2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 第4讲 直线、平面平行的判定与性质

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

解析：选B.对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

D．若m∥n，m∥α，则n∥α

解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n 在平面α内．故选C.

3．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()

A．垂直B．相交不垂直

C．平行D．重合

解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面

LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且

PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，

即平面LMN∥平面PQR.

4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )

A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形

B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形

C ．HG ∥平面AB

D ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形

解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊1

5BD ，又EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平

面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊1

2BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以

四边形EFGH 是梯形．

5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，给出下列四个推断：

①FG ∥平面AA 1D 1D ； ②EF ∥平面BC 1D 1； ③FG ∥平面BC 1D 1； ④平面EFG ∥平面BC 1D 1. 其中推断正确的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③

D ．②④

解析：选A.因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以FG ∥BC 1，因为BC 1∥AD 1，所以FG ∥AD 1，

因为FG ⊄平面AA 1D 1D ，AD 1⊂平面AA 1D 1D ，所以FG ∥平面AA 1D 1D ，故①正确； 因为EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，所以EF 与平面BC 1D 1相交，故②错误； 因为E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，

所以FG ∥BC 1，因为FG ⊄平面BC 1D 1，BC 1⊂平面BC 1D 1， 所以FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；

因为EF 与平面BC 1D 1相交，所以平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．故选A. 6．在四面体A -BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．

解析：如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ， 则EM ∶MA ＝1∶2， EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .

因为AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， 所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC . 答案：平面ABD 与平面ABC

7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．

解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点． 故EF ＝1

2AC ＝ 2.

答案： 2

8.如图所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，

所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ， 所以MN ∥平面B 1BDD 1.

答案：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)

9.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.

(1)求证：四边形AEC 1F 为平行四边形； (2)求BF 的长．

解：(1)证明：由已知得平面ABE ∥平面DCC 1F ，平面AEC 1F ∩平面ABE ＝AE ，平面AEC 1F ∩平面DCC 1F ＝C 1F ，

所以AE ∥C 1F ，同理可得AF ∥C 1E ，所以四边形AEC 1F 是平行四边形． (2)在CC 1上取点H ，使CH ＝1，可得四边形BCHE 为矩形，即可得四边形ADHE 为平行四边形，

所以DH ∥AE ，AE ∥FC 1，

所以四边形FDHC 1为平行四边形，所以FD ＝3－1＝2，