,••• MB //平面 A i DE , MN = 2A I D =定值，NB = DE =定值，根据余弦定理得， MB 2= MN 2+ NB 2-2MN NB •答案：①②④④平面 PDB i 丄平面 ACD i . 解析：由题意可得BC i // AD i,又AD i ?平面AD i C,BC i ?平面AD i C , 所以BC i //平面AD i C.所以点P 到平面AD i C 的距离不变，V A -D 1PC =V P -AD i C ，所以体积不变，故①正确；连结A i C i , A iB ，可得平面 ACD iL//平面A i C i B.又因为A i P ?平面A i C i B ,所以A i P //平面ACD i ,故②正确；当点P 运动到B 点时，△ DBC i 是等边三角形，所以DP 不垂直于BC i ,故③不正确；因为AC 丄平面DD i B i B , DB i ?平面DD i B i B ，所以AC 丄DB i .同理可得 AD i 丄DB i .所以DB i 丄平面ACD i .又因为DB i 答案：①②④cos / MNB ,• MB 是定值，①正确;MB 为半径的圆上, ②正确；当矩形 ABCD 满足AC 丄DE 时存在，其他情况不存在，③不正确.•①②④正确.2.如图，点P 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 的面对角线 BC i 上运动, 其中正确的命题序号是?平面PDB i .所以平面PDB i 丄平面ACD i .故④正确.综上，正确的序号为①②④1 .如图，矩形 ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ ADE 沿 直线DE 翻B 是定点,M 是在以B 为圆心,则下列四个命题:①三棱锥 A-D i PC 的体积不变; ② A i P //平面 ACD i ；③ DP 丄 BC i ； =2a.(1)求证：B F转过程中，正确的命题是(填序号)3. （2019 泰州调研）在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中, AB = AC = AA i = 3a ,A”BC = 2a , D 是BC 的中点，E , F 分别是AA i , CC i 上一点，且AE = CF⑵求三棱锥B i-ADF的体积；⑶求证：BE //平面ADF .解：（1）证明：因为AB = AC, D为BC的中点,所以AD丄BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为B I B丄底面ABC , AD?底面ABC,所以AD丄B I B.因为BC A B i B = B,所以AD丄平面B i BCC i, 因为B i F ?平面B i BCC i，所以AD 丄B i F.在矩形B i BCC i 中，因为C i F = CD = a, B i C i = CF = 2a,所以Rt △ DCF 也Rt△ FC i B i,所以/ CFD = Z C i B i F , 所以/ B i FD = 90°所以B i F丄FD.因为AD A FD = D，所以B i F丄平面AFD .⑵因为B i F丄平面AFD ,所以VB i-ADF = 3 S A ADF B i F =舟X* AD X DF X B i F = ^^.⑶证明：连结EF , EC,设EC A AF = M，连结DM ,因为AE = CF = 2a,所以四边形AEFC为矩形，所以M为EC中点，因为D为BC中点，所以MD // BE.因为MD ?平面ADF , BE ?平面ADF ,所以BE //平面ADF .板块命题点专练（十）立体几何髙考真理集申研究一命題规律，验自身能力学习至此、阶J赠也能力如啊,贞題评估.解析：设新的底面半径为r，由题意得1X nX 52X 4+ nX 22X 8= 1X nX r2X 4+ nX r2X 8,3 3解得r2= 7,所以r = ＜』7.答案：.73. （2014江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S i, S2,体积分别为V i, V2，若它们的侧面积相等，且学=養则屮的值是______________ •S2 4 V2解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r i, r2，母线长分别是l i, I2.则由学=弓可得口S2 4 r2=3.又两个圆柱的侧面积相等，即 2 Ttr i l i = 2 n r2l2,则半=亠2，所以Vl=譽=9X2=弓.2 l2 r i3 V2 S2I24 3 2答案：34. （20i8天津高考）已知正方体ABCD -A i B i C i D i的棱长为i,除面ABCD夕卜，该正方体其余各面的中心分别为点E, F , G , H , M （如图），则四棱锥M -EFGH的体积为 ________ .4 G解析：连接AD i, CD i, B i A, B i C, AC,因为E, H分别为AD i,1CD i的中点，所以EH // AC , EH = ?AC,因为F , G分别为B i A, B i Ci的中点，所以FG // AC, FG = ^AC，所以EH // FG , EH = FG ,所以四边形EHGF为平行四边形，又EG = HF , EH = HG ,所以四边形iEHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为？，所以四棱锥M -EFGH的体积为i X " i=丄3 2 2 i2.i答案：i5. （20i7全国卷n ）长方体的长，宽，高分别为3,2,i,其顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为_________ .解析：由题意知，长方体的体对角线长为，32+ 22+ i2= i4,记长方体的外接球的半径为R，则有2R= i4,i4 2R= '2，因此球0的表面积为S= 4 uR = i4 n.答案：i4n6. (2018全国卷I )如图，在平行四边形ABCM 中，AB = AC= 3，/ ACM = 90°.以AC为折痕将厶ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB丄DA.(1) 证明：平面ACD丄平面ABC;2(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP= D Q= 3DA，求三棱锥Q -ABP的体积.解：⑴证明：由已知可得，/ BAC= 90°,即AB丄AC.又因为AB 丄DA, AC A DA = A,所以AB丄平面ACD.因为AB?平面ABC,所以平面ACD丄平面ABC.(2)由已知可得，DC = CM = AB = 3, DA = 3 2.2又BP = D Q= 3DA，所以BP= 2 2.所以Q E丄平面ABC, Q E = 1.1 11 J-因此，三棱锥Q-ABP 的体积为V Q.ABP= 3X S A ABP X Q E= - X ~x 3X 2.2sin 45°X 1 = 1.3 3 27. (2017北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AB , PA丄BC , AB丄BC, PA= AB= BC = 2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1) 求证：PA丄BD ;(2) 求证：平面BDE丄平面PAC;(3) 当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.解：(1)证明：因为PA丄AB, PA丄BC, AB A BC = B,所以PA丄平面ABC.又因为BD?平面ABC ,所以PA丄BD.(2)证明：因为AB= BC, D为AC的中点,所以BD丄AC.由(1)知，PA丄BD，又AC A PA= A,所以BD丄平面PAC.因为BD ?平面BDE ,所以平面BDE丄平面PAC.(3)因为PA//平面BDE，平面PAC A平面BDE = DE , 所以PA / DE.因为D为AC的中点，1所以DE = ?PA= 1, BD = DC = 2.由(1)知，PA丄平面ABC ,所以DE丄平面ABC.1 1所以三棱锥E-BCD的体积V=和DC DE = 1.8. (2017全国卷I )如图，在四棱锥P-ABCD中，AB // CD , 且/ BAP= Z CDP = 90°(1) 证明：平面PAB丄平面PAD;(2) 若PA= PD = AB = DC，/ APD = 90 ° 且四棱锥P-ABCD的体积为3,求该四棱锥的侧面积.解：(1)证明：由/ BAP=Z CDP = 90° 得AB丄AP , CD 丄PD.又AB?平面PAB,所以平面PAB丄平面PAD.因为AB / CD，所以AB丄PD. 又AP A PD = P, 所以AB丄平面PAD.⑵如图所示，在平面PAD内作PE丄AD，垂足为E.由(1)知，AB丄平面PAD ,A故AB 丄PE ,可得PE 丄平面 ABCD.设AB = x ，则由已知可得 AD = 2x , PE =舟i i 故四棱锥 P-ABCD 的体积 V P .ABCD = iAB AD PE = ix 3. 3 3 由题设得ix 3= f ,故x = 2. 从而 PA = PD = AB = DC = 2, AD = BC = 2 2, PB = PC = 2 2. 可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为 2PA PD + 2PA AB + *PD DC + i BC 2sin 60° 6 + 2 3. 命题点二直线、平面平行与垂直的判定与性质 1. （2018江苏高考）在平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，AA i = AB , AB 」B i C i . 求证：（i ）AB //平面 A i B i C ;AB // A i B i .因为AB ?平面A i B i C , A i B i ?平面 A i B i C ,所以AB /平面 A i B i C. ⑵在平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中, 四边形ABB i A i 为平行四边形. 又因为AA i = AB ，所以四边形 ABB i A i 为菱形,AB i 丄 B i C i , BC // B i C i ，所以 AB i 丄 BC. A i B n BC = B , A i B ?平面 A i BC , BC ?平面 A i BC , 所以平面 ABB i A i 丄平面 A i BC. （2）平面 ABB i A i 丄平面 （A i BC. ABCD -A i B i C i D i 中, X・因此AB 」A i B. 因为因为所以 AB i 丄平面 A i BC. 因为AB i ?平面 ABB i A i ,2. （20i8全国卷川）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C, D的点.（i）证明：平面AMD丄平面BMC.（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC //平面PBD ?说明理由.解：⑴证明：由题设知，平面CMD丄平面ABCD，交线为CD.因为BC丄CD , BC?平面ABCD,所以BC丄平面CMD ,又DM ?平面CMD，所以BC丄DM .因为M为CD上异于C, D的点，且CD为直径,所以DM丄MC.又BC n MC = C,所以DM丄平面BMC.因为DM ?平面AMD ,所以平面AMD丄平面BMC.（2）当P为AM的中点时，MC //平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以0为AC的中点.连接0P ,因为P为AM中点，所以MC // 0P.又MC ?平面PBD , 0P?平面PBD , 所以MC //平面PBD .3. （2017江苏高考）如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD , BC4丄BD，平面ABD丄平面BCD，点E, F（E与A, D 不重合）分别在棱AD , BD上，且EF丄AD.求证：（1）EF //平面ABC ;(2)AD 丄AC.证明：⑴在平面ABD内，因为AB丄AD , EF丄AD,所以EF // AB.又因为EF ?平面ABC, AB?平面ABC ,所以EF //平面ABC.(2)因为平面ABD丄平面BCD ,平面ABD n平面BCD = BD ,BC ?平面BCD , BC 丄BD ,所以BC丄平面ABD.因为AD ?平面ABD ,所以BC丄AD.又AB 丄AD , BC n AB= B , AB ?平面ABC , BC ?平面ABC , 所以AD丄平面ABC.又因为AC?平面ABC ,所以 DE // AC ,于是 DE // A 1C 1.又因为DE ?平面A 1C 1F , A 1C 1?平面A 1C 1F ,所以直线DE //平面A 1C 1F.(2)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A 丄平面A 1B 1C 1.因为A 1C 1?平面A 1B 1C 1，所以A J A 丄A 1C 1.又因为 A i C i 丄 A 1B 1, A i A ?平面 ABB 1A 1, dB i ?平面 ABB i A i , dAQ A i B i = A i ,所以A 1C 1丄平面ABB 1A 1.因为B 1D ?平面ABB 1A 1,所以A 1C 1丄B 1D.又因为 B 1D 丄 A 1F ,A 1C 1?平面 A 1C 1F , A 1F ?平面 A 1C 1F ,A 1C 1Q A 1F = A 1,所以B Q 丄平面A 1C 1F.因为直线 B 1D ?平面B 1DE ，所以平面 B 1DE 丄平面A 1C 1F.命题点一空间几何体的表面积与体积i • （20i8江苏高考）如图所示，正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 __________ •解析：由题意知所给的几何体是棱长均为 2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为i ,所以这个八面体 的体积为2V 正四棱锥=2X 3X （ 2）2X * i =3.答案：32• （20i5 •苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为 2，高 为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆 锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ___________ • 所以AD 丄4. (2016 •苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，D , E 分别为 AB , BC 的中点，点F 在侧棱B i B 上，且 B i D 丄 A 1F , A 1C 1 丄 A 1B 1.求证：(1)直线DE //平面 A i C i F ; (2)平面B 1DE 丄平面A 1C 1F. 证明：⑴在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中,A 1C 1 // AC. 在厶ABC 中，因为 D , E 分别为 AB ,BC 的中点,。
2020年 名师讲解高考数学总复习 第8章 8.2 直线、平面平行的判定与性质
§8.2直线、平面平行的判定与性质考情考向分析直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)题组二教材改编2．[P44习题T1]下面给出了几个结论：①若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；④平行于同一条直线的两个平面必平行．其中，结论正确的是________．(请把正确结论的序号都填上)答案②③解析①错误，若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交．②正确，任何直线包括两条相交直线，故能判定两平面平行．③正确，由面面平行的定义可得知．④错误，平行于同一条直线的两个平面平行或相交．3．[P36习题T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE 的位置关系为________．答案平行解析连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三易错自纠4．(2018·盐城模拟)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.答案①解析①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才能保证m⊥β，错误．5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE ＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.证明方法一如图，取AE的中点H，连结HG，HD，又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点， 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形得 AB ∥CD ，AB ＝CD ， 所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ， 从而四边形HGFD 是平行四边形， 所以GF ∥DH .又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ， 所以GF ∥平面ADE .方法二 如图，取AB 的中点M ，连结MG ，MF .又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.命题点2直线与平面平行的性质例2 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，P A＝AB＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离．(1)证明 取PC 的中点M ，连结DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点， ∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ，∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形， ∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ，∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC .(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DA，在Rt△P AD中，P A＝AD＝1，∴DP＝2，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CB，∵CB⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，∴CB⊥平面P AB，∴CB⊥PB，则PC＝3，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，其中PD⊥CD，∴S△PDC＝12×1×2＝22，连结EP，EC，易知V E－PDC＝V C－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥P A，AD∩P A＝A，AD，P A⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，则13×h×22＝13×1×12×12×1，∴h＝24，∴F到平面PDC的距离为24.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AC⊥平面ABCD，且P A⊥AC，P A＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且PE PB＝PFPC＝λ(λ≠0)．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)当λ＝12时，求点D 到平面AFB 的距离．(1)证明 ∵PE PB ＝PFPC ＝λ(λ≠0)，∴EF ∥BC .∵BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . (2)解 ∵λ＝12，∴F 是PC 的中点，在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝2， ∴PC ＝P A 2＋AC 2＝6， ∴PF ＝12PC ＝62.∵平面P AC ⊥平面ABCD ，且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，P A ⊥AC ，P A ⊂平面P AC ， ∴P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC . 又AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴BC ⊥AB ， 又P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ，∴在Rt △PBC 中，BF ＝12PC ＝62.连结BD ，DF ，设点D 到平面AFB 的距离为d ，在等腰三角形BAF 中，BF ＝AF ＝62，AB ＝1， ∴S △ABF ＝54， 又S △ABD ＝1，点F 到平面ABD 的距离为1， ∴由V F －ABD ＝V D －AFB ，得13×1×1＝13×d ×54，解得d ＝455，即点D 到平面AFB 的距离为455. 题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A1，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D 分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连结A1C，AC1，交于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．解连结A1B，AB1，交于点O，连结OD1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1.同理，AD 1∥C 1D ， 又AD ∥C 1D 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1， 又AC ＝A 1C 1，所以A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．跟踪训练2 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连结MN，又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)解连结EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中点，∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2×13×AN×S△NEF＝2×13×22×12×2×2＝23，∴三棱锥A－CEF的体积为2 3.题型三平行关系的综合应用例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)解设EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，FG∥CD，∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. ∴FG ＝6－32x .∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4，∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练3 如图，E 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，过A ，C ，E 三点作平面α与正方体的面相交．(1)画出平面α与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面的交线； (2)求证：BD 1∥平面α.(1)解 如图，交线即为EC ，AC ，AE ，平面α即为平面AEC .(2)证明连结AC，BD，设BD与AC交于点O，连结EO，∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD的中点，又E为DD1的中点．∴OE∥BD1，又OE⊂平面α，BD1⊄平面α.∴BD1∥平面α.1．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是________．答案l∥α或l⊂α解析当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；当l与α斜交时，也只能有两个点到α的距离相等．2．下列命题中正确的是________．(填序号)①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.答案④解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线也可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是________．答案平行解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．下列命题正确的是________．(填序号)①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．答案③④解析当a∩α＝A时，a⊄α，故①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错误；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任意一条直线都无公共点，故③正确；长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，故④正确．5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有________条．答案2解析如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条．6．(2018·南京、盐城模拟)已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n.答案①解析②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③α与β可能相交；④m与n也可能异面或相交，故只有①正确．7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若β∥γ，α∥γ，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________．(填序号)答案②解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；由平面平行的“传递性”可知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________． 答案 92解析 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．答案2解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.10.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件___________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连结HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.11.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，B1C1的中点．求证：直线A1E∥平面ADC1.证明方法一如图(1)，连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四边形B1BDE是平行四边形，所以BB1∥DE且BB1＝DE.又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD.又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.方法二如图(2)，连结ED，连结A1C，EC分别交AC1，DC1于点M，N，连结MN.因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥CD且C1E＝CD，所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点．因为四边形A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，所以MN∥A1E.又因为A1E⊄平面ADC1，MN⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．(1)证明∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面P AB.(2)解由(1)知，平面CMN∥平面P AB，∴点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P －ABM 的体积V ＝V M －P AB ＝V C －P AB ＝V P －ABC ＝13×12×1×3×2＝33.13.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BF ；②三棱锥A －BEF 的体积为定值； ③EF ∥平面ABCD ；④异面直线AE ，BF 所成的角为定值． 答案 ①②③解析 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， 易证AC ⊥平面BDD 1B 1，∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故①正确；对于②，∵E，F，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距离为定值，∵EF＝22，B到直线EF的距离为1，∴△BEF的面积为定值，∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故②正确；对于③，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故③正确；对于④，异面直线AE，BF所成的角不为定值，令上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，连结BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故④错误．14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是________．答案③解析过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连结QN.∵MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵MN∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵MQAQ＝DD1AD＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故图象为③.15.如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH 分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案15解析取AC的中点G，连结SG，BG.易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ， 所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点， 从而得HF ∥AC 且HF ＝12AC ，DE ∥AC 且DE ＝12AC ，所以HF ∥DE 且HF ＝DE ， 所以四边形DEFH 为平行四边形． 因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形， 其面积S ＝HF ·HD ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·⎝⎛⎭⎫12SB ＝15.16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，三棱锥P －ACD 的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过点O 的平面α平行于平面P AB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H ，求截面EFGH 的周长．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3， 所以V 三棱锥P －ACD ＝13×S △ACD ×AP ＝13×AB ×AD 2×AP ＝3AD2＝9，解得AD ＝6.(2)方法一 由题意知平面α∥平面P AB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，根据面面平行的性质定理，得EF ∥AB ， 同理EH ∥BP ，FG ∥AP .因为BC ∥AD ，所以△BOC ∽△DOA ， 且BC AD ＝CO OA ＝36＝12. 因为EF ∥AB ，所以CE BC ＝OC AC ＝13.又易知BE ＝AF ，AD ＝2BC ，所以FD ＝2AF . 因为FG ∥AP ，所以FG AP ＝FD AD ＝23，FG ＝23AP ＝2.因为EH ∥BP ，所以EH PB ＝EC BC ＝13，所以EH ＝13PB ＝ 2.如图，作HN ∥BC ，GM ∥AD ，HN ∩PB ＝N ，GM ∩P A ＝M ，则HN ∥GM ，HN ＝GM ，所以四边形GMNH 为平行四边形， 所以GH ＝MN ， 在△PMN 中，MN ＝PN 2＋PM 2－2×PN ×PM ×cos ∠MPN ＝8＋1－2×22cos 45°＝5， 又EF ＝AB ＝3，所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.方法二 因为平面α∥平面P AB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以EF ∥AB ，同理EH ∥BP ，FG ∥AP . 因为BC ∥AD ，AD ＝6，BC ＝3， 所以△BOC ∽△DOA ，且BC AD ＝CO AO ＝12，所以EO OF ＝12，CE ＝13CB ＝1，BE ＝AF ＝2，同理CH PC ＝EH PB ＝CO CA ＝13，如图，连结HO ，则HO ∥P A ，所以HO ⊥EO ，HO ＝1， 所以EH ＝13PB ＝2，因为AD ∥BC ，所以OC AO ＝OB DO ＝12.因为EF ∥AB ，所以FD DA ＝OD BD ＝23.因为FG ∥AP ，所以FG AP ＝FD DA ＝23，所以FG ＝23P A ＝2，过点H 作HN ∥EF 交FG 于点N ，则GH ＝HN 2＋GN 2＝5， 又EF ＝AB ＝3，所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.。
(浙江专用)2020版高考数学直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)
§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.，基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a// a .( x )⑹若 a //。
，直线all a，贝U a//。
.( X )题组二教材改编2.［P58练习T3］平面a //平面。
的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。
B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也，b? (3 , a//。
，b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。
，b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。
，则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。
，故排除 B.若 a n 3 = l，a?济，all l , b?。
2020年高考文科数学一轮总复习：直线、平面平行的判定与性质
2020年高考文科数学一轮总复习：直线、平面平行的判定与性质第4讲 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面如果两个平行平面同交，那么它们的交线常用知识拓展1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．无数条直线不相交 D ．任意一条直线都不相交解析：选D.因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.如图，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，下列直线与平面AD ′C 平行的是( )A ．B ′C ′ B ．A ′B C ．A ′B ′D ．BB ′解析：选B.因为A ′B ∥D ′C ，A ′B ⊄平面AD ′C ，CD ′⊂平面AD ′C ，所以A ′B ∥平面AD ′C .故选B.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ∥β⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αa ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α 其中正确的命题是________．解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内． 答案：②正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为____________． 解析：由题意得四边形BB 1D 1D 为矩形，故BD ∥B 1D 1.同理AB 1∥C 1D .又AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，则由面面平行的判定定理可知平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为平行．答案：平行与线、面平行相关命题的判定(师生共研)设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β【解析】A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n ∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.【答案】 D解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内有无数条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．α内的任何直线都与β平行D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α解析：选C.在选项A中，α内有无数条直线都与β平行，α与β有可能相交，故选项A 错误；在选项B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故选项B错误；在选项C中，α内的任何直线都与β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故选项C正确；在选项D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故选项D错误．选C.线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D .【证明】 (1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM 綊FC 1， 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ， 所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE 綊D 1G ，所以四边形OEGD 1是平行四边形， 所以GE ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . 角度二 线面平行性质的应用如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：GH ∥平面P AD .【证明】 如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO . 因为四边形ABCD 是平行四边形． 所以O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点， 所以AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD . 因为平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，所以P A ∥GH . 因为GH ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．1．如图，在四棱锥P -ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：如图，过M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN .因为PM ＝2MC . 所以MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，所以AB 綊MN .所以四边形ABMN 为平行四边形， 所以BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， 所以BM ∥平面P AD .2.如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：MA ∥平面BDE .(2)若平面ADM ∩平面BDE ＝l ，平面ABM ∩平面BDE ＝m ，试分析l 与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE . 因为O ，M 分别是AC ，EF 的中点，四边形ACEF 是矩形， 所以四边形AOEM 是平行四边形，所以AM ∥OE . 又因为OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， 所以AM ∥平面BDE . (2)l ∥m ，证明如下： 由(1)知AM ∥平面BDE ，又AM ⊂平面ADM ，平面ADM ∩平面BDE ＝l ， 所以l ∥AM ，同理，AM ∥平面BDE ，又AM ⊂平面ABM ，平面ABM ∩平面BDE ＝m ， 所以m ∥AM ，所以l ∥m .面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.[迁移探究1](变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.[迁移探究2](变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM ∥平面A 1BD 1.又由三棱柱的性质知，D 1C 1綊BD ， 所以四边形BDC 1D 1为平行四边形， 所以DC 1∥BD 1.又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， 所以DC 1∥平面A 1BD 1，又因为DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ， 所以平面A 1BD 1∥平面AC 1D .1．如图，AB ∥平面α∥平面β，过A ，B 的直线m ，n 分别交α，β于C ，E 和D ，F ，若AC ＝2，CE ＝3，BF ＝4，则BD 的长为( )A.65B.75C.85D.95解析：选C.由AB ∥α∥β，易证 AC CE ＝BD DF. 即AC AE ＝BD BF， 所以BD ＝AC ·BF AE ＝2×45＝85.2．(2019·河南八市联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，P A 的中点，点Q 是BC 上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PDQ ； (2)当BD ⊥FQ 时，求BQQC的值．解：(1)因为E ，Q 分别是AD ，BC 的中点，所以ED ＝BQ ，ED ∥BQ ，所以四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE ∥DQ . 又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ，所以BE ∥平面PDQ ， 又F 是P A 的中点，所以EF ∥PD ，因为EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ，所以EF ∥平面PDQ ， 因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ∥平面PDQ . (2)如图，连接AQ ，因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD . 因为BD ⊥FQ ，P A ∩FQ ＝F ，P A ，FQ ⊂平面P AQ ，所以BD ⊥平面P AQ ， 因为AQ ⊂平面P AQ ，所以AQ ⊥BD ，在矩形ABCD 中，由AQ ⊥BD 得△AQB 与△DBA 相似，所以AB 2＝AD ·BQ ，又AB ＝1，AD ＝2，所以BQ ＝12，QC ＝32，所以BQ QC ＝13.[基础题组练]1．(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A.2．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D.对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，α∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，又EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．4．(2018·四川名校联考)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.由题意可得A 1M ＝13A 1B ，AN ＝13AC ，所以分别取BC ，BB 1上的点P ，Q ，使得CP ＝23BC ，BQ ＝23BB 1，连接MQ ，NP ，PQ ，则MQ 綊23B 1A 1，NP 綊23AB ，又B 1A 1綊AB ，故MQ 綊NP ，所以四边形MQPN 是平行四边形，则MN ∥QP ，QP ⊂平面BCC 1B 1，MN ⊄平面BCC 1B 1，则MN ∥平面BCC 1B 1，故选B.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案：平行6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点． 故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 27．(2019·重庆六校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PEC ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．解：(1)设PC 的中点为Q ，连接EQ ，FQ (图略)，由题意，得FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ，所以四边形AEQF 为平行四边形， 所以AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC . 所以AF ∥平面PEC .(2)由(1)，知点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d ，连接AC ，由条件易求得EC ＝7，PE ＝7，PC ＝22，AC ＝23，故S △PEC ＝12×22×5＝10，S △AEC ＝12×1×3＝32，由V A PEC ＝V P AEC ，得13×10×d ＝13×32×2，解得d ＝3010.8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，因为E 、G 分别是BC 、SC 的中点， 所以EG ∥SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1， EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，因为F 、G 分别是DC 、SC 的中点，所以FG ∥SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG ∥平面BDD 1B 1，又EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， 所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1.[综合题组练]1．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选B.因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD，而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC.B错误．故选B.2.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)3．(2019·南昌市摸底调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC ＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)因为M ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ，所以∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，所以CN ∥AB .因为CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CN ∥平面P AB .又CN ∩MN ＝N ，所以平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，所以点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．因为AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，所以BC ＝3，所以三棱锥P -ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33. 4．如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMF ；(2)求证：平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面BDE ∥平面MNG .。
高考高考数学总复习 第七章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质课件
A
20
(2)在梯形 ABCD 中，AD＝4，DC＝3，AB＝6， ∴S 梯形 ABCD＝12(DC＋AB)·AD＝18， 又 PD⊥平面 ABCD，且 PD＝4 3， 故 V 四棱棱 PABCD＝13·S 梯形 ABCD·PD＝24 3.
A
21
考向 2 面面平行的判定与性质 【典例 2】 如图 742，已知α∥β，异面直线 AB，CD 和平面α， β分别交于 A，B，C，D 四点，E，F，G，H 分别是 AB，BC， CD，DA 的中点．
A
31
图 745 【变式训练 3】 四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形， 侧棱 PA⊥底面 ABCD，在侧面 PBC 内，有 BE⊥PC 于 E，且 BE ＝ 6a，试在 AB 上找一点 F，使 EF∥平面 PAD. 3
A
32
[解] 在平面 PCD 内，过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G，连接 AG， 在 AB 上取点 F，使 AF＝EG，
A
7
[解析] 根据线面平行的判定与性质定理知． [答案] D
3．下列条件能得出平面α∥平面β的是( ) A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线 a∥α，a∥β，且 a⊄α，a⊄β C．直线 a⊂α，直线 b⊂β，且 a∥β，b∥α D．α内的任何直线都与β平行
A
8
[解析] 根据面面平行的定义知，D 正确． [答案] D 3．下列条件能得出平面α∥平面β的是( )
ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点．
(1)证明：BC1∥平面 A1CD；
图 741
(2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 CA1DE 的体
积．
高考数学一轮复习第4讲 直线、平面平行的判定及性质
第4讲直线、平面平行的判定及性质1．直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行错误!⇒a∥α(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行错误!⇒a∥b2．平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条07相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面错误!⇒α∥β面平行”)(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面13相交，那么它们的14交线平行错误!⇒a∥b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．5．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．6．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．7．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．8．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案 B解析过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．2．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B．3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案 A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB ∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．4. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB 的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线，OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．5. 如图，平面α∥平面β，△P AB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.答案5 2解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴PCPA＝CDAB，∴AB＝PA·CDPC＝5×12＝52.6．已知下列命题：①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.上述命题正确的是________(填序号)．答案①⑤解析①若直线与平面有两个公共点，由公理2可得直线在平面内，故①正确；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错误；③若直线l 与平面α相交，则l与平面α内的任意直线可能是异面直线或相交直线，故③错误；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错误；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故⑤正确；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b 或a，b异面，故⑥错误．考向一有关平行关系的判断例1(1) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案 C解析取B1C1的中点为Q，连接MQ，NQ，由三角形中位线定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四边形BB1QN为平行四边形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D，故选C．(2)已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，有如下命题：①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若α∥β，a⊂α，则a∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b.以上命题正确的个数为()A．3 B．2C．1 D．0答案 C解析若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故②正确；若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，得a，b平行或异面，故③错误．∴正确的个数为1.故选C．解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案 B解析过点E，F，G的截面如图所示(其中H，I分别为AA1，BC的中点)．∵A1B ∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故选B．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案 D解析A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.多角度探究突破考向二直线与平面平行的判定与性质角度1用线线平行证明线面平行例2(1) 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B．证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又因为CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．(2) 如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明证法一：连接DG，CD.设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又因为H为BC的中点，所以HM∥BD.因为HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF.在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又因为GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度2用线面平行证明线线平行例3如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，且P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明线线平行的三种方法(1)利用公理4(a∥b，b∥c⇒a∥c)．(2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝3，F是棱P A上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．(1)求证：OE∥平面P AB；(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF.证明(1)因为四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以OE∥PB．因为OE⊄平面P AB，PB⊂平面P AB，所以OE∥平面P AB．(2)过E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF.所以EG∥平面BDF.因为E为PD的中点，EG∥FD，所以G为PF的中点，因为AF＝1，P A＝3，所以F为AG的中点，又因为O为AC的中点，所以OF∥CG.因为CG⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CG∥平面BDF.因为EG∩CG＝G，EG⊂平面CGE，CG⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因为CE⊂平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定与性质例4如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC．因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G与EB平行且相等，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．4.(2020·山东滕州市第一中学新校模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别为PB ，AB 的中点．(1)求证：平面P AD ∥平面EFC ；(2)若P A ＝AB ＝AC ＝2，求点B 到平面PCF 的距离． 解 (1)证明：因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥P A ，因为EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以AF ∥CD ，AF ＝CD ，所以四边形ADCF 为平行四边形，所以CF ∥AD .因为CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以CF ∥平面P AD . 因为EF ∩CF ＝F ，EF ，CF ⊂平面EFC ， 所以平面P AD ∥平面EFC ．(2)因为AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，F 为AB 的中点， 所以S △BCF ＝12BF ·AC ＝12×1×2＝1，因为P A ⊥平面ABCD ，所以V P －BCF ＝13S △BCF ·P A ＝13×1×2＝23，因为PF ＝CF ＝5，PC ＝22，所以S △PCF ＝12PC ·PF2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PC 22＝12×22×5－2＝6.设点B 到平面PCF 的距离为h ， 因为V B －PCF ＝V P －BCF ，所以13×6×h ＝23，所以B 到平面PCF 的距离h ＝63.一、单项选择题1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β ”是“m ∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α∥β，m ⊂α，可得m ∥β；反过来，由m ∥β，m ⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β ”是“m ∥β ”的充分不必要条件．2．已知直线a ，b 和平面α，下列说法中正确的是( ) A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b B ．若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥bC ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bD ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b 答案 B解析 若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 异面，故A 错误；利用线面垂直的性质，可知若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b ，故B 正确；若a ，b 与α所成的角相等，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；由a ∥α，b ∥α，得a ，b 之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．3. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案 A解析由长方体的性质，知EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB．故选A．4. (2020·山东滕州市第一中学新校模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，M，N 分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能答案 B解析∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN∥P A．故选B．5. 如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案 A解析如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故选A．6. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当P A∥平面EBF时，PFFC＝()A ．23B ．14C ．13D ．12答案 D解析 如图，连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ，所以P A ∥FG ，所以PFFC ＝AGGC .又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.7. 在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A ．452B ．4532C ．45D ．453答案 A解析 如图，取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB ．因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也分别为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12SB ＝452.8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为( )A ．22B ．23C ．26D ．4 答案 C解析 如图所示，易知截面是菱形．分别取棱D 1C 1，AB 的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，CF ，CE ，则菱形A 1ECF 为符合题意的截面．连接EF ，A 1C ，易知EF ＝22，A 1C ＝23，EF ⊥A 1C ，所以截面的面积S ＝12EF ·A 1C ＝26.故选C ． 二、多项选择题9. (2020·山东五莲高三月考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是( )A ．线段B 1D 1上存在点E ，F 使得AE ∥BF B ．EF ∥平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D ．三棱锥A －BEF 的体积为定值 答案 BD解析 如图所示，AB 与B 1D 1为异面直线，故AE 与BF 也为异面直线，A 错误；B 1D 1∥BD ，故EF ∥平面ABCD ，故B 正确；由图可知，点A 和点B 到EF 的距离是不相等的，C 错误；连接BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A －BEF 的高，S △BEF ＝12×12×1＝14，三棱锥A －BEF 的体积为13×14×22＝224，为定值，D 正确．故选BD.10．(2020·保定一中模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1.则以下四个说法中正确的是()A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APC答案BC解析如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；对于B，由A项知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，AN⊂平面APC，所以C1Q∥平面APC是正确的；对于C，由A项知A，P，M三点共线是正确的；对于D，由A项知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．三、填空题11．有以下三种说法，其中正确的是________.①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③若直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．答案①解析若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；若直线a，b满足a∥b，则直线a平行或包含于经过b的任何平面，故③错误．12．(2020·山东烟台二中模拟)下列各图中A，B为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，如图1，作MC∥NP，连接NC，PC，得平面MCPN，因为AB∥NC，NC⊂平面MCPN，AB⊄平面MCPN，所以AB∥平面MCPN，即AB∥平面MNP，故①正确；对于②，如图2，连接AC，AD，CD，由已知可得平面MNP∥平面ACD.因为AB和平面ACD相交，所以AB不平行于平面MNP，故②错误；对于③，如图3，连接AC，BC，DE，由已知可得MN∥DE，因为DE∥AC，由平行的传递性可得MN∥AC，又因为NP∥BC，MN∩NP＝N，AC∩BC＝C，所以平面ABC∥平面MNP，又因为AB⊂平面ABC，所以AB∥平面MNP，故③正确；对于④，如图4，因为DB∥MN，MN⊂平面MNP，若AB∥平面MNP，又AB∩DB＝B，则平面ACBD∥平面MNP，由图可知平面ACBD不可能平行于平面MNP，所以AB不平行于平面MNP，故④错误．综上，①③符合题意．13. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案22 3a解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD.∴MN∥PQ. 又MN∥AC，∴PQ∥AC．∵AP＝a 3，∴PDAD ＝DQCD＝PQAC＝23.∴PQ＝23AC＝23×2a＝223a.四、解答题14．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.15．(2020·山东淄博实验中学模拟)已知如图1所示，在边长为12的正方形AA′A1′A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1，在该三棱柱底边AC上有一点M，满足AM＝kMC(0<k<1)；请在图2中解决下列问题．(1)求证：当k＝34时，BM∥平面APQ；(2)若k＝14，求三棱锥M－APQ的体积．解(1) 证明：如图，过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，所以MN∥PB，∴点M，N，P，B共面且平面MNPB交平面APQ于PN，∵k＝34，MNCQ＝AMAC＝37，又CQ＝7，∴MN＝3，MN＝PB＝AB＝3，∴四边形MNPB为平行四边形，∴BM∥PN，PN⊂平面APQ，BM⊄平面APQ，∴BM∥平面APQ.(2)∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，从而AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC ．因为k ＝14.∴AM ＝1.∴V M －APQ ＝V P －AMQ ＝13×12×AM ×CQ ×125＝145.16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面P AD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图所示，取P A 的中点H ，连接EH ，DH ， 因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ． 又因为AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又因为DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD .(2)存在．理由：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝12AB，因为CD＝12AB，所以AF＝CD，又因为AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD.因为AD⊂平面P AD，CF⊄平面P AD，所以CF∥平面P AD. 由(1)知CE∥平面P AD，又因为CE∩CF＝C，CE⊂平面CEF，CF⊂平面CEF，所以平面CEF∥平面P AD.故在线段AB上存在一点F，使得平面P AD∥平面CEF.。
2020年高考数学理一轮突破热点题型直线、平面平行的判定及其性质
第四节直线、平面平行的判定及其性质1．线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容，多出现在解答题中的第(1)、(2)问，难度适中，属中档题．2．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度：(1)以多面体为载体，证明线面平行问题；(2)以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题．[例1](1)(2013·福建高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠P AD＝60°.①当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；②若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC；③求三棱锥D-PBC的体积．(2)(2014·日照模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE 于点F，且点F在线段CE上．①求证：AE⊥BE；②设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.[自主解答](1)法一：①在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝DC＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，所以在Rt△PDA中，由AD＝4，∠P AD＝60°，得PD＝AD tan 60°＝4 3.正视图如图(1)所示：图(1)图(2)②证明：如图(2)所示，取PB中点N，连接MN，CN.在△P AB中，∵M是P A中点，∴MN∥AB且MN＝12AB＝3.∵又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.∵DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC.＝6，PD＝43，∴V D-PBC＝8 3.③V D-PBC＝V P-DBC＝13S△DBC·PD，又∵S△DBC法二：①同法一．②证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.∵在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.∵DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.∵DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.③同法一．(2)①证明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，得BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE.因为BE⊂平面BCE，故AE⊥BE.②在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中，过点G 作GN ∥BC 交CE 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .因为MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，所以MG ∥平面ADE ，又GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 所以GN ∥平面ADE ，又MG ∩GN ＝G ，所以平面MGN ∥平面ADE ，因为MN ⊂平面MGN ，所以MN ∥平面ADE .故当点N 为线段CE 上靠近C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；③利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．(2)线面平行的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a ．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b ．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c ．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．1. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则在△ABC 1中，BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，则AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，AA 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1. 2. 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC .(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 解：(1)证明：在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ，∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形，∴DC 1⊥D 1C .又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，DC ，DD 1⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥平面DCC 1D 1，又D 1C ⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥D 1C .∵AD ⊂平面ADC 1，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ，∴D 1C ⊥平面ADC 1， 又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1.(2)连接AD 1，AE ，D 1E ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD ∩AE ＝N ，连接MN ，∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ，要使D 1E ∥平面A 1BD ，可使MN ∥D 1E ，又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.[例2]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[自主解答](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.【互动探究】在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴H是A1C的中点，连接HD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DH.∵A1B⊂平面A1BD1，DH⊄平面A1BD1，∴DH∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD，D1C1=BD∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DH＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.【方法规律】判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．(2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．解：(1)证明：由题设知，BB1∥DD1，BB1=DD1∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC，A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵AO＝12AC＝1，AA1又∵S△ABD＝1＝S△ABD×A1O＝1.2×2×2＝1，∴VABD-A1B1D1考点三平行关系的综合应用[例3]如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F 分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．[自主解答](1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且DH＝AC.∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH .又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ，∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β.综合①②可知EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角， ∴∠EMF ＝60°或120°.∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝ 32＋22±2×3×2×12＝13±6， 即EF ＝7或EF ＝19.【方法规律】1．解决本题的关键是构造过EF 且平行平面α和平面β的平面．2．通过线面、面面平行的判定和性质，可实现线线、线面、面面平行的转化．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下：∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又∵D 1B ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，∴D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ，QB ⊂平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个转化——三种平行关系间的转化性质定理线线平行判定定理性质定理线面平行判定定理性质定理面面平行判定定理2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.。
高考数学知识点 直线、平面平行的判定与性质
性质定理
一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面 与此平面的 交线与该直线 平行(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
l∥α ∵，
l⊂β ，α∩β＝b， ∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言
一个平面内的两条 相交直线与另一个 平面平行，则这两 判定定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
由面面平行的性质定理可知，①正确； 当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行， ③正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的 中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_Q__为__C_C__1的__中__点___时，有平面 D1BQ∥平面PAO. 答案 解析
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积. 解答
思维升华
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
2.(2016·滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.若m⊂α，
n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是 答案 解析
A.m∥β且l1∥α
B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2
√D.m∥l1且n∥l2
由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那 么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面.
(浙江专用)2020版高考数学 直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)
§8.4直线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析理解空间线面平行、面面平行的判定定理和性质定理.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)错误!⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)错误!⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行错误!⇒a∥b概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)平行于同一条直线的两个平面平行．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)题组二教材改编2．[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三易错自纠4．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题是真命题的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案 D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号) 答案 ②④解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，又b ⊥β，从而α∥β，④满足．题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 (2018·绍兴模拟)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若CM ⊥MN ，求三棱锥M —NAC 的体积．(1)证明 连接A 1B ，BC 1，点M ，N 分别为A 1C 1，A 1B 的中点，所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线，所以MN ∥BC 1，又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 设点D ，E 分别为AB ，AA 1的中点，AA 1＝a ，连接ND ，CD ，则CM 2＝a 2＋1，MN 2＝1＋a 2＋44＝a 2＋84，CN 2＝a 24＋5＝a 2＋204，由CM ⊥MN ，得CM 2＋MN 2＝CN 2， 解得a ＝2，又NE ⊥平面AA 1C 1C ，NE ＝1，V 三棱锥M —NAC ＝V 三棱锥N —AMC ＝13S △AMC ·NE＝13×12×2×2×1＝23. 所以三棱锥M —NAC 的体积为23. 命题点2 直线与平面平行的性质例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离．(1)证明 取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点， ∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ，∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形， ∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ，∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC .(2)解 ∵EF ∥平面PDC ，∴点F 到平面PDC 的距离等于点E 到平面PDC 的距离． ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥DA ，在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝1， ∴DP ＝2， ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥CB ，∵CB ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ， ∴CB ⊥平面PAB ， ∴CB ⊥PB ，则PC ＝3， ∴PD 2＋DC 2＝PC 2，∴△PDC 为直角三角形，其中PD ⊥CD ， ∴S △PDC ＝12×1×2＝22，连接EP ，EC ，易知V E －PDC ＝V C －PDE ， 设E 到平面PDC 的距离为h ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD ∩PA ＝A ，AD ，PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，则13×h ×22＝13×1×12×12×1， ∴h ＝24， ∴F 到平面PDC 的距离为24. 思维升华判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练1(2019·崇左联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PE PB ＝PF PC＝λ(λ≠0)．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)当λ＝12时，求点D 到平面AFB 的距离．(1)证明 ∵PE PB ＝PFPC＝λ(λ≠0)，∴EF ∥BC .∵BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)解 ∵λ＝12，∴F 是PC 的中点，在Rt△PAC 中，PA ＝2，AC ＝2， ∴PC ＝PA 2＋AC 2＝6， ∴PF ＝12PC ＝62.∵平面PAC ⊥平面ABCD ，且平面PAC ∩平面ABCD ＝AC ，PA ⊥AC ，PA ⊂平面PAC ， ∴PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC . 又AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴BC ⊥AB ， 又PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，∴在Rt△PBC 中，BF ＝12PC ＝62.连接BD ，DF ，设点D 到平面AFB 的距离为d ， 在等腰三角形BAF 中，BF ＝AF ＝62，AB ＝1， ∴S △ABF ＝54， 又S △ABD ＝1，点F 到平面ABD 的距离为1，∴由V F －ABD ＝V D －AFB ，得13×1×1＝13×d ×54，解得d ＝455，即点D 到平面AFB 的距离为455.题型二 平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ， ∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1∥AB 且A 1B 1＝AB ， ∴A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .又∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面EFA 1， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究1．在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“D 1，D 分别为B 1C 1，BC 的中点”，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明 如图所示，连接A 1C ，AC 1，交于点M ，∵四边形A 1ACC 1是平行四边形， ∴M 是A 1C 的中点，连接MD ， ∵D 为BC 的中点， ∴A 1B ∥DM .∵A 1B ⊂平面A 1BD 1，DM ⊄平面A 1BD 1， ∴DM ∥平面A 1BD 1，又由三棱柱的性质知，D 1C 1∥BD 且D 1C 1＝BD ， ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形， ∴DC 1∥BD 1.又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， ∴DC 1∥平面A 1BD 1，又DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ， 因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .2．在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求AD DC的值． 解 连接A 1B ，AB 1，交于点O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ， 则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1.同理，AD 1∥C 1D ， 又AD ∥C 1D 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1， 又AC ＝A 1C 1， 所以A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 所以DCAD＝1，即AD DC＝1. 思维升华证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．跟踪训练2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(2)若AB ＝1，BF ＝2，求三棱锥A －CEF 的体积． (1)证明 如图，设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，连接MN ， 又M 为棱AE 的中点， ∴MN ∥EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF ＝DE ， ∴BF ∥DE 且BF ＝DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形， ∴BD ∥EF .∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD ∥平面EFC .又MN ∩BD ＝N ，MN ，BD ⊂平面BDM ， ∴平面BDM ∥平面EFC . (2)解 连接EN ，FN .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， 又BF ⊥平面ABCD ，∴BF ⊥AC . 又BF ∩BD ＝B ，BF ，BD ⊂平面BDEF ， ∴AC ⊥平面BDEF ， 又N 是AC 的中点， ∴V 三棱锥A －NEF ＝V 三棱锥C －NEF ， ∴V 三棱锥A －CEF ＝2V 三棱锥A －NEF ＝2×13×AN ×S △NEF＝2×13×22×12×2×2＝23，∴三棱锥A －CEF 的体积为23.题型三 平行关系的综合应用例4如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围． (1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD .又∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF ＝x (0<x <4)， ∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. ∴FG ＝6－32x .∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4， ∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练3如图，E 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，过A ，C ，E 三点作平面α与正方体的面相交．(1)画出平面α与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面的交线； (2)求证：BD 1∥平面α.(1)解 如图，交线即为EC ，AC ，AE ，平面α即为平面AEC .(2)证明 连接AC ，BD ，设BD 与AC 交于点O ，连接EO ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 是BD 的中点， 又E 为DD 1的中点．∴OE∥BD1，又OE⊂平面α，BD1⊄平面α.∴BD1∥平面α.1．(2018·温州模拟)已知α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，那么“l∥β”是“α∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若l∥β，且l⊂α，则α，β相交或平行，故l∥β且l⊂αD⇒/α∥β，而α∥β且l⊂α⇒l∥β，所以“l∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故选B.2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵平面A1B1EC∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．(2019·台州模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A．0条B．1条C．2条D．0条或2条答案 C解析如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.5．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β答案 C解析由线面垂直的判定定理，可知C正确．6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.7．(2018·杭州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β. 其中是真命题的是________．(填序号) 答案 ②解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________． 答案 92解析 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．答案2解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.10．(2018·金华模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.11.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.12．(2018·绍兴模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝23，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心．(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求三棱锥G —PCD 的体积．(1)证明 连接AG 并延长交PD 于点H ，连接CH .由梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2DC 知，AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，∴AG GH ＝21. 在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC .又HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .(2)解 方法一 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点， 知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3， 由(1)知GF ∥平面PDC ，∴V 三棱锥G —PCD ＝V 三棱锥F —PCD ＝V 三棱锥P —CDF ＝13×PE ×S △CDF . 又由梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2DC ＝23， 知DF ＝13BD ＝233，又△ABD 为正三角形，得∠CDF ＝∠ABD ＝60°，∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠BDC ＝32，得V 三棱锥P —CDF ＝13×PE ×S △CDF ＝32，∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 方法二 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，连接CE ， ∵PG ＝23PE ，∴V 三棱锥G —PCD ＝23V 三棱锥E —PCD ＝23V 三棱锥P —CDE＝23×13×PE ×S △CDE ， 又△ABD 为正三角形，得∠EDC ＝120°， 得S △CDE ＝12×CD ×DE ×sin∠EDC ＝334.∴V 三棱锥G —PCD ＝23×13×PE ×S △CDE＝23×13×3×334＝32， ∴三棱锥G —PCD 的体积为32.13.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A －BEF 的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．异面直线AE，BF所成的角为定值答案 D解析∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，易证AC⊥平面BDD1B1，∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，∵E，F，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距离为定值，∵EF＝22，B到直线EF的距离为1，∴△BEF的面积为定值，∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，令上底面中心为O，当F与B1重合时，E 与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．14.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )答案 C解析过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵MN∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵MQAQ＝DD1AD＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C.15.如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH 分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )A.452B.4532C．15 D．45 3 答案 C解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF ∥AC 且HF ＝12AC ，DE ∥AC 且DE ＝12AC ， 所以HF ∥DE 且HF ＝DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝15. 16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，三棱锥P －ACD 的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过点O 的平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H ，求截面EFGH 的周长．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，所以V 三棱锥P －ACD ＝13×S △ACD ×AP ＝13×AB ×AD 2×AP ＝3AD 2＝9，解得AD ＝6. (2)方法一 由题意知平面α∥平面PAB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，根据面面平行的性质定理，得EF ∥AB ，同理EH ∥BP ，FG ∥AP .因为BC ∥AD ，所以△BOC ∽△DOA ，且BC AD ＝CO OA ＝36＝12.因为EF ∥AB ，所以CE BC ＝OC AC ＝13. 又易知BE ＝AF ，AD ＝2BC ，所以FD ＝2AF .因为FG ∥AP ，所以FG AP ＝FD AD ＝23，FG ＝23AP ＝2. 因为EH ∥BP ，所以EH PB ＝EC BC ＝13， 所以EH ＝13PB ＝ 2. 如图，作HN ∥BC ，GM ∥AD ，HN ∩PB ＝N ，GM ∩PA ＝M ，则HN ∥GM ，HN ＝GM ，所以四边形GMNH 为平行四边形，所以GH ＝MN ，在△PMN 中，MN ＝PN 2＋PM 2－2×PN ×PM ×cos∠MPN＝8＋1－2×22cos45°＝5，又EF ＝AB ＝3， 所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.方法二 因为平面α∥平面PAB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以EF ∥AB ，同理EH ∥BP ，FG ∥AP .因为BC ∥AD ，AD ＝6，BC ＝3，所以△BOC ∽△DOA ，且BC AD ＝CO AO ＝12， 所以EO OF ＝12，CE ＝13CB ＝1，BE ＝AF ＝2， 同理CH PC ＝EH PB ＝CO CA ＝13， 如图，连接HO ，则HO ∥PA ，所以HO ⊥EO ，HO ＝1，所以EH ＝13PB ＝2，因为AD ∥BC ，所以OC AO ＝OB DO ＝12.因为EF ∥AB ，所以FD DA ＝OD BD ＝23.因为FG ∥AP ，所以FG AP ＝FD DA ＝23，所以FG ＝23PA ＝2，过点H 作HN ∥EF 交FG 于点N ，则GH ＝HN 2＋GN 2＝5，又EF ＝AB ＝3，所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.。
2020年浙江高考数学一轮复习：直线、平面平行的判定及其性质
、a 语 "子 、a 语 形图、a 语 号符判定定理<面紂线 W直? 外条面 > 面一平行 平的此平二少・a 比a^1 a - ^1 TR一二-则简平 匕 參 , 止 克 行与行线 辛®辛 ? m丫 线亍 平一直片个伉该讨与谿外线线直交「 直条的了 > 条这面为" 一过平记行7 X!;//b I n I -- 伪 二文字语言图形语言付号语言 判定定理「一个平面内的两条相交直线■/ a / 3, b // B,a A b=P , a ? a, b ?a,• I a// 3与另一个平面平行，则这两个 平面平行（简记为“线面平行 ?面面平行”）如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交 线平行£^7T a // 3, aA Y = a ,3A Y = b ,/• a / b1.（教材习题改编）已知平面a//平面直线a ? a,有下列命题: ① a 与B 内的所有直线平行； ② a 与B 内无数条直线平行； ③ a 与B 内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是 __________ . 答案：②第四节直线、平面平行的判定及其性质2.（教材习题改编）在正方体ABCD-A i B i C i D i中，点E是DD i的中点，贝V BD i与平面ACE的位置关系为 _________ .解析：连接BD，设BD A AC = 0,连接〔。
，在厶BDD i中，点E , O分别是DD i, BD的中点，贝U EO // BD i，又因为EO ?平面ACE , BD i?平面AEC，所以BD i//平面ACE.答案：平行必过易措关1 •直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.2•面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.［小题纠偏］1. 如果直线a//平面a那么直线a与平面a内的（）A .一条直线不相交B .两条直线不相交C .无数条直线不相交D .任意一条直线都不相交解析：选D 因为a //平面a,直线a与平面a无公共点，因此a和平面a内的任意一条直线都不相交，故选 D.2. 设a, B是两个不同的平面，m是直线且m? a, “ m// B”是“ a// B”的（）A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选B 当m // B时，过m的平面a与B可能平行也可能相交，因而m//价/ all3；当a// B时，a内任一直线与B平行，因为m? a,所以m// 3综上知，“ m// B”是“a // 3”的必要而不充分条件.考点一直线与平面平行的判定与性质题点多变型考点—多角探明［锁定考向］平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中.常见的命题角度有：(1) 证明直线与平面平行;(2) 线面平行性质定理的应用.［题点全练］角度一：证明直线与平面平行1. (2018杭二一模)如图，在三棱锥P-ABC中，PB丄BC, AC丄BC, 点E , F, G分别为AB , BC , PC的中点.(1) 求证：PB //平面EFG ;(2) 求证：BC丄EG.证明：(1)v点F , G分别为BC, PC的中点，••• GF // PB,v PB?平面EFG , GF?平面EFG ,••• PB// 平面EFG.⑵•••点E, F , G分别为AB , BC , PC的中点,• EF // AC , GF // PB ,•/ PB丄BC , AC 丄BC , • EF 丄BC , GF 丄BC ,•/ EF n GF = F , EF ?平面EFG , GF ?平面EFG ,• BC丄平面EFG ,•/ EG?平面EFG , • BC丄EG.角度二：线面平行性质定理的应用2.(2018瑞安期中)已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH ,求证：AP // GH.证明：如图所示,连接AC交BD于点0,则点0为AC中点. 连接M0 ,则有M0 // PA.因为PA?平面APGH , M0 ?平面APGH , 所以M0 //平面APGH .因为M0 ?平面BDM ,平面BDM n平面APGH = GH ,所以GH // M0 ,所以PA// GH.［通法在握］（2018豫东名校联考）如图，在直四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 中，E 为 线段AD 上的任意一点（不包括A ，D 两点），平面CEC i 与平面BB i D 交 于FG.证FG /平面 AA i B i B.证明：在四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 中，BB i // CC i , BB i ?平面 BB i D , CC i ?平面 BB i D , 所以CC i /平面BB i D.又 CC i ?平面 CEC i ，平面 CEC i A 平面 BB i D = FG , 所以 CC i / FG. 因为 BB i / CC i ,所以 BB i / FG.因为 BB i ?平面 AA i B i B , FG ?平面 AA i B i B , 所以FG //平面AA i B i B. 考点二平面与平面平行的判定与性质重点保分型考点一一师生共研 ［典例引领］（20i8嘉兴模拟）如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，点D 是BC 上一点，且 A i B /平面AC i D ，点D i 是B i C i 的中点，求证：平面 A i BD i /平面 AC i D.证明：如图，连接 A i C 交AC i 于点E ，连接ED ，因为四边形 A i ACC i 是平行四边形，所以点 E 为A i C 的中点，因为 A i B /平面 AC i D ，平面 A i BC A 平面 AC i D = ED ，所以 A i B / ED ,因为点E 是A i C 的中点，所以点 D 是BC 的中点， 又因为点 D i 是B i C i 的中点，所以 D i C i 綊BD , 所以四边形BDC i D i 为平行四边形，所以 BD i / C i D. 因为BD i ?平面AC i D , C i D ?平面AC i D , 所以BD i /平面AC i D , 又因为 A i B A BD i = B ,定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言 叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面证明直线与平面平行的 3种方法 ［演练冲关］所以平面A I BD I〃平面AC ID.判定平面与平面平行的 5种方法(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点 (不常用);(2) 面面平行的判定定理(主要方法)； (3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4) 利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (客观题可用)；(5) 利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.［即时应用］ 1.在如图所示的几何体中,点.求证：GH //平面ABC.EF 的中点，求证:［由题悟D 是AC 的中点,EF // DB ,证明：取FC 的中点I ，连接GI , HI , 贝U 有 GI // EF , HI // BC. 又 EF // DB ，所以 GI // BD , 又 GI n HI = I , BD n BC = B,所以平面GHI //平面ABC. 因为GH ?平面GHI , 所以GH //平面ABC.2.如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形,M , N , G 分别是 AB , AD ,(1)BE //平面DMF ；(2)平面BDE //平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为0, 则AE必过DF与GN的交点0,连接MO ，贝U MO 为厶ABE 的中位线，所以BE // MO ，又BE ?平面DMF , MO ?平面DMF , 所以BE //平面DMF .⑵因为N , G 分别为平行四边形 ADEF 的边AD , EF 的中点,所以DE // GN ，又DE ?平面 MNG ，GN ?平面 MNG ，所以DE //平面 MNG . 又M 为AB 中点，所以MN ABD 的中位线，所以BD // MN ，又BD ?平面 MNG , MN ?平面 MNG , 所以BD //平面 MNG ,又 DE ?平面 BDE , BD ?平面 BDE , DE n BD = D , 所以平面 BDE //平面 MNG . 考点三 立体几何中的探索性问题重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］(2019舟山诊断)如图，在长方体 ABCD-A i B i C i D i 中，AB = 1, AD = 2, E, F 分别为 AD , A i A 的中点，Q 是BC 上一个动点，且 B Q= Q C(心0). (1)当 匸i 时，求证：平面 BEF //平面 A i D Q;(2)是否存在 入使得BD 丄FQ?若存在，请求出 入的值；若不存在，请说明理由. 解：⑴证明：当 匸i 时，Q 为BC 的中点, 因为E 是AD 的中点，所以 ED = B Q, ED // B Q 则四边形BED Q 是平行四边形,所以BE // D Q 又BE ?平面A i D Q D Q?平面A i D Q, 所以BE //平面A i DQ 因为F 是A i A 的中点，所以EF // A i D ,因为EF ?平面A i D Q A i D ?平面A i D Q, 所以EF //平面A i D Q.又 BE n EF = E , EF ?平面 BEF , BE ?平面 BEF , 所以平面 BEF //平面 A i D Q(2)假设存在满足条件的 入如图连接A Q BD , FQ 因为A i A 丄平面 ABCD , BD ?平面 ABCD ,所以 A i A 丄 BD.AM fi门】也Pin因为 BD 丄 F Q A I A Q F Q = F , 所以BD 丄平面A I AQ因为A Q?平面A I A Q,所以A Q 丄BD.在矩形 ABCD 中，由 A Q 丄BD ，得△ A Q 3^^ DBA ,1又 AB = 1, AD = 2，所以 B Q =1,则Q C = 2,则詩3,即x=［由题悟法］探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理 论证和计算•在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在; 如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在.［即时应用］如图，四边形 ABCD 中，AB 丄AD , AD // BC , AD = 6, BC = 4, E , F 分别在 BC , AD 上,EF // AB.现将四边形 ABCD 沿EF 折起，使平面 ABEF 丄平面 EFDC .若BE = 1,在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P ，且N 背=扁，使得 CP //平面 ABEF ?若存在，求出 入的值，若不存在，说明理由.解：AD 上存在一点P ,使得CP //平面ABEF ，此时入=3. 理由如下：当匕2时，"AP =号口？，可知AD = 3,如图，过点 P 作MP // FD 交AF 于点M ，连接EM , PC ,又 BE = 1,可得 FD = 5, 故 MP = 3,又 EC = 3, MP // FD // EC ,所以AB A D B Q 2 A B」AB 2 = AD B Q 则有 MP _ AP _ 3FD = AD =5,一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是 A •平行B .相交C •异面D .以上都有解析：选D 由空间直线与平面的位置关系可知，平行于同一平面的两条直线可以平 行、也可以相交、也可以异面.2. （2018宁波模拟）在空间四边形 ABCD 中，E , F 分别是AB 和BC 上的点，若 AE : EB = CF : FB = 1 : 2，则对角线 AC 和平面DEF 的位置关系是（）A .平行B .相交C .在平面内D .不能确定解析：选A 如图，由=黑得AC // EF.又因为EF ?平面DEF ,EB FB AC ?平面DEF ，所以 AC //平面 DEF .3. （2018绍兴期中考试）已知两个不重合的平面a 3,给定以下条件：匚① a 内任意不共线的三点到3的距离都相等；② I , m 是a 内的两条直线，且I // 3 m // 3③ I , m 是两条异面直线，且 I // a, I // 3 m// a, m / 3； 其中可以判定 a// 3的是（ ）A .① C .①③D .③解析：选C 本题宜采用逐个命题验证的方式进行判定.对于命题①，任意不共线三 点可以确定一个平面，即为a,该三点到平面 3的距离相等，即可得到a// 3故①正确；对于命题②，由面面平行的判定可知，若 I , m 平行，则不一定能够推理得到a// 3故②错误；对于命题③，由I , m 是两条异面直线，通过平移可以在同一个平面内，则该平面与a：3都平行，由平行于同一平面的两个平面平行这一性质可知，a// 3故③正确.所以满足条A .若 m ± I , n 丄 I ，贝U m / n故有MP 綊EC ,故四边形 MPCE 为平行四边形，所以 CP // ME , 又 ME ?平面 ABEF , CP ?平面 ABEF , 故有CP //平面 ABEF .B. 若a丄Y 3-L Y,贝V a丄3C .若m〃a, n II a,贝U m〃nD .若a// Y 31 Y V a// 3解析：选D 若m± l, n丄l，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；若a丄Y3丄Y,则a与3可能平行，可能相交，故B错误；若m// a, n// a,则m , n可能平行、相交或异面，故C错误；若a// Y, 3// Y利用平面与平面平行的性质与判定，可得a// 3,故D正确.故选D.5.如图所示,在四面体ABCD中，点M, N分别是△ ACD , △ BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_________ .解析：连接AM并延长，交CD于点E ,连接BN ,并延长交CD 于点F,由重心性质可知，E , F重合为一点，且该点为CD的中点E ,EM EN 1连接MN,由MA =盂=2 ,得MN // AB.因此，MN //平面ABC且MN //平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD—保咼考，全练题型做到咼考达标1.在空间中，已知直线 a , b,平面a ,则以下三个命题：①若 a // b , b? a,贝U a // a;②若 a // b , a // a ,贝U b // a;③若 a //a , b // a,贝U a // b.其中真命题的个数是（）B. 1解析：选A 对于①，若a // b , b? a ,则应有a // a或a? a ,所以①是假命题；对于②，若a// b, a // a,贝y应有b// a或b? a ,因此②是假命题；对于③，若a // a, b// a,贝y应有a// b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题.综上，在空间中，以上三个命题都是假命题.2. 设m , n是平面a内的两条不同直线,l i , I2是平面3内的两条相交直线.则a//3的一个充分而不必要条件是（）A. m// 3且l i// aB. m//l i 且n//"C. m// 3且n // 3D. m//3且n // I2解析：选B 因为m / l i,且n // l2,又l i与l2是平面3内的两条相交直线,所以a// 3而当a// 3时不一定推出m/ l i且n/ l2,可能异面.所以a// 3的一个充分而不必要条件是B.3. 下列四个正方体图形中， A , B为正方体的两个顶点，M, N , P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是（）C . 45D . 45 3解析：选A 取AC 的中点G ,连接SG , BG.易知 SG ±AC , BG 丄AC , 故AC 丄平面SGB ，所以AC 丄SB. 因为 SB //平面 DEFH , SB ?平面 SAB ，平面 SABA 平面DEFH = HD ，贝U SB // HD.同理 SB // FE.又D , E 分别为AB , BC 的中点，贝U H , F 也为AS , SC 的中点，从而得 HF 綊殳AC 綊DE ,所以四边形DEFH 为平行四边形.又 AC 丄 SB , SB // HD , DE // AC ,所以DE 丄HD ，所以四边形 DEFH 为矩形，11 45 A .①③ C .①④ 解析：选C 对于图形①，平面 B .②③ D .②④ MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到 AB //平面MNP ;对于图形 ④，AB // PN ,即可得到 AB //平面MNP ;图形②③无论用定义还是判定定 理都无法证明线面平行.4.在三棱锥 S -ABC 中，△ ABC 是边长为 6的正三角形，SA = SB =SC =15,平面 DEFH 分另与 AB , BC , SC , SA 交于 D , E , F , H , 且D , E 分别是 AB , BC 的中点，如果直线 SB //平面DEFH ，那么 四边形DEFH 的面积为（ ）A. 452 B. 45.3山 M M②其面积S= HF HD = ^AC ^SB =孑.5.（2018舟山模拟）在如图所示的正方体ABCD-A i B i C i D i中，E , F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M , N分别为线段D1E , C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A.无数条B. 2条C . 1条D . 0条解析：选A法一：取BB i的中点H , 连接FH，则FH // SD i,连接HE , D i H，在D i E上任取一点M ,取D i E的中点0,连接0H ,在平面D i HE中，作MG平行于H0，交D i H于G,连接DE，取DE的中点K,连接KB, 0K，则易证得0H // KB.过G作GN // FH，交C i F于点N，连接MN ,由于GM // H0 , H0 // KB, KB?平面ABCD ,GM ?平面ABCD ,所以GM //平面ABCD ,同理，NG //平面ABCD，又GM n NG = G,由面面平行的判定定理得，平面MNG //平面ABCD ,则MN //平面ABCD.由于M为D i E上任意一点，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条.故选 A.法二：因为直线D i E , C i F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D i E的交点为M，与线段C i F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN //平面ABCD，故有无数条直线MN //平面ABCD，故选A.6. （20i8金华名校统练）已知直线a, b,平面a, 3,且a // b, a丄3,贝厂’a丄f 是“ b // a” 的（）A •充分不必要条件B.必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：选B 因为a// b, a丄3,所以b丄3若b// a,贝U a丄3,故“ a丄3是“ b// a” 的必要条件；若a 丄3 ,又a丄3则a// a或a? a,又a// b,所以b//a或b? a ,故“ a丄3”不是“ b// a”的充分条件.故选 B.7.正方体ABCD -A i B i C i D i的棱长为i cm ,过AC作平行于对角线BD i的截面，则截面面积为_______ cm2;其周长为 __________ cm.解析：如图所示，截面ACE // BD i ,平面BDD i n平面ACE = EF ,其中F为AC与BD的交点，••• E为DDi的中点，• S[2乂爲心彳2\…ACE = 2X 2 x 2 = 4 （cm ）.=13.答案：，139.(2018杭州模拟)如图所示，四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 的底面ABCD 是正方形，点0是底面中心，A 1O 丄底面 ABCD , AB = AA 1 =2.(1) 证明：平面 A i BD //平面 CD i B i ；(2) 求三棱柱 ABD-A 1B 1D 1的体积.解：(1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1,所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以 BD // B 1D 1.又因为BD ?平面CD 1B 1, B 1D 1?平面CD 1B 1,所以BD //平面CD 1B 1.因为A 1D 1綊B 1C 1綊BC ,所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以 A 1B // D 1C.又因为 A 1B ?平面CD 1B 1, D 1C ?平面CD 1B 1,所以A 1B //平面CD 1B 1,•/ AC = 2, CE = AE = -25,•••其周长为 AC + AE + CE = 2+ 5(cm). 答案：-46 2 + 58.如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，右BC 丄AC ，/ BAC = 3, AC =4, M 为AA l 的中点，点 P 为BM 的中点，Q 在线段CA i 上，且 A i Q= 3Q C ，贝U P Q 的长度为 解析：由题意知，AB = 8,过点P 作PD // AB 交AA 1于点D , 1连接DQ,贝U D 为AM 中点，PD = ^AB = 4.又... Aj Q = AJD = 3,Q C AD• D Q// AC ,/ PD Q=n ，D Q= %C = 3,3 4 在厶PD Q 中，由余弦定理得P Q = + 32-2X 4X 3 X cos n 3又因为BD A A i B = B,所以平面A i BD //平面CD i B i.⑵因为A i O丄平面ABCD , 所以A i O是三棱柱ABD-A i B i D i的高.1又因为AO= £AC= i, AA i= 2,所以A i O= AA?-AO2= i.i又因为S A ABD= 2 X, 2X 2 = i , 所以VABD-A i B i D i= S^ABD A i O= i.i0.如图所示，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E , F , G, H分别是BC，CC i，C i D i，A i A的中点.求证：(1) BF // HD i；(2) EG //平面BB i D i D;(3)平面BDF //平面B i D i H.证明：⑴如图所示，取BB i的中点M，连接MH , MC i，易证四边形HMC i D i是平行四边形，••• H D i // MC i.又••• MC i / BF ,• BF // HD i.i i⑵取BD的中点O,连接EO , D i O，贝U OE綊QDC，又D i G綊QDC,•四边形OEGD i是平行四边形，• GE// D i O.又GE?平面BB i D i D , D i O?平面BB i D i D,• EG //平面BB i D i D.(3)由(i)知BF // HD i,又BD // B i D i, B i D i, HD i?平面B i D i H , BF , BD?平面BDF , 且B i D i A HD i= D i, DB A BF = B,•平面BDF //平面B i D i H.三上台阶，自主选做志在冲刺名校i.如图所示，设正方体ABCD-A i B i C i D i的棱长为a,点P是棱AD上一点，且AP= 3,过B i, D i, P的平面交平面ABCD 于P Q, Q在直线CD上，贝U P Q= ______________ .解析：•••平面A i B i C i D i /平面ABCD ,而平面 B i D i P n 平面 ABCD = P Q,平面 B i D i P 门平面 A i B i C i D i = B 1D 1,- B 1D 1 H P Q 又••• B i D i 〃 BD ,••• BD // P Q 设 P c n AB = M , •/ AB // CD , • △ APM s\ DPQ答案：宁a 32•如图，斜三棱柱 ABC-A i B i C i 中，D , D i 分别为AC , A i C i 上的点. ⑴当等于何值时，BC i //平面AB i D i?D i C i解：(i)当A 1D 1= i 时，D i C iBC i / 平面 AB i D i .如图，连接 A i B 交AB i 于点O ,连接OD i .由棱柱的性质知，四边 形A i ABB i 为平行四边形，所以点 O 为A i B 的中点.在厶A i BC i 中，O , D i 分别为A i B , A i C i 的中点， • OD i // BC i .又 OD i ?平面 AB i D i , BC i ?平面 AB i D i ,• BC i // 平面 AB i D i .•当琵=i 时，心平面AB i D i⑵由已知，平面 BC i D //平面 AB i D i 且平面 A i BC i n 平面BC i D = BC i ,平面A i BC i n (2)若平面BC i D //平面 AB i D i ，求AD ，DC的值. P Q =PM = PD = AP = 2，即 PQ=2PM.又知△ APM ADB , PM = APBD = AD• PM = 3BD ，又 BD = 2,23 a平面AB i D i= D i O.因止匕BC i// D i O，同理AD i// DC i..A1D1 A i O A1D1 DCD i C i_OB，D1C1 —A D.又A OB°=AD=1,即DC=1.。
2020年浙江高三数学总复习：直线、平面平行的判定及其性质复习讲义
第四节直线、平面平行的判定及其性质知识讎条完辔一、线面平行的判定和性质定理1. 概念理解(1) 线面平行的判定往往需要借助线线平行关系，但要注意条件缺一不可,即“一内一外一平行”.(2) 线面平行也可由面面平行的性质得到.2. 与线面平行证明相关联的结论(1) a II B ,a? a ,则有a//B .(2) a//B ,a?B ,a // a ,则有a / B .二、平面与平面平行的判定定理和性质定理1. 概念理解(1) 判定定理借助了线线平行，但要注意是两相交线.(2) 性质定理得到的是线线平行，应该是平面与平面的交线.2. 与面面平行相关联的结论〃Y ,则久//丫.(1)面面平行具有传递性，即a//B , B⑵平面a , B ,直线I,若I丄a ,l丄B ,则a// [3 .温故知新1. 下列条件中，能判断两个平面平行的是(D )(A) 一个平面内的一条直线平行于另一个平面(B) 一个平面内的两条直线平行于另一个平面(C) 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面(D) 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：因为“任何一条”就说明了任意性，等价于判定定理.2. 在空间四边形ABCD(A,B,C,D不共面)中,一个平面与边AB,BC,CD,DA分别交于E,F,G,H(不含端点),则下列结论错误的是(C )(A) 若AE： BE=CF BF,贝卩AC//平面EFGH(B) 若E,F,G,H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形(C) 若E,F,G,H分别为各边中点且AC二BD则四边形EFGH为矩形(D) 若E,F,G,H分别为各边中点且ACL BD则四边形EFGH为矩形解析：作出如图的空间四边形，连接AC,BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH由中位线的性质知，EH// FG,EF// HG,故四边形EFG是平行四边形，若AC二BD则有HG=AC=2BD二EH故四边形EFGH是菱形.故选C.3. ___________________________________________ 到正四面体的四个顶点的距离相等的平面有_________________________ 个.解析：分两类,一类是面的两侧1个点和3个点,有4个,一类是面的两侧各两个点，有3个,共有7个.答案：7-高频考点突破k -------------------------- 芒卄屮*轉吉沐-------考点一与平行相关命题的判断【例1】已知m,n是两条不同直线，a , B , 丫是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A) 若a//B ,m? a ,n ? B ,则m// n(B) 若m// n,n ? a ,则m// a(C) 若m// a ,m // [3 ,则a // [3(D) 若a//3 , a/Y ,则3//丫解析:m与n可能平行也可能异面，故A选项错;在正方体中,AB //AB,A i B i?平面ABBA,而AB不平行于平面ABBA,故选项B错;正方体的棱BG既平行于平面ADGA1,又平行于平面ABCD但这两个平面相交故选项C 不正确；由平面与平面平行的传递性，得选项D正确.故选D.(i)解决与平行相关命题的判断问题的依据是判定定理和性质定理,运用时注意定理成立的条件.(2)这类问题常常借助正(长)方体等特殊几何体构造反例判断命题错误.[1迂務逊蜒已知互相垂直的平面a , B交于直线1,若直线m,n满足mil a ,n丄B , 则(C ) (A)m //I (B)m ii n(C)n 丄I (D)n 丄m解析：因为互相垂直的平面a , B交于直线I,所以I ? B ,由n丄B ,可得n丄I,直线m,n,满足m// a ,所以mil B或n? B或m与[3相交，所以直线m,I,直线n,m位置关系不确定，故选C.考点二线面平行的判定和性质【例2】(2018 •台州中学高三模拟)如图，四棱锥P-ABCD勺底面ABCD是边长为2的菱形，/ ABC=60，点M是棱PC的中点,PA丄平面ABCD.(1) 证明:PA //平面MBD;⑵当PA 长度为多少时，直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为半. (1)证明：连接AC 交BD 于 0点,连接M0, 因为M,0分别为PC,AC 的中点, 所以 PA// M0, 又PA?平面MBD,MO 平面MBD, 所以PA//平面MBD.⑵ 解：过A 作AH 垂直BC 交BC 于点H,连接PH,BCL AH,BCL PA,PAA AH=A,所以BCL 平面PHA, 所以平面PHAL 平面PBC,过A 作AG 垂直于PH 交PH 于G 点，连接GM,所以AGL 平面PBC,wn a所以/ AM(即卩直线AM与平面PBC所成角.设|PA|=x,则|MA|=J^1,|AG|=吴，,3xsin /AMG竺二 ^二-42,|MA| 7 '解得x=2或x= 1 2 3 4 5 6,所以|PA|=2或3.圧3判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义，一般用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a? a ,b ? a ,a // b? a// a ),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(a // B ,a? a ? a/ B );(4)利用面面平行的性质(a // B ,a?B ,a // a ? a / B).［甘迂務逊蜒如图，在菱形ABC中,/ BAD=60 ,平面BDE H平面ABCD四边形BDEF 是正方形，点M在线段EF上，EM =X EF .1 当入珂时,求证:BM//平面ACE;2 若二面角A-BM-C的平面角的余弦值为-7 ,求实数入的值.13(1)证明:当入二*时,EM =2E F ,所以M是EF的中点.设ACH BD=O连接0E,所以BMI OE,又BM 平面ACE,OE 平面ACE, 所以BM/平面ACE.(2) 解：因为平面BDE 吐平面ABCD 平面BDEF1平面ABCD 二B ［又ED BD,ACL BD,所以AC,BD,DE 两两垂直，所以以0为原点,OB,OC 分别为x 轴,y 轴， 过点0作OH/ DE,以0H 为z 轴建立空间直角坐标系 设 AB=2由 A(0,- 3,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),M(2 入-1,0,2).设平面ABM 勺法向量为m=(x,y,z), 因为 AB =(1, 3,0), BM =(2 入-2,0,2), 所以x 3y u佑—y+2z =o. 取 x= 3 时,则 y=-1,z= 3 (1-入), 所以 m=( 3 ,-1,3(1-入)).同理可得平面BCM 勺一个法向量为n=( 3,1, 3(1-入)).所以入=f 或入=3(舍去)• 考点三 面面平行的判定与性质【例3】如图，在三棱柱ABC-ABC 中,E,F,G,H 分别是AB,AC,AB,A 1C 的中点，求证：所以 |cos <m,n>|=|2m n |= 2 七(1 j 二丄 |m||n||443(1—2$13(1)B,C,H,G四点共面;⑵平面EFA //平面BCHG.证明：(1)因为G,H分别是AB,A i C的中点, 所以GH/I BC.又在三棱柱中，BQ // BC,所以GH BC,所以B,C,H,G四点共面.⑵因为G,E分别是AB,AB的中点，所以AGgBE,所以四边形AGBE为平行四边形，A i E// BG. 又AE?平面BCHG,BG平面BCHG,所以AE//平面BCHG,同理AF//平面BCHG,又AE Q AF二A,所以平面EFA //平面BCHG.ag (1)判定面面平行的方法①定义法：即证两个平面没有公共点；②面面平行的判定定理；③垂直于同一条直线的两平面平行；④平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.(2) 面面平行的性质①若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.②若一平面与两平行平面相交，则交线平行.(3) 平行间的转化关系I 测定定理列定定理觇践平無、、戡面平曲面甲行牲曲定理性就\如图为一简单组合体，其底面ABC场正方形，PD丄平面ABCD,EC PD,且PD=AD=2EC=2.(1)现已给出了该几何体的俯视图，请画出该几何体的正视图和侧视(2)求证:BE//平面PDA;⑶求四棱锥BCEPD勺体积.(1)解:该组合体的正视图和侧视图如图所示： ⑵证明：因为EC// PD,PD?平面PDA,E(?平面PDA, 所以EC//平面PDA. 同理可得BC//平面PDA,因为 EC?平面 EBC,BC 平面 EBC M E8 BC=C,所以平面BEC/平面PDA.又因为BE?平面EBC,所以BE//平面PDA.(3) 解：因为PDL 平面ABCD,PD 平面PDCE,所以平面PDC 圧平面ABCD.因为 BCL CD 又平面 ABC Q 平面 PDCE 二CD,BC 平面 ABCD, 所以BCL平面PDCE.因为 S 梯形PDCE = cm x 3X 2=3,2 2所以四棱锥B-CEPD 勺体积V B CEPD =1S 梯形 PDCE • BC=1 x 3 x 2=2.- 3 3考点四易错辨析【例4】 如图,在三棱锥 A-BOC 中 ,AO 丄平面COB / OAB hOAC=n ,AB=AC=2,BC=2 ,D,E 分别为 AB,OB 的中点.6止视(1)求证:CO丄平面AOB;⑵在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF//平面AOC若存在，试确定F的位置,并证明此点满足要求；若不存在,请说明理由.(1)证明：因为AOL平面COB所以AOL CO,ACL BO,即厶AOC W^AOB为直角三角形.又因为/ OAB M OAC=n,AB=AC=2,6所以OB=OC=1.由OB+OC=1 +仁2二B C可知△ BOC为直角三角形.所以COL BO,又因为A8 BO=O,所以COL平面AOB.⑵解:在线段CB上存在一点F,使得平面DEF//平面AOC此时F为线段CB的中点.证明过程：如图，连接DF,EF,因为D,E分别为AB,OB的中点，所以DE// OA.又DE?平面AOC,AO平面AOC, 所以DE//平面AOC.因为E,F分别为OB,BC的中点，所以EF// OC.又EF?平面AOC,OC平面AOC,所以EF//平面AOC,又EF A DE=E,EF?平面DEF,DE> 平面DEF,所以平面DEF/平面AOC.病福廿若本题第二问属探索性问题，所要探求的点往往出现在特殊点上，可以先特殊后一般的方法解决.L 迁如图，在四棱锥P-ABC冲,底面ABCD是边长为2的正方形，PB丄BC,PD(1) 证明:PA丄平面ABCD;(2) 在线段BC上是否存在点F,使得PF//平面EAC若存在,确定点F 的位置,若不存在请说明理由.BC 丄P B BC 丄平面PAB=)PA ](1)证明：BC-AB PA_平面? PA!平面ABCD.CD丄PD I ,亚序CD 丄DA FC。
高考数学总复习 第十三章 第4讲 直线、平面平行的判定与性质配套课件 文
5．两个(liǎnɡ ɡè)平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行． (2)判定(pàndìng)定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒
_α_∥__β____.
(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′
C． 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都 第七页，共31页。
4．设 m，n 表示(biǎoshì)不同直线，α，β表示(biǎoshì)不同平面， 题中正确(zhèngquDè)的) 是(
A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
别__为_其__所_在(写(s出uǒz所ài)有棱的(s中uǒ点y，ǒu能)符得出合A要B∥求平面的M图N形P 的序图号形)的．序号是
第十四页，共31页。
解析(jiě xī)：如图①，∵MN∥AC，NP∥AD，∴平面 MNP∥平 面 ADBC，∴AB∥平面(píngmiàn) MNP.
如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ 为 平面 ABD 与平面 MNP 的交线，∴AB∥NQ.∵N 为 AD 的中点(zhōnɡ diǎn)，
第五页，共31页。
1．设 AA′是长方体的一条棱，这个(zhège)长方体中与 AA′平行的
棱共有(ɡònCɡ yǒ)u)( A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
2．b 是平面(píngmiàn)α外一条直线，下列条件中可得出 b∥α的是D( )
A．b 与α内一条直线不相交
2020与名师对话(文)直线、平面平行的判定及性质
第四节直线、平面平行的判定及性质高考概览：1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行2．平面与平面平行[辨识巧记]两个技巧利用直线与平面平行的判定定理判定线面平行，即找平面内的直线与已知直线平行．一般有两种方法：(1)中心投影法(2)平行投影法找到两条平行光线AC，BD，找到AB在平面α内的投影为CD.[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l ∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若l∥α，则l∥m或l与m异面；若l∥m，则l∥α或l⊂α，故“直线l∥α”是“l∥m”的既不充分也不必要条件．故选D.[答案] D3．若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面()A．不存在B．零个或一个C．可以有两个D．有无数多个[解析]若P点与直线a(或b)确定的平面与直线b(或a)平行，则符合条件的平面不存在；否则，符合条件的平面有一个．故选B.[答案] B4．(必修2P61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α[解析]对于选项A，a可以在平面内，故A错误；对于选项B，a与α内的直线平行或异面，故B错误；对于选项C，两平面也可以相交，故C错误，对于选项D，a∥b，a∥α，b⊂α，则b∥α，正确，故选D.[答案] D5．(必修2P56练习T2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________[解析]连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD中点．因为E为DD1中点，所以OE∥BD1.又因为BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.[答案]平行考点一平行关系的判断【例1】(1)(2019·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β[解析](1)对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.(2)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，∴n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n⊄β，l⊂β，∴n∥β.故选D.[答案](1)D(2)D平行关系判断问题的3个注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中线在面外的条件易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[对点训练]1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选B.[答案] B2．设互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ，给出下列三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为________．[解析] ①中α与β可能相交，故①错；②中l 与m 可能异面，故②错；由线面平行的性质定理可知，l ∥m ，l ∥n ，所以m ∥n ，故③正确．[答案] 1考点二 直线与平面平行的判定和性质【例2】 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .[思路引导] (1)证明四边形ABCE 为平行四边形→O 、F 分别为AC 、PC 中点→FO ∥P A→结论(2)由已知→⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫FH ∥PD →FH ∥面P AD OH ∥AD →OH ∥面P AD →面P AD ∥面OHF →GH ∥面P AD[证明] (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，∵FH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，∴FH ∥平面P AD . 又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，OH ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴OH ∥平面P AD . 又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF∥平面P AD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面P AD.证明线面平行的3种方法(1)线面平行的定义：一般用反证法．(2)线面平行的判定定理：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程．(3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．[对点训练]如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.图1当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?[解] 解法一：如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∴OM ⊥底面ABC .又∵EC ＝2FB ，∴OM ∥FB 綊12EC ，∴四边形OMBF 为矩形，∴BM ∥OF ，又∵OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF .故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．图2解法二：如图2，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ ，∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ，∴PE 綊BF ，PB ∥EF ，又∵PQ ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，PB ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF ，又∵BQ ⊂平面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．考点三 平面与平面平行的判定和性质【例3】如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EF A 1∥平面BCHG .[思路引导] (1)由G 、H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点→GH ∥B 1C 1→GH ∥BC→得结论(2) ⎦⎥⎥⎤EF ∥BC →EF ∥面BCHG A 1E ∥BG →A 1E ∥面BCHG →面EF A 1∥面BCHG [证明] (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC .∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EF A 1∥平面BCHG .[拓展探究] 在本例条件下，若D 1，D 分别为B 1C 1，BC 的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1、DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.证明面面平行的4种方法(1)面面平行的定义．(不常用)(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．[对点训练](2019·河南许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.[证明](1)如图所示，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.课后跟踪训练(四十七)基础巩固练一、选择题1．(2018·黑龙江大庆月考)有以下三种说法，其中正确的是()①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．A．①②B．①③C．②③D．①[解析]对于①，若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b∥平面α，直线a 与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．故选D.[答案] D2．(2019·辽宁丹东期末)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面[解析]由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行或相交，利用正方体可判断，故A不正确；若m，n平行于同一平面，则m与n 可能平行、相交或异面，故B不正确；利用正方体中的侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以C不正确；D正确．故选D.[答案] D3．(2019·河北石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有() A．4条B．6条C．8条D．12条[解析]如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.[答案] B4．(2019·湖南长沙二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β[解析]对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C.[答案] C5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()[解析]解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A.[答案] A二、填空题6．(2019·广东顺德质检)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．[解析] 取PD 的中点F ，连接EF 、AF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .[答案] 平行7．(2018·湖南株洲调研)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 为CD 上一点．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.[答案]28．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.[答案] 92 三、解答题 9.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，且P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.10.(2019·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值． [解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ，又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC ＝1.能力提升练11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定[解析] 连接CD 1、AD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，连接MP 、NP ，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∥BC 1，∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面BB 1C 1C ，∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.[答案] B12．(2018·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．②B．①③C．①④D．②④[解析]对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC 是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.[答案] A13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D 的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ∥面AB1，则线段PQ长为__________．[解析]连接AB1、AD1，∵点P是平面AA1D1D的中心，∴点P是AD1的中点，∵PQ∥平面AB1，PQ⊂平面D1AB1，平面D1AB1∩平面AB1＝AB1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝12AB1＝22.[答案]2 214．如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．[解](1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且DH＝AC，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH.又∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ， ∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β. 综合①②可知，EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得 EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF ＝7或EF ＝19.拓展延伸练15．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.[答案] C16.(2019·河北承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)[解析]连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1.∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.[答案]点M在线段FH上(或点M与点H重合)。
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[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B.对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n 在平面α内．故选C.3．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，又EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，给出下列四个推断：①FG ∥平面AA 1D 1D ； ②EF ∥平面BC 1D 1； ③FG ∥平面BC 1D 1； ④平面EFG ∥平面BC 1D 1. 其中推断正确的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选A.因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以FG ∥BC 1，因为BC 1∥AD 1，所以FG ∥AD 1，因为FG ⊄平面AA 1D 1D ，AD 1⊂平面AA 1D 1D ，所以FG ∥平面AA 1D 1D ，故①正确； 因为EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，所以EF 与平面BC 1D 1相交，故②错误； 因为E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以FG ∥BC 1，因为FG ⊄平面BC 1D 1，BC 1⊂平面BC 1D 1， 所以FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；因为EF 与平面BC 1D 1相交，所以平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．故选A. 6．在四面体A -BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ， 则EM ∶MA ＝1∶2， EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .因为AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， 所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC . 答案：平面ABD 与平面ABC7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点． 故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ， 所以MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求证：四边形AEC 1F 为平行四边形； (2)求BF 的长．解：(1)证明：由已知得平面ABE ∥平面DCC 1F ，平面AEC 1F ∩平面ABE ＝AE ，平面AEC 1F ∩平面DCC 1F ＝C 1F ，所以AE ∥C 1F ，同理可得AF ∥C 1E ，所以四边形AEC 1F 是平行四边形． (2)在CC 1上取点H ，使CH ＝1，可得四边形BCHE 为矩形，即可得四边形ADHE 为平行四边形，所以DH ∥AE ，AE ∥FC 1，所以四边形FDHC 1为平行四边形，所以FD ＝3－1＝2，所以BF＝BD2＋DF2＝2 6.10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.[综合题组练]1．(创新型)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V )． 所以S △BEF ·BC ＝V ， 即12BE ·BF ·BC ＝V . 所以BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.2．(应用型)在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝12，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且它们分别是AB ，BC ，SC ，SA 的中点，那么四边形DEFH 的面积为( )A ．18B ．18 3C ．36D ．36 3 解析：选A.因为D ，E ，F ，H 分别是AB ，BC ，SC ，SA 的中点，所以DE ∥AC ，FH ∥AC ，DH ∥SB ，EF ∥SB ，则四边形DEFH 是平行四边形，且HD ＝12SB ＝6，DE ＝12AC ＝3.如图，取AC 的中点O ，连接OB ，SO ，因为SA ＝SC ＝12，AB ＝BC ＝6，所以AC ⊥SO ，AC ⊥OB ，又SO ∩OB ＝O ，所以AO ⊥平面SOB ，所以AO ⊥SB ，则HD ⊥DE ，即四边形DEFH 是矩形，所以四边形DEFH 的面积S ＝6×3＝18，故选A.3．(应用型)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.则以下四个说法：①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .其中说法正确的是________(填序号)．解析：①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM ，CN ，易得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的； ②由①知M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，AN ⊂平面APC ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； ③由①知A ，P ，M 三点共线是正确的； ④由①知MN ⊂平面APC ， 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的． 答案：②③4.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ， 所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP ＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ， 所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .答案：223a5．(应用型)在如图所示的多面体中，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝4DE ＝4.(1)在AC 上求作点P ，使PE ∥平面ABF ，请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥A -CDE 的高．解：(1)取BC 的中点G ，连接DG ，交AC 于点P ，连接EG ，EP .此时P 为所求作的点(如图所示)．下面给出证明：因为BC ＝2AD ，G 为BC 的中点， 所以BG ＝AD . 又因为BC ∥AD ，所以四边形BGDA 是平行四边形， 故DG ∥AB ，即DP ∥AB .又AB ⊂平面ABF ，DP ⊄平面ABF ， 所以DP ∥平面ABF .因为AF ∥DE ，AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ， 所以DE ∥平面ABF .又因为DP ⊂平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，PD ∩DE ＝D ， 所以平面PDE ∥平面ABF ， 因为PE ⊂平面PDE ， 所以PE ∥平面ABF .(2)在等腰梯形ABCD 中，因为∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝4， 所以可求得梯形的高为3，从而△ACD 的面积为12×2×3＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE 是三棱锥E -ACD 的高． 设三棱锥A -CDE 的高为h .由V A CDE ＝V E ACD ，可得13×S △CDE ×h ＝13S △ACD ×DE ，即12×2×1×h ＝3×1，解得h ＝ 3.故三棱锥A -CDE 的高为 3.6．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，证明B 1D 1∥l . 证明：(1)由题设知BB 1綊DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， B 1D 1⊂平面CD 1B 1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.。